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2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ卷)含详细解答

1、已知集合 A1,2,3,5,7,11,Bx|3x15,则 AB 中元素的个数为 ( ) A2 B3 C4 D5 2 (5 分)若 (1+i)1i,则 z( ) A1i B1+i Ci Di 3 (5 分)设一组样本数据 x1,x2,xn的方差为 0.01,则数据 10x1,10x2,10xn的 方差为( ) A0.01 B0.1 C1 D10 4 (5 分)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域有学者根据公布数 据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t) (t 的单位:天)的 Logistic 模型:I(t) ,其中 K 为最大确诊病例数当 I(t*)0.95K 时

2、,标志着已初步遏 制疫情,则 t*约为( ) (ln193) A60 B63 C66 D69 5 (5 分)已知 sin+sin()1,则 sin()( ) A B C D 6 (5 分)在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点若1,则点 C 的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D直线 7 (5 分)设 O 为坐标原点,直线 x2 与抛物线 C:y22px(p0)交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为( ) A (,0) B (,0) C (1,0) D (2,0) 8 (5 分)点(0,1)到直线 yk(x+1)距离的最大值为( ) A1 B C D2 9 (5 分)如图

3、为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) 第 2 页(共 20 页) A6+4 B4+4 C6+2 D4+2 10 (5 分)设 alog32,blog53,c,则( ) Aacb Babc Cbca Dcab 11 (5 分)在ABC 中,cosC,AC4,BC3,则 tanB( ) A B2 C4 D8 12 (5 分)已知函数 f(x)sinx+,则( ) Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)的图象关于直线 x 对称 Df(x)的图象关于直线 x对称 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分

4、。 13 (5 分)若 x,y 满足约束条件则 z3x+2y 的最大值为 14 (5 分)设双曲线 C:1(a0,b0)的一条渐近线为 yx,则 C 的离 心率为 15 (5 分)设函数 f(x),若 f(1),则 a 16(5分) 已知圆锥的底面半径为1, 母线长为3, 则该圆锥内半径最大的球的体积为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题题为选考题,考生根

5、据要求作答。 (一)必考题:共:共 60 分。分。 第 3 页(共 20 页) 17 (12 分)设等比数列an满足 a1+a24,a3a18 (1)求an的通项公式; (2)记 Sn为数列log3an的前 n 项和若 Sm+Sm+1Sm+3,求 m 18 (12 分)某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园 锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天) : 锻炼人次 空气质量等级 0,200 (200,400 (400,600 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气

6、质量等级为 1,2,3,4 的概率; (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表) ; (3)若某天的空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好” ;若某天的空气质量等级 为 3 或 4,则称这天“空气质量不好” 根据所给数据,完成下面的 22 列联表,并根据 列联表,判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量 有关? 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附:K2 P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19 (12 分)如图,在长方体 ABCDA1

7、B1C1D1中,点 E,F 分别在棱 DD1,BB1上,且 2DE ED1,BF2FB1证明: (1)当 ABBC 时,EFAC; (2)点 C1在平面 AEF 内 第 4 页(共 20 页) 20 (12 分)已知函数 f(x)x3kx+k2 (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有三个零点,求 k 的取值范围 21 (12 分)已知椭圆 C:+1(0m5)的离心率为,A,B 分别为 C 的左、 右顶点 (1)求 C 的方程; (2)若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 x6 上,且|BP|BQ|,BPBQ,求APQ 的面积 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第

8、分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(10 分)分) 22 (10 分) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为(t 为参数且 t1) , C 与坐标轴交于 A,B 两点 (1)求|AB|; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23设 a,b,cR,a+b+c0,abc1 (1)证明:ab+bc+ca0; (2)用 maxa,b,c表

9、示 a,b,c 的最大值,证明:maxa,b,c 第 5 页(共 20 页) 2020 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标)年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 (5 分)已知集合 A1,2,3,5,7,11,Bx|3x15,则 AB 中元素的个数为 ( ) A2 B3 C4 D5 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB,进而能求

10、出 AB 中元素的个数 【解答】解:集合 A1,2,3,5,7,11,Bx|3x15) , AB5,7,11, AB 中元素的个数为 3 故选:B 【点评】本题考查交集中元素个数的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 2 (5 分)若 (1+i)1i,则 z( ) A1i B1+i Ci Di 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概 念得答案 【解答】解:由 (1+i)1i,得, zi 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3 (5 分)设一组样本数据 x1,x2,xn的方差为 0.01,则数

11、据 10x1,10x2,10xn的 方差为( ) A0.01 B0.1 C1 D10 【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长,求出新数据的方差即 可 【解答】解:样本数据 x1,x2,xn的方差为 0.01, 第 6 页(共 20 页) 根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长, 数据 10x1,10x2,10xn的方差为:1000.011, 故选:C 【点评】本题考查了方差的性质,掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方 倍增长是解题的关键,本题属于基础题 4 (5 分)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域有学者根据公布数 据建立了某

12、地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t) (t 的单位:天)的 Logistic 模型:I(t) ,其中 K 为最大确诊病例数当 I(t*)0.95K 时,标志着已初步遏 制疫情,则 t*约为( ) (ln193) A60 B63 C66 D69 【分析】根据所给材料的公式列出方程0.95K,解出 t 即可 【解答】解:由已知可得0.95K,解得 e 0.23(t53) , 两边取对数有0.23(t53)ln19, 解得 t66, 故选:C 【点评】本题考查函数模型的实际应用,考查学生计算能力,属于中档题 5 (5 分)已知 sin+sin()1,则 sin()( ) A B C D 【分析】利用

13、两角和差的三角公式,进行转化,利用辅助角公式进行化简即可 【解答】解:sin+sin()1, sin+sin+cos1, 即sin+cos1, 得(cos+sin)1, 即sin()1, 得 sin() 故选:B 第 7 页(共 20 页) 【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值,利用两角和差的三角公式以及辅助角 公式进行转化是解决本题的关键难度不大 6 (5 分)在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点若1,则点 C 的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D直线 【分析】设出 A、B、C 的坐标,利用已知条件,转化求解 C 的轨迹方程,推出结果即可 【解答】解:在平面内,A,B 是两个

14、定点,C 是动点, 不妨设 A(a,0) ,B(a,0) ,设 C(x,y) , 因为1, 所以(x+a,y) (xa,y)1, 解得 x2+y2a2+1, 所以点 C 的轨迹为圆 故选:A 【点评】本题考查轨迹方程的求法,向量的数量积的应用,考查计算能力 7 (5 分)设 O 为坐标原点,直线 x2 与抛物线 C:y22px(p0)交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为( ) A (,0) B (,0) C (1,0) D (2,0) 【分析】利用已知条件转化求解 E、D 坐标,通过 kODkOE1,求解抛物线方程,即 可得到抛物线的焦点坐标 【解答】解:将 x2 代入抛物线

15、 y22px,可得 y2,ODOE,可得 kODkOE 1, 即,解得 p1, 所以抛物线方程为:y22x,它的焦点坐标(,0) 故选:B 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查 8 (5 分)点(0,1)到直线 yk(x+1)距离的最大值为( ) A1 B C D2 【分析】直接代入点到直线的距离公式,结合基本不等式即可求解结论 第 8 页(共 20 页) 【解答】解:因为点(0,1)到直线 yk(x+1)距离 d ; 要求距离的最大值,故需 k0; 可得 d;当 k1 时等号成立; 故选:B 【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式,属于基础题 9 (5 分)如图为某

16、几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A6+4 B4+4 C6+2 D4+2 【分析】先由三视图画出几何体的直观图,利用三视图的数据,利用三棱锥的表面积公 式计算即可 【解答】解:由三视图可知几何体的直观图如图:几何体是正方体的一个角, PAABAC2,PA、AB、AC 两两垂直, 故 PBBCPC2, 几何体的表面积为:36+2 故选:C 【点评】本题考查多面体的表面积的求法,几何体的三视图与直观图的应用,考查空间 第 9 页(共 20 页) 想象能力,计算能力 10 (5 分)设 alog32,blog53,c,则( ) Aacb Babc Cbca Dcab 【分析】利用指数函数、

17、对数函数的单调性直接求解 【解答】解:alog32, blog53, c, acb 故选:A 【点评】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识, 考查运算求解能力,是基础题 11 (5 分)在ABC 中,cosC,AC4,BC3,则 tanB( ) A B2 C4 D8 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 tanC 的值,利用余弦定理可求 AB 的 值,可得 AC,利用三角形的内角和定理可求 B2C,利用诱导公式,二倍角的正 切函数公式即可求解 tanB 的值 【解答】解:cosC,AC4,BC3, tanC, AB3,可得 AC, B2C, 则 tanB

18、tan(2C)tan2C4 故选:C 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,余弦定理,三角形的内角和定理, 诱导公式,二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想, 属于基础题 第 10 页(共 20 页) 12 (5 分)已知函数 f(x)sinx+,则( ) Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)的图象关于直线 x 对称 Df(x)的图象关于直线 x对称 【分析】设 sinxt,则 yf(x)t+,t1,1,由双勾函数的图象和性质可得,y 2 或 y2,故可判断 A;根据奇偶性定义可以判断 B 正误;根据对称性的定义可以 判断 C

19、,D 的正误 【解答】解:由 sinx0 可得函数的定义域为x|xk,kZ,故定义域关于原点对称; 设 sinxt,则 yf(x)t+,t1,1,由双勾函数的图象和性质得,y2 或 y 2,故 A 错误; 又有 f(x)sin(x)+(sinx+)f(x) ,故 f(x)是奇函数, 且定义域关于原点对称,故图象关于原点中心对称;故 B 错误; f (+x) sin (+x) +sinx; f (x) sin (x) + sinx+,故 f(+x)f(x) ,f(x)的图象不关于直线 x 对称,C 错误; 又 f(+x)sin(+x)+cosx+;f(x)sin(x) +cosx+,故 f(+x

20、)f(x) ,定义域为x|xk,kZ,f (x)的图象关于直线 x对称;D 正确; 故选:D 【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质,考查了对函数奇偶性和对称性质的灵 活应用能力,属于基础题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)若 x,y 满足约束条件则 z3x+2y 的最大值为 7 第 11 页(共 20 页) 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z3x+2y 表示直线在 y 轴上的截距的一半,只需求出可行域内直线在 y 轴上的截距最大值即可 【解答】解:先根据约束条件画出可行域,由解得

21、 A(1,2) , 如图,当直线 z3x+2y 过点 A(1,2)时,目标函数在 y 轴上的截距取得最大值时,此 时 z 取得最大值, 即当 x1,y2 时,zmax31+227 故答案为:7 【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题 14 (5 分)设双曲线 C:1(a0,b0)的一条渐近线为 yx,则 C 的离 心率为 【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程,再由题意求出 a,b 的关系,再由离心率的 公式及 a,b,c 之间的关系求出双曲线的离心率 【解答】解:由双曲线的方程可得渐近线的方程为:yx, 由题意可得,所以离心率 e, 故答案为: 【点评】本题

22、考查双曲线的性质,属于基础题 15 (5 分)设函数 f(x),若 f(1),则 a 1 【分析】先求出函数的导数,再根据 f(1),求得 a 的值 第 12 页(共 20 页) 【解答】解:函数 f(x),f(x), 若 f(1),则 a1, 故答案为:1 【点评】本题主要考查求函数的导数,属于基础题 16 (5 分)已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 【分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球,作图,数形结合即可 【解答】解:当球为该圆锥内切球时,半径最大, 如图:BS3,BC1,则圆锥高 SC2, 设内切球与圆锥相切与点 D,半径为 r,则

23、SODSCB, 故有,即,解得 r, 所以该球的体积为r3 故答案为: 【点评】本题考查圆锥内切球半径求法,考查球的体积公式,数形结合思想,属于中档 题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。分。 第 13 页(共 20 页) 17 (12 分)设等比数列an满足 a1+a24,a3a18 (1)

24、求an的通项公式; (2)记 Sn为数列log3an的前 n 项和若 Sm+Sm+1Sm+3,求 m 【分析】 (1)设其公比为 q,则由已知可得,解得 a11,q3,可求其 通项公式 (2)由(1)可得 log3ann1,是一个以 0 为首项,1 为公差的等差数列,可求 Sn ,由已知可得+,进而解得 m 的值 【解答】解: (1)设公比为 q,则由, 可得 a11,q3, 所以 an3n 1 (2)由(1)有 log3ann1,是一个以 0 为首项,1 为公差的等差数列, 所以 Sn, 所以+,m25m60, 解得 m6,或 m1(舍去) , 所以 m6 【点评】本题主要考查了等比数列的通

25、项公式的求法,等差数列的求和,考查了转化思 想和方程思想的应用,属于基础题 18 (12 分)某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园 锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天) : 锻炼人次 空气质量等级 0,200 (200,400 (400,600 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率; 第 14 页(共 20 页) (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表) ; (3)若某天的

26、空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好” ;若某天的空气质量等级 为 3 或 4,则称这天“空气质量不好” 根据所给数据,完成下面的 22 列联表,并根据 列联表,判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量 有关? 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附:K2 P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】 (1)用频率估计概率,从而得到估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的 概率; (2)采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案; (3)由公式计算 k 的值,从而查表

27、即可, 【解答】解: (1)该市一天的空气质量等级为 1 的概率为:; 该市一天的空气质量等级为 2 的概率为:; 该市一天的空气质量等级为 3 的概率为:; 该市一天的空气质量等级为 4 的概率为:; (2)由题意可得:一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为: 1000.20+300 0.35+5000.45350; (3)根据所给数据,可得下面的 22 列联表, 人次400 人次400 总计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 第 15 页(共 20 页) 总计 55 45 100 由表中数据可得:K25.802 3.841, 所以有 95%的把握认为一天中到该公园

28、锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率,估计平均值的求法,属于中档题 19 (12 分)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,点 E,F 分别在棱 DD1,BB1上,且 2DE ED1,BF2FB1证明: (1)当 ABBC 时,EFAC; (2)点 C1在平面 AEF 内 【分析】 (1)因为 ABCDA1B1C1D1是长方体,且 ABBC,可得 AC平面 BB1D1D, 因为 EF平面 BB1D1D,所以 EFAC (2)取 AA1上靠近 A1的三等分点 M,连接 DM,C1F,MF根据已知条件可得四边形 AED1M 为平行四边形,得 D1MA

29、E,再推得四边形 C1D1MF 为平行四边形,所以 D1M C1F,根据直线平行的性质可得 AEC1F,所以 A,E,F,C1四点共面,即点 C1在平 面 AEF 内 【解答】解: (1)因为 ABCDA1B1C1D1是长方体,所以 BB1平面 ABCD,而 AC平 面 ABCD,所以 ACBB1, 因为 ABCDA1B1C1D1是长方体,且 ABBC,所以 ABCD 是正方形,所以 ACBD, 又 BDBB1B 所以 AC平面 BB1D1D, 又因为点 E, F 分别在棱 DD1, BB1上, 所以 EF平面 BB1D1D, 第 16 页(共 20 页) 所以 EFAC (2)取 AA1上靠

30、近 A1的三等分点 M,连接 D1M,C1F,MF 因为点 E 在 DD1,且 2DEED1,所以 EDAM,且 EDAM, 所以四边形 AED1M 为平行四边形,所以 D1MAE,且 D1MAE, 又因为 F 在 BB1上,且 BF2FB1,所以 A1MFB1,且 A1MFB1, 所以 A1B1FM 为平行四边形, 所以 FMA1B1,FMA1B1,即 FMC1D1,FMC1D1, 所以 C1D1MF 为平行四边形, 所以 D1MC1F, 所以 AEC1F,所以 A,E,F,C1四点共面 所以点 C1在平面 AEF 内 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查直线平行的性质应用,是中档题

31、20 (12 分)已知函数 f(x)x3kx+k2 (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有三个零点,求 k 的取值范围 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 k 的范围,求出函数的单调区间即可; (2)根据函数的单调性,求出函数的极值,得到关于 k 的不等式组,解出即可 【解答】解: (1)f(x)x3kx+k2f(x)3x2k, k0 时,f(x)0,f(x)在 R 递增, k0 时,令 f(x)0,解得:x或 x, 第 17 页(共 20 页) 令 f(x)0,解得:x, f(x)在(,)递增,在(,)递减,在(,+)递增, 综上,k0 时,f(x)在 R 递增, k0

32、时,f(x)在(,)递增,在(,)递减,在(,+)递 增; (2)由(1)得:k0,f(x)极小值f() ,f(x)极大值f() , 若 f(x)有三个零点, 只需,解得:0k, 故 a(0,) 【点评】本题考查了函数的单调性,极值,零点问题,考查导数的应用以及分类讨论思 想,是一道常规题 21 (12 分)已知椭圆 C:+1(0m5)的离心率为,A,B 分别为 C 的左、 右顶点 (1)求 C 的方程; (2)若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 x6 上,且|BP|BQ|,BPBQ,求APQ 的面积 【分析】 (1)根据 e,a225,b2m2,代入计算 m2的值,求出 C 的方程即可;

33、(2)设出 P,Q 的坐标,得到关于 s,t,n 的方程组,求出 AP(8,1) ,AQ(11,2) , 从而求出APQ 的面积 【解答】解: (1)由 e得 e21,即1,m2, 故 C 的方程是:+1; (2)由(1)A(5,0) ,设 P(s,t) ,点 Q(6,n) , 根据对称性,只需考虑 n0 的情况, 第 18 页(共 20 页) 此时5s5,0t, |BP|BQ|,有(s5)2+t2n2+1, 又BPBQ,s5+nt0, 又+1, 联立得或, 当时,AP(8,1) ,AQ(11,2) , SAPQ|82111|, 同理可得当时,SAPQ, 综上,APQ 的面积是 【点评】本题考

34、查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系,考查转化思想,是一道综合题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(10 分)分) 22 (10 分) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为(t 为参数且 t1) , C 与坐标轴交于 A,B 两点 (1)求|AB|; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程 【分析】 (1)可令 x0,求得 t,对应的 y

35、;再令 y0,求得 t,对应的 x;再由两点的 距离公式可得所求值; (2)运用直线的截距式方程可得直线 AB 的方程,再由由 xcos,ysin,可得所 求极坐标方程 【解答】解: (1)当 x0 时,可得 t2(1 舍去) ,代入 y23t+t2,可得 y2+6+4 12, 当 y0 时,可得 t2(1 舍去) ,代入 x2tt2,可得 x2244, 所以曲线 C 与坐标轴的交点为(4,0) , (0,12) , 第 19 页(共 20 页) 则|AB|4; (2)由(1)可得直线 AB 过点(0,12) , (4,0) , 可得 AB 的方程为1, 即为 3xy+120, 由 xcos,

36、ysin, 可得直线 AB 的极坐标方程为 3cossin+120 【点评】本题考查曲线的参数方程的运用,考查直线方程的求法和两点的距离公式的运 用,考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,属于基础题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23设 a,b,cR,a+b+c0,abc1 (1)证明:ab+bc+ca0; (2)用 maxa,b,c表示 a,b,c 的最大值,证明:maxa,b,c 【分析】 (1)将 a+b+c0 平方之后,化简得到 2ab+2ac+2bc(a2+b2+c2)0,即可 得证; (2)利用反证法,假设 ab0c,结合条件推出矛盾 【解答】证明: (1)a+b+c0,(a+b+c)20, a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc0, 2ab+2ac+2bc(a2+b2+c2) , abc1,a,b,c 均不为 0, 2ab+2ac+2bc(a2+b2+c2)0, ab+ac+bc0; (2)不妨设 ab0c,则 ab, a+b+c0,abc, 而ab2,与假设矛盾, 故 maxa,b,c 【点评】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反正法证明不等式,考查了转化思 想,属于中档题