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2020年上海市春季高考数学试卷(含详细解答)

1、已知直线 l1:x+ay1,l2:ax+y1,若 l1l2,则 11与 l2的距离为 8 (5 分)已知二项式(2x+)5,则展开式中 x3的系数为 9 (5 分)三角形 ABC 中,D 是 BC 中点,AB2,BC3,AC4,则 10 (5 分)已知 A3,2,1,0,1,2,3,a、bA,则|a|b|的情况有 种 11 (5 分)已知 A1、A2、A3、A4、A5五个点,满足0(n1,2,3) , |n+1(n1,2,3) ,则|的最小值为 12 (5 分)已知 f(x),其反函数为 f 1(x) ,若 f1(x)af(x+a)有实数根, 则 a 的取值范围为 二、选择题(本大题共二、选择

2、题(本大题共 4 题,每题题,每题 5 分,共分,共 20 分分) 13 (5 分)计算:( ) A3 B C D5 14 (5 分) “”是“sin2+cos21”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15 (5 分)已知椭圆+y21,作垂直于 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点,作垂直于 y 轴 的垂线交椭圆于 C、D 两点,且 ABCD,两垂线相交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C圆 D抛物线 第 2 页(共 16 页) 16 (5 分)数列an各项均为实数,对任意 nN*满足 an+3an,且行列式c 为定值,则下列选项

3、中不可能的是( ) Aa11,c1 Ba12,c2 Ca11,c4 Da12,c0 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 题,共题,共 14+14+14+16+1876 分分) 17 (14 分)已知四棱锥 PABCD,底面 ABCD 为正方形,边长为 3,PD平面 ABCD (1)若 PC5,求四棱锥 PABCD 的体积; (2)若直线 AD 与 BP 的夹角为 60,求 PD 的长 18 (14 分)已知各项均为正数的数列an,其前 n 项和为 Sn,a11 (1)若数列an为等差数列,S1070,求数列an的通项公式; (2)若数列an为等比数列,a4,求满足 Sn100an时

4、n 的最小值 19 (14 分)有一条长为 120 米的步行道 OA,A 是垃圾投放点 1,若以 O 为原点,OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系,设点 B(x,0) ,现要建设另一座垃圾投放点 2(t,0) ,函 数 ft(x)表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离 (1)若 t60,求 f60(10) 、f60(80) 、f60(95)的值,并写出 f60(x)的函数解析式; (2)若可以通过 ft(x)与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度,面积越小越便 利问:垃圾投放点 2建在何处才能比建在中点时更加便利? 20 (16 分)已知抛物线 y2x 上的动点 M(x0,y0) ,过 M

5、 分别作两条直线交抛物线于 P、 Q 两点,交直线 xt 于 A、B 两点 (1)若点 M 纵坐标为,求 M 与焦点的距离; (2)若 t1,P(1,1) ,Q(1,1) ,求证:yAyB为常数; (3)是否存在 t,使得 yAyB1 且 yPyQ为常数?若存在,求出 t 的所有可能值,若不 存在,请说明理由 21 (18 分)已知非空集合 AR,函数 yf(x)的定义域为 D,若对任意 tA 且 xD,不 等式 f(x)f(x+t)恒成立,则称函数 f(x)具有 A 性质 第 3 页(共 16 页) (1)当 A1,判断 f(x)x、g(x)2x 是否具有 A 性质; (2)当 A(0,1)

6、 ,f(x)x+,xa,+) ,若 f(x)具有 A 性质,求 a 的取值范 围; (3)当 A2,m,mZ,若 D 为整数集且具有 A 性质的函数均为常值函数,求所 有符合条件的 m 的值 第 4 页(共 16 页) 2020 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 12 题,满分题,满分 54 分,第分,第 16 题每题题每题 4 分,第分,第 7-12 题每题题每题 5 分分) 1 (4 分)集合 A1,3,B1,2,a,若 AB,则 a 3 【分析】利用集合的包含关系即可求出 a 的值 【解答】解

7、:3A,且 AB,3B,a3, 故答案为:3 【点评】本题主要考查了集合的包含关系,是基础题 2 (4 分)不等式3 的解集为 (0,) 【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式,由一元二次不等式的解法求出不等式 的解集 【解答】解:由得, 则 x(13x)0,即 x(3x1)0,解得, 所以不等式的解集是(0,) , 故答案为: (0,) 【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法,以及转化思想,属于基础题 3 (4 分)函数 ytan2x 的最小正周期为 【分析】根据函数 ytanx 的周期为,求出函数 ytan2x 的最小正周期 【解答】解:函数 ytan2x 的最小正周期为 ,

8、 故答案为: 【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法,属于基础题 4 (4 分)已知复数 z 满足 z+2 6+i,则 z 的实部为 2 【分析】设 za+bi, (a,bR) 根据复数 z 满足 z+2 6+i,利用复数的运算法则、复 数相等即可得出 【解答】解:设 za+bi, (a,bR) 第 5 页(共 16 页) 复数 z 满足 z+2 6+i, 3abi6+i, 可得:3a6,b1,解得 a2,b1 则 z 的实部为 2 故答案为:2 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 5 (4 分)已知 3sin2x2sinx,x(0,) ,则

9、 x arccos 【分析】根据三角函数的倍角公式,结合反三角公式即可得到结论 【解答】解:3sin2x2sinx, 6sinxcosx2sinx, x(0,) , sinx0, cosx, 故 xarccos 故答案为:arccos 【点评】本题主要考查函数值的计算,利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键 6 (4 分)若函数 ya3x+为偶函数,则 a 1 【分析】根据题意,由函数奇偶性的定义可得 a3 (x)+ a3x+,变形分析可 得答案 【解答】解:根据题意,函数 ya3x+为偶函数,则 f(x)f(x) , 即 a3 (x)+ a3x+, 变形可得:a(3x3 x)(3x3x) ,

10、 必有 a1; 故答案为:1 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于 基础题 第 6 页(共 16 页) 7 (5 分)已知直线 l1:x+ay1,l2:ax+y1,若 l1l2,则 11与 l2的距离为 【分析】由 l1l2求得 a 的值,再根据两平行线间的距离计算即可 【解答】解:直线 l1:x+ay1,l2:ax+y1, 当 l1l2时,a210,解得 a1; 当 a1 时 l1与 l2重合,不满足题意; 当 a1 时 l1l2,此时 l1:xy10,l2:xy+10; 则 11与 l2的距离为 d 故答案为: 【点评】本题考查了平行线的定义和平行线

11、间的距离计算问题,是基础题 8 (5 分)已知二项式(2x+)5,则展开式中 x3的系数为 10 【分析】由,可得到答案 【解答】解:,所以展开式中 x3的系数为 10 故答案为:10 【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数,属于基础题 9 (5 分)三角形 ABC 中,D 是 BC 中点,AB2,BC3,AC4,则 【分析】根据余弦定理即可求出,并得出,然 后进行数量积的运算即可 【解答】解:在ABC 中,AB2,BC3,AC4, 由余弦定理得, ,且 D 是 BC 的中点, 第 7 页(共 16 页) 故答案为: 【点评】本题考查了余弦定理,向量加法的平行四边形法则,向量数乘的几何意

12、义,向 量数量积的运算及计算公式,考查了计算能力,属于基础题 10 (5 分)已知 A3,2,1,0,1,2,3,a、bA,则|a|b|的情况有 18 种 【分析】先讨论 a 的取值,得到对应 b 的值,再整体求和即可 【解答】解:当 a3,0 种, 当 a2,2 种, 当 a1,4 种; 当 a0,6 种, 当 a1,4 种; 当 a2,2 种, 当 a3,0 种, 故共有:2+4+6+4+218 故答案为:18 【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用,属于基础题目 11 (5 分)已知 A1、A2、A3、A4、A5五个点,满足0(n1,2,3) , |n+1(n1,2,3) ,则|

13、的最小值为 【 分 析 】 可 设, 从 而 据 题 意 可 得 出, ,并设 A1(0,0) ,根据是求的最小值,从而可 得出,从而可求出,从而根据基本不等式即可求 出的最小值 【解答】解:设,则, 设 A1(0,0) ,如图, 求的最小值,则: A2(x,0) , 第 8 页(共 16 页) ,当且仅当,即时 取等号, |的最小值为 故答案为: 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件,利用向量坐标解决向量问题的方法,基本不 等式求最值的方法,考查了计算能力,属于中档题 12 (5 分)已知 f(x),其反函数为 f 1(x) ,若 f1(x)af(x+a)有实数根, 则 a 的取值范围为 ,

14、+) 【分析】因为 yf 1(x)a 与 yf(x+a)互为反函数若 yf1(x)a 与 yf(x+a) 有实数根yf(x+a)与 yx 有交点方程,有根进而得出答案 【解答】解:因为 yf 1(x)a 与 yf(x+a)互为反函数, 若 yf 1(x)a 与 yf(x+a)有实数根, 则 yf(x+a)与 yx 有交点, 所以, 即 ax2x+1(x)2+, 故答案为:,+) 第 9 页(共 16 页) 【点评】本题主要考查函数的性质,函数与方程的关系,属于中档题 二、选择题(本大题共二、选择题(本大题共 4 题,每题题,每题 5 分,共分,共 20 分分) 13 (5 分)计算:( ) A

15、3 B C D5 【分析】把分子分母同时除以 5n 1,则答案可求 【解答】解:5 故选:D 【点评】本题考查数列极限的求法,是基础的计算题 14 (5 分) “”是“sin2+cos21”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【分析】容易看出,由 可得出 sin2+cos21,而反之显然不成立,从而可得出“ ”是“sin2+cos21”的充分不必要条件 【解答】解: (1)若 ,则 sin2+cos2sin2+cos21, “是“sin2+cos21“的充分条件; (2)若 sin2+cos21,则 sin2sin2,得不出 , “”不是“sin2

16、+cos21”的必要条件, “”是“sin2+cos21”的充分非必要条件 故选:A 【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义,sin2+cos21,正 弦函数的图象,考查了推理能力,属于基础题 15 (5 分)已知椭圆+y21,作垂直于 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点,作垂直于 y 轴 的垂线交椭圆于 C、D 两点,且 ABCD,两垂线相交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C圆 D抛物线 【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线,或利用求解轨迹方程,推出结果即可 第 10 页(共 16 页) 【解答】解:AB2,CD2,判断轨迹为上下两支,即选双曲线,

17、设 A(m,t) ,D(t,n) , 所以 P(m,n) , 因为,消去 t 可得:2n2, 故选:B 【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断,是基本知识的考查,基础题 16 (5 分)数列an各项均为实数,对任意 nN*满足 an+3an,且行列式c 为定值,则下列选项中不可能的是( ) Aa11,c1 Ba12,c2 Ca11,c4 Da12,c0 【分析】化简行列式,由已知条件,作差化简得 【解答】解:行列式anan+3an+1an+2c, 对任意 nN*满足 an+3an, , 作差整理得:an+1an(常数列,c0) ,或 an+an+1+an+20, 当 an+an+1+an+20,

18、则 an+1+an+2an及, 方程 有两根 an+1,an+2, 0, 因为 B 错, 故选:B 【点评】本题考查行列式,以及方程求解,属于中档题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 题,共题,共 14+14+14+16+1876 分分) 第 11 页(共 16 页) 17 (14 分)已知四棱锥 PABCD,底面 ABCD 为正方形,边长为 3,PD平面 ABCD (1)若 PC5,求四棱锥 PABCD 的体积; (2)若直线 AD 与 BP 的夹角为 60,求 PD 的长 【分析】 (1)利用已知条件求出,棱锥的高,然后求解棱锥的体积即可 (2)由已知中四棱锥 PABCD 的底

19、面是边长为 3 的正方形,PD平面 ABCD异面直 线 AD 与 PB 所成角为 60,可得PBC 为直角三角形,且PBC60,BC3,代入 求出 PC 后,解直角PDC 可得答案 【解答】解: (1)PD平面 ABCD,PDDC CD3,PC5,PD4, VPABCD12, 所以四棱锥 PABCD 的体积为 12 (2)ABCD 是正方形,PD平面 ABCD, BCPD,BCCD 又PDCDD BC平面 PCD BCPC 异面直线 AD 与 PB 所成角为 60,BCAD 在 RtPBC 中,PBC60,BC3 故 PC3 在 RtPDC 中,CD3 PD3 【点评】本题考查几何体的体积,空

20、间点线面的距离的求法,考查转化思想以及空间想 象能力计算能力,是中档题 18 (14 分)已知各项均为正数的数列an,其前 n 项和为 Sn,a11 (1)若数列an为等差数列,S1070,求数列an的通项公式; 第 12 页(共 16 页) (2)若数列an为等比数列,a4,求满足 Sn100an时 n 的最小值 【分析】 (1)设等差数列的公差为 d,运用等差数列的求和公式,解方程可得 d,进而得 到所求通项公式; (2)设等比数列的公比为 q,由等比数列的通项公式可得 q,再由等比数列的求和公式, 解不等式可得 n 的最小值 【解答】解: (1)数列an为公差为 d 的等差数列,S107

21、0,a11, 可得 10+109d70,解得 d, 则 an1+(n1)n; (2)数列an为公比为 q 的等比数列,a4,a11, 可得 q3,即 q, 则 an()n 1,S n 2()n 1, Sn100an,即为 2()n 1100 ( )n 1, 即 2n101,可得 n7,即 n 的最小值为 7 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和 运算能力,属于基础题 19 (14 分)有一条长为 120 米的步行道 OA,A 是垃圾投放点 1,若以 O 为原点,OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系,设点 B(x,0) ,现要建设另一座垃圾投放点 2(t,

22、0) ,函 数 ft(x)表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离 (1)若 t60,求 f60(10) 、f60(80) 、f60(95)的值,并写出 f60(x)的函数解析式; (2)若可以通过 ft(x)与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度,面积越小越便 利问:垃圾投放点 2建在何处才能比建在中点时更加便利? 【分析】 (1)利用题目所给定义表示出 f60(x)|60x|,|120x|min,分类讨论可得 f60(x) ; (2)利用题意可得 ft(x),表示出 ft(x)与坐标轴围 成的面积,进而表示出面积不等式,解出不等式即可 第 13 页(共 16 页) 【解答】解: (1)投

23、放点 1(120,0) ,2(60,0) ,f60(10)表示与 B(10,0)距离 最近的投放点(即 2)的距离, 所以 f60(10)|6010|50,同理分析,f60(80)|6080|20,f60(95)|120 95|25, 由题意得,f60(x)|60x|,|120x|min, 则当|60x|120x|,即 x90 时,f60(x)|60x|; 当|60x|120x|,即 x90 时,f60(x)|120x|; 综上 f60(x); (2)由题意得 ft(x)|tx|,|120x|min, 所以 ft(x),则 ft(x)与坐标轴围成的面积如阴影部 分所示, 所以 St2+t260

24、t+3600, 由题意,SS(60) ,即t260t+36002700, 解得 20t60,即垃圾投放点 2建在(20,0)与(60,0)之间时,比建在中点时更 加便利 【点评】本题是新定义问题,考查对题目意思的理解,分类讨论是关键,属于中档题 20 (16 分)已知抛物线 y2x 上的动点 M(x0,y0) ,过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、 Q 两点,交直线 xt 于 A、B 两点 (1)若点 M 纵坐标为,求 M 与焦点的距离; (2)若 t1,P(1,1) ,Q(1,1) ,求证:yAyB为常数; (3)是否存在 t,使得 yAyB1 且 yPyQ为常数?若存在,求出 t 的所有

25、可能值,若不 存在,请说明理由 【分析】 (1)点 M 的横坐标 xM()22,由 y2x,得 p,由此能求出 M 与焦 第 14 页(共 16 页) 点的距离 (2)设 M() ,直线 PM:y1(x1) ,当 x1 时, 同理求出 yB,由此能证明 yAyB为常数 (3)解设 M() ,A(t,yA) ,直线 MA:yy0(xy02) ,联立 y2 x, 得+0, 求出 yP, 同理得 yQ, 由此能求出存在 t1,使得 yAyB1 且 yPyQ为常数 1 【解答】解: (1)解:抛物线 y2x 上的动点 M(x0,y0) , 过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、Q 两点,交直线 xt

26、于 A、B 两点 点 M 纵坐标为, 点 M 的横坐标 xM()22, y2x,p, M 与焦点的距离为 MF2+ (2)证明:设 M() ,直线 PM:y1(x1) , 当 x1 时, 直线 QM:y+1(x1) ,x1 时,yB,yAyB1, yAyB为常数1 (3)解:设 M() ,A(t,yA) ,直线 MA:yy0(xy02) , 联立 y2x,得+0, y0+yp,即 yP, 第 15 页(共 16 页) 同理得 yQ, yAyB1, yPyQ, 要使 yPyQ为常数,即 t1,此时 yPyQ为常数 1, 存在 t1,使得 yAyB1 且 yPyQ为常数 1 【点评】本题考查点到焦

27、点的距离的求法,考查两点纵坐标乘积为常数的证明,考查满 足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法,考查抛物线、直线方程等基 础知识,考查运算求解能力,是中档题 21 (18 分)已知非空集合 AR,函数 yf(x)的定义域为 D,若对任意 tA 且 xD,不 等式 f(x)f(x+t)恒成立,则称函数 f(x)具有 A 性质 (1)当 A1,判断 f(x)x、g(x)2x 是否具有 A 性质; (2)当 A(0,1) ,f(x)x+,xa,+) ,若 f(x)具有 A 性质,求 a 的取值范 围; (3)当 A2,m,mZ,若 D 为整数集且具有 A 性质的函数均为常值函数,求所 有

28、符合条件的 m 的值 【分析】 (1)利用函数的单调性结合新定义,逐个判断即可; (2)依题意,为增函数,由双勾函数的图象及性质即得解; (3)由题意,f(2k)p(kZ) ,f(2n1)q(nZ) ,又为常值函数,故 f(2k) f(2n1) ,由此即可得解 【解答】解: (1)f(x)x 为减函数, f(x)f(x1) , f(x)x 具有 A 性质; g(x)2x 为增函数, g(x)g(x1) , g(x)2x 不具有 A 性质; (2)依题意,对任意 t(0,1) ,f(x)f(x+t)恒成立, 第 16 页(共 16 页) 为增函数(不可能为常值函数) , 由双勾函数的图象及性质可

29、得 a1, 当 a1 时,函数单调递增,满足对任意 t(0,1) ,f(x)f(x+t)恒成立, 综上,实数 a 的取值范围为1,+) (3)D 为整数集,具有 A 性质的函数均为常值函数, 当 t2,f(x)f(x2)恒成立,即 f(2k)p(kZ) ,f(2n1)q(nZ) , 由题意,pq,则 f(2k)f(2n1) , 当 x2k,f(x)f(x+2n2k1) ,m2n2k1(n,kZ) , 当 x2n1,f(x)f(x+2k2n+1) ,m2k2n+1(n,kZ) , 综上,m 为奇数 【点评】本题以新定义为载体,考查抽象函数的性质及其运用,考查逻辑推理能力及灵 活运用知识的能力,属于中档题