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2019年广东省深圳市中考数学试卷(含详细解答)

1、预计到 2025 年,中国 5G 用户将超过 460000000,将 460000000 用科学记数法表 示为( ) A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 4 (3 分)下列哪个图形是正方体的展开图( ) A B C D 5 (3 分)这组数据 20,21,22,23,23 的中位数和众数分别是( ) A20,23 B21,23 C21,22 D22,23 6 (3 分)下列运算正确的是( ) Aa2+a2a4 Ba3a4a12 C (a3)4a12 D (ab)2ab2 7 (3 分)如图,已知 l1AB,AC 为角平分线,下列说法错误的是( ) A14 B15 C

2、23 D13 第 2 页(共 24 页) 8 (3 分)如图,已知 ABAC,AB5,BC3,以 A,B 两点为圆心,大于AB 的长为 半径画圆弧, 两弧相交于点 M, N, 连接 MN 与 AC 相交于点 D, 则BDC 的周长为 ( ) A8 B10 C11 D13 9 (3 分)已知 yax2+bx+c(a0)的图象如图,则 yax+b 和 y的图象为( ) A B C D 10 (3 分)下面命题正确的是( ) A矩形对角线互相垂直 B方程 x214x 的解为 x14 C六边形内角和为 540 D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 11 (3 分)定义一种新运算nxn 1

3、dxanbn,例如 2xdxk2n2,若x 2dx 2,则 m( ) 第 3 页(共 24 页) A2 B C2 D 12 (3 分)已知菱形 ABCD,E、F 是动点,边长为 4,BEAF,BAD120,则下列 结论正确的有几个( ) BECAFC; ECF 为等边三角形; AGEAFC; 若 AF1,则 A1 B2 C3 D4 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 4 小题,满分小题,满分 12 分)分) 13 (3 分)分解因式:ab2a 14 (3 分)现有 8 张同样的卡片,分别标有数字:1,1,2,2,2,3,4,5,将这些卡片 放在一个不透明的盒子里,搅匀后从中

4、随机地抽出一张,抽到标有数字 2 的卡片的概率 是 15 (3 分)如图,在正方形 ABCD 中,BE1,将 BC 沿 CE 翻折,使 B 点对应点刚好落在 对角线 AC 上, 将 AD 沿 AF 翻折, 使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上, 求 EF 16 (3 分)如图,在 RtABC 中,ABC90,C(0,3) ,CD3AD,点 A 在反比例 函数 y图象上,且 y 轴平分ACB,求 k 第 4 页(共 24 页) 三、解答题(第三、解答题(第 17 题题 5 分,第分,第 18 题题 6 分,第分,第 19 题题 7 分,第分,第 20 题题 8 分,第分,第 21 题题 8

5、分,第分,第 22 题题 9 分,第分,第 23 题题 9 分,满分分,满分 52 分)分) 17 (5 分)计算:2cos60+() 1+(3.14)0 18 (6 分)先化简(1),再将 x1 代入求值 19 (7 分)某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况,随机抽取了本校的部分学生进 行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器) ,现将收集到的数据绘制成如下两 幅不完整的统计图 (1)这次共抽取 名学生进行调查,扇形统计图中的 x ; (2)请补全统计图; (3)在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度; (4)若该校有 3000 名学生,请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名

6、 20 (8 分)如图所示,某施工队要测量隧道长度 BC,AD600 米,ADBC,施工队站在 点 D 处看向 B,测得仰角为 45,再由 D 走到 E 处测量,DEAC,ED500 米,测得 C 处的仰角为 53,求隧道 BC 长 (sin53,cos53,tan53) 21 (8 分)有 A、B 两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A 发电厂比 B 发电厂多发 40 度电,A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电 (1)求焚烧 1 吨垃圾,A 和 B 各发电多少度? 第 5 页(共 24 页) (2)A、B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾,A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧

7、的垃圾两倍,求 A 厂和 B 厂总发电量的最大值 22 (9 分)如图抛物线 yax2+bx+c 经过点 A(1,0) ,点 C(0,3) ,且 OBOC (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2) 点 D、 E 在直线 x1 上的两个动点, 且 DE1, 点 D 在点 E 的上方, 求四边形 ACDE 的周长的最小值 (3)点 P 为抛物线上一点,连接 CP,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分, 求点 P 的坐标 23 (9 分)已知在平面直角坐标系中,点 A(3,0) ,B(3,0) ,C(3,8) ,以线段 BC 为直径作圆,圆心为 E,直线 AC 交E 于点 D

8、,连接 OD (1)求证:直线 OD 是E 的切线; (2)点 F 为 x 轴上任意一动点,连接 CF 交E 于点 G,连接 BG; 当 tanACF时,求所有 F 点的坐标 (直接写出) ; 求的最大值 第 6 页(共 24 页) 2019 年广东省深圳市中考数学试卷年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 12 小题,满分小题,满分 36 分)分) 1 (3 分)的绝对值是( ) A5 B C5 D 【分析】绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0 的绝对值是 0 【解答】解:

9、根据负数的绝对值是它的相反数,得|, 故选:B 【点评】本题考查了绝对值的定义,解题的关键是掌握绝对值的性质 2 (3 分)下列图形中是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项错误 故选:A 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分 折叠后可重合 3 (3 分)预计到 2025 年,中国 5G 用户将超过 460000000,将 460000000 用科学记数法表

10、 示为( ) A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时,n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数 第 7 页(共 24 页) 【解答】解:将 460000000 用科学记数法表示为 4.6108 故选:C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其 中 1|a|10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 (3 分)下

11、列哪个图形是正方体的展开图( ) A B C D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 【解答】解:根据正方体展开图的特征,选项 A、C、D 不是正方体展开图;选项 B 是正 方体展开图 故选:B 【点评】此题主要考查了正方体的展开图,正方体展开图有 11 种特征,分四种类型,即: 第一种: “141”结构,即第一行放 1 个,第二行放 4 个,第三行放 1 个;第二种: “2 22”结构,即每一行放 2 个正方形,此种结构只有一种展开图;第三种: “33”结 构,即每一行放 3 个正方形,只有一种展开图;第四种: “132”结构,即第一行放 1 个正方形,第二行放 3 个

12、正方形,第三行放 2 个正方形 5 (3 分)这组数据 20,21,22,23,23 的中位数和众数分别是( ) A20,23 B21,23 C21,22 D22,23 【分析】将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数, 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数 【解答】解:这组数据排序后为 20,21,22,23,23, 中位数和众数分别是 22,23, 故选:D 【点评】本题主要考查了中位数以及众数,中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据 的移动对中位数没有影响, 中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现 6 (3

13、 分)下列运算正确的是( ) 第 8 页(共 24 页) Aa2+a2a4 Ba3a4a12 C (a3)4a12 D (ab)2ab2 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方化简即 可判断 【解答】解:Aa2+a22a2,故选项 A 不合题意; Ba3a4a7,故选项 B 不合题意; C (a3)4a12,故选项 C 符合题意; D (ab)2a2b2,故选项 D 不合题意 故选:C 【点评】本题主要考查了幂的运算法则,熟练掌握法则是解答本题的关键 7 (3 分)如图,已知 l1AB,AC 为角平分线,下列说法错误的是( ) A14 B15 C23 D13 【

14、分析】利用平行线的性质得到24,32,51+2,再根据角平分线 的定义得到1243,521,从而可对各选项进行判断 【解答】解:l1AB, 24,32,51+2, AC 为角平分线, 1243,521 故选:B 【点评】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角 互补;两直线平行,内错角相等 8 (3 分)如图,已知 ABAC,AB5,BC3,以 A,B 两点为圆心,大于AB 的长为 半径画圆弧, 两弧相交于点 M, N, 连接 MN 与 AC 相交于点 D, 则BDC 的周长为 ( ) 第 9 页(共 24 页) A8 B10 C11 D13 【分析】 利用基本作图

15、得到 MN 垂直平分 AB, 利用线段垂直平分线的定义得到 DADB, 然后利用等线段代换得到BDC 的周长AC+BC 【解答】解:由作法得 MN 垂直平分 AB, DADB, BDC 的周长DB+DC+BCDA+DC+BCAC+BC5+38 故选:A 【点评】本题考查了作图基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段; 作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知 直线的垂线) 也考查了线段垂直平分线的性质 9 (3 分)已知 yax2+bx+c(a0)的图象如图,则 yax+b 和 y的图象为( ) A B C D 【分析】根据二次函数 yax2+bx

16、+c(a0)的图象可以得到 a0,b0,c0,由此可 第 10 页(共 24 页) 以判定 yax+b 经过一、二、四象限,双曲线 y在二、四象限 【解答】解:根据二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象, 可得 a0,b0,c0, yax+b 过一、二、四象限, 双曲线 y在二、四象限, C 是正确的 故选:C 【点评】此题考查一次函数,二次函数,反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关 系 10 (3 分)下面命题正确的是( ) A矩形对角线互相垂直 B方程 x214x 的解为 x14 C六边形内角和为 540 D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【分析】由矩形的对角线互

17、相平分且相等得出选项 A 不正确; 由方程 x214x 的解为 x14 或 x0 得出选项 B 不正确; 由六边形内角和为(62)180720得出选项 C 不正确; 由直角三角形全等的判定方法得出选项 D 正确;即可得出结论 【解答】解:A矩形对角线互相垂直,不正确; B方程 x214x 的解为 x14,不正确; C六边形内角和为 540,不正确; D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,正确; 故选:D 【点评】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、 直角三角形全等的判定;要熟练掌握 11 (3 分)定义一种新运算nxn 1dxanbn,例如 2xd

18、xk2n2,若x 2dx 2,则 m( ) A2 B C2 D 第 11 页(共 24 页) 【分析】根据新运算列等式为 m 1(5m)12,解出即可 【解答】解:由题意得:m 1(5m)12, 2, 5110m, m, 经检验:m是方程2 的解; 故选:B 【点评】本题考查了负整数指数幂和新定义,理解新定义,并根据新定义进行计算是本 题的关键 12 (3 分)已知菱形 ABCD,E、F 是动点,边长为 4,BEAF,BAD120,则下列 结论正确的有几个( ) BECAFC; ECF 为等边三角形; AGEAFC; 若 AF1,则 A1 B2 C3 D4 【分析】BECAFC (SAS) ,

19、正确;由BECAFC,得 CECF,BCE ACF,由BCE+ECABCA60,得ACF+ECA60,所以CEF 是等边 三角形,正确;因为AGECAF+AFG60+AFG,AFCCFG+AFG 60+AFG,所以AGEAFC,故正确;过点 E 作 EMBC 交 AC 下点 M 点,易证AEM 是等边三角形,则 EMAE3,由 AFEM,则故正 确, 【解答】解:BECAFC (SAS) ,正确; BECAFC, CECF,BCEACF, BCE+ECABCA60, 第 12 页(共 24 页) ACF+ECA60, CEF 是等边三角形, 故正确; AGECAF+AFG60+AFG; AFC

20、CFG+AFG60+AFG, AGEAFC, 故正确正确; 过点 E 作 EMBC 交 AC 于点 M, 易证AEM 是等边三角形,则 EMAE3, AFEM, 则 故正确, 故都正确 故选:D 【点评】本题考查了菱形的性质,熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角 形的判定与性质是解题的关键 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 3 分,共分,共 4 小题,满分小题,满分 12 分)分) 13 (3 分)分解因式:ab2a a(b+1) (b1) 【分析】原式提取 a,再利用平方差公式分解即可 【解答】解:原式a(b21)a(b+1) (b1) , 故答案为:a(b+1) (b1) 【

21、点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 14 (3 分)现有 8 张同样的卡片,分别标有数字:1,1,2,2,2,3,4,5,将这些卡片 放在一个不透明的盒子里,搅匀后从中随机地抽出一张,抽到标有数字 2 的卡片的概率 第 13 页(共 24 页) 是 【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案 【解答】解:现有 8 张同样的卡片,分别标有数字:1,1,2,2,2,3,4,5, 将这些卡片放在一个不透明的盒子里,搅匀后从中随机地抽出一张,抽到标有数字 2 的卡片的概率是: 故答案为: 【点评】此题主要考查了概率公式,正确掌握计算公式是解题关键 15

22、(3 分)如图,在正方形 ABCD 中,BE1,将 BC 沿 CE 翻折,使 B 点对应点刚好落在 对角线 AC 上, 将 AD 沿 AF 翻折, 使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上, 求 EF 【分析】作 FMAB 于点 M根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出 EXEB AX1,EXCB90,AMDFYF1,由勾股定理得到 AE 那么正方形的边长 ABFM+1, EM1, 然后利用勾股定理即可求出 EF 【解答】解:如图,作 FMAB 于点 M 四边形 ABCD 是正方形, BACCAD45 将 BC 沿 CE 翻折,B 点对应点刚好落在对角线 AC 上的点 X, EXEBAX1,

23、EXCB90, AE 将 AD 沿 AF 翻折,使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上的点 Y, AMDFYF1, 正方形的边长 ABFM+1,EM1, EF 故答案为 第 14 页(共 24 页) 【点评】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形 的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等也考查了正方形的性质以及勾股 定理求出 EM 与 FM 是解题的关键 16 (3 分)如图,在 RtABC 中,ABC90,C(0,3) ,CD3AD,点 A 在反比例 函数 y图象上,且 y 轴平分ACB,求 k 【分析】要求 k 的值,通常可求 A 的坐标,可作 x 轴

24、的垂线,构造相似三角形,利用 CD 3AD 和 C(0,3)可以求出 A 的纵坐标,再利用三角形相似,设未知数,由相似三 角形对应边成比例,列出方程,求出待定未知数,从而确定点 A 的坐标,进而确定 k 的 值 【解答】解:过 A 作 AEx 轴,垂足为 E, C(0,3) , OC3, AEDCOD90,ADECDO ADECDO, , AE1; 又y 轴平分ACB,COBD, BOOD, ABC90, 第 15 页(共 24 页) OCDDAEABE, ABEDCO, 设 DEn,则 BOOD3n,BE7n, , n OE4n A(,1) k 故答案为: 【点评】本题考查反比例函数图象上点

25、的坐标特征,综合利用相似三角形的性质,全等 三角形的性质求 A 的坐标, 依据 A 在反比例函数的图象上的点, 根据坐标求出 k 的值 综 合性较强,注意转化思想方法的应用 三、解答题(第三、解答题(第 17 题题 5 分,第分,第 18 题题 6 分,第分,第 19 题题 7 分,第分,第 20 题题 8 分,第分,第 21 题题 8 分,第分,第 22 题题 9 分,第分,第 23 题题 9 分,满分分,满分 52 分)分) 17 (5 分)计算:2cos60+() 1+(3.14)0 【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂和特殊角的三角 函数值的性质分别化简得出答

26、案 【解答】解:原式32+8+1 31+8+1 11 第 16 页(共 24 页) 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键 18 (6 分)先化简(1),再将 x1 代入求值 【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案 【解答】解:原式 x+2, 将 x1 代入得: 原式x+21 【点评】此题主要考查了分式的化简求值,正确掌握分式的混合运算法则是解题关键 19 (7 分)某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况,随机抽取了本校的部分学生进 行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器) ,现将收集到的数据绘制成如下两 幅不完整的统计图 (1)这次共抽取 200 名学生

27、进行调查,扇形统计图中的 x 15% ; (2)请补全统计图; (3)在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 36 度; (4)若该校有 3000 名学生,请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 900 名 【分析】 (1)依据喜爱古筝的人数数据,即可得到调查的学生人数,根据喜欢竹笛的学 生数占总人数的百分比即可得到结论; (2)求二胡的学生数,即可将条形统计图补充完整; (3)依据“扬琴”的百分比,即可得到“扬琴”所占圆心角的度数; (4)依据喜爱“二胡”的学生所占的百分比,即可得到该校最喜爱“二胡”的学生数量 【解答】解: (1)8040%200,x100%15%, 故答案为:200;15%

28、; 第 17 页(共 24 页) (2)喜欢二胡的学生数为 2008030201060, 补全统计图如图所示, (3)扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是:36036, 故答案为:36; (4)3000900, 答:该校喜爱“二胡”的学生约有有 900 名 故答案为:900 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确 题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合思想解答 20 (8 分)如图所示,某施工队要测量隧道长度 BC,AD600 米,ADBC,施工队站在 点 D 处看向 B,测得仰角为 45,再由 D 走到 E 处测量,DEAC,ED500 米,测得

29、C 处的仰角为 53,求隧道 BC 长 (sin53,cos53,tan53) 【分析】作 CMDE 于 M,解直角三角形即可得到结论 【解答】解:在 RtABD 中,ABAD600, 作 CMDE 于 M, 则 CMAD600, 第 18 页(共 24 页) BM100, 在 RtCEM 中,tan53, EM450, ACEM+DE950(米) ,BCACAB350(米) , 答:隧道 BC 长为 350 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,熟知锐角三角函数的定义是 解答此题的关键 21 (8 分)有 A、B 两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A 发电厂比 B 发电厂多发 40

30、 度电,A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电 (1)求焚烧 1 吨垃圾,A 和 B 各发电多少度? (2)A、B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾,A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧的垃圾两倍,求 A 厂和 B 厂总发电量的最大值 【分析】 (1)设焚烧 1 吨垃圾,A 发电厂发电 x 度,B 发电厂发电 y 度,根据“每焚烧一 吨垃圾, A 发电厂比 B 发电厂多发 40 度电, A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电”列方程组解答即可; (2)设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾,则 B 发电厂焚烧(90x)吨垃圾,总发电量为 y 度, 得出

31、 y 与 x 之间的函数关系式以及 x 的取值范围,再根据一次函数的性质解答即可 【解答】解: (1)设焚烧 1 吨垃圾,A 发电厂发电 a 度,B 发电厂发电 b 度,根据题意得: ,解得, 答:焚烧 1 吨垃圾,A 发电厂发电 300 度,B 发电厂发电 260 度; (2)设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾,则 B 发电厂焚烧(90x)吨垃圾,总发电量为 y 度, 则 y300x+260(90x)40x+23400, x2(90x) , 第 19 页(共 24 页) x60, y 随 x 的增大而增大, 当 x60 时,y 有最大值为:4060+2340025800(度) 答:A 厂和 B

32、厂总发电量的最大是 25800 度 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用,理清数量关系列 出方程组是解答本题的关键 22 (9 分)如图抛物线 yax2+bx+c 经过点 A(1,0) ,点 C(0,3) ,且 OBOC (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2) 点 D、 E 在直线 x1 上的两个动点, 且 DE1, 点 D 在点 E 的上方, 求四边形 ACDE 的周长的最小值 (3)点 P 为抛物线上一点,连接 CP,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分, 求点 P 的坐标 【分析】 (1)OBOC,则点 B(3,0) ,则抛物线的表达式为

33、:ya(x+1) (x3)a (x22x3)ax22ax3a,即可求解; (2)CD+AEAD+DC,则当 A、D、C三点共线时,CD+AEAD+DC最小, 周长也最小,即可求解; (3)SPCB:SPCAEB(yCyP) :AE(yCyP)BE:AE,即可求解 【解答】解: (1)OBOC,点 B(3,0) , 则抛物线的表达式为:ya(x+1) (x3)a(x22x3)ax22ax3a, 故3a3,解得:a1, 故抛物线的表达式为:yx2+2x+3, 函数的对称轴为:x1; (2)ACDE 的周长AC+DE+CD+AE,其中 AC、DE1 是常数, 故 CD+AE 最小时,周长最小, 取点

34、 C 关于函数对称点 C(2,3) ,则 CDCD, 第 20 页(共 24 页) 取点 A(1,1) ,则 ADAE, 故:CD+AEAD+DC,则当 A、D、C三点共线时,CD+AEAD+DC最小, 周长也最小, 四边形 ACDE 的周长的最小值AC+DE+CD+AE+AD+DC+A C+; (3)如图,设直线 CP 交 x 轴于点 E, 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分, 又SPCB:SPCAEB(yCyP) :AE(yCyP)BE:AE, 则 BE:AE,3:5 或 5:3, 则 AE或, 即:点 E 的坐标为(,0)或(,0) , 将点 E、C 的坐标代入一

35、次函数表达式:ykx+3, 解得:k6 或2, 故直线 CP 的表达式为:y2x+3 或 y6x+3 联立并解得:x4 或 8(不合题意值已舍去) , 故点 P 的坐标为(4,5)或(8,45) 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称 性等,其中(1) ,通过确定点 A点来求最小值,是本题的难点 23 (9 分)已知在平面直角坐标系中,点 A(3,0) ,B(3,0) ,C(3,8) ,以线段 第 21 页(共 24 页) BC 为直径作圆,圆心为 E,直线 AC 交E 于点 D,连接 OD (1)求证:直线 OD 是E 的切线; (2)点 F 为 x 轴

36、上任意一动点,连接 CF 交E 于点 G,连接 BG; 当 tanACF时,求所有 F 点的坐标 ,F2(5,0) (直接写出) ; 求的最大值 【分析】 (1)连接 ED,证明EDO90即可,可通过半径相等得到EDBEBD, 根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得 DOBOAO,ODBOBD,得证; (2)分两种情况:a)F 位于线段 AB 上,b)F 位于 BA 的延长线上;过 F 作 AC 的 垂线,构造相似三角形,应用相似三角形性质可求得点 F 坐标; 应用相似三角形性质和三角函数值表示出,令 yCG2(64 CG2)(CG232)2+322,应用二次函数最值可得到结论 【解答】解:

37、(1)证明:如图 1,连接 DE,BC 为圆的直径, BDC90, BDA90 OAOB ODOBOA OBDODB EBED EBDEDB EBD+OBDEDB+ODB 第 22 页(共 24 页) 即:EBOEDO CBx 轴 EBO90 EDO90 点 D 在E 上 直线 OD 为E 的切线 (2)如图 2,当 F 位于 AB 上时,过 F 作 F1NAC 于 N, F1NAC ANF1ABC90 ANFABC AB6,BC8, AC10,即 AB:BC:AC6:8:103:4:5 设 AN3k,则 NF14k,AF15k CNCAAN103k tanACF,解得:k 即 F1(,0)

38、如图 3,当 F 位于 BA 的延长线上时,过 F2作 F2MCA 于 M, AMF2ABC 设 AM3k,则 MF24k,AF25k CMCA+AM10+3k tanACF 解得: AF25k2 OF23+25 第 23 页(共 24 页) 即 F2(5,0) 故答案为:F1(,0) ,F2(5,0) 方法 1:如图 4,过 G 作 GHBC 于 H, CB 为直径 CGBCBF90 CBGCFB BC2CGCF 当 H 为 BC 中点,即 GHBC 时,的最大值 方法 2:设BCG,则 sin,cos, sincos (sincos)20,即:sin2+cos22sincos sin2+cos21, sincos,即 的最大值 第 24 页(共 24 页) 【点评】本题是一道难度较大,综合性很强的有关圆的代数几何综合题,主要考查了圆 的性质,切线的性质和判定定理,直角三角形性质,相似三角形性质和判定,动点问题, 二次函数最值问题等,构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键