1、设全集 UR，集合 Ax|x22x30，Bx|x1，则（UA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x3 Cx|x1 Dx|x3 2 （5 分）复数 zi2019（12i）的共轭复数为（ ） A2i B2+i C2i D2+i 3 （5 分）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系 数和是（ ） A1 B1 C210 D211 4 （5 分）若，blog3e，则有（ ） Acab Bacb Ccba Dabc 5 （5 分） 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两 幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方” ，是中华文化，阴阳术数 之源，其中
2、河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、 十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对 值为 3 的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）数列an，bn满足 a1b12，an+1an2，nN*，则数列bn的前 n 项和为（ ） A B 第 2 页（共 26 页） C D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的值为 5，则框图中处可填入（ ） AS6？ BS10？ CS15？ DS21？ 8 （5 分）将函数 ysin2x 的图象向右平移 （0）个单位长度得到 f（x）的图象， 若函数 f （x） 在区间上单调递增， 且
3、f （x） 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是（ ） A B C D 9 （5 分）梅赛德斯奔驰（MercedesBenz）创立于 1900 年，是世界上最成功的高档汽车 品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化已知该商标由 1 个圆形和 6 个全等的三角形组成（如图） ，点 O 为圆心，OAB15，若在圆内任取一 点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 10（5 分） 我们把叫 “费马数”（费马是十七世纪法国数学家） 设 anlog2（Fn1） ，n1，2，3，Sn表示数列an的前 n 项之和，则使不等式 成立的最大正整数 n 的值是（ ） 第 3
4、页（共 26 页） A5 B6 C7 D8 11 （5 分）在ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且满足，P 为 EF 上的任意一点，实数 x，y 满足，设ABC、PBC、PCA、PAB 的面积分别为 S、S1、S2、S3，记，则 23取到最大值时，x，y 的值分别为（ ） A0，2 B1，2 C1，1 D2，1 12（5分） 设f （x） 是定义在R上的函数f （x） 的导数， 函数f （x） 满足f （x） 2f（0）x，若 g（x），且方程有两个不同的实数解， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0）1 B （，0）（1，+） C （0，1） D （1，+） 二、填空题（
5、本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知是奇函数，则 f（g（2） ） 14（5 分） 已知函数， 若 f （0） +f （1）2021，则实数 a 15 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直 线 l 与圆 x2+y2a2相切于点 T，且直线 l 与双曲线 C 的右支交于点 P，若， 则双曲线 C 的离心率为 16 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 的距离是的 点形成一条曲线，这条曲线的长度是 （参考数据） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分
6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin2A+sin2CsinAsinC sin2B （1）求角 B 的大小； 第 4 页（共 26 页） （2）若ABC 为锐角三角形，其外接圆的半径为，求ABC 的周长的取值范围 18 （12 分）在 RtAOB 中，斜边 AB4，RtAOC 可以通过 RtAOB 以直 线 AO 为轴旋转得到，且二面角 BAOC 为 120，点 D 满足 （1）求证：平面 BOC平面 AOB； （2）求直线 CD 与平面 AOB 所成角的正弦值
7、19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的左、右顶点 分别为 A，B，右焦点为 F，过点 A 且斜率为 k（k0）的直线交椭圆 C 于另一点 P （1）求椭圆的离心率； （2）若 t1，设直线 l：x2，延长 AP 交直线 l 于点 Q，线段 BQ 的中点为 E，求证： 点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 PF 上 20 （12 分）2019 年春节期间，当红影视明星翟天临“不知知网 ”学术不端事件在全国 闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等 教育乱象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的 2019 年部 门预算
8、中透露，2019 年教育部拟抽检博士学位论文 6000 篇，预算为 800 万元，国务院学 位委员会、教育部 2014 年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检 的学位论文送 3 为同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 2 位）专家评议意见为 “不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文” ；有且只有 1 位专家评议意见为 “不合格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进行复评，2 为复评专家中有 1 位以上（含 第 5 页（共 26 页） 1 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文” 设每篇 学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为
9、p（0p1） ，且个篇论文是否被评议 为“不合格”相互独立 （1）相关部门随机抽查了 300 位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的 部分数据如表所示： 合格 不合格 博士学位论文 150 50 硕士学位论文 50 通过计算说明是否有 99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？ （2）若，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 p0，求 p0的值； （3） 若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元， 需要复评的评审费用为 1500 元；除评审费外，其他费用总计为 100 万元，现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇， 问是否会超过预算
10、？并说明理由 参考公式：K2，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 21 （12 分）已知函数有两个极值点 x1，x2（e 为自然对数的底数） （1）求实数 a 的取值范围； （2）求证： 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂
11、题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分 （本小题满分做，则按所做的第一题计分 （本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，其中 为参数， 第 6 页（共 26 页） 直线 l 的方程为， 以坐标原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的极坐标方程； （2）已知射线与曲线 C 和直线 l 分别交于 M，N 两点，求线段 MN 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0
12、分分) 23已知关于 x 的不等式|xm|+2x0 的解集为（，1，其中 m0 （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证： 第 7 页（共 26 页） 2019-2020 学年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、学年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、 信阳高中等湘豫名校信阳高中等湘豫名校高三（上）高三（上）12 月联考数学试卷（理科）月联考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，
13、只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设全集 UR，集合 Ax|x22x30，Bx|x1，则（UA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x3 Cx|x1 Dx|x3 【分析】先求出集合 A，从而UAx|x1 或 x3，由此能求出（UA）B 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x22x30x|1x3， Bx|x1， UAx|x1 或 x3， 则（UA）Bx|x3 故选：D 【点评】本题考查补集、交集的求法，考查集合运算法则等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 2 （5 分）复数 zi2019（12i）的共轭复数为（ ） A2i B2+i C2i D2+i 【分析】根据
14、复数的运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行计算即可 【解答】解：zi2019（12i）i504 4+3（12i）i3（12i）i（12i） 2+i， 则 2i， 故选：C 【点评】 本题主要考查复数的求解， 结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键 比 较基础 3 （5 分）若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系 数和是（ ） A1 B1 C210 D211 【分析】 由题意得出展开式中共有 11 项， n10； 再令 x1 求得展开式中各项的系数和 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：由展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有 11 项，所以 n1
15、0； 令 x1，可求得展开式中各项的系数和是 （12）101 故选：B 【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了转化思想，是基础题 4 （5 分）若，blog3e，则有（ ） Acab Bacb Ccba Dabc 【分析】可以得出，log3e1，从而可得出 a， b，c 的大小关系 【解答】解：，且，log3elog331， cab 故选：A 【点评】本题考查了根式和分数指数幂的转化，分数指数幂的运算，指数函数和对数函 数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题 5 （5 分） 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两 幅神秘图案，蕴含了深奥的宇
16、宙星象之理，被誉为“宇宙魔方” ，是中华文化，阴阳术数 之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、 十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对 值为 3 的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意，计算出所有基本事件的个数，列出差的绝对值为 3 包含的基本事件 个数即可得到所求 【解答】解：因为阳数为 1，3，5，7，9，阴数为 2，4，6，8，10， 第 9 页（共 26 页） 所以从阴数和阳数中各取 1 个的所有组合共有 5525 个， 满足差的绝对值为 3 的有： （1，4） ， （3，6） ， （5，2） ，
17、（5，8） ， （7，10） ， （7，4） ， （9， 6）共 7 个， 则 P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 6 （5 分）数列an，bn满足 a1b12，an+1an2，nN*，则数列bn的前 n 项和为（ ） A B C D 【分析】首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的和 【解答】解：由于数列an，bn满足 a1b12，an+1an2（常数） ， 所以数列an为等差数列，数列bn为等比数列 整理得：an2n， 所以 所以 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前 n 项和的应用，
18、 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的值为 5，则框图中处可填入（ ） 第 10 页（共 26 页） AS6？ BS10？ CS15？ DS21？ 【分析】据程序框图写出几次循环的结果，直到 i5，即可得出满足的条件，由此得 解 【解答】解：第一次循环：S1，不满足条件，i2； 第二次循环：S3，不满足条件，i3； 第三次循环：S6，不满足条件，i4； 第四次循环：S10，不满足条件，i5； 第五次循环：S15，满足条件，输出 i 的值为 5 所以判断框中的条件可填写“S15？” 故选：C 【点评】本题考查了程序框图中的循环结
19、果，常通过写出前几次循环的结果找出规律， 是基础题 8 （5 分）将函数 ysin2x 的图象向右平移 （0）个单位长度得到 f（x）的图象， 若函数 f （x） 在区间上单调递增， 且 f （x） 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】根据三角函数的平移关系求出 f（x）的解析式，结合函数的单调性和零点关系 建立不等式组进行求解即可 【解答】解：将函数 ysin2x 的图象向右平移 （0）个单位长度得到 f（x）的 图象， 则 f（x）sin2（x）sin（2x2） ， 由 2x2k+得 x+，kZ， 第 11 页（共 26 页） 故 y 轴右侧的第一条对称
20、轴为 x+，左侧第一条对称轴为 x， 函数 f（x）在区间上单调递增， 得，得， 令 f（x）0 得 2x2k 得 x+，kZ， 故最大的负零点为 x， f（x）的最大负零点在区间上， ，得， 综上， 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数 f（x）的解析式，利用函数单 调性和零点关系建立不等式是解决本题的关键有一定的难度 9 （5 分）梅赛德斯奔驰（MercedesBenz）创立于 1900 年，是世界上最成功的高档汽车 品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化已知该商标由 1 个圆形和 6 个全等的三角形组成（如图） ，点 O 为圆心，OAB15
21、，若在圆内任取一 点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 【分析】求出阴影部分面积和圆的面积，代入几何概型的概率公式即可得到所求 【解答】解：由已知可得AOB60，则ABO105 又， 第 12 页（共 26 页） 不妨设 OA4，则由正弦定理可得， 则， 所以阴影部分的面积为，圆 O 的面积为 S16， 则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为 故选：D 【点评】本题考查几何概型的概率的求法，考查了正弦定理的应用，求解阴影部分面积 是关键，考查分析解决问题的能力，是中档题 10（5 分） 我们把叫 “费马数”（费马是十七世纪法国数学家） 设 anlog2（Fn1） ，n1，
22、2，3，Sn表示数列an的前 n 项之和，则使不等式 成立的最大正整数 n 的值是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用和不等 式的应用求出结果 【解答】 解： 由于， 所以 anlog2（Fn1） 2n， 则， 所以， 所 以+ +， 则，整理得，即 2n+2256，即 n6，故 n5 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）在ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且满足，P 为 第 13
23、 页（共 26 页） EF 上的任意一点，实数 x，y 满足，设ABC、PBC、PCA、PAB 的面积分别为 S、S1、S2、S3，记，则 23取到最大值时，x，y 的值分别为（ ） A0，2 B1，2 C1，1 D2，1 【分析】由题意可得 EFAB，可得 S1，S，由此可得 ，当且仅当，即 S2S3时，即 P 为 EF 的 中点时，等号成立，由题意可知 P 为ABC 的重心，所以，由已知得 ，再由平面向量基本定理，即可得到当 23取到最大值时，x，y 的值 分别为 1，1， 【解答】解：如图所示： 由题意可得 EFAB，P 到 BC 的距离等于ABC 的 BC 边上高的，可得 S1， 则
24、S，由此可得，当且仅当 ，即 S2S3时，即 P 为 EF 的中点时，等号成立， 若延长 AP 交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，故 P 为ABC 的 重心， ，由已知得， 平面向量基本定理，得 xy1， 当 23取到最大值时，x，y 的值分别为 1，1， 故选：C 【点评】本题主要考查了平面向量基本定理，以及基本不等式和三角形重心性质，是中 档题 第 14 页（共 26 页） 12（5分） 设f （x） 是定义在R上的函数f （x） 的导数， 函数f （x） 满足f （x） 2f（0）x，若 g（x），且方程有两个不同的实数解， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0）1 B
25、 （，0）（1，+） C （0，1） D （1，+） 【分析】根据 f（x）2f（0）x，可得 f（x）f（1）e2x 2+2x 2f（0） ，进儿可求得 f（x）e2x+x22x，所以 g（x）ex，结合，构 造新函数 h（x）（x0） ，求出其单调性并作出图象如图，可求出 a 的取值范 围 【解答】解：由 f（x）f（1）e2x 2+x22f（0）x， 所以 f（x）f（1）e2x 2+2x2f（0） ， 令 x1，则 f（1）f（1）+22f（0） ，所以 f（0）1， 又 f（0）f（1）e 2，则 f（1）2e2，f（x）e2x+x22x， 所以 g（x）ex， 又因为 g（）x0，
26、所以x， 所以lnx，则， 构造函数 h（x）（x0） ， 令 h（x）0，则 x1， 当 0x1 时，h（x）0，当 x1 时，h（x）0，所以 h（x）在 x1 处去的最 大值 1， 第 15 页（共 26 页） 作出图象如图，则当 01，即 a1 时，直线 y与函数 h（x）有两个交点，此时 方程有两个实数解， 故 a（1，+） ， 故选：D 【点评】本题考查导数的应用，函数图象与方程实数解的问题，数形结合是关键，属于 中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知是奇函数，则 f（g（2） ） 2
27、【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（2）的值，结合函数的奇偶性可得 g（2） 的值，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，则 f（2）log223132， 又由 f（x）为奇函数，则 g（2）f（2）f（2）2， 则 f（g（2） ）f（2）2； 故答案为：2 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题 14（5 分） 已知函数， 若 f （0） +f （1）2021，则实数 a 1 【分析】直接利用函数的对称性的应用和函数的关系式的应用求出 a 的值 【解答】解：函数，所以函数 f（x）关于（）成中心对称， 则 f（x）+f（1x）2a， 所以 f（0）
28、+f（1）2021， 故， +得：20121f（0）+f（1）20212， 即 20212a20212，解得 a1 故答案为：1 【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，函数的对称性的应用，主要考查 第 16 页（共 26 页） 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直 线 l 与圆 x2+y2a2相切于点 T，且直线 l 与双曲线 C 的右支交于点 P，若， 则双曲线 C 的离心率为 【分析】由题意可得|OF1|c，|OT|a，则|F1T|b，由向量共线定理可得|TP|2b，|F1P| 3b，运用双曲线的
29、定义，作 F2MOT，结合中位线定理和直角三角形的勾股定理可得 2b3a，再由离心率公式可得所求值 【解答】解：由题意可得|OF1|OF2|c，|OT|a，则|F1T|b， 若，则|TP|2b，|F1P|3b， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，|PF2|3b2a， 作 F2MOT，可得|F2M|2a，|TM|b，则|PM|b， 在直角三角形 MPF2中，|MP|2+|MF2|2|PF2|2，即 b2+（2a）2（3b2a）2， 化为 2b3a，则 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何的中位线定理和勾股定理， 考查方程思想和运算能力，属于中档题 16
30、（5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 的距离是的 点形成一条曲线，这条曲线的长度是 （参考数据） 【分析】由题意知此曲线实质是以 A 点为球心，为半径的球在正方体 ABCD 第 17 页（共 26 页） A1B1C1D1表面的交线； 正方体的各个面根据与球心 A 的位置关系分成两类，分别求出两类平面截得圆弧长，再 求和即可 【解答】解：由题意知，此曲线实质是以 A 点为球心，为半径的球在正方体 ABCD A1B1C1D1表面的交线， 正方体的各个面根据与球心 A 的位置关系分成两类，一类是 ABCD，AA1D1D，AA1B1B 为过球心 A 的截面；
31、 截线为大圆弧，圆弧半径为； 设各圆弧圆心角为 ，则 cos， 所以 37，此时三个面上的大圆弧长为 3； 第二类是 A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1为球心距离为 1 的截面，截线为小圆弧，圆弧半 径为，圆心角为， 此时这三个截线长度和为 32； 所以这条曲线的总长为+ 故答案为： 【点评】本题考查了正方体的结构特征应用问题，也考查了运算求解能力，是难题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin2A+sin2Csin
32、AsinC sin2B （1）求角 B 的大小； 第 18 页（共 26 页） （2）若ABC 为锐角三角形，其外接圆的半径为，求ABC 的周长的取值范围 【分析】 （1）由正弦、余弦定理，即可求出 cosB 以及 B 的值； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，即可求出 a+c 的取值范围，再求ABC 周长的取值 范围 【解答】解： （1）ABC 中，由 sin2A+sin2CsinAsinCsin2B， 得 a2+c2acb2，即 a2+c2b2ac； 所以 cosB； 又 B（0，） ，所以 B； （2）由（1）知 B，且外接圆的半径为， 由正弦定理得2R，b25； 由正弦定理得2R； 所
33、以 a+c（sinA+sinC） ； A+C， 所以 a+csinA+sin（A） （sinA+cosA） 10sin（A+） ； 又ABC 为锐角三角形，则 0A且 0C， 又 CA，则A，所以A+； 所以sin（A+）1； 所以 5a+c10，即ABC 周长的取值范围是（5+5，15 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 18 （12 分）在 RtAOB 中，斜边 AB4，RtAOC 可以通过 RtAOB 以直 线 AO 为轴旋转得到，且二面角 BAOC 为 120，点 D 满足 （1）求证：平面 BOC平面 AOB； 第 19 页（共 26 页） （2）求
34、直线 CD 与平面 AOB 所成角的正弦值 【分析】 （1）根据题给的数据，与旋转当中不变的量，得出线线垂直，从而得出线面垂 直，证出面面垂直； （2）根据题给的向量条件，知道 D 为 AB 三等分点，由（1）知两两垂直的三条线段， 即可构造空间直角坐标系，求出所要求的线面角 【解答】解： （1）因为AOB 为直角三角形，且斜边为 AB，所以AOB， 将 Rt三角形 AOB 以直线 AO 为轴旋转得到 RtAOC，则AOC，即 OCAO， 因为 OBOCO，OB平面 BOC，OC平面 BOC，所以 AO平面 BOC， 又因为 AO平面 AOB，所以平面 BOC平面 AOB （2）在 RtAOB
35、 中，OAB30，斜边 AB4，所以，且 OC2， 又二面角 BAOC 为 120，则COB120， 以 CO 为 x 轴，OA 为 z 轴，CB 上取一点 E 使得COE90，即以 OE 为 y 轴建立空间 直角坐标系， 所以， 因为，所以， 第 20 页（共 26 页） 所以， 设平面 AOB 的法向量，所以， 所以，所以有， 令 y1，则， 设 直 线CD与 平 面AOB所 成 的 角 为 ， 则 ， 即直线 CD 与平面 AOB 所成角的正弦值为 【点评】 （1）本题考查面面垂直的判定，考查折叠、旋转问题当中不变的量，考查二面 角的定义，属于中档题； （2）本题考查线面角，考查空间直角
36、坐标系，属于基础题 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的左、右顶点 分别为 A，B，右焦点为 F，过点 A 且斜率为 k（k0）的直线交椭圆 C 于另一点 P （1）求椭圆的离心率； （2）若 t1，设直线 l：x2，延长 AP 交直线 l 于点 Q，线段 BQ 的中点为 E，求证： 点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 PF 上 【分析】 （1）求得椭圆的 a，b，c，由离心率公式可得所求值； （2）求得椭圆方程和 A，B，F 的坐标，设直线 AP 的方程为 yk（x+2） ，求得 Q 和 E 的坐标，可得直线 EF 的斜率，联立直线 AP 的方程和椭圆方程，运用韦达
37、定理，求得 P 的坐标，以及直线 PF 的斜率，由二倍角的正切公式，可得PFB2EFB，则点 B 关 于直线 EF 的对称点在直线 PF 上 第 21 页（共 26 页） 【解答】解： （1）椭圆的 a2t，bt，ct， 则 e； （2）t1 时，椭圆方程为+1，A（2，0） ，B（2，0） ， 设直线 AP 的方程为 yk（x+2） ，令 x2，可得 y4k，即 Q（2，4k） ， 由 E 为 BQ 的中点，可得 E（2，2k） ，又 F（1，0） ，可得直线 EF 的斜率为 2k， 由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2120， 即有 xAxP，由 xA2，可得 xP， 即 P（，
38、） ， 直线 PF 的斜率为， 而直线 EF 的斜率为 2k，设EFB，可得 tanPFBtan2， 即PFB2EFB，则点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 PF 上 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理， 以及直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题 20 （12 分）2019 年春节期间，当红影视明星翟天临“不知知网 ”学术不端事件在全国 闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等 教育乱象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的 2019 年部 门预算中透露，2019 年教育部
39、拟抽检博士学位论文 6000 篇，预算为 800 万元，国务院学 位委员会、教育部 2014 年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检 的学位论文送 3 为同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 2 位）专家评议意见为 “不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文” ；有且只有 1 位专家评议意见为 “不合格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进行复评，2 为复评专家中有 1 位以上（含 1 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文” 设每篇 第 22 页（共 26 页） 学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 p（0p1） ，且个篇论
40、文是否被评议 为“不合格”相互独立 （1）相关部门随机抽查了 300 位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的 部分数据如表所示： 合格 不合格 博士学位论文 150 50 硕士学位论文 50 50 通过计算说明是否有 99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？ （2）若，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 p0，求 p0的值； （3） 若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元， 需要复评的评审费用为 1500 元；除评审费外，其他费用总计为 100 万元，现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇， 问是否会超过预算？并说明理由 参考
41、公式：K2，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】 （1）根据题意，填写列联表，计算 K2的值，对照临界值得出结论； （2）分别计算一篇学位论文初评和复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求和； （3）根据每篇学位论文评审费 X 的可能取值，计算对应的概率值，求出 E（X） ，利用函 数计算 E（X）的最大值即可 【解答】解： （1）根据题意，填写列联表如下； 合格 不合格 合计 博士学 位论文 150 50 200 硕士学 位论文 50 5
42、0 100 第 23 页（共 26 页） 合计 200 100 300 计算 K218.7510.828， 所以有 99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系； （2）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为p2 （1p）+ p33+； 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为p （1p）21（1p） 23 1； 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 p0+； （3）设每篇学位论文评审费为 X 元，则 X 的可能取值为 900，1500； 则 P（X1500）p （1p）2，P（X900）1p （1p）2； 所以 E（X）9001p （1
43、p）2+1500p （1p）2900+1800p（1p）2； 令 g（p）p（1p）2，p（0，1） ；则 g（p）（1p）22p（1p）（3p1） （p1） ； 所以当 p（0，）时，g（p）0，g（p）在（0，）上单调递增； 当 p（，1）时，g（p）0，g（p）在（，1）上单调递减； 所以 g（p）的最大值为 g（）； 所以实施此方案，最高费用为 100+6000（900+1800）10 4800（万元） 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了概率与数学期望的计算 问题，是中档题 21 （12 分）已知函数有两个极值点 x1，x2（e 为自然对数的底数） （1）求实数
44、a 的取值范围； （2）求证： 【分析】 （1）由题意可知 f（x）exax0 有两个不相等的实数根，分离即 a（x 0）有两个不相等的实数根，结合导数与单调性的关系，可求， 第 24 页（共 26 页） （2）由题意可得0，从而有 a，结合已知不等式， 利用分析法寻求不等式成立的等价条件 【解答】解： （1）f（x）exax， 由有两个极值点 x1，x2可知 f（x）exax0 有两个不相等的 实数根， 即 a（x0）有两个不相等的实数根， 设 g（x）（x0） ，则 g（x）， 故函数 g（x）在（，0） ， （0，1）上单调递减， （1，+）上 单调递增， 结合图象可知，当 ae 时，满足条件， （2）x1，x2为是函数的两极值点， 0， a， 要证， 即证a， 即证， 即证 e， 不妨设 x1x2，t0， 第 25 页（共 26 页） 即证 et， 即证 2tete2t+10， 设 F（t）2tete2t+1，则 F（t）2et（t+1et） ， 则易得 t+1et， F（t）0，F（t）在（，0）上单调递减， 故 F（t）f（0）0， 从而 2tete2t+10， 综上可得， 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数及极值存在条件的应用，属于导数知识的综 合