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本文(专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定-2019年中考数学复习压轴题突破之二次函数(解析版))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定-2019年中考数学复习压轴题突破之二次函数(解析版)

1、 【方法综述】【方法综述】 知识准备:特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下:知识准备:特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下: 平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形; 矩形判的定方法矩形判的定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形判定方法菱形判定方法 有一组邻边相等的平行四边形是

2、菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是矩形 正方形的判定方法正方形的判定方法 平行四边形+矩形的特性;平行四边形+菱形的特性 解答时常用的技巧:解答时常用的技巧: (1).根据平行四边形的对角线互相平分这条性质,应用中点坐标公式,可以采用如下方法:根据平行四边形的对角线互相平分这条性质,应用中点坐标公式,可以采用如下方法: 已知点已知点 A、B、C 三点坐标已知,点三点坐标已知,点 P 在某函数图像上,是否存在以点在某函数图像上,是否存在以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为平为顶点的四边形为平 行四边形,求点行四边形,求点 P 的坐标。的坐标。 P (m,n) B(c,

3、d) C(e,f) A(a,b) O 如,当如,当 AP、BC 为平行四边形对角线时,由中点坐标公式,可得为平行四边形对角线时,由中点坐标公式,可得 a+m=c+e,n+b=d+f 则则 m= c+e-a;n= d+f-b,点,点 P 坐标可知,将其带入到函数关系式进行验证,如果满足函数关系式,即为所求坐标可知,将其带入到函数关系式进行验证,如果满足函数关系式,即为所求 P 点,同理,根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。点,同理,根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。 (2) .菱形在折叠的情况下,可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得,因此,菱形的存在性讨论,菱形在折叠的情况下,可

4、以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得,因此,菱形的存在性讨论, 亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。 (3).矩形中的直角证明矩形中的直角证明出来常规直角的探究外,还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。出来常规直角的探究外,还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 平行四边形的存在性探究平行四边形的存在性探究 例例 1: (河南省 2019 年中考数学模试题)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点为 A、D(A在 D 的右侧) ,与 y 轴的交点为 C,且 A(4,0) ,C(0,3) ,对

5、称轴是直线 x=1 (1)求二次函数的解析式;来源:Z,xx,k.Com (2)若 M 是第四象限抛物线上一动点,且横坐标为 m,设四边形 OCMA 的面积为 s请写出 s 与 m 之间 的函数关系式,并求出当 m 为何值时,四边形 OCMA 的面积最大; (3)设点 B 是 x 轴上的点,P 是抛物线上的点,是否存在点 P,使得以 A,B、C,P 四点为顶点的四边形 为平行四边形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x2 x3; (2)当 m=2 时,s 最大是 9; (3)存在点 P(2,3)或 P(1+,3)或 P (1,3)使得以 A,B、C,P

6、 四点为顶点的四边形为平行四边形来源:学(2) 综上,t12,t2,t3;(3)见解析. , AOPOCD OPCD AOPOCD; OPCDt,则:BDBC+CD4t; 若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似,则有: ,得:,学科*网 解得:或(正值舍去) ; 当点 P 在线段 OC 上时,P(t,0) ,0t4,如图; 因为 OPOA、BDAB、OAAB, 若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似,那么有:,所以 OPBD,即: t4t,t2; 当点 P 在点 C 右侧时,P(t,0) ,t4,如图; 同可求得; 综上,t12, PC 为平行四边形的边,则 DQPC,且 QD

7、PC; 若 P(t,0) 、D(4,t) ,则 PCQD|t4|,Q(t,t)或(8t,t) ; Q(t,t)时,即:t2+2t240, 解得 t14(舍) 、t26; Q(8t,t)时,即:t26t+80, 解得 t14(舍) 、t22 综上可知,t12,t212,t36,t42 存在点 Q,使得以 P、D、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形 4(广东省中山市 2018-2019 学年九年级 (上)期末数学试卷) 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 yax2+bx+3 经过 A(3,0) 、B(1,0)两点,其顶点为 D,连接 AD,点 P 是线段 AD 上一个动点(不与 A、D 重合)

8、(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)如图 1,过点 P 作 PEy 轴于点 E求PAE 面积 S 的最大值; (3)如图 2,抛物线上是否存在一点 Q,使得四边形 OAPQ 为平行四边形?若存在求出 Q 点坐标,若不存 在请说明理由 【答案】 (1)抛物线的解析式为 yx22x+3,顶点 D 的坐标为(1,4) ; (2)PAE 面积 S 的最大值 是 ; (3)点 Q 的坐标为(2+,24) (2)设直线 AD 的函数解析式为 ykx+m, ,得, 直线 AD 的函数解析式为 y2x+6, 点 P 是线段 AD 上一个动点(不与 A、D 重合) , 设点 P 的坐标为

9、(p,2p+6) , S PAE (p+ )2+ , 3p1, 当 p 时,S PAE 取得最大值,此时 S PAE , 即PAE 面积 S 的最大值是 ; (3)抛物线上存在一点 Q,使得四边形 OAPQ 为平行四边形, 四边形 OAPQ 为平行四边形,点 Q 在抛物线上, OAPQ, 点 A(3,0) , OA3, PQ3, 直线 AD 为 y2x+6,点 P 在线段 AD 上,点 Q 在抛物线 yx22x+3 上, 设点 P 的坐标为(p,2p+6) ,点 Q(q,q22q+3) , ,学科*网 解得,或(舍去) , 当 q2+时,q22q+324, 即点 Q 的坐标为(2+,24) 5

10、 (重庆市九龙坡区西彭三中 2019 届九年级(上)期末数学试题)如图,已知抛物线经过点 A(1,0) , B(4,0) ,C(0,2)三点,点 D 与点 C 关于 x 轴对称,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为(m, 0) ,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q,交直线 BD 于点 M (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式; (2)点 P 在线段 AB 上运动的过程中,是否存在点 Q,使得BODQBM?若存在,求出点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由 (3)已知点 F(0, ) ,点 P 在 x 轴上运动,试求当 m 为何值时以 D、M、Q、F 为顶点的四边形是平

11、行四 边形 【答案】 (1)y x2+ x+2; (2)存在,点 Q 的坐标为(3,2) ; (3)m1 或 m3 或 m1+或 1 时,四边形 DMQF 是平行四边形 (2)如图所示: 当BODQBM 时, 则, MBQ90 , MBP+PBQ90 , MPBBPQ90 , MBP+BMP90 , BMPPBQ, MBQBPQ, ,学科*网 , 解得:m13、m24, 当 m4 时,点 P、Q、M 均与点 B 重合,不能构成三角形,舍去, m3,点 Q 的坐标为(3,2) ; 6 (北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 W 的函数表达

12、式为 y=x2+x+4 抛物线 W 与 x 轴交于 A, B 两点 (点 B 在点 A 的右侧, 与 y 轴交于点 C, 它的对称轴与 x 轴交于点 D,直线 l 经过 C、D 两点 (1)求 A、B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式 (2)将抛物线 W 沿 x 轴向右平移得到抛物线 W, 设抛物线 W的对称轴与直线 l 交于点 F, 当ACF 为直角三 角形时,求点 F 的坐标,并直接写出此时抛物线 W的函数表达式 (3)如图 2,连接 AC,CB,将ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位(0m5) ,得到ACD设 AC 交直线 l 于点 M,CD交 CB 于点 N,连接 CC,MN求四边

13、形 CMNC的面积(用含 m 的代数式表示) 【答案】 (1)点 A 坐标为(3,0) ,点 B 的坐标为(7,0) ,y=2x+4;(2) 点 F 的坐标为(5,6) ,y= x2+x;(3) 四边形 CMNC的面积为 m2. 设直线 l 的表达式为 ykxb, 解得 直线 l 的解析式为 y2x4; (2)抛物线 w 向右平移,只有一种情况符合要求, 即FAC90 ,如图. (3)由平移可得:点 C,点 A,点 D的坐标分别为 C(m,4) ,A(3m,0) ,D(2m,0) ,CCx 轴,CDCD, 可用待定系数法求得 直线 AC的表达式为 y x4 m, 直线 BC 的表达式为 y x

14、4,学&科网 直线 CD的表达式为 y2x2m4, 分别解方程组和 解得和 7 (2018-2019 学年甘肃省庆阳市九年级(上)期末数学试卷)如图,已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 点 A,B,点 A 的坐标为(1,0) ,与 y 轴交于点 C(0,2) ,点 D 与点 C 关于 x 轴对称,点 P 是 x 轴正半 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为(m,0) ,过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q,交直线 BD 于点 M (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式; (2)若 m3,试证明BQM 是直角三角形; (3)已知点 F(0, ) ,试求 m 为何值时,四边

15、形 DMQF 是平行四边形? 【答案】 (1)y x2+ x+2; (2)详见解析; (3)当 m3 或1 时,四边形 DMQF 是平行四边形 【解析】解: (1)函数与 y 轴交于点 C(0,2) ,则抛物线表达式为:y x2+bx+2, 将点 A 坐标代入上式得: b+20,则 b , 故:抛物线的表达式为:y x2+ x+2, 令 y0,则 x4 或1,即点 B 坐标为(4,0) ; (3)点 P 的坐标为(m,0) , 则点 Q 坐标(m, m2+ m+2) 、点 M 坐标(m, m2) , 当 QMEF 时,四边形 DMQF 是平行四边形, 则:QM m2+ m+2 m+2 , 解得

16、:m3 或1,学&科网 答:当 m3 或1 时,四边形 DMQF 是平行四边形 8 (2018 年四川省泸州市中考数学试卷)如图,已知二次函数的图象经过点 A(4,0), 与 y 轴交于点 B在 x 轴上有一动点 C(m,0)(0m4),过点 C 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 E,交该二次函 数图象于点 D (1)求 a 的值和直线 AB 的解析式; (2)过点 D 作 DFAB 于点 F,设ACE,DEF 的面积分别为 S1,S2,若 S1=4S2,求 m 的值; (3)点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点 G 是线段 AB 上的动点,当四边形 DEGH 是平行 四边形,且

17、周长取最大值时,求点 G 的坐标 【答案】 (1),; (2) ; (3)或. (2)由已知, 点 坐标为 点 坐标为 (3)如图,过点 做于点 由(2) 同理学科&网 四边形是平行四边形 整理得: ,即 由已知 周长 时, 最大 点坐标为,此时点 坐标为, 当点 、 位置对调时,依然满足条件 点 坐标为,或, 9 (赤峰市翁牛特旗乌丹第一中学 2019 届九年级上学期期末考试)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为 (-2,0) ,OB=OA,且AOB=120 (1)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式; (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使OBC 的周长最小?若存在,求出

18、点 C 的坐标;若不 存在,请说明理由; (3)若点 M 为抛物线上一点,点 N 为对称轴上一点,是否存在点 M、N 使得 A、O、M、N 构成的四边形 是平行四边形?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1); (2) (1,) ; (3) M1(1,) ,M2(3,) ,M3(1,) 【解析】(1)如图所示,过点 B 作 BDx 轴于点 D, 由已知可得: , 解得: 所求抛物线解析式为; (2)存在. 如图所示, 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, 将点 A(2,0),B(1,)分别代入,得: , 解得:, 直线 AB 的解析式为 y=x+, 当 x=1 时

19、,y=,学科*网 所求点 C 的坐标为(1,); (3)如图所示, 10 (四川省成都市青羊区)如图,直线 y2x+3 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 B,抛物线 yax2+x+c 经过 B、C 两点 (1)求抛物线的解析式; (2)如图,点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点,当BEC 面积最大时,请求出点 E 的坐标和BEC 面积的 最大值? (3)在(2)的结论下,过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M,连接 AM,点 Q 是抛物线对称轴上的动点, 在抛物线上是否存在点 P,使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点 P 的坐标;如

20、果不存在,请说明理由 【答案】(1)y2x2+x+3;(2)点 E 的坐标是( ,)时,BEC 的面积最大,最大面积是;(3)在抛物线上 存在点 P,使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形,点 P 的坐标是( ,3)或(2,3)或( , 2) (2)如图 1,过点 E 作 y 轴的平行线 EF 交直线 BC 于点 M,EF 交 x 轴于点 F, 点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点, 设点 E 的坐标是(x,2x2+x+3), 则点 M 的坐标是(x,2x+3), EM2x2+x+3(2x+3)2x2+3x, S BEC SBEM+SMEC EMOC (2x2+3x) (x

21、)2+,学科*网 当 x 时,即点 E 的坐标是( ,)时,BEC 的面积最大,最大面积是; (3)在抛物线上存在点 P,使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形, 如图 2,AMPQ,AMPQ 由(2),可得点 M 的横坐标是 , 点 M 在直线 y2x+3 上, 点 M 的坐标是( , ), 又抛物线 y2x2+x+3 的对称轴是 x , 设点 P 的坐标是(x,2x2+x+3), 点 A 的坐标是(1,0), xPxAxQxM,x(1) , 解得 x , 此时 P( ,3); 解得 x2, 此时 P(2,3); 如图 4,由(2)知,可得点 M 的横坐标是 , 点 M 在直线

22、y2x+3 上, 点 M 的坐标是( , ), 又抛物线 y2x2+x+3 的对称轴是 x , 设点 P 的坐标是(x,2x2+x+3),点 Q 的横坐标是 , 点 A 的坐标是(1,0),学科*网 xPxAxMxQ,即 x(1) , 解得 x , 此时 P( ,2); 综上所述,在抛物线上存在点 P,使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形,点 P 的坐标是( , 3)或(2,3)或( ,2) 类型二类型二 菱形存在性探究菱形存在性探究 例 2 (河南省 2019 年中考数学模拟试卷)如图,以 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 点 A,点 B(1

23、,0) ,与 y 轴交于点 C(0,4) ,作直线 AC (1)求抛物线解析式; (2)点 P 在抛物线的对称轴上,且到直线 AC 和 x 轴的距离相等,设点 P 的纵坐标为 m,求 m 的值; (3)点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方,点 N 在直线 AC 上,点 Q 为第一象限内抛物线上一点,若以点 C、 M、N、Q 为顶点的四边形是菱形,请直接写出点 Q 的坐标 【答案】 (1)y= x2+ x+4; (2)m 的值为 1 或4; (3)点 Q 的坐标为(1,)或( , ) 【解析】解: (1)点 A 与点 B(1,0)关于直线 x=1 对称, A(3,0) , 设抛物线解析式为 y

24、=a(x+1) (x3) , 把 C(0,4)代入得 a1(3)=4,解得 a= , 抛物线解析式为 y= (x+1) (x3) ,即 y= x2+ x+4; 当 x=1 时,y= x+4= ,则 D(1, ) , DE= , 在 RtADE 中,AD=, 设 P(1,m) ,则 PD= m,PH=PE=|m|, PDH=ADE, DPHDAE,学科*网 ,即,解得 m=1 或 m=4, 即 m 的值为 1 或4; 当 CM 为菱形的边时,四边形 CNQM 为菱形,如图 3,则 NQy 轴,NQ=NC, N(t, t+4) , NQ= t2+ t+4( t+4)= t2+4t, 而 CN2=t

25、2+( t+44)2=t2,即 CN= t, t2+4t= t,解得 t1=0(舍去) ,t2= ,此时 Q 点坐标为( ,) , 综上所述,点 Q 的坐标为(1,)或( ,) 学科&网 针对训练针对训练 1(陕西省榆林市府谷县九年级 (下)期末数学试卷) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(0,3) ,B(1,0)两点,顶点为 M (1)求 b、c 的值; (2)若只沿 y 轴上下平移该抛物线后与 y 轴的交点为 A1,顶点为 M1,且四边形 AMM1A1是菱形,写出平 移后抛物线的表达式 【答案】 (1)b=4,c=3; (2)y=x24x+3

26、+2或 y=x24x+32 2 (江苏省南京新城中学 2018-2019 学年第一学期九年级数学期末)如图,已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A,B,AB2,与 y 轴交于点 C,对称轴为直线 x2 (1)求抛物线的函数表达式; (2)根据图像,直接写出不等式 x2bxc0 的解集: (3)设 D 为抛物线上一点,E 为对称轴上一点,若以点 A,B,D,E 为顶点的四边形是菱形,则点 D 的坐 标为: 【答案】 (1)yx24x3; (2)x1 或 x3; (3) (2,1) (2)由图象得:不等式 x2bxc0,即 y0 时,x1 或 x3; 故答案为:x1 或 x3; (3) (

27、2,1) y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 顶点坐标为(2,-1) , 当 E、D 点在 x 轴的上方,即 DEAB,AE=AB=BD=DE=2,此时不合题意, 如图,根据“菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得到点 D 是抛物线 y=x2-4x+3 的顶点坐 标,即(2,-1) ,学科*网 故答案是: (2,-1) 3 (四川省成都市金牛区 2018 届九年级(上)期末数学)如图,抛物线 yax2+x+c 与 x 轴交于 A,B 两点, A 点坐标为(3,0) ,与 y 轴交于点 C,点 C 坐标为(06) ,连接 BC,点 C 关于 x 轴的对称点 D,点 P 是

28、x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为(m,0) ,过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q,交直线 BD 于 点 M (1)求二次函数解析式; (2)点 P 在 x 轴上运动,若6m2 时,求线段 MQ 长度的最大值 (3)点 P 在 x 轴上运动时,N 为平面内一点,使得点 B、C、M、N 为顶点的四边形为菱形?如果存在,请 直接写出点 N 坐标;不存在,说明理由 【答案】 (1)yx2+x6; (2)MQ 的最大值为 16; (3)N 坐标为( , )或(2,0)或(7.23.6) 或(2,12) 理由见解析. (3)当 BC 边为菱形的边时, 情况一:N 点应该在 x 轴,关于

29、 B 点对称,即点 N 坐标为(2,0) , 情况二:BC、MB 是菱形两条邻边,且 BCBM,则点 N 坐标为(2,12) , 情况三:BC、CM 为邻边时,则点 N 坐标为(7.23.6) ; 当 BC 边为菱形的对角线时,作 BC 的垂直平分线 MH, 4 (人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于点 C(0,3) ,点 P 是直线 BC 下方抛 物线上的任意一点 (1)求这个二次函数 y=x2+bx+c 的解析式 (2)连接 PO,PC,并将POC

30、 沿 y 轴对折,得到四边形 POPC,如果四边形 POPC 为菱形,求点 P 的坐标 (3)如果点 P 在运动过程中,能使得以 P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似,请求出此时点 P 的坐标 【答案】 (1)y=x22x3(2) (2) (,- ) (3)P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似,此时点 P 的坐标(1,4) (3)PBC90 ,分两种情况讨论: 如图 1,当PCB90 时, 过 P 作 PHy 轴于点 H,BC 的解析式为 yx3,CP 的解析式为 yx3, 设点 P 的坐标为(m,3m) ,将点 P 代入代入 yx22x3 中,解得:m10(舍) ,m21,即 P(1

31、, 4) ;学科*网 AO1,OC3,CB,CP,此时3,AOCPCB; 如图 2,当BPC90 时,作 PHy 轴于 H,作 BDPH 于 D PCPB,PHCBDP,设点 P 的坐标为(m,m22m3) ,则 PH=m,HC=(m2 2m3)(3)=m2+2m,BD=(m22m3) ,PD=3m, ,解得:m或(舍去) 当 m时,m22m3= PHCBDP, = 3, 以 P、 C、 B 为顶点的三角形与AOC 不相似 综上所述:P、C、B 为顶点的三角形与AOC 相似,此时点 P 的坐标(1,4) 5 (人教版数学九年级(上)第 22 章二次函数压轴题专项训练)如图,顶点为 D 的抛物线

32、 y x2+ x+4 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于两点 B、C(点 B 在点 C 的左边) ,点 A 与点 E 关于抛物线的对称轴对称,点 B、E 在直线 ykx+b(k,b 为常数)上 (1)求 k,b 的值; (2)点 P 为直线 AE 上方抛物线上的任意一点,过点 P 作 AE 的垂线交 AE 于点 F,点 G 为 y 轴上任意一点, 当PBE 的面积最大时,求 PF+FG+OG 的最小值; (3)在(2)中,当 PF+FG+OG 取得最小值时,将AFG 绕点 A 按顺时方向旋转 30 后得到AF1G1,过点 G1 作 AE 的垂线与 AE 交于点 M点 D 向上平移 个单位长度

33、后能与点 N 重合,点 Q 为直线 DN 上任意一点, 在平面直角坐标系中是否存在一点 S,使以 S、Q、M、N 为顶点且 MN 为边的四边形为菱形?若存在,直 接写出点 S 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】(1)k= ,b=1;(2)PF+FG+OG 的最小值 2+3;(3)存在,点 S 的坐标为: (1,1) , (1,9) , (7,4) 【解析】(1)由题意得:A(0,4) 、B(2,0) 、D(3,) 、C(8,0) 、E(6,4) , 则:过 BE 的直线为:y x+1; (2)延长 PF 交 BE 于点 H, (3)存在如图所示: AFG 绕点 A 按顺时方向旋转 30 后

34、得到AF1G1, 在 RtG1AM 中,AG12,AG1M30 , 则:AM1,M(1,4) , 点 D 向上平移 个单位长度后能与点 N 重合,则:N(3,7) , 则:MN5,学科*网 当四边形为菱形,在 MNQ1S1的位置时,MS1MN5,则点 S1(1,1) , 当四边形为菱形,在 MNQ2S2的位置时,MS2MN5,则点 S2(1,9) , 当四边形为菱形,在 MNQ3S3的位置时,点 S3与点 M 关于对称轴对称,则点 S3(7,4) , 故:所求点 S 的坐标为: (1,1) , (1,9) , (7,4) 6 (江苏省东台市第四联盟 2019 届九年级 12 月月考)已知,在平

35、面直角坐标系内一直线 l1:y=-x+3 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A、B 两点,y 轴右侧部分抛物线上有一动点 C,过点 C 作 y 轴的平行线交直线 l1于点 D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,C 在第一象限,求以 CD 为直径的E 的最大面积,并判断此时E 与抛物线的对称轴是否相 切?若不相切,求出使得E 与该抛物线对称轴相切时点 C 的横坐标; (3)坐标平面内是否存在点 M,使 B、C、D、M 为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点 M 的坐标; 不存在,请说明理由. 【答案】(1); (2)不相切, C 的横坐

36、标分别为 2 和; (3)M(0,1) , (2,3) (0,1-3) , (0,1+3). (2)可得抛物线对称轴为:1, C 在第一象限,以 CD 为直径的E 的最大面积,即 CD 最长时,圆的面积最大, 设直线 CD 的横坐标为 t,0t3, D 点坐标(t,-t+3) ,C 点坐标(t,-t +2t+3) , =-t +2t+3-(-t+3)= -t +3t(0t3) , 当 t= 时,CD 最长,此时 CD 最长为 ,来源:学#科#网 此时圆 E 的半径为 ,此时 CD 与对称轴的距离为 -1= , 故不相切.学*科网 当 CD 在对称轴右边时,即 1t3 时 = -t +3t(1t

37、3) ;圆 E 的半径为 t-1, 可得=2r;-t +3t=2(t-1) ,解得: =-1(舍去) ; =2; 当 CD 在对称轴左边时,即即 0t1 时, 有-t +3t=2(1-t) ,解得:(舍去) , ; 综上所述:t=2 或 t=,E 与该抛物线对称轴相切. (3)存在,由菱形性质可得 M 点坐标(0,1) , (2,3) (0,1-3) , (0,1+3). 7 (天津市北部联盟 2018-2019 学年上学期期中考试九年级数学试卷)如图,二次函数的 图象与 x 轴的一个交点为,另一个交点为 A,且与 y 轴相交于 C 点 (1)求 m 的值及 C 点坐标; (2)在直线 BC

38、上方的抛物线上是否存在一点 M,使得它与 B,C 两点构成的三角形面积最大,若存在, 求出此时 M 点坐标;若不存在,请简要说明理由 (3)P 为抛物线上一点,它关于直线 BC 的对称点为 Q,当四边形 PBQC 为菱形时,求点 P 的坐标(直接写 出答案); 【答案】(1) (2) 存在, (3) 点坐标为()或() , 8 如图, 抛物线与坐标轴相交于 、 、三点,是线段上一动点 (端点除外) , 过 作, 交于点 ,连接 直接写出 、 、 的坐标; 求抛物线的对称轴和顶点坐标; 求面积的最大值, 并判断当的面积取最大值时, 以、为邻边的平行四边形是否为菱形 【答案】 (1)、对称轴是直线

39、,顶点坐标是 (3)以、为 邻边的平行四边形不是菱形 9 (浙江省绍兴市元培中学)如图,直线与 轴、 轴分别交于 、 两点,抛物线经 过 、 两点,与 轴的另一个交点为 ,连接 (1)求抛物线的解析式及点 的坐标; (2)点 在抛物线上,连接 ,当 时,求点 的坐标; (3)点 从点 出发,沿线段由 向 运动,同时点 从点 出发,沿线段由 向 运动, 、 的运动速 度都是每秒 个单位长度,当 点到达 点时, 、 同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点 ,使 、 运动过程中的某一时刻,以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点 的坐标;若不存在, 说明理由 【答案】 (1)(2)

40、,或(3)或或 解得:或, , 设, 当时,如答图所示 , ,故点 满足条件 过点作轴于点 ,则, , , 直线的解析式为: 联立与, 得:, 解得:,学科*网 , ; , 直线的解析式为: 联立与得:, 解得:, , 综上所述,满足条件的点 的坐标为:或 则, 点与点 横坐标相差 个单位, ; 若以为菱形对角线,如答图此时,菱形边长 , ,点 为中点, 点与点 横坐标相差 个单位, ; 10(2018 年中考试题) 如图, 已知二次函数的图象经过点, 与 轴分别交于点 , 点. 点 是直线上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数的表达式; (2)连接,并把沿 轴翻折,得到四边形.若四边形为菱

41、形,请求出此时点 的坐标; (3)当点 运动到什么位置时,四边形的面积最大?求出此时 点的坐标和四边形的最大面积. 【答案】(1)该二次函数的表达式为; (2)点 P 的坐标为(, ) ; (3)P 点的坐标 为,四边形 ABPC 的面积的最大值为 (3)过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F, 设 P(m,) ,设直线 BC 的表达式为, 类型三类型三 矩形的存在性探究矩形的存在性探究 例 3: (海南省琼中县 2018 年中考数学二模试卷)如图,已知抛物线 y= x2+bx+c 与直线 AB:y=x+ 相 交于点 A(1,0)和 B(t, ) ,直线 AB

42、交 y 轴于点 C (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2)点 D 是 x 轴上的一个动点,连接 BD、CD,请问 BCD 的周长是否存在最小值?若存在,请求出点 D 的坐标,并求出周长最小值;若不存在,请说明理由 (3)设点 M 是抛物线对称轴上一点,点 N 在抛物线上,以点 A、B、M、N 为顶点的四边形是否可能为矩 形?若能,请求出点 M 的坐标,若不能,请说明理由 【答案】 (1)y= x2+x ,x=1; (2)5+2; (3)能为矩形,M(1,4) (2)直线 AB:y=- x+ 相交于点 C(0, ) , 作点 C 关于 x 轴的对称点 C,则 C(0,- ) , 连接 BC交

43、 x 轴于点 D,根据“两点之间线段最短”可得 BD+CD 的和最小, 从而BCD 的周长也最小,学科*网 B(4, ) ,C(0, ) , 直线 BC的解析式为 y= x 令 y=0,可得 x= , D( ,0) , 当BCD 的周长最小时,点 D 的坐标为( ,0) , 最小周长=BC+BC=+=5+2; (3) 针对训练针对训练 1 (山东省德州市第七中学 2019 届九年级数学)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 与 轴交于 , 两点 (点 在点 的左侧) , 经过点 的直线与 轴交于点 , 与抛物线的另一个交点为 ,且 直接写出点 的坐标,并求直线 的函数表达式(其中 , 用含 的式子

44、表示) ; 点 是直线 上方的抛物线上的一点,若的面积的最大值为 ,求 的值; 设 是抛物线对称轴上的一点,点 在抛物线上,以点 , , , 为顶点的四边形能否成为矩形?若能, 求出点 的坐标;若不能,请说明理由 来源:学科网 ZXXK 【答案】 (1)A(1,0) ,; (2)a= ; (3) 点的坐标为, (2)过 E 作 EFy 轴交直线 l 于 F,设 E(x,ax22ax3a) ,则 F(x,ax+a) ,EF=ax22ax3aax a=ax23ax4a,S ACE =S AFE S CEF = (ax23ax4a) (x+1) (ax23ax4a)x= (ax23ax4a) = a

45、(x )2a,ACE 的面积的最大值=a学*科网 ACE 的面积的最大值为 ,a= ,解得:a= ; (3)以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形,令 ax22ax3a=ax+a,即 ax23ax4a=0,解得: x1=1,x2=4,D(4,5a) 抛物线的对称轴为直线 x=1,设 P(1,m) ,分两种情况讨论: 若 AD 是矩形 APDQ 的对角线,则易得 Q(2,3a) ,m=5a(3a)=8a,则 P(1,8a) 四边形 APDQ 是矩形,APD=90 ,AP2+PD2=AD2,(11)2+(8a)2+(14)2+(8a5a) 2=52+(5a)2,即 a2= 学科*网 a0,

46、a= ,P(1,4) 综上所述:点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形,点 P(1,)或(1,4) 2.(2018 年山西省太原市中考数学一模试卷)如图 1,抛物线 y=x2+x+与 x 轴分别交于 A、B 两 点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于 C 点经过点 A 的直线 l 与 y 轴交于点 D(0,) (1)求 A、B 两点的坐标及直线 l 的表达式; (2)如图 2,直线 l 从图中的位置出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动,运动中直线 l 与 x 轴 交于点 E,与 y 轴交于点 F,点 A 关于直线 l 的对称点为 A,连接 FA、BA,设直线 l 的运动时间为 t(t 0)秒探究下列问题: 请直接写出 A的坐标(用含字母 t 的式子表示) ; 当点 A落在抛物线上时,求直线 l 的运动时间 t 的值,判断此时四边形 ABEF 的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,探究:在直线 l 的运动过程中,坐标平面内是否存在点 P,使得以 P,A,B,E 为 顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y=x; (2)见解析(3)存在 (2)作 AHx 轴于 H,如图, OA=1,OD=