1、预计到 2025 年，中国 5G 用户将超过 460000000，将 460000000 用科学记数法表 示为（ ） A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 4 （3 分）下列哪个图形是正方体的展开图（ ） A B C D 5 （3 分）这组数据 20，21，22，23，23 的中位数和众数分别是（ ） A20，23 B21，23 C21，22 D22，23 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a2a4 Ba3a4a12 C （a3）4a12 D （ab）2ab2 7 （3 分）如图，已知 l1AB，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ） A14 B15 C
2、23 D13 第 2 页（共 24 页） 8 （3 分）如图，已知 ABAC，AB5，BC3，以 A，B 两点为圆心，大于AB 的长为 半径画圆弧， 两弧相交于点 M， N， 连接 MN 与 AC 相交于点 D， 则BDC 的周长为 （ ） A8 B10 C11 D13 9 （3 分）已知 yax2+bx+c（a0）的图象如图，则 yax+b 和 y的图象为（ ） A B C D 10 （3 分）下面命题正确的是（ ） A矩形对角线互相垂直 B方程 x214x 的解为 x14 C六边形内角和为 540 D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 11 （3 分）定义一种新运算nxn 1
3、dxanbn，例如 2xdxk2n2，若x 2dx 2，则 m（ ） 第 3 页（共 24 页） A2 B C2 D 12 （3 分）已知菱形 ABCD，E、F 是动点，边长为 4，BEAF，BAD120，则下列 结论正确的有几个（ ） BECAFC； ECF 为等边三角形； AGEAFC； 若 AF1，则 A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 12 分）分） 13 （3 分）分解因式：ab2a 14 （3 分）现有 8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片 放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中
4、随机地抽出一张，抽到标有数字 2 的卡片的概率 是 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，BE1，将 BC 沿 CE 翻折，使 B 点对应点刚好落在 对角线 AC 上， 将 AD 沿 AF 翻折， 使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上， 求 EF 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，C（0，3） ，CD3AD，点 A 在反比例 函数 y图象上，且 y 轴平分ACB，求 k 第 4 页（共 24 页） 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 5 分，第分，第 18 题题 6 分，第分，第 19 题题 7 分，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 8
5、分，第分，第 22 题题 9 分，第分，第 23 题题 9 分，满分分，满分 52 分）分） 17 （5 分）计算：2cos60+（） 1+（3.14）0 18 （6 分）先化简（1），再将 x1 代入求值 19 （7 分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进 行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器） ，现将收集到的数据绘制成如下两 幅不完整的统计图 （1）这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的 x ； （2）请补全统计图； （3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度； （4）若该校有 3000 名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名
6、 20 （8 分）如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD600 米，ADBC，施工队站在 点 D 处看向 B，测得仰角为 45，再由 D 走到 E 处测量，DEAC，ED500 米，测得 C 处的仰角为 53，求隧道 BC 长 （sin53，cos53，tan53） 21 （8 分）有 A、B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比 B 发电厂多发 40 度电，A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电 （1）求焚烧 1 吨垃圾，A 和 B 各发电多少度？ 第 5 页（共 24 页） （2）A、B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾，A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧
7、的垃圾两倍，求 A 厂和 B 厂总发电量的最大值 22 （9 分）如图抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，点 C（0，3） ，且 OBOC （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2） 点 D、 E 在直线 x1 上的两个动点， 且 DE1， 点 D 在点 E 的上方， 求四边形 ACDE 的周长的最小值 （3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5 两部分， 求点 P 的坐标 23 （9 分）已知在平面直角坐标系中，点 A（3，0） ，B（3，0） ，C（3，8） ，以线段 BC 为直径作圆，圆心为 E，直线 AC 交E 于点 D
8、，连接 OD （1）求证：直线 OD 是E 的切线； （2）点 F 为 x 轴上任意一动点，连接 CF 交E 于点 G，连接 BG； 当 tanACF时，求所有 F 点的坐标 （直接写出） ； 求的最大值 第 6 页（共 24 页） 2019 年广东省深圳市中考数学试卷年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 12 小题，满分小题，满分 36 分）分） 1 （3 分）的绝对值是（ ） A5 B C5 D 【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0 【解答】解：
9、根据负数的绝对值是它的相反数，得|， 故选：B 【点评】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的性质 2 （3 分）下列图形中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 3 （3 分）预计到 2025 年，中国 5G 用户将超过 460000000，将 460000000 用科学记数法表
10、 示为（ ） A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：将 460000000 用科学记数法表示为 4.6108 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）下
11、列哪个图形是正方体的展开图（ ） A B C D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项 A、C、D 不是正方体展开图；选项 B 是正 方体展开图 故选：B 【点评】此题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图有 11 种特征，分四种类型，即： 第一种： “141”结构，即第一行放 1 个，第二行放 4 个，第三行放 1 个；第二种： “2 22”结构，即每一行放 2 个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种： “33”结 构，即每一行放 3 个正方形，只有一种展开图；第四种： “132”结构，即第一行放 1 个正方形，第二行放 3 个
12、正方形，第三行放 2 个正方形 5 （3 分）这组数据 20，21，22，23，23 的中位数和众数分别是（ ） A20，23 B21，23 C21，22 D22，23 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数 【解答】解：这组数据排序后为 20，21，22，23，23， 中位数和众数分别是 22，23， 故选：D 【点评】本题主要考查了中位数以及众数，中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据 的移动对中位数没有影响， 中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现 6 （3
13、 分）下列运算正确的是（ ） 第 8 页（共 24 页） Aa2+a2a4 Ba3a4a12 C （a3）4a12 D （ab）2ab2 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方化简即 可判断 【解答】解：Aa2+a22a2，故选项 A 不合题意； Ba3a4a7，故选项 B 不合题意； C （a3）4a12，故选项 C 符合题意； D （ab）2a2b2，故选项 D 不合题意 故选：C 【点评】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键 7 （3 分）如图，已知 l1AB，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ） A14 B15 C23 D13 【
14、分析】利用平行线的性质得到24，32，51+2，再根据角平分线 的定义得到1243，521，从而可对各选项进行判断 【解答】解：l1AB， 24，32，51+2， AC 为角平分线， 1243，521 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角 互补；两直线平行，内错角相等 8 （3 分）如图，已知 ABAC，AB5，BC3，以 A，B 两点为圆心，大于AB 的长为 半径画圆弧， 两弧相交于点 M， N， 连接 MN 与 AC 相交于点 D， 则BDC 的周长为 （ ） 第 9 页（共 24 页） A8 B10 C11 D13 【分析】 利用基本作图
15、得到 MN 垂直平分 AB， 利用线段垂直平分线的定义得到 DADB， 然后利用等线段代换得到BDC 的周长AC+BC 【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 AB， DADB， BDC 的周长DB+DC+BCDA+DC+BCAC+BC5+38 故选：A 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线） 也考查了线段垂直平分线的性质 9 （3 分）已知 yax2+bx+c（a0）的图象如图，则 yax+b 和 y的图象为（ ） A B C D 【分析】根据二次函数 yax2+bx
16、+c（a0）的图象可以得到 a0，b0，c0，由此可 第 10 页（共 24 页） 以判定 yax+b 经过一、二、四象限，双曲线 y在二、四象限 【解答】解：根据二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象， 可得 a0，b0，c0， yax+b 过一、二、四象限， 双曲线 y在二、四象限， C 是正确的 故选：C 【点评】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关 系 10 （3 分）下面命题正确的是（ ） A矩形对角线互相垂直 B方程 x214x 的解为 x14 C六边形内角和为 540 D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【分析】由矩形的对角线互
17、相平分且相等得出选项 A 不正确； 由方程 x214x 的解为 x14 或 x0 得出选项 B 不正确； 由六边形内角和为（62）180720得出选项 C 不正确； 由直角三角形全等的判定方法得出选项 D 正确；即可得出结论 【解答】解：A矩形对角线互相垂直，不正确； B方程 x214x 的解为 x14，不正确； C六边形内角和为 540，不正确； D一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确； 故选：D 【点评】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、 直角三角形全等的判定；要熟练掌握 11 （3 分）定义一种新运算nxn 1dxanbn，例如 2xd
18、xk2n2，若x 2dx 2，则 m（ ） A2 B C2 D 第 11 页（共 24 页） 【分析】根据新运算列等式为 m 1（5m）12，解出即可 【解答】解：由题意得：m 1（5m）12， 2， 5110m， m， 经检验：m是方程2 的解； 故选：B 【点评】本题考查了负整数指数幂和新定义，理解新定义，并根据新定义进行计算是本 题的关键 12 （3 分）已知菱形 ABCD，E、F 是动点，边长为 4，BEAF，BAD120，则下列 结论正确的有几个（ ） BECAFC； ECF 为等边三角形； AGEAFC； 若 AF1，则 A1 B2 C3 D4 【分析】BECAFC （SAS） ，
19、正确；由BECAFC，得 CECF，BCE ACF，由BCE+ECABCA60，得ACF+ECA60，所以CEF 是等边 三角形，正确；因为AGECAF+AFG60+AFG，AFCCFG+AFG 60+AFG，所以AGEAFC，故正确；过点 E 作 EMBC 交 AC 下点 M 点，易证AEM 是等边三角形，则 EMAE3，由 AFEM，则故正 确， 【解答】解：BECAFC （SAS） ，正确； BECAFC， CECF，BCEACF， BCE+ECABCA60， 第 12 页（共 24 页） ACF+ECA60， CEF 是等边三角形， 故正确； AGECAF+AFG60+AFG； AFC
20、CFG+AFG60+AFG， AGEAFC， 故正确正确； 过点 E 作 EMBC 交 AC 于点 M， 易证AEM 是等边三角形，则 EMAE3， AFEM， 则 故正确， 故都正确 故选：D 【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角 形的判定与性质是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 12 分）分） 13 （3 分）分解因式：ab2a a（b+1） （b1） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（b21）a（b+1） （b1） ， 故答案为：a（b+1） （b1） 【
21、点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 14 （3 分）现有 8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片 放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字 2 的卡片的概率 第 13 页（共 24 页） 是 【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案 【解答】解：现有 8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5， 将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字 2 的卡片的概率是： 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握计算公式是解题关键 15
22、（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，BE1，将 BC 沿 CE 翻折，使 B 点对应点刚好落在 对角线 AC 上， 将 AD 沿 AF 翻折， 使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上， 求 EF 【分析】作 FMAB 于点 M根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出 EXEB AX1，EXCB90，AMDFYF1，由勾股定理得到 AE 那么正方形的边长 ABFM+1， EM1， 然后利用勾股定理即可求出 EF 【解答】解：如图，作 FMAB 于点 M 四边形 ABCD 是正方形， BACCAD45 将 BC 沿 CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线 AC 上的点 X， EXEBAX1，
23、EXCB90， AE 将 AD 沿 AF 翻折，使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上的点 Y， AMDFYF1， 正方形的边长 ABFM+1，EM1， EF 故答案为 第 14 页（共 24 页） 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了正方形的性质以及勾股 定理求出 EM 与 FM 是解题的关键 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，C（0，3） ，CD3AD，点 A 在反比例 函数 y图象上，且 y 轴平分ACB，求 k 【分析】要求 k 的值，通常可求 A 的坐标，可作 x 轴
24、的垂线，构造相似三角形，利用 CD 3AD 和 C（0，3）可以求出 A 的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三 角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点 A 的坐标，进而确定 k 的 值 【解答】解：过 A 作 AEx 轴，垂足为 E， C（0，3） ， OC3， AEDCOD90，ADECDO ADECDO， ， AE1； 又y 轴平分ACB，COBD， BOOD， ABC90， 第 15 页（共 24 页） OCDDAEABE， ABEDCO， 设 DEn，则 BOOD3n，BE7n， ， n OE4n A（，1） k 故答案为： 【点评】本题考查反比例函数图象上点
25、的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等 三角形的性质求 A 的坐标， 依据 A 在反比例函数的图象上的点， 根据坐标求出 k 的值 综 合性较强，注意转化思想方法的应用 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 5 分，第分，第 18 题题 6 分，第分，第 19 题题 7 分，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 8 分，第分，第 22 题题 9 分，第分，第 23 题题 9 分，满分分，满分 52 分）分） 17 （5 分）计算：2cos60+（） 1+（3.14）0 【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂和特殊角的三角 函数值的性质分别化简得出答
26、案 【解答】解：原式32+8+1 31+8+1 11 第 16 页（共 24 页） 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （6 分）先化简（1），再将 x1 代入求值 【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案 【解答】解：原式 x+2， 将 x1 代入得： 原式x+21 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键 19 （7 分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进 行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器） ，现将收集到的数据绘制成如下两 幅不完整的统计图 （1）这次共抽取 200 名学生
27、进行调查，扇形统计图中的 x 15% ； （2）请补全统计图； （3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 36 度； （4）若该校有 3000 名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 900 名 【分析】 （1）依据喜爱古筝的人数数据，即可得到调查的学生人数，根据喜欢竹笛的学 生数占总人数的百分比即可得到结论； （2）求二胡的学生数，即可将条形统计图补充完整； （3）依据“扬琴”的百分比，即可得到“扬琴”所占圆心角的度数； （4）依据喜爱“二胡”的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱“二胡”的学生数量 【解答】解： （1）8040%200，x100%15%， 故答案为：200；15%
28、； 第 17 页（共 24 页） （2）喜欢二胡的学生数为 2008030201060， 补全统计图如图所示， （3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：36036， 故答案为：36； （4）3000900， 答：该校喜爱“二胡”的学生约有有 900 名 故答案为：900 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答 20 （8 分）如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD600 米，ADBC，施工队站在 点 D 处看向 B，测得仰角为 45，再由 D 走到 E 处测量，DEAC，ED500 米，测得
29、C 处的仰角为 53，求隧道 BC 长 （sin53，cos53，tan53） 【分析】作 CMDE 于 M，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：在 RtABD 中，ABAD600， 作 CMDE 于 M， 则 CMAD600， 第 18 页（共 24 页） BM100， 在 RtCEM 中，tan53， EM450， ACEM+DE950（米） ，BCACAB350（米） ， 答：隧道 BC 长为 350 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是 解答此题的关键 21 （8 分）有 A、B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比 B 发电厂多发 40
30、 度电，A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电 （1）求焚烧 1 吨垃圾，A 和 B 各发电多少度？ （2）A、B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾，A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧的垃圾两倍，求 A 厂和 B 厂总发电量的最大值 【分析】 （1）设焚烧 1 吨垃圾，A 发电厂发电 x 度，B 发电厂发电 y 度，根据“每焚烧一 吨垃圾， A 发电厂比 B 发电厂多发 40 度电， A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电”列方程组解答即可； （2）设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾，则 B 发电厂焚烧（90x）吨垃圾，总发电量为 y 度， 得出
31、 y 与 x 之间的函数关系式以及 x 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可 【解答】解： （1）设焚烧 1 吨垃圾，A 发电厂发电 a 度，B 发电厂发电 b 度，根据题意得： ，解得， 答：焚烧 1 吨垃圾，A 发电厂发电 300 度，B 发电厂发电 260 度； （2）设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾，则 B 发电厂焚烧（90x）吨垃圾，总发电量为 y 度， 则 y300x+260（90x）40x+23400， x2（90x） ， 第 19 页（共 24 页） x60， y 随 x 的增大而增大， 当 x60 时，y 有最大值为：4060+2340025800（度） 答：A 厂和 B
32、厂总发电量的最大是 25800 度 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，理清数量关系列 出方程组是解答本题的关键 22 （9 分）如图抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，点 C（0，3） ，且 OBOC （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2） 点 D、 E 在直线 x1 上的两个动点， 且 DE1， 点 D 在点 E 的上方， 求四边形 ACDE 的周长的最小值 （3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5 两部分， 求点 P 的坐标 【分析】 （1）OBOC，则点 B（3，0） ，则抛物线的表达式为
33、：ya（x+1） （x3）a （x22x3）ax22ax3a，即可求解； （2）CD+AEAD+DC，则当 A、D、C三点共线时，CD+AEAD+DC最小， 周长也最小，即可求解； （3）SPCB：SPCAEB（yCyP） ：AE（yCyP）BE：AE，即可求解 【解答】解： （1）OBOC，点 B（3，0） ， 则抛物线的表达式为：ya（x+1） （x3）a（x22x3）ax22ax3a， 故3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3， 函数的对称轴为：x1； （2）ACDE 的周长AC+DE+CD+AE，其中 AC、DE1 是常数， 故 CD+AE 最小时，周长最小， 取点
34、 C 关于函数对称点 C（2，3） ，则 CDCD， 第 20 页（共 24 页） 取点 A（1，1） ，则 ADAE， 故：CD+AEAD+DC，则当 A、D、C三点共线时，CD+AEAD+DC最小， 周长也最小， 四边形 ACDE 的周长的最小值AC+DE+CD+AE+AD+DC+A C+； （3）如图，设直线 CP 交 x 轴于点 E， 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5 两部分， 又SPCB：SPCAEB（yCyP） ：AE（yCyP）BE：AE， 则 BE：AE，3：5 或 5：3， 则 AE或， 即：点 E 的坐标为（，0）或（，0） ， 将点 E、C 的坐标代入一
35、次函数表达式：ykx+3， 解得：k6 或2， 故直线 CP 的表达式为：y2x+3 或 y6x+3 联立并解得：x4 或 8（不合题意值已舍去） ， 故点 P 的坐标为（4，5）或（8，45） 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称 性等，其中（1） ，通过确定点 A点来求最小值，是本题的难点 23 （9 分）已知在平面直角坐标系中，点 A（3，0） ，B（3，0） ，C（3，8） ，以线段 第 21 页（共 24 页） BC 为直径作圆，圆心为 E，直线 AC 交E 于点 D，连接 OD （1）求证：直线 OD 是E 的切线； （2）点 F 为 x 轴
36、上任意一动点，连接 CF 交E 于点 G，连接 BG； 当 tanACF时，求所有 F 点的坐标 ，F2（5，0） （直接写出） ； 求的最大值 【分析】 （1）连接 ED，证明EDO90即可，可通过半径相等得到EDBEBD， 根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得 DOBOAO，ODBOBD，得证； （2）分两种情况：a）F 位于线段 AB 上，b）F 位于 BA 的延长线上；过 F 作 AC 的 垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点 F 坐标； 应用相似三角形性质和三角函数值表示出，令 yCG2（64 CG2）（CG232）2+322，应用二次函数最值可得到结论 【解答】解：
37、（1）证明：如图 1，连接 DE，BC 为圆的直径， BDC90， BDA90 OAOB ODOBOA OBDODB EBED EBDEDB EBD+OBDEDB+ODB 第 22 页（共 24 页） 即：EBOEDO CBx 轴 EBO90 EDO90 点 D 在E 上 直线 OD 为E 的切线 （2）如图 2，当 F 位于 AB 上时，过 F 作 F1NAC 于 N， F1NAC ANF1ABC90 ANFABC AB6，BC8， AC10，即 AB：BC：AC6：8：103：4：5 设 AN3k，则 NF14k，AF15k CNCAAN103k tanACF，解得：k 即 F1（，0）
38、如图 3，当 F 位于 BA 的延长线上时，过 F2作 F2MCA 于 M， AMF2ABC 设 AM3k，则 MF24k，AF25k CMCA+AM10+3k tanACF 解得： AF25k2 OF23+25 第 23 页（共 24 页） 即 F2（5，0） 故答案为：F1（，0） ，F2（5，0） 方法 1：如图 4，过 G 作 GHBC 于 H， CB 为直径 CGBCBF90 CBGCFB BC2CGCF 当 H 为 BC 中点，即 GHBC 时，的最大值 方法 2：设BCG，则 sin，cos， sincos （sincos）20，即：sin2+cos22sincos sin2+cos21， sincos，即 的最大值 第 24 页（共 24 页） 【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆 的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题， 二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键