1、已知 a、b 都是实数，那么“ab0”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）设函数，若，cf（20.2） ，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 4（5分） 已知P为等边三角形所在平面内的一个动点， 满足， 若， 则（ ） A B3 C6 D与 有关的数值 5 （5 分）17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是 勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割 比作钻石矿 ”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是 最美的三角形，它是
2、一个顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角 形） 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 ABC 中，根据这些信息，可得 sin234（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 6 （5 分）已知（1+x）n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同， ， 若 a1+a2+an242， 则展开式中 常数项（ ） A32 B24 C4 D8 7 （5 分）在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E 是 BD 上一点，3，过 E 作该四面 体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ） A B C D 8 （5 分）若定义在
3、R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f （x）f（x）+9ex，f （3）27e3，则不等式的解集是（ ） A （3，+） B （，3） C （3，+） D （，3） 9 （5 分）已知数列an为等差数列，首项为 1，公差为 2，数列bn为等比数列，首项为 1， 公比为 2，设，Tn为数列cn的前 n 项和，则当 Tn2019 时，n 的取值可以是下 面选项中的（ ） A8 B9 C10 D11 10 （5 分）已知函数有两个极值点 x1，x2，若 f（x1）x1，则 关于 x 的方程 f2（x）+af（x）+b0 的不同实根个数为（ ） A2 B3 C4 D5 11 （5
4、分）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 A1D1的中点，Q 为 A1B1 上任意一点， E、 F 为 CD 上两点， 且 EF 的长为定值， 则下面四个值中不是定值的是 （ ） A点 P 到平面 QEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C三棱锥 PQEF 的体积 第 3 页（共 26 页） DQEF 的面积 12 （5 分）函数 f（x）图象上不同两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）处的切线的斜率分别是 kA， kB，|AB|为 A，B 两点间距离，定义 （A，B）为曲线 f（x）在点 A 与点 B 之间的“曲率” ，其中正确命题为（ ） A
5、存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数 B函数 f（x）x3x2+1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1，2，则“曲率”（A， B） C函数 f（x）ax2+b（a0，bR）图象上任意两点 A、B 之间 的“曲率”（A，B） 2a D设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是曲线 f（x）ex上不同两点，且 x1x21，若 t（A， B）1 恒成立，则实数 t 的取值范围是（，1） 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知复数 z，则复数 的虚部为 14 （5 分）函数 f（x）的图象在点（e2
6、，f（e2） ）处的切线与直线 yx 平行， 则 f（x）的极值点是 15 （5 分）设 x0，y0，若 xln2，ln，yln2 成等差数列，则的最小值为 16 （5 分）过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆1 于 A，B 两点，F 为椭圆的右焦点， ABF 的周长最大为 ，此时ABF 的面积为 三、解答题：本题共六个大题，共三、解答题：本题共六个大题，共 70 分分 17 （10 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（a+b+c） （a+bc）3ab （）求角 C 的值； （）若 c2，且ABC 为锐角三角形，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）已知数列an
7、前 n 项和 Sn满足是等差数列，且 a3b42b1，b6a4 （1）求an和bn的通项公式： （2）求数列的前 2n 项和 T2n 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB2CD2BC2AD4，DAB60， 第 4 页（共 26 页） AEBE，PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD （1）求二面角 PECD 的余弦值； （2） 线段 PC 上是否存在一点 M， 使得异面直线 DM 和 PE 所成的角的余弦值为若 存在，指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由 20 （12 分）已知椭圆：1（ab0）左顶点 M（2，0） ，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过
8、 N（1，0）的直线 AB 交椭圆于 A、B 两点，当取得最大值时，求MAB 面积 21 （12 分）设函数 f（x）x2alnx （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a2 时， 求函数 f（x）在上的最大值和最小值； 若存在 x1，x2，使得 f（x1）+f（x2）+f（xn1）f（xn）成 立，求 n 的最大值 22 （12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作 为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元） ，网购次数和支付方式等进行了问卷 调査经统计这 100 位居民的网购消费金额均在区间0，30内，按0，5， （5，10， （10，
9、 15， （15，20， （20，25， （25，30分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷” ，补全下面的 22 列联表，并判 断有多大把握认为“网购迷与性别有关系” ； 第 5 页（共 26 页） 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也 互不影响统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 2
10、4 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数 之和为 ，求 的数学期望 附：观测值公式： 临界值表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 6 页（共 26 页） 2020 年山东省普通高中学业水平等级数学试卷年山东省普通高中学业水平等级数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（本题包括一选择题（本题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分1-8 小题小题只
11、有一个选项符合题意，只有一个选项符合题意， 9-12 为多选题）为多选题） 1 （5 分）设集合 AxN|1x3，By|yx2，xR，则 AB（ ） A0，1，2，3 B1，2，3 C1，3 D0，3 【分析】对集合 A 用列举法进行表示，对集合 B 用不等式描述集合元素特征，然后根据 集合交集的运算法则，求出 AB 【解答】解：因为 AxN|1x30，1，2，3，By|yx2，xRy|y0， 所以 AB0，1，2，3， 故选：A 【点评】本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法本题易错的地方是认为自然数 集不包括零解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识 2 （5 分）已知 a、b 都是
12、实数，那么“ab0”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】解：若，则0， 若 0ab，则成立， 当 a0，b0 时，满足，但 0ab 不成立， 故“0ab”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关 键 3 （5 分）设函数，若，cf（20.2） ，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dbac 第 7 页（共 26 页） 【 分 析 】 容 易 看 出f （ x ） 在 （ 0 ， ） 上 单 调 递
13、增 ， 且 可 得 出 ，且120.2 2，从 而 得出 ，这样根据 f（x）的单调性即可得出 a，b，c 的大小 关系 【解答】解：f（x）在（0，）上单调递增； ，且 log25log231； ； ； 又 120.22； ； bac 故选：D 【点评】考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式 4（5分） 已知P为等边三角形所在平面内的一个动点， 满足， 若， 则（ ） A B3 C6 D与 有关的数值 【分析】由向量的投影的几何意义得：点 P 在直线 BC 上，取 BC 的中点为 D，则 2，由向量的投影的几何意义有：2|22（）26，得解： 第 8 页（共 2
14、6 页） 【解答】 解：由， 即点 P 在直线 BC 上， 取 BC 的中点为 D， 则2， 由向量的投影的几何意义有： 2|22（）26， 故选：C 【点评】本题考查了向量的投影的几何意义，属中档题 5 （5 分）17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是 勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割 比作钻石矿 ”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是 最美的三角形，它是一个顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角 形） 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其
15、中一个黄金 ABC 中，根据这些信息，可得 sin234（ ） A B C D 【分析】由已知求得ACB72，可得 cos72的值，再由二倍角的余弦及三角函数的 第 9 页（共 26 页） 诱导公式求解 sin234 【解答】解：由图可知，ACB72，且 cos72 cos144 则 sin234sin（144+90）cos144 故选：C 【点评】本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题 6 （5 分）已知（1+x）n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同， ， 若 a1+a2+an242， 则展开式中 常数项（ ） A32 B24 C4 D8 【分析】
16、先求出 n 的值，再求出 的值，写出展开式的通项公式即可求出 【解答】解： （1+x）n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则n2 n3， 求得 n5， 令 x0，则 a01 令 x1，则 a0+a1+a2+an（1+）5242+1243， 解得 2， 则（x+）4的展开式的通项公式为 Tr+1C4r2rx4 2r， 令 42r0，解得 r2， 第 10 页（共 26 页） 故（x+）4的展开式中的常数项为 C422224 故选：B 【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关 键 7 （5 分）在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E 是 B
17、D 上一点，3，过 E 作该四面 体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ） A B C D 【分析】根据题意，将四面体 ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就 是四面体 ABCD 的外接球因此利用题中数据算出外接球半径 R，当球心 O 到截面的距 离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值 【解答】解：将四面体 ABCD 放置于正方体中，如图所示， 可得正方体的外接球就是四面体 ABCD 的外接球， 正四面体 ABCD 的棱长为 1，正方体的棱长为， 可得外接球半径 R 满足 2R，R E 是 BD 上一点，3，当球心 O 到截面的距离最
18、大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心 O 到截面的距离等于 OE， cosODB，OD，DE， OE2， 则所得截面半径最小值为 所得截面面积的最小值为 故选：B 第 11 页（共 26 页） 【点评】本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值着重考查了正方体的性 质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题 8 （5 分）若定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f （x）f（x）+9ex，f （3）27e3，则不等式的解集是（ ） A （3，+） B （，3） C （3，+） D （，3） 【分析】构造函数 g（x） ，通过研究 g（x）的单调性，结合原函
19、数的性质和函数值，即 可求解 【解答】解：f（x）f（x）+9ex， ， ， 令 g（x）9x，则 g（x）在 R 上单调增函数， f（3）27e3，g（3）0， 等价于， 即 g（x）g（3） ， 其解集为： （3，+） 故选：A 【点评】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性 是解题的关键 9 （5 分）已知数列an为等差数列，首项为 1，公差为 2，数列bn为等比数列，首项为 1， 公比为 2，设，Tn为数列cn的前 n 项和，则当 Tn2019 时，n 的取值可以是下 面选项中的（ ） 第 12 页（共 26 页） A8 B9 C10 D11 【分析】由已
20、知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列cn的通项公式， 利用数列的分组求和可得数列cn的前 n 项和 Tn，验证得答案 【解答】解：由题意，an1+2（n1）2n1， 22n 112n1，则数列c n为递增数列， 其前 n 项和 Tn（211）+（221）+（231）+（2n1） （21+22+2n）n2n+12n 当 n9 时，Tn10132019； 当 n10 时，Tn20362019 n 的取值可以是 8，9 故选：AB 【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和，考查数列的函数特性， 是基础题 10 （5 分）已知函数有两个极值点 x1，x2，若 f（x1）x
21、1，则 关于 x 的方程 f2（x）+af（x）+b0 的不同实根个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】由题意可得 x1、x2是 f（x）x2+ax+b0 的两个不相等的实数根，可得 a24b0，从而得到关于 x 的方程 f2（x）+af（x）+b0 有 2 个不等实数根，数形结合可得答案 【解答】解：函数 有两个极值点 x1，x2，不妨假设 x1x2， f（x）x2+ax+b0 有两个不相等的实数根， a24b0 由于方程 f2（x）+af（x）+b0 的判别式 a24b0， 故此方程有两解为 f（x）x1或 f（x）x2 由于函数 yf（x）的图象和直线 yx1的交点个数 即为方程
22、 f（x）x1的解个数； 第 13 页（共 26 页） 由于函数 yf（x）的图象和直线 yx2 的交点个数，即为方程 f（x）x2的解个数 根据 f（x1）x1，画出图形，如图所示： 由于函数 yf（x）的图象和直线 yx1的交点个数为 2，函数 yf（x）的图象和直线 y x2 的交点个数为 1， 可得关于 x 的方程 f（x）x1或 f（x）x2共有 3 个不同的实数根， 即关于 x 的方程 f2（x）+af（x）+b0 的不同实根个数为 3 故选：B 【点评】本题综合考查了函数零点的概念，函数的极值及方程解得个数等基础知识，考 查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算
23、能力、分析问题和解 决问题的能力 11 （5 分）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 A1D1的中点，Q 为 A1B1 上任意一点， E、 F 为 CD 上两点， 且 EF 的长为定值， 则下面四个值中不是定值的是 （ ） A点 P 到平面 QEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C三棱锥 PQEF 的体积 DQEF 的面积 【分析】A由于平面 QEF 即为对角面 A1B1CD，点 P 为 A1D1的中点，可得：点 P 到平 面 QEF 即到对角面 A1B1CD 的距离为定值； 第 14 页（共 26 页） D由于点 Q 到直线 CD 的距离是定值
24、a，|EF|为定值，因此QEF 的面积 为定值； C由 AD 可知：三棱锥 PQEF 的体积为定值； B用排除法即可得出 【解答】解：A平面 QEF 即为对角面 A1B1CD，点 P 为 A1D1的中点，点 P 到平面 QEF 即到对角面 A1B1CD 的距离为定值； D 点 Q 到直线 CD 的距离是定值a， |EF|为定值， QEF 的面积 为定值； C由 AD 可知：三棱锥 PQEF 的体积为定值； B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角与点 Q 的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即 可得出 综上可得：只有 B 中的值不是定值 故选：B 【点评】本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体
25、积、点到平面的距离、异面直线所 成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题 12 （5 分）函数 f（x）图象上不同两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）处的切线的斜率分别是 kA， kB，|AB|为 A，B 两点间距离，定义 （A，B）为曲线 f（x）在点 A 与点 B 之间的“曲率” ，其中正确命题为（ ） A存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数 B函数 f（x）x3x2+1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1，2，则“曲率”（A， B） C函数 f（x）ax2+b（a0，bR）图象上任意两点 A、B 之间 的“曲率”（A，B）
26、2a D设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是曲线 f（x）ex上不同两点，且 x1x21，若 t（A， B）1 恒成立，则实数 t 的取值范围是（，1） 【分析】考虑一次函数，求出导数，可得 （A，B）0，即可判断 A；求出 A，B 的坐 标，求得 （A，B） ，即可判断 B；求出 f（x）的导数，运用不等式的性质，可得 （A， B）2a，即可判断 C；求出函数的导数，运用新定义求得 （A，B） ，由恒成立思想， 第 15 页（共 26 页） 即可得 t 的范围，即可判断 D 【解答】解：对于 A，当函数 f（x）kx+b（k0）时，f（x）k， （A，B）0，故 A 正确； 对于 B，
27、由题意得 A（1，1） ，B（2，5） ，f（x）3x22x， （A，B），故 B 错误； 对于 C，f（x）2ax， （A，B）2a， 故 C 正确； 对于 D，由 f（x）ex，得 f（x）ex， 由 A（x1，y1） ，B（x2，y2）为曲线 yex上两点，且 x1x21， 可得 （A，B）， 由1，可得 t1，故 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查命题真假的判断，考查新定义的理角与运用，考查导数的运用、切线 的斜率、不等式恒成立等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知复
28、数 z，则复数 的虚部为 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：由， 得， 复数 的虚部为2 故答案为：2 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 14 （5 分）函数 f（x）的图象在点（e2，f（e2） ）处的切线与直线 yx 平行， 第 16 页（共 26 页） 则 f（x）的极值点是 xe 【分析】求出函数的导数，根据 f（e2），求出 a 的值，从而求出 f（x） 的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可 【解答】解：f（x）， 故 f（e2），解得：a1， 故 f（x），f（x），
29、令 f（x）0，解得：xe， 经检验 xe 是函数的极值点， 故答案为：xe 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题 15 （5 分）设 x0，y0，若 xln2，ln，yln2 成等差数列，则的最小值为 16 【分析】结合等比数列的性质可得 x+y1，然后结合基本不等式即可求解 【解答】解：由题意可得 2ln（x+y）ln2， 所以 x+y1， 则（） （x+y）10+10+616， 当且仅当且 x+y1 即 x，y时取等号，此时取得最小值 16 故答案为：16 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础 试题 16 （5 分
30、）过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆1 于 A，B 两点，F 为椭圆的右焦点， ABF 的周长最大为 8 ，此时ABF 的面积为 【分析】根据椭圆的定义和性质可得右焦点为 F（2，0） ，当且仅当 A，B，F1共线，周 长最长，再根据两点式即可求出直线方程Q 求和求解 AB 的纵坐标，转化求解三角形的 面积即可 【解答】解：设椭圆1 右焦点为 F（2，0） ，F1（2，0） ，则 AF4AF1， 第 17 页（共 26 页） BF14BF1， 所以 AF+BF+AB 8+AB（AF1+BF1） ， 显然 AF1+BF1AB， 当且仅当 A，B，F1共线时等号成立， 所以当直线 l 过点 F1
31、时，ABF 的周长取最大值 8， 此时直线方程为 y1x，即 x2y20 ，可得：3y2+4y20，设 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， y1+y2，y1y2， |y1y2| ABF 的面积为：4， 故答案为：8； 【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的几何性质，属于中档题 三、解答题：本题共六个大题，共三、解答题：本题共六个大题，共 70 分分 17 （10 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（a+b+c） （a+bc）3ab （）求角 C 的值； （）若 c2，且ABC 为锐角三角形，求 a+b 的取值范围 【分析】 （）化简（a+b+c）
32、 （a+bc）3ab，利用余弦定理求得 C 的值； （）由正弦定理求出 a+b 的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出 A 的取值 范围，从而求出 a+b 的取值范围 【解答】解： （）ABC 中， （a+b+c） （a+bc）3ab， 第 18 页（共 26 页） a2+b2c2ab， 由余弦定理得，cosC； 又C（0，） ， C； （）由 c2，C，根据正弦定理得， ， a+b（sinA+sinB） sinA+sin（A） 2sinA+2cosA 4sin（A+） ； 又ABC 为锐角三角形， ， 解得A； A+， 24sin（A+）4， 综上，a+b 的取值范围是（2，4 【点评
33、】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题 18 （12 分）已知数列an前 n 项和 Sn满足是等差数列，且 a3b42b1，b6a4 （1）求an和bn的通项公式： （2）求数列的前 2n 项和 T2n 【分析】 （1）根据由 Sn求 an的方法可求an的通项公式，由题意可得bn为等差数列， 由条件求其公差 d，可得结果； 第 19 页（共 26 页） （2）由3（b1+b2）+3 （b3+b4）+3（b2n1+b2n）3（b1+b2+b2n） ，即可求出答案 【解答】解： （1）Sn2an2， 当 n1 时，得 a12， 当 n2 时，Sn12an12， 作差得 an2
34、an1， （n2） 所以数列an是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以 设等差数列bn的公差为 d， 由 a3b42b1，b6a4， 所以 83db1，165d+b1， 所以 3d，b11， 所以 bn3n2 （2）3 （b1+b2） +3 （b3+b4） +3（b2n1+b2n） ， 3（b1+b2）+3（b3+b4）+3（b2n1+b2n）3（b1+b2+b2n） 又因为 bn3n2， 所以 【点评】本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力和转化能力，考查了 转化与化归能力，属于中档题 19 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB2CD2BC2AD4，DA
35、B60， AEBE，PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD （1）求二面角 PECD 的余弦值； （2） 线段 PC 上是否存在一点 M， 使得异面直线 DM 和 PE 所成的角的余弦值为若 存在，指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由 第 20 页（共 26 页） 【分析】 （1）设 O 是 AD 中点，PAD 为正三角形，则 POAD，PO平面 ABCD，推 导出 OEAD，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OE 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用同量法能求出二面角 PECD 的余弦值 （2）设，根据，求出 即可判断 M 的位置 【解答】解： （1）设 O
36、 是 AD 中点，PAD 为正三角形，则 POAD，平面 PAD平面 ABCD， PO平面 ABCD，又 ADAE2，DAB60，ADE 为正三角形，OEAD， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OE 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 P（0，0，） ，E（0，0） ，C（2，0） ， 设平面 PEC 法向量为 （x，y，z） ，（2，） ，（0，） ， 则，取 y1，得 （0，1，1） ， 平面 EDC 的法向量 （0，0，1） ， cos ， ， 第 21 页（共 26 页） 二面角 PECD 的余弦值为 （2）设，则， ， 所以， 所以或，所以存在点 M 为线
37、段 PC 的三等分点 【点评】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考 查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想 象力，考查了数形结合思想与方程思想，属中档题 20 （12 分）已知椭圆：1（ab0）左顶点 M（2，0） ，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过 N（1，0）的直线 AB 交椭圆于 A、B 两点，当取得最大值时，求MAB 面积 【分析】 （1）由已知 a2，可得 c，由 a2b22，可得 b22，即可求出 椭圆方程， （2）当直线 AB 与 x 轴不重合时，设直线 AB 的方程为 xty+1，设 A（x1，y1）
38、 ，B（x2， y2） ，根据韦达定理和向量的数量积，可求出取得最大值为，此时 t0，直线 l 为 x1，即可求出三角形的面积 【解答】解： （1）由已知 a2，可得 c， a2b22，即 4b22， b22， 椭圆方程为+1 （2）当直线 AB 与点 x 轴重合时，点 M 与点 A 重合，此时 ， 0， 第 22 页（共 26 页） 当直线 AB 与 x 轴不重合时，设直线 AB 的方程为 xty+1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由得（t2+2）y2+2ty30，显然0， y1+y2，y1y2， （x1+2） （x2+2）+y1y2（ty1+3） （ty2+3）+y1y2（
39、t2+1）y1y2+3t（y1+y2） +9， （t2+1）+3t+9， +9 ， 取得最大值为， 此时 t0，直线 l 为 x1，此时 A（1，） ，B（1，） ， |AB|，|MN|3， S|MN|AB|3 【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中 档题目 21 （12 分）设函数 f（x）x2alnx （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a2 时， 求函数 f（x）在上的最大值和最小值； 若存在 x1，x2，使得 f（x1）+f（x2）+f（xn1）f（xn）成 立，求 n 的最大值 【分析】 （1）求出，通过当 a0 时，当 a0 时，判断
40、函数的 单调性即可 （2） 当 a2 时， 利用函数的导数， 求出 f （x）minf （1） 1， 第 23 页（共 26 页） 推出 n2e217取 x1x2x3x4x51，推出结果即可 【解答】解： （1）函数 f（x）x2alnx，可得， 故当 a0 时，f（x）0，所以函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，得，所以函数 f（x）在上单调递增； 令 f（x）0，得，所以函数 f（x）在上单调递减 综上，当 a0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，函数 f（x）在上单调递增，在上单调递减 （2）当 a2 时，由（1）知，函数 f（x
41、）在上单调递减，在（1，e上单调 递增故 f（x）minf（1）1， 又因为，5.292.722f（e）e222.8225.84， 故， 由于，e22f（e）f（xn）f（x1）+f（x2）+f（xn1）（n1）f（1）n 1， 故 ne217 由于时，f（x）1，e22， 取 x1x2x3x4x51， 则， 故 n 的最大值为 6 【点评】本题考查函数的导数的应用，考查函数的最值以及函数的单调区间的求法，考 查计算能力 22 （12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作 为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元） ，网购次数和支付方式等进行了问卷
42、 调査经统计这 100 位居民的网购消费金额均在区间0，30内，按0，5， （5，10， （10， 15， （15，20， （20，25， （25，30分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷” ，补全下面的 22 列联表，并判 断有多大把握认为“网购迷与性别有关系” ； 第 24 页（共 26 页） 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也 互不影响统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所
43、得数据如表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数 之和为 ，求 的数学期望 附：观测值公式： 临界值表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为 0.5，结合频率分布直方 图估计即可； （2）根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出 K2的值，
44、查临界值表判断即 可； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，两人采用支付宝支付的次数之和为 所有可能的取 值为 0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量 的分布列， 第 25 页（共 26 页） 求出期望即可 【解答】解： （1）依题意，因为 0.015+0.025+0.0450.350.5， 而 0.015+0.025+0.045+0.0650.650.5，所以中位数位于15，20）之间，所以 中位数为 15+17.5 （2）依题意，消费金额在 20 千元以上的频率为：0.045+0.0350.35，所以网购迷” 人数为 1000.3535 人，非网购迷的人数为 1003565 人 所以补全的列联表如下： 男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 所以6.593 所以有 97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系” ； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，两人采用支付宝支付的次数之和 所有可能的取值 为 0，1，2，3，4， P（0），P（1） +