1、集合的元素个数是（ ） A2 B4 C6 D8 2 （5 分）复数 zi2019（12i）的共轭复数为（ ） A2i B2+i C2i D2+i 3 （5 分） 在ABC 中， AB2， AC1， D 为 BC 边上一点， 且， 则 （ ） A3 B C3 D 4 （5 分）已知，则（ ） A B C D 5 （5 分）若，blog3e，则有（ ） Aabc Bacb Ccba Dcab 6 （5 分）某车间加工零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如表： 零件数 x/个 12 23 31 加工时间 y/分 15 30 45 现已求得上表数据的回归方程中的 值为 1.6，则据此回归模型可以
2、预测，加工 100 个零件所需要的加工时间约为（ ） A155 分钟 B156 分钟 C157 分钟 D158 分钟 7 （5 分） 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两 幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方” ，是中华文化，阴阳术数 之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、 十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对 值为 3 的概率为（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 8 （5 分）已知函数的最小值为 a，将函数的 图象向左平移个单位长度得到函数 h（x）
3、的图象，则下面结论正确的是（ ） A函数 h（x）是奇函数 B函数 h（x）在区间，上是增函数 C函数 h（x）图象关于（2，0）对称 D函数 h（x）图象关于直线 x3 对称 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的值为 5，则框图中处可填入（ ） AS6？ BS10？ CS15？ DS21？ 10 （5 分）已知双曲线 C 的焦点在 y 轴上，离心率为，点 P 是抛物线 y24x 上的一动 点， P 到双曲线 C 的上焦点 F1（0， c） 的距离与到直线 x1 的距离之和的最小值为， 则该双曲线的方程为（ ） A B C D 11 （5 分）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪
4、，我国著名数学家张遂在编制大 衍历中发明了一种二次不等距插值算法：若函数 yf（x）在 xx1，xx2，xx3（x1 第 3 页（共 22 页） x2x3）处的函数值分别为 y1f（x1） ，y2f（x2） ，y3f（x3） ，则在区间x1，x3上 f （x）可以用二次函数来近似代替：f（x）y1+k1（xx1）+k2（xx1） （xx2） ，其中 ，若令 x10，x3，请依据上述算 法，估算的值是（ ） A B C D 12 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x） ，对任意的 xR 都有 f（x）2x，且当 0，2时，不等式的解集为（ ） A B C D 二、填空题（木题共二、填空题（
5、木题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知函数 f（x），则 f（f（1） ） 14 （5 分）若特称命题： “x0R，使得 4mx02+4mx030 成立”是假命题，则实数 m 的 取值范围是 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bacosC+csinA，且 a，b，c 成等比数列，则 16 （5 分）一个三对棱长相等的四面体 ABCD，其三对棱长分别， ，则此四面体的体积为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、，第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答，第题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题） （一）必考题 （共（共 60 分分.） 17 （12 分）已知等比数列an的公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且 S4120，a3与 a4的等差 中项为 6a2 （1）求数列an的通项公式； （2）设，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn 第 4 页（共 22 页） 18 （12 分）世界军人运动会，简称“军运会” ，每四年举办一届，会期 7 到 10 天，比赛设 有 27 个大项，参赛规模约 100 多
7、个国家近 10000 余人，规模仅次于奥运会，根据各方达 成共识，军运会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在湖北武汉举行，赛期 10 天，为了军运会 顺利召开，特招聘了 3 万名志愿者某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为 34 岁，年龄在40，45）岁内的人数为 15 人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： （1） 求 m， n 的值并估算出志愿者的平均年龄 （同一组的数据用该组区间的中点值代表） ； （2） 这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七 届世界军运会官网报名，即现场和网
8、络两种方式报名调查这 100 位志愿者的报名方式 部分数据如表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？ 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，AB2，BAD60， 平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等边三角形，O 为 AD 的中点 （1）求证：平面 PAD平面
9、 POB； （2）若 E 是 PC 的中点，求证：PA平面 BDE，并求四面体 PBDE 的体积 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：的短轴长为 2，以椭圆 C 的长轴为直径的 圆与直线相切 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）斜率为 l 的直线 l 交椭圆 C 于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，且 x1x2，若直线 x 3 上存在点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+sinx，x，+） （1）若 f（x）ex+sinx，当 x0，+）时，解关于 x 的不等式 f（2x21）f
10、（x） ； （2）证明：f（x）有且仅有 2 个零点 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第题中任选一题作答，若多做，则按所做的第 一题计分一题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，其中 为参数， 直线 l 的方程为， 以坐标原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程； （2）已知射线与曲线 C 和直线 l 分别交于 M，N 两点，求线段 MN 的长 选修选修
11、 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|xm|+2x0 的解集为（，1，其中 m0 （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证： 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、学年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、 信阳高中等湘豫名校信阳高中等湘豫名校高三（上）高三（上）12 月联考数学试卷（文科）月联考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有
12、一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的.） 1 （5 分）集合的元素个数是（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】推导出，由此能求出结果 【解答】解：因为， 所以当 x0 时，y2N； 当 x1 时，； 当 x2 时，； 当 x3 时，y1N； 当 x4 时，0y1，yN 综上，元素个数是 2 个 故选：A 【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合性质等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 2 （5 分）复数 zi2019（12i）的共轭复数为（ ） A2i B2+i C2i D2+i 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行计算即可
13、 【解答】解：zi2019（12i）i504 4+3（12i）i3（12i）i（12i） 2+i， 则 2i， 故选：C 【点评】 本题主要考查复数的求解， 结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键 比 第 7 页（共 22 页） 较基础 3 （5 分） 在ABC 中， AB2， AC1， D 为 BC 边上一点， 且， 则 （ ） A3 B C3 D 【分析】根据条件可得出 D 为 BC 的中点，从而得出， 然后进行数量积的运算即可 【解答】解：如图， ，D 为 BC 边上的中点， ， 故选：B 【点评】本题考查了相等向量的定义，向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的 几何意义，考查了
14、计算能力，属于基础题 4 （5 分）已知，则（ ） A B C D 【分析】由，由此利用诱导公式能求出 【解答】解：， ， 由诱导公式知 故选：C 第 8 页（共 22 页） 【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 5 （5 分）若，blog3e，则有（ ） Aabc Bacb Ccba Dcab 【分析】可以得出，log3e1，从而可得出 a，b，c 的大小关 系 【解答】解：，且，log3elog33 1， cab 故选：D 【点评】本题考查了分数指数幂的运算，指数函数、对数函数的单调性，考查了计算能 力，属于基础题 6 （5 分）某车间加工
15、零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如表： 零件数 x/个 12 23 31 加工时间 y/分 15 30 45 现已求得上表数据的回归方程中的 值为 1.6，则据此回归模型可以预测，加工 100 个零件所需要的加工时间约为（ ） A155 分钟 B156 分钟 C157 分钟 D158 分钟 【分析】求出线性回归方程的中心点，代入方程，求出线性回归方程，令 x100，代入 求出即可 【解答】解：由题意得：， 回归直线过样本中心点（22，30） ， 故有， 故， 当 x100 时， 第 9 页（共 22 页） 故选：A 【点评】考查线性回归方程及其性质，样本估计总体，中档题 7 （5 分
16、） 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两 幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方” ，是中华文化，阴阳术数 之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、 十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对 值为 3 的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意，计算出所有基本事件的个数，列出差的绝对值为 3 包含的基本事件 个数即可得到所求 【解答】解：因为阳数为 1，3，5，7，9，阴数为 2，4，6，8，10， 所以从阴数和阳数中各取 1 个的所有组合共有 5525 个， 满足差的
17、绝对值为 3 的有： （1，4） ， （3，6） ， （5，2） ， （5，8） ， （7，10） ， （7，4） ， （9， 6）共 7 个， 则 P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 8 （5 分）已知函数的最小值为 a，将函数的 图象向左平移个单位长度得到函数 h（x）的图象，则下面结论正确的是（ ） A函数 h（x）是奇函数 B函数 h（x）在区间，上是增函数 C函数 h（x）图象关于（2，0）对称 D函数 h（x）图象关于直线 x3 对称 第 10 页（共 22 页） 【分析】由基本不等式可求得 a3，进而根据三角函数
18、的图象变换得到， 再逐项判断即可 【解答】解：，当且仅当，即 x1 时，等号成立， a3则，将函数 g（x）的图象向左平移个单位长度，得到 函数 h（x）的图象， 则， 对于 A 选项，函数 h（x）是偶函数，A 选项错 误； 对于 B 选项，x，函数 h（x）在，上不单调， B 选项错误； 对于 C 选项，函数 h（x）图象不关于（2，0）对称， C 选项错误； 对于 D 选项，h（3）cos1，函数 h（x）图象关于直线 x3 对称，D 选项 正确 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象及性质，考查三角函数的图象变换及基本不等式 的运用，属于基础题 9 （5 分）执行如图所示的程序框
19、图，若输出的值为 5，则框图中处可填入（ ） AS6？ BS10？ CS15？ DS21？ 【分析】据程序框图写出几次循环的结果，直到 i5，即可得出满足的条件，由此得 第 11 页（共 22 页） 解 【解答】解：第一次循环：S1，不满足条件，i2； 第二次循环：S3，不满足条件，i3； 第三次循环：S6，不满足条件，i4； 第四次循环：S10，不满足条件，i5； 第五次循环：S15，满足条件，输出 i 的值为 5 所以判断框中的条件可填写“S15？” 故选：C 【点评】本题考查了程序框图中的循环结果，常通过写出前几次循环的结果找出规律， 是基础题 10 （5 分）已知双曲线 C 的焦点在
20、y 轴上，离心率为，点 P 是抛物线 y24x 上的一动 点， P 到双曲线 C 的上焦点 F1（0， c） 的距离与到直线 x1 的距离之和的最小值为， 则该双曲线的方程为（ ） A B C D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，根据三角形两边之和不小于第三边，转化 求解双曲线的 a，b，得到双曲线方程 【解答】解：设 F 为抛物线 y24x 的焦点，则 F（1，0） ，拋物线 y24x 准线方程为 x 1， 因此 P 到双曲线 C 的上焦点 F1（0， c） 的距离与到直线 x1 的距离之和等于 PF1+PF， 因为 PF1+PFF1F，所以，即， ，又，a24，b23， 即双曲线的
21、方程为 故选：B 【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 11 （5 分）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制大 第 12 页（共 22 页） 衍历中发明了一种二次不等距插值算法：若函数 yf（x）在 xx1，xx2，xx3（x1 x2x3）处的函数值分别为 y1f（x1） ，y2f（x2） ，y3f（x3） ，则在区间x1，x3上 f （x）可以用二次函数来近似代替：f（x）y1+k1（xx1）+k2（xx1） （xx2） ，其中 ，若令 x10，x3，请依据上述算 法，估算的值是（ ） A B C D 【分析】根据题意设 y
22、f（x）sinx，且 x10，x3， 计算对应的 y1、y2、和 y3的值，求出 k1、k2和 k 的值，代入题目中的二次函数计算即可 【解答】解：设 yf（x）sinx，且 x10，x3， 则有 y10，y21，y30； 所以， 由， 可得， 故选：C 【点评】本题考查了函数值的计算问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题 12 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x） ，对任意的 xR 都有 f（x）2x，且当 0，2时，不等式的解集为（ ） A B C D 【分析】设 g（x）f（x）x2，则 g（x）f（x）2x0，故 g（x）是单调递减函数， 不等式即，故，由此根据正弦函数的图象
23、及性质，求得 的范围 【解答】解：设 g（x）f（x）x2，则 g（x）f（x）2x0， 第 13 页（共 22 页） g（x）是单调递减函数，不等式， 变形为，即为，即 g（sin） ，则有， 又g（x）是单调递减函数， 0，2，或， 即， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，正弦函数的图象和性质，属于中档 题 二、填空题（木题共二、填空题（木题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知函数 f（x），则 f（f（1） ） 2 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（1）的值，即可得 f（f（1） ）f（3） ， 进而可得答
24、案 【解答】解：根据题意，f（x），则 f（1）（1）22 （1）3， 则 f（f（1） ）f（3）log（3+1）2； 故答案为：2 【点评】本题考查分段函数的求值，注意函数解析式的形式，属于基础题 14 （5 分）若特称命题： “x0R，使得 4mx02+4mx030 成立”是假命题，则实数 m 的 取值范围是 （3，0 【分析】此题等价为全称命题： “xR，4mx2+4mx30 成立”是真命题当 m0 时， 原不等式化为“30“，当 m0 时，只需，由此能求出结果 【解答】解：此题等价为全称命题： “xR，4mx2+4mx30 成立”是真命题 第 14 页（共 22 页） 当 m0 时，
25、原不等式化为“30” ，xR 显然成立； 当 m0 时，只需， 解得3m0 综上，得3m0 故答案为： （3，0 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查特称命题的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bacosC+csinA，且 a，b，c 成等比数列，则 【分析】由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 tanA1，结合 A 为三角形 内角，可得，进而根据等比数列的性质即可求解 【解答】解：由正弦定理可知 sinBsinAcosC+sinCsinA， 又 sinBsin（A+C）sinAcosC
26、+sinCcosA， 易得：ccosAcsinA， 可得 tanA1， 又 A 为三角形内角，可得， 又 a，b，c 成等比数列， 所以，可得：， 则 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等比数列的性质在解三 角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 16 （5 分）一个三对棱长相等的四面体 ABCD，其三对棱长分别， ，则此四面体的体积为 2 【分析】利用四面体扩展为长方体，求出长方体的棱长，然后求解体积 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：设四面体 ABCD 所在的长方体棱长分别为 a，b，c，则，解得 ， 所以四面体的体积， 故答案为：2 【点评】本
27、题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答，第题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题） （一）必考题 （共（共 60 分分.） 17 （12 分）已知等比数列an的公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且 S4120，a3与 a4的等差 中项为 6a2 （1）求数列an的通项公式； （2）设，数列bn的前 n 项和为 Tn，求
28、 Tn 【分析】本题第（1）题先根据等比数列的性质及等差中项的性质列出关于 q 的方程，然 后解此方程即可得到 q 的值，再代入 S4120 可求出 a1的值，由此可得出数列an的通 项公式；第（2）题先根据第（1）题得到的数列an的通项公式求出数列bn的通项公式， 然后根据通项公式的特点采用裂项相消法求和 【解答】解： （1）由题意，可得 a3+a426a2， 即， 又q0，q2+q120， 解得 q3 或 q4（舍去） ，解得 a13， 数列an的通项公式为：，nN* （2）由（1） ，知 第 16 页（共 22 页） 则 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，方程思想的应用，
29、以及裂项相 消法在求和时的运用本题属中档题 18 （12 分）世界军人运动会，简称“军运会” ，每四年举办一届，会期 7 到 10 天，比赛设 有 27 个大项，参赛规模约 100 多个国家近 10000 余人，规模仅次于奥运会，根据各方达 成共识，军运会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在湖北武汉举行，赛期 10 天，为了军运会 顺利召开，特招聘了 3 万名志愿者某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为 34 岁，年龄在40，45）岁内的人数为 15 人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： （1） 求 m， n 的值
30、并估算出志愿者的平均年龄 （同一组的数据用该组区间的中点值代表） ； （2） 这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七 届世界军运会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查这 100 位志愿者的报名方式 部分数据如表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？ 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 第 17 页（共 22 页） k0 3.841 6.635 7.87
31、9 10.828 【分析】 （1）根据题意，分析可得 m+2n0.07 以及 5m+4n0.2，解可得 m、n 的值，据 此计算可得答案； （2）根据题意，分析可得列联表，进而计算可得观测值 k 的值，据此分析可得答案 【解答】解： （1）根据题意，志愿者年龄在40，45）内的人数为 15 人， 志愿者年龄在40，45）内的频率为：； 由频率分布直方图得： （0.020+2m+4n+0.010）5+0.151， 化简得：m+2n0.07 由中位数为 34 可得：0.0205+2m5+2n（3430）0.5， 化简得：5m+4n0.2， 由解得：m0.020，n0.025 志愿者的平均年龄为（2
32、2.50.020+27.50.040+32.50.050+37.50.050+42.5 0.030+47.50.010）534（岁） （2）根据题意得到列联表： 男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 31 19 50 总计 50 50 100 ， 不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系 【点评】本题考查独立性检验的应用，涉及频率分布直方图的分析，属于基础题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，AB2，BAD60， 平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等边三角形，O 为 AD 的中点 （1）求证：
33、平面 PAD平面 POB； （2）若 E 是 PC 的中点，求证：PA平面 BDE，并求四面体 PBDE 的体积 第 18 页（共 22 页） 【分析】 （1）证明 ADPO，ADBO推出 AD平面 POB，然后证明平面 PAD平面 POB （2）连结 AC 交 BD 于点 F，连结 EF，通过 VPBDEVABDEVEABD转化求解即可 【解答】 （1）证明：因为 O 为等边PAD 边 AD 的中点，所以 ADPO， 又因为在菱形 ABCD 中，BAD60，所以ABD 为等边三角形， 又 O 为 AD 的中点， 所以 ADBO 而 POBOO，所以 AD平面 POB， 又 AD平面 PAD，
34、所以平面 PAD平面 POB （2）解：连结 AC 交 BD 于点 F，连结 EF，如图所示 因为底面 ABCD 为菱形，E 为 PC 中点，F 为 AC 中点，所以 EFPA， 又 EF平面 BDE，所以 PA平面 BDE 故 P 点到平面 BDE 的距离等于 A 点到平面 BDE 的距离， 即 VPBDEVABDEVEABD 由（1）知 ADPO，平面 PAD平面 ABCD，所以 PO底面 ABCD， 因为等边PAD 的边长为 2，所以 又因为 E 为 PC 中点，所以点 E 到底面 ABCD 的距离为， 易 知 ABD 为边 长为 2 的等 边三 角形 ，所以 三棱 锥 E ABD 的体
35、 积为 ： 故所求四面体 PBDE 的体积为 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，训练 了等积法，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：的短轴长为 2，以椭圆 C 的长轴为直径的 圆与直线相切 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）斜率为 l 的直线 l 交椭圆 C 于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，且 x1x2，若直线 x 3 上存在点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由短轴长及以椭圆 C 的长轴为直径的圆与直线相切和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的标准
36、方程； （2）设直线 l 的方程，联立与椭圆的方程求出两根之和及两根之积，再由PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形得参数的值，进而求出直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意得 b1，则 a23 所以椭圆 C 的方程为 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，P（3，yP） ， 联立直线与椭圆的方程整理得：4x2+6mx+3m230 令36m248m2+480，得2m2， 则， 第 20 页（共 22 页） 因为PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形， 所以 NP 平行于 x 轴过 M 作 NP 的垂线，则垂足 Q 为线段 NP 的中点 设点 Q 的坐标为（xQ，yQ） ，则 由
37、方程组， 解得 m2+2m+10，即 m1 而 m1（2，2） ，所以直线 l 的方程为 yx1 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+sinx，x，+） （1）若 f（x）ex+sinx，当 x0，+）时，解关于 x 的不等式 f（2x21）f（x） ； （2）证明：f（x）有且仅有 2 个零点 【分析】 （1）先对 f（x）求导，判断 f（x）在0，+）上的单调性，再根据 f（x）的单 调性，解不等式 f（2x21）f（x） ； （2）当 x0，+）时，根据（1）可知函数 f（x）在0，+）上没有零点，当 x， 0）时，利用零点存在定理判断
38、 f（x）的零点个数即可 【解答】解： （1）当 x0 时，f（x）ex+cosxe0+cosx1+cosx0 故 f（x）在0，+）上单调递增， 不等式 f（2x21）f（x）等价于，x1， 关于 x 的不等式的解集为（1，+） （2）证明：由（1）知函数 f（x）在0，+）上单调递增，且 f（x）minf（0）10 函数 f（x）在0，+）上没有零点 设 g（x）f（x）ex+cosx，g（x）exsinx， 当 x，0）时，sinx0，ex0，g（x）0g（x）在，0）上单调递增 易知 f（x）在，0）上单调递增，且 f（）e 1e010，f（0）20 故x0，0） ，使得 f（x0）0
39、，f（x）在，x0上单调递减，在x0，0）上单调 递增 第 21 页（共 22 页） 又f（）e 0， ，f（0）10 f（x）在，上分别有一个零点 综上，f（x）有且仅有 2 个零点 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想 和转化思想，属中档题 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第题中任选一题作答，若多做，则按所做的第 一题计分一题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，其中 为参数，
40、 直线 l 的方程为， 以坐标原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程； （2）已知射线与曲线 C 和直线 l 分别交于 M，N 两点，求线段 MN 的长 【分析】 （1）直接把曲线 C 的参数方程中的参数消去，可得曲线 C 的普通方程，结合极 坐标与直角坐标的互化公式，可得直线 l 的极坐标方程； （2）化曲线 C 的普通方程为极坐标方程，把分别代入曲线 C 与直线 l 的极坐标 方程求得 M 与 N 的极径，即可求得线段 MN 的长 【解答】解： （1）由，其中 为参数，消去参数 ，可得曲线 C 的普通 方程为（x1）2+
41、y23 由直线 l 的方程为，得直线 l 的极坐标方程为， 即； （2）化曲线 C 的直角坐标方程为极坐标方程 22cos20 把代入曲线 C 的极坐标方程，得 220，解得 2 或 1（舍） 把代入直线 l 的极坐标方程，得 1 MN|21|1 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 22 页（共 22 页） 23已知关于 x 的不等式|xm|+2x0 的解集为（，1，其中 m0 （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证： 【分析】 （1）先解不等式组可得或，对照题意，即可求得 m 的值； （2）根据所证不等式，容易想到，三式相加即 可得证 【解答】解： （1）|xm|+2x0，即或， 化简得，或，由于 m0， 不等式组的解集为（，m， 由题设可得，m1，故 m1； （2）由（1）可知，a+b+c1， 又由均值不等式有：， 三式相加得， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查运算求解及逻辑推理 能力，属于基础题