1、设集合，Bx|0x1，则 AB（ ） A B1，0） C D1，1 2 （5 分）若复数 Z1 为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分）若角 的终边过点 A（3，4） ，则 sin（）（ ） A B C D 4 （5 分）函数 yx+cosx 的大致图象是（ ） A B C D 5 （5 分）在等比数列an中，a2，a14是方程 x2+8x+60 的根，则的值为（ ） A B C D或 6（5分） 定义域为R的函数f （x） 是偶函数， 且对任意x1， x2 （0， +） ， 设 af（2） ，bf（） ，cf（1） ，则（ ） Abac Bcab Ccba Dacb
2、 7 （5 分）已知向量，且，则向量 与 夹角为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 8 （5 分）下列结论中正确的个数是（ ） 在ABC 中，若 sin2Asin2B，则ABC 是等腰三角形； 在ABC 中，若 sinAsinB，则 AB； 两个向量共线的充要条件是存在实数 ，使； 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 A0 B1 C2 D3 9 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫 生，则甲、乙不在同一组的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的
3、圆与 双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 11 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山 脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标 系中，设军营所在区域为 x2+y22，若将军从点 A（3，0）处出发，河岸线所在直线方 程为 x+y4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总 路程为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）在定义域 R 上的导函数为
4、f（x） ，若函数 yf（x）没有零点， 且 ff（x）2020x2020，当在上与 f（x）在 R 上的单调性相同时，实数 k 的取值范围是（ ） A （，1 B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题把答案填写在题中横线上小题把答案填写在题中横线上 13 （5 分）已知函数 f（x），f（f（1） ） 第 3 页（共 21 页） 14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，若 zx+y 的最大值是 15 （5 分）设数列an满足 a13，Sn2an+1，n2，则 a5 16 （5 分）在ABC 中，AB8，BC6，AC10，P 为ABC 外一点，满足 PAPBPC 5，
5、则三棱锥 PABC 的外接球的半径为 三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17 题题-21 题为必考题题为必考题22 题、题、 23 题为选考题题为选考题 17 （12 分）某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了 100 只进行统计，按重量 分类统计，得到频率分布直方图如下： （1）记事件 A 为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过 120 克” ，估计 P（A） ； （2）试估计这批河蟹的平均重量； （3）该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下： 等级 特级 一级 二级 重量（g） （140，160
6、 （100，140 40，100 单价（元/只） 40 20 10 第 4 页（共 21 页） 试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整）收购这批河蟹，才能获利？ 18 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且向量 与向量共线 （）求角 B 的大小； （）若，且 CD1，AD，求三角形 ABC 的面积 19 （12 分）如图，在五棱锥 PABCDE 中，PA平面 ABCDE，ABCD，ACED，AE BC，ABC45，BC2AE4 （1）求证：CD平面 PAC； （2）求直线 PA 与平面 PCD 所成的角是，求五棱锥 PABCDE 的体积 20 （12 分）设
7、 P 为圆 x2+y21 上任意一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，点 M 是线 段 PQ 上的一点，且满足 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（2，0）作直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，设 O 为坐标原点，当OAB 的面积最大时，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）xex+2ax+3 （1）若曲线 yf（x）在 x0 处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数 a 的值； （2）若，求证：f（x）lnx+4 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分
8、22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为为参数，且 0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 第 5 页（共 21 页） （）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； （）设点 M 在曲线 C 上，求点 M 到直线 l 距离的最小值与最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）|2x1|+2，g（x）|x2a|x+1| （）求不等式 f（x）|x+4|的解集； （）若对任意的 x1，x2R，使得 f（x1）g（x2） ，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年湖南省郴
9、州市高考数学一模试卷（文科）年湖南省郴州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题有且只有一项是符合题目要求的小题，每小题有且只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合，Bx|0x1，则 AB（ ） A B1，0） C D1，1 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：， 故选：A 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于 基础题 2 （5 分）若复数 Z1 为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部
10、不为 0 列式求解 【解答】解：Z1为纯虚数， ，即 a2 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题 3 （5 分）若角 的终边过点 A（3，4） ，则 sin（）（ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值 【解答】解：角 的终边过点 A（3，4） ，则 sin（）sin， 故选：D 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题 4 （5 分）函数 yx+cosx 的大致图象是（ ） 第 7 页（共 21 页） A B C D 【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除
11、 A、C 两个选项，再看此 函数与直线 yx 的交点情况，即可作出正确的判断 【解答】解：由于 f（x）x+cosx， f（x）x+cosx， f（x）f（x） ，且 f（x）f（x） ， 故此函数是非奇非偶函数，排除 A、C； 又当 x时，x+cosxx， 即 f（x）的图象与直线 yx 的交点中有一个点的横坐标为 ，排除 D 故选：B 【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力，属于中档题 5 （5 分）在等比数列an中，a2，a14是方程 x2+8x+60 的根，则的值为（ ） A B C D或 【分析】根据题意，由根与系数的关系可得 a2a1
12、46，a2+a148，即可得 a20 且 a14 0，进而由等比数列的性质可得 a3a136，a8，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，等比数列an中，a2，a14是方程 x2+8x+60 的根，则 a2a146， a2+a148， 则 a20 且 a140， 第 8 页（共 21 页） 若 a2a146，则 a2a14a3a13（a8）26， 则有 a3a136，a8， 故； 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题 6（5分） 定义域为R的函数f （x） 是偶函数， 且对任意x1， x2 （0， +） ， 设 af（2） ，bf（） ，cf（1） ，
13、则（ ） Abac Bcab Ccba Dacb 【分析】易知函数在（0，+）上为减函数，结合偶函数的性质即可求解 【解答】解：依题意，偶函数 f（x）在（0，+）上为减函数， f（）f（2）f（1）f（1） ，即 bac， 故选：A 【点评】本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用，考查转化能力，属于基础题 7 （5 分）已知向量，且，则向量 与 夹角为（ ） A B C D 【分析】 由题意利用两个向量垂直的性质求得 m 的值， 两个向量的数量积的定义及公式， 求得向量 与 夹角的余弦值，可得向量 与 夹角 【解答】 解： 向量， 且， （ ） 0， 即 ，即 104+3m，m2， （4，2）
14、 设向量 与 夹角为 ，0， 则 10| | |coscos2cos cos， 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义及公式，属于基 第 9 页（共 21 页） 础题 8 （5 分）下列结论中正确的个数是（ ） 在ABC 中，若 sin2Asin2B，则ABC 是等腰三角形； 在ABC 中，若 sinAsinB，则 AB； 两个向量共线的充要条件是存在实数 ，使； 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 A0 B1 C2 D3 【分析】分别结合解三角形，正弦定理，共线向量定理，等差数列知识逐一加以判断， 即可得出答案 【解答】解：对于在ABC 中
15、，0A，02A2，同理 02B2， 若 sin2Asin2B，则 2A2B 或 2A+2B， 即 AB，或 A+B， 所以ABC 是等腰三角形或直角三角形错误 对于在ABC 中，由正弦定理可得 sinAsinBabAB，故正确 对于当，而时，不存在实数 ，使；故错误 对于，当等差数列是常数列时，例如 an2，前 n 项和为 Sn2n，不是二次函数，故 错误 所以正确的是， 故选：B 【点评】本题主要考查与数列、解三角形、向量有关的命题的真假判断，综合性性较强， 涉及的知识点较多，属于中档题 9 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫 生，则甲、乙不
16、在同一组的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n6，甲、乙在同一组包含的基本事件个数 m 2，由此能求出甲、乙不在同一组的概率 【解答】解：现有甲、乙、丙、丁 4 人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫 第 10 页（共 21 页） 街道卫生， 基本事件总数 n6， 甲、乙在同一组包含的基本事件个数 m2， 甲、乙不在同一组的概率 P11 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查组合问题等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、 运算求解能力，是基础题 10 （5 分）已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与 双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方
17、形，则双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】求得以 F1F2为直径的圆的方程，联立双曲线的方程，求得交点的横坐标 x，由 正方形的性质可得 x2c2，化简整理，结合离心率公式和解方程可得所求值 【解答】解：以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2c2， 联立双曲线的方程 b2x2a2y2a2b2， 可得 x2， 以 F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，可得 x2y2 c2， 即有 c44a2c2+2a40， 由 e，可得 e44e2+20， 解得 e22+（2舍去） ， 则 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程
18、思想和化简整 理的运算能力，属于基础题 11 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 第 11 页（共 21 页） 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山 脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标 系中，设军营所在区域为 x2+y22，若将军从点 A（3，0）处出发，河岸线所在直线方 程为 x+y4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总 路程为（ ） A B C D 【分析】求出 A 关于 x+y4 的对称点 A，根据题意，AC为最短距离，求出即可 【
19、解答】解：设点 A 关于直线 x+y4 的对称点 A（a，b） ，设军营所在区域为的圆心为 C， 根据题意，AC为最短距离，先求出 A的坐标， AA的中点为（，） ，直线 AA的斜率为 1， 故直线 AA为 yx3， 由，联立得 故 a4，b1， 所以 AC， 故 AC， 故选：B 【点评】考查点关于直线的对称点的计算，点到点的距离最值问题，中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）在定义域 R 上的导函数为 f（x） ，若函数 yf（x）没有零点， 且 ff（x）2020x2020，当在上与 f（x）在 R 上的单调性相同时，实数 k 的取值范围是（ ） A （，1 B C D 【分析】由函
20、数 yf（x）没有零点，可知 f（x）在 R 上单调，令 f（x）2020xt，从 而可求 f（x） ，结合指数函数的性质可判断函数 f（x）单调递增，进而可知 g（x）的单调 性，结合导数与单调性关系及函数的恒成立与最值 关系的相互转化可求 【解答】解：由函数 yf（x）没有零点，可知 f（x）在 R 上单调， ff（x）2020x2020， 令 f（x）2020xt，则 f（x）2020x+t，则 f（x）单调递增， 第 12 页（共 21 页） 在上与 f（x）在 R 上的单调性相同时，即 在上单调递增， 故0 在上恒成立， 所以 k在上恒成立， 结合正弦函数的性质可知，当 x时，2si
21、n（x+）2， 则 k 故选：B 【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系及正弦函数的性质，属于中档试题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题把答案填写在题中横线上小题把答案填写在题中横线上 13 （5 分）已知函数 f（x），f（f（1） ） 6 【分析】推导出 f（1）3从而 f（f（1） ）f（3） ，由此能求出 结果 【解答】解：函数 f（x）， f（1）3 f（f（1） ）f（3）236 故答案为：6 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，若 zx+y 的最大值是 10 【
22、分析】先画出满足约束条件的可行域，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式， 分析比较后，即可得到目标函数 zx+y 的最大值 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：x，y 满足约束条件的平面区域如下图所示： 由图易得，由，解得 A（6，4） ； 当 x6，y4 时，目标函数 zx+y 的最大值为 10 故答案为：10 【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，用图解法解决线性规划问题时，分析题 目的已知条件，画出满足约束条件的可行域是关键， 15 （5 分）设数列an满足 a13，Sn2an+1，n2，则 a5 16 【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可 【解答】解：数列an满足
23、a13， n2，S22a2+1， 解得 a22， n3 时，3+2+a32a3+1，解得 a34， 可得 3+2+4+a42a4+1，可得 a48， n5 时，3+2+4+8+a52a5+1， a516， 故答案为：16 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力是基本知识的 考查，基础题 16 （5 分）在ABC 中，AB8，BC6，AC10，P 为ABC 外一点，满足 PAPBPC 5，则三棱锥 PABC 的外接球的半径为 第 14 页（共 21 页） 【分析】首先求出线面的垂直，进一步求出球心的位置，最后利用勾股定理的应用求出 结果 【解答】解：在ABC 中，AB8
24、，BC6，AC10， 所以 AB2+BC2AC2， P 为ABC 外一点，满足 PAPBPC5， 则 PD平面 ABC， 球心 O 为 PD 上一点，如图所示： 所以：10， 设球的半径为 R，所以 R252+（10R）2， 解得：R 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，球与锥体之间的关系， 勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17 题题-21 题为必考题题为必考题22 题、题、 23 题为选考题题为选考题 第 15 页（共
25、21 页） 17 （12 分）某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了 100 只进行统计，按重量 分类统计，得到频率分布直方图如下： （1）记事件 A 为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过 120 克” ，估计 P（A） ； （2）试估计这批河蟹的平均重量； （3）该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下： 等级 特级 一级 二级 重量（g） （140，160 （100，140 40，100 单价（元/只） 40 20 10 试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整）收购这批河蟹，才能获利？ 【分析】 （1）根据古典概率的定义即可求出， （2）根据平均数的定义即可
26、求出， （3）设该经销商收购这批河蟹每千克至多 x 元，根据分层抽样即可求出 【解答】 解：（1） 由于 100 只河蟹中重量不超过 120g 的河蟹有 （0.015+0.01+0.0075+0.0025） 2010070（只） ， 所以：P（A）； （2）从统计图中可以估计这批河蟹的平均重量为： （500.0025+700.0075+90 0.01+1100.015+1300.0125+1500.0025）20104（克） ， （3）设该经销商收购这批河蟹每千克至多 x 元根据样本， 由（2）知，这 100 只河蟹中特级，一级，二级各有 5 只、55 只、40 只，约有 104100 104
27、00g10.4kg， 所以 10.4x405+5520+4010，所以 x163.5， 故可以估计该经销商收购这批河蟹每千克至多 164 元 第 16 页（共 21 页） 【点评】本题考查了古典概率和平均数和分层抽样的问题，考查了分析问题解决问题的 能力，属于基础题 18 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且向量 与向量共线 （）求角 B 的大小； （）若，且 CD1，AD，求三角形 ABC 的面积 【分析】 （）通过向量共线，可以得出等式，借助于正弦定理化简，求出角 B （）通过题中条件结合余弦定理，可以求出边，带入面积公式可求 【解答】解： （）向量与向
28、量向量共线 （2ac）cosBbcosC， 由正弦定理可得： （2sinAsinC）cosBsinBcosC， 2sinAcosBsin（B+C）sinA， 又sinA0， ， 又0B， （），且 CD1，AD， BD2，BC3， 在ABD 中，由余弦定理得 AD2BD22ABBDcosB，即 7AB2+42AB，解之得 AB 3，或 AB1（舍） ， 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于基础题 19 （12 分）如图，在五棱锥 PABCDE 中，PA平面 ABCDE，ABCD，ACED，AE BC，ABC45，BC2AE4 （1）求证：CD平面 PAC； （2）求直线 PA
29、与平面 PCD 所成的角是，求五棱锥 PABCDE 的体积 第 17 页（共 21 页） 【分析】 （1）推导出 ABAC，ACCD，CDPA，由此能证明 CD平面 PAC （2）过 A 作 AFPC，交 PC 于 F，由 CD平面 PAC，得 AFCD，从而APF 是直线 PA 与平面 PCD 所成的角，由直线 PA 与平面 PCD 所成的角是，得到 PAAC2， 五棱锥 PABCDE 的体积 VPABCDEVPABC+VPACDE，由此能求出结果 【解答】解： （1）证明：ABC45，BC2AE4 AC2， AB2+AC2BC2，ABAC， ABCD，ACCD， PA平面 ABCDE，CD
30、平面 ABCDE，CDPA， PAACA，CD平面 PAC （2）解：过 A 作 AFPC，交 PC 于 F，CD平面 PAC，AFCD， PCCDC，AF平面 PCD，APF 是直线 PA 与平面 PCD 所成的角， 直线 PA 与平面 PCD 所成的角是，APF，PAAC2， ACED，CDAC，四边形 ACDE 是直角梯形， AE2，ABC45，AEBC，BAE135，CAE45， 故 CDAEsin452， DEACAEcos452， S四边形ACDE3，8 又 PA平面 ABCDE， 五棱锥 PABCDE 的体积： 第 18 页（共 21 页） VPABCDEVPABC+VPACDE
31、 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查五棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）设 P 为圆 x2+y21 上任意一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，点 M 是线 段 PQ 上的一点，且满足 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（2，0）作直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，设 O 为坐标原点，当OAB 的面积最大时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）0 利用 P 点轨迹以及，表示出 M 的轨迹方程即可； （2）设出过 F（2，0）的直线的方程为：xmy+2，联立直线方程和椭圆方程，
32、化为关 于 y 的一元二次方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得 O 到 AB 所 在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB 的面积最大时的 m 值，则 直线 l 的方程可求 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，则 Q（x，0） ，M（x0，y0）且 x0x 又根据可得（0，y）（0，y0） ，则 yy0， 所以 x02+（y0）21，整理可得 M 的轨迹方程为 x2+3y21； （2）设过 F（2，0）的直线的方程为：xmy+2， 第 19 页（共 21 页） 联立，整理得（m2+3）y2+4my+30， 所以 y1+y2，y1y2， 则|AB|， 点
33、O 到直线的距离 d， 所以 SOAB|AB|d， 令 t，则 SOAB，当且仅当 t，即 t2m2912 时取“” ， 此时 m， 故直线方程为 xy+2 或 xy+2 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元 法求函数的最值，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）xex+2ax+3 （1）若曲线 yf（x）在 x0 处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数 a 的值； （2）若，求证：f（x）lnx+4 【分析】 （1）求导求出斜率，进而得到切线方程，由此求出面积建立方程解得实数 a 的 值； （2）解题的关键是令 txex，转化后即证 tlnt
34、10 在 t（0，+）上恒成立 【解答】解： （1）f（x）ex+xex+2a，则 f（0）1+2a，又 f（0）3， 故曲线 yf（x）在曲线 x0 处的切线方程为 y3（1+2a）x，即 y（1+2a）x+3， 依题意，解得 a0 或 a1； （2）证明：当时，f（x）xexx+3，要证 f（x）lnx+4，即证 xexxlnx1 0， 设 txex，且当 x（0，+）时，t（0，+） ，则 lntlnx+x，即证 tlnt10 在 t 第 20 页（共 21 页） （0，+）上恒成立， 令 h（t）tlnt1，则，易知当 t（0，1）时，函数 h（t）单调递减， 当 t（1，+）时，函数
35、 h（t）单调递增， 故 h（t）minh（1）0，则 h（t）0，即 tlnt10，即得证 【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化 思想及逻辑推理能力，属于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为为参数，且 0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； （）设点 M 在曲线 C 上，求点 M 到直线
36、 l 距离的最小值与最大值 【分析】 （）由曲线 C 的参数方程能求出曲线 C 的普通方程，由直线 l 的极坐标方程， 能求出直线 l 的直角坐标方程 （）求出点 M（1+cos，sin）到直线 l 的距离为 d ，由此能求出点 M 到直线 l 距离的最小值和最大值 【解答】解： （）曲线 C 的参数方程为为参数，且 0， 曲线 C 的普通方程为（x1）2+y21， （0y1） ， 直线 l 的极坐标方程为 2，即， 直线 l 的直角坐标方程为 x+40 （）设点 M（1+cos，sin）到直线 l 的距离为： d， 0，sin（），d， 第 21 页（共 21 页） 点 M 到直线 l 距离
37、的最小值为，最大值为 2 【点评】本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程、点到直线的最值的求法，考 查直角坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）|2x1|+2，g（x）|x2a|x+1| （）求不等式 f（x）|x+4|的解集； （）若对任意的 x1，x2R，使得 f（x1）g（x2） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）去绝对值，解不等式即可； （2）对任意的 x1，x2R，使得 f（x1）g（x2）等价于 f（x）ming（x）max，即可求出 a 的取值范围 【解答】解： （1）将|2x1|+2|x+4|化为： 或或， 解得：x3 或4x或 x4， 解集为x|x或 x3； （2）因为 f（x）2，g（x）|x2a|x+1|x2ax1|2a+1| 由题意得，若 f（x）ming（x）max 即可， 2|2a+1|得22a+12， 所以， 【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题