1、已知集合 A1，0，1，2，3，Bx|x（2x3）0，则 AB（ ） A1 B1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 2 （5 分）复数的共轭复数是（ ） A1+i B1i C1i D1+i 3 （5 分）已知双曲线 E：x21 的一个焦点是（2，0） ，则 E 的渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 4 （5 分）通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表： 男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计 50 50 100 已知 K2 附表： P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.8
2、28 则以下结论正确的是（ ） A有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关” C在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为喜欢该电视节目与性别有关“” D在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关” 5 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zxy 的最大值为（ ） A2 B0 C1 D2 第 2 页（共 25 页） 6 （5 分）已知 为第三象限角，cossin，则 cos2（ ） A B C D 7 （5 分）我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童现有一个长、 宽、高分别为 5、3、3 的长方
3、体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转 90 度，得到一个刍童（如图） ，则该刍童的外接球的表面积为（ ） A B C43 D50 8 （5 分）将函数 ysin2x+cos2x（xR）的图象向左平移 （0）个单位长度后，所 得到的一个偶函数的图象，则 的最小值是（ ） A B C D 9 （5 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B C D 10 （5 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，将AED， DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 A，则线段 A1B 的长为（ ） A B C1 D 11 （5 分）
4、 若关于 x 的不等式 eaxx3在区间， e2内有解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） 第 3 页（共 25 页） A B C D 12 （5 分）已知ABC 是边长为 2的正三角形，EF 为该三角形内切圆的一条弦，且 EF 若点 P 在ABC 的三边上运动，则的最大值为（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 （2，1） ， （x，4） ，若 ，则 x 的值为 14 （5 分）若曲线 yax3+在点（1，a+3）处的切线与直线 x+y+30 平行，则 a 的值 为 15 （5 分）已
5、知倾斜角为的直线经过椭圆 E 的左焦点，以 E 的长轴为直径的圆与 l 交于 A，B 两点，若弦长 AB 等于 E 的焦距，椭圆 E 的离心率为 16 （5 分）如图，某景区有景点 A，B，C，D经测量得，BC6km，ABC120，sin BAC，ACD60，CDAC，则 AD km，现计划从景点 B 处起始 建造一条栈道 BM，并在 M 处修建观景台为获得最佳观景效果，要求观景台对景点 A、 D 的视角AMD120为了节约修建成本，栈道 BM 长度的最小值为 km 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 172
6、1 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在数列an中，a25，且 1，an，an+1成等差数列 （1）求证：数列an1是等比数列； （2）设an前 n 项和为 Sn求使得 log2Sn10 成立的 n 的最大值 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 E 过点 F（0，1） ，且与直线 m：y1 相切动圆圆心 E 的轨迹记为 C （1）求轨迹 C 的方程； （2）过点 F 作斜率为 k（k0）的直线
7、l 交 C 于 A，B 两点，使得|AB|8，点 Q 在 m 上， 第 4 页（共 25 页） 且满足1，求QAB 的面积 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PAD 为等 边三角形，点 E，F 分别为 PA，CD 的中点 （1）求证：EF平面 PBC； （2）已知平面 PAD平面 ABCD，过 E，F，C 三点的平面将四棱锥 PABCD 分成两部 分，求这两部分体积的比 20 （12 分）某批库存零件在外包装上标有从到 N 的连续自然数序号，总数 N 未知，工作 人员随机抽取了 n 个零件，它们的序号从小到大依次为：x1，x2，xn现有两
8、种方法 对零件总数 N 进行估计 方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总 体序号的中位数近似相等，进而可以得到 N 的估计值 方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号 x1，x2，xn相当于 从区间0，N+1中随机抽取 n 个整数，这 n 个整数将区间0，N+1分为（n+1）个小区间： （0，x1） ， （x1，x2） ， （xn，N+1） 由于这 n 个数是随机抽取的，所以前 n 个区间的 平均长度与所有 （n+1） 个区间的平均长度近似相等， 进而可以得到 N 的估计值 现工作人员随机抽取了 31 个零件，序号从小到大依次为：83、13
9、5、274、380、668、895、 955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、 1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791 （1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数 （结果四舍五入保留整数） （2）将第（1）问方法二估计的总数 N 作为这批零件的总数，从中随机抽取 100 个零件 测量其内径 y （单位： mm） ， 绘制出频率分布直方图 （如图） 已知标准零件的内径为 200mm， 将这 100 个零件的内径落入各组的频率视为这
10、批零件内径分布的概率其中内径长度最 接近标准的 720 个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数） 第 5 页（共 25 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2cosx （1）当 a时，求函数 f（x）的极值点； （2）若 f（x）在区间（，）内有且仅有 4 个零点的充要条件为 a（N，M） ， 求证：MN （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系
11、 xOy 中，直线 l 的方程为 x2，曲线 C 的方程为（x1）2+y2 1，动点 P 到原点 O 的距离与到 l 的距离相等以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 （1）求 C 的极坐标方程和 P 点轨迹的极坐标方程； （2）若 Q 是曲线 C 上一点，且4，求|OP| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|+|x+b|+|x+c| （1）若 a，b，c0，f（0）1，证明：ab+bc+ac； （2）若 abl，对于任意的 x（，1） ，f（x）4 恒成立，求 c 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2020 年福建省厦门市高考数
12、学一模试卷（文科）年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，2，3，Bx|x（2x3）0，则 AB（ ） A1 B1，2 C1，2，3 D0，1，2，3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A1，0，1，2，3， Bx|x（2x3）0x|x或 x0， AB1，2，3 故选：C 【点评】本题考查一元
13、二次不等式的解法、集合的运算，考查运算求解能力以及化归与 转化思想 2 （5 分）复数的共轭复数是（ ） A1+i B1i C1i D1+i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：， 复数的共轭复数是1+i 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知双曲线 E：x21 的一个焦点是（2，0） ，则 E 的渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】 由双曲线的方程结合焦点坐标求得 k， 进一步求得虚半轴长， 则渐近线方程可求 【解答】解：由双曲线 E：x21 的一个焦点是（2，0）
14、， 第 7 页（共 25 页） 得，得 k3 即 b2k3，则 b， 又 a1， E 的渐近线方程为 y 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线方程的求法，注意隐含条件的应用， 是基础题 4 （5 分）通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表： 男 女 总计 喜欢 40 30 70 不喜欢 10 20 30 总计 50 50 100 已知 K2 附表： P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 则以下结论正确的是（ ） A有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B有 95%的把握认为“喜欢该
15、电视节目与性别无关” C在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为喜欢该电视节目与性别有关“” D在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关” 【分析】计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出统计结论 【解答】解：K 的观测值：K24.761， 由于 4.7613.841， 有 95%的把握认为休闲方式与性别是有关的，即在犯错误的概率不超过 5%的前提下， 认为“喜欢该电视节目与性别无关” ， 故选：A 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题 第 8 页（共 25 页） 目 5 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zxy
16、的最大值为（ ） A2 B0 C1 D2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zxy，得 yxz 表示，斜率为 1 纵截距为z 的一组平行直线， 平移直线 yxz，当直线经过点 A 时，直线 yxz 截距最小，z 最大 由解得 A（2，1）时，此时 zmax211 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的 关键，注意利用数形结合来解决 6 （5 分）已知 为第三象限角，cossin，则 cos2（ ） A B C D 【分析】将已知等式两边平方可得 2sinco
17、s 的值，由 为第三象限角可得 cos+sin 0，进而利用同角三角函数基本关系式可求 cos+sin 的值，根据二倍角的余弦函数公式 即可求解 cos2 的值 【解答】解：cossin， 两边平方可得 12sincos，解得 2sincos， 为第三象限角，cos0，sin0，可得 cos+sin0， 第 9 页（共 25 页） cos+sin， cos2（cos+sin） （cossin）（）（） 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数 化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题 7 （5 分）我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六
18、面体称为刍童现有一个长、 宽、高分别为 5、3、3 的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转 90 度，得到一个刍童（如图） ，则该刍童的外接球的表面积为（ ） A B C43 D50 【分析】由题意可得：上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球心， 设该刍童的外接球的半径为 R，利用勾股定理可得 R2，进而得出表面积 【解答】解：由题意可得：上、下底面中心连接所得线段的中点为该刍童的外接球的球 心， 设该刍童的外接球的半径为 R，则 R2+ 该刍童的外接球的表面积4R243 故选：C 【点评】本题考查了长方体的性质、勾股定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能 力，
19、属于基础题 8 （5 分）将函数 ysin2x+cos2x（xR）的图象向左平移 （0）个单位长度后，所 得到的一个偶函数的图象，则 的最小值是（ ） A B C D 【分析】将 yf（x）sin2x+cos2x 化为 f（x）2sin（2x+） ，再利用函数 yAsin （x+）的图象变换，结合题意，可求得 的最小值 【解答】解：yf（x）sin2x+cos2x 第 10 页（共 25 页） 2（sin2x+cos2x） 2sin（2x+） ， 将函数 ysin2x+cos2x（xR）的图象向左平移 （0）个单位长度 得到 f（x+）2sin（2x+2+） ， f（x+）为偶函数， 2+k+
20、，kZ， +，kZ， 又 0， min 故选：A 【点评】本题考查函数 yAsin（x+）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考 查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题 9 （5 分）函数 f（x）的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】分析可知，函数在（e，1）上存在零点，且 x0 ，f（x），由此可 得出正确选项 【解答】解：当 x0 时，f（x）， 当 x1，f（1）0， 当 xe，f（e）0， 第 11 页（共 25 页） 即当ex1 时，函数存在零点，排除 B，D， 且 x0 ，f（x），可排除 A 故选：C 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于
21、基础题 10 （5 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，将AED， DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 A，则线段 A1B 的长为（ ） A B C1 D 【分析】在平面图形中，连接 BD 交 EF 于 O，则 BDEF，由已知求解 cosA1OD，得 到 cosA1OB，再由余弦定理求线段 A1B 的长 【解答】解：如图， 在平面图形中，连接 BD 交 EF 于 O，则 BDEF， E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF，则 A1OBO DO 在A1OD 中，由余弦定理可得：cosA1OD， 则 cos 在A1OB 中，
22、 故选：B 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了余弦定理的应用，是中档题 11 （5 分） 若关于 x 的不等式 eaxx3在区间， e2内有解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） 第 12 页（共 25 页） A B C D 【分析】对不等式 eaxx3两边同时取自然对数得 ax3lnx，分离变量 a 可得 ，设，利用导数求出函数 f （x）的单调性，进而得到其最小值，由此求得 a 的取值范围 【解答】解：依题意，对不等式 eaxx3两边同时取自然对数得，ax3lnx，即 ， 设，则， 当 x时，f（x）0，f（x）在上单调递增，当 xe，e2时，f （x）0，f（x）在e，
23、e2）上单调递减， 又，且 要使不等式 eaxx3在区间，e2内有解，即不等式成 立，则 故选：C 【点评】本题考查不等式有解问题的处理策略，通过分离变量，转化为研究函数的最值 问题是解决本题的关键，考查转化思想及计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知ABC 是边长为 2的正三角形，EF 为该三角形内切圆的一条弦，且 EF 若点 P 在ABC 的三边上运动，则的最大值为（ ） A B C D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，由边长及 EF 的值可得 A，B，C，E，F 的坐标， 设 P 的坐标，求出数量积的表达式，由三角形的对称性由 P 在线段 OB，BC 上运 动时求出的最大值 【解答
24、】解：建立以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的中垂线为 y 轴，则 C 在 y 轴上，设 内切圆 D， 由题意可得 A（，0） ，B（，0） ，C（0，3） ，设 EF 在圆心 D 的下方，且平行于 AB， 设内切圆的半径为 r，则由面积相等可得 3r23，所以 r1，所以 D（0， 第 13 页（共 25 页） 1） ， 因为 EF，所以圆心 D 到 EF 的距离为， 所以可得 E（，） ，F（，） ，设 P（x，y） ， 则（x，y） （x，y）x2+（y）2， 如图所示，由对称性可得，P 在线段 OB 上时，y0，x0， 这时x2+x23，这时的最大值为； 当 P 在线段 BC
25、上时，因为直线 BC 的方程+1，即 yx+3，x0， 所以x2+（x+3）24x25x+4（x）2+，x0， ， 令 f（x）4x25x+，x0，先减后增， 而0 所以 f（0）f（） ，而 f（0）， 所以 f（x）的最大值为， 故选：B 【点评】本题考查建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示的表达式，及二次函 数的单调性可得数量积的最大值属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 （2，1） ， （x，4） ，若 ，则 x 的值为 2 第 14 页（共 25 页） 【分析】由题意利用两个向量垂直的性
26、质，两个向量的数量积公式，求出 x 的值 【解答】解：向量 （2，1） ， （x，4） ，若 ， 则 2x+40，求得 x2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查两个向量垂直的坐标运算，两个向量的数量积公式，属于基础题 14 （5 分）若曲线 yax3+在点（1，a+3）处的切线与直线 x+y+30 平行，则 a 的值为 【分析】先求出曲线对应函数的导数，然后求出切点处的函数值、导数值，列出方程组 求解即可 【解答】解：由已知得，且在点（1，a+3）处的切线与直线 x+y+30 平行， y|x13a31， 故答案为： 【点评】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的条件列方程（组）是基本思路属
27、于基础题 15 （5 分）已知倾斜角为的直线经过椭圆 E 的左焦点，以 E 的长轴为直径的圆与 l 交于 A，B 两点，若弦长 AB 等于 E 的焦距，椭圆 E 的离心率为 【分析】设直线 l 的方程为 yx+c，圆的方程为 x2+y2a2，利用几何法、点到直线的距 离公式求出弦长|AB|，建立 a 与 c 的等量关系式，化简后即可得解 【解答】解：设直线 l 的方程为 yx+c，圆的方程为 x2+y2a2， 则圆心到直线 l 的距离， 弦长|AB|， 弦长 AB 等于 E 的焦距， ，化简得， 第 15 页（共 25 页） 离心率 故答案为： 【点评】本题考查圆与椭圆中的简单计算，包含点到直
28、线的距离公式、弦长、离心率等 知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题 16 （5 分）如图，某景区有景点 A，B，C，D经测量得，BC6km，ABC120，sin BAC，ACD60，CDAC，则 AD km，现计划从景点 B 处起 始建造一条栈道 BM，并在 M 处修建观景台为获得最佳观景效果，要求观景台对景点 A、D 的视角AMD120为了节约修建成本，栈道 BM 长度的最小值为 km 【分析】在ABC 中，直接由正弦定理求解 AD 的长度；以 B 为坐标原点，以 BC 所在 直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 求出 M 点的轨迹， 可知 M 点在圆 的一段圆弧上，再由圆心到 B
29、 点的距离减去半径求得栈道 BM 长度的最小值 【解答】解：在ABC 中，BC6，ABC120，sinBAC， 由正弦定理可得：，即， 解得：AC 在ACD 中，由ACD60，CDAC，得ACD 为等边三角形，可得 ADAC km； 第 16 页（共 25 页） 以 B 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 由，得 cos， sinACBsin（120+BAC）sin120cosBAC+cos120sinBAC ， cosACB 在ABC 中，由正弦定理可得：，解得 AB12 A 点的坐标为（6，6） sinDCxsin（60+ACB）sin60cosACB+cos60
30、sinACB ， 则 cosDCx D 点坐标为（9，9） 设 M（x，y） ，则， AMB120，由到角公式可得：tan120 整理得： M 点在圆的一段圆弧上 圆心为（0，10） ，半径为 则 BM 长度的最小值为 故答案为：； 【点评】本题考查三角形的解法，考查数学转化思想方法，考查直线与圆位置关系的应 第 17 页（共 25 页） 用，考查计算能力，属难题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，
31、考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在数列an中，a25，且 1，an，an+1成等差数列 （1）求证：数列an1是等比数列； （2）设an前 n 项和为 Sn求使得 log2Sn10 成立的 n 的最大值 【分析】 （1）由 1，an，an+1成等差数列2an1+an+1，进而证明数列an1是等比数 列； （2）先求出 an，再求 Sn，最后求解不等式，得出结果 【解答】解： （1）证明：1，an，an+1成等差数列，2an1+an+1，an+112（an 1） 又 a25a13，a1120， 2，an1是首项、公
32、比均是 2 的等比数列； （2）解：由（1）得：an12n，即 an2n+1， Sn（2+22+23+2n）+n+n2n+1+n2，且 Sn在 nN*上单调递增； S8210，S9210，满足 log2Sn10 的 n 的最大值为 8 【点评】本题主要考查等比数列的证明及数列求和，属于基础题 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 E 过点 F（0，1） ，且与直线 m：y1 相切动圆圆心 E 的轨迹记为 C （1）求轨迹 C 的方程； （2）过点 F 作斜率为 k（k0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，使得|AB|8，点 Q 在 m 上， 且满足1，求QAB 的面积
33、【分析】 （1）设 E（x，y） ，由题设知动圆圆心 E 的轨迹是抛物线，由此得出轨迹方程； （2）先设直线 l：ykx+1，再与动圆圆心 E 的轨迹方程联立整理出韦达定理，进而求得 |AB|， 设 Q（x0，1） ，找出 x0满足的关系式，最后求出QAB 的面积 【解答】解： （1）设 E（x，y） ，由题设条件知：动圆圆心 E 的轨迹是以 F（0，1）为焦 点，以直线 m：y1 为准线的抛物线，其轨迹方程为：x24y； 第 18 页（共 25 页） （2）设直线 l：ykx+1（k0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由联立可得 x24kx 40 x1+x24k，x1x24，|A
34、B|4（1+k2） ，|AB|8， k21k0，k1 设 Q（x0， 1） ，1， （x1x0） （x2x0）+ （y1+1） （y2+1）1，y1kx1+1， y2kx2+1， 整理得：x024kx0+4k210，解得 x02k1，即 x03 或 1，又点 Q 到直线 l 的距 离 d， 当 x03 时，d，此时 SABQ|AB|d10； 当 x01 时，d，此时 SABQ|AB|d6 综合知：SABQ6或 10 【点评】本题主要考查抛物线的定义及圆锥曲线的面积问题，属于基础题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PAD 为等 边三角形，
35、点 E，F 分别为 PA，CD 的中点 （1）求证：EF平面 PBC； （2）已知平面 PAD平面 ABCD，过 E，F，C 三点的平面将四棱锥 PABCD 分成两部 分，求这两部分体积的比 【分析】 （1）取 AB 的中点 G，连接 EG，FG，分别证明 EG平面 PBC，FG平面 PBC， 可得平面 EFG平面 PBC，进一步得到 EF平面 PBC； （2）取 H 为 PB 的中点，则平面 CDEH 为过 E，F，C 三点的平面与四棱锥的截面，分 别求出四棱锥 PABCD 与 PCDEH 的体积，作差得到多面体 ABCDEH 的体积，作比 得答案 第 19 页（共 25 页） 【解答】 （
36、1）证明：取 AB 的中点 G，连接 EG，FG， 又 E 为 PA 的中点，则 EGPB， EG平面 PBC，PB平面 PBC，EG平面 PBC， 由 F 为 CD 中点，则 BGFC，BGFC，四边形 BCFG 为平行四边形， 得 FGBC， FG平面 PBC，BC平面 PBC，FG平面 PBC， 又 EGFGG，平面 EFG平面 PBC， 得 EF平面 PBC； （2）解：取 H 为 PB 的中点，则平面 CDEH 为过 E，F，C 三点的平面与四棱锥的截面 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PAD 为等边三角形，且平面 PAD平面 ABCD， 四棱锥 PABCD 的高为， 由已知
37、可得 PA平面 CDEH， 则 PE 为四棱锥 PCDEH 的高，等于 1 ， ， 则多面体 ABCDEH 的体积为 上半部分与下半部分的体积比为 【点评】本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练 了多面体体积的求法，是中档题 20 （12 分）某批库存零件在外包装上标有从到 N 的连续自然数序号，总数 N 未知，工作 人员随机抽取了 n 个零件，它们的序号从小到大依次为：x1，x2，xn现有两种方法 对零件总数 N 进行估计 方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总 第 20 页（共 25 页） 体序号的中位数近似相等，进而可以
38、得到 N 的估计值 方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号 x1，x2，xn相当于 从区间0，N+1中随机抽取 n 个整数，这 n 个整数将区间0，N+1分为（n+1）个小区间： （0，x1） ， （x1，x2） ， （xn，N+1） 由于这 n 个数是随机抽取的，所以前 n 个区间的 平均长度与所有 （n+1） 个区间的平均长度近似相等， 进而可以得到 N 的估计值 现工作人员随机抽取了 31 个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、 955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、
39、1756、1865、 1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791 （1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数 （结果四舍五入保留整数） （2）将第（1）问方法二估计的总数 N 作为这批零件的总数，从中随机抽取 100 个零件 测量其内径 y （单位： mm） ， 绘制出频率分布直方图 （如图） 已知标准零件的内径为 200mm， 将这 100 个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率其中内径长度最 接近标准的 720 个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数） 【分析】 （1）分别利用
40、方法一，方法二进行计算得出 N； （2）先求出优等品的频率，再由频率分布直方图算出 m，得出优等品的范围即可 【解答】 解：（1） 方法一 31 个零件序号的中位数为 1546， 所有零件序号的中位数为， 依题意得 1546，解得 N3091 方法二 抽取的 31 个零件将0，N+1划分为 32 个区间，平均长度为，前 31 个区间 的平均长度为， 依题意得，解得 N2880 第 21 页（共 25 页） （2）抽取的 720 件优等品占总数的，依题意得 P（200my200+m） 由频率分布直方图可知：P（190y210）（0.029+0.041） 100.70.25，故 0m 10 则 P
41、（200my200+m）m0.029+m0.0410.25， 解得 m3故优等品的范围为 197y203 【点评】本题考查了抽样方法的应用问题，频率分布直方图，解题时应根据题中给出的 抽样方法进行计算，是道综合题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2cosx （1）当 a时，求函数 f（x）的极值点； （2）若 f（x）在区间（，）内有且仅有 4 个零点的充要条件为 a（N，M） ， 求证：MN 【分析】 （1）将代入，可得 f（x）x+sinx，f（x）1+cosx0，则 yf（x） 在 R 上单调递增，又 f（0）0，则易得函数 f（x）的单调性情况，进而求得极值点； （2） 依题意
42、， f （x） 0 等价于， 令， 求导可知 h（x）在（0，x0）单调递减，在单调递增，而 yh（x）为偶函 数 ， 故 只 需 函 数y h （ x ） 与y a 在上 有 两 个 交 点 ， 由 ，接下来估计 Nh（x0）的范围，可得，由此即可 得证 【解答】解： （1）， ， f（x）x+sinx，f（x）1+cosx0， yf（x）在 R 上单调递增， 又 f（0）0， 当 x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（0，+）时，f（x） 0，f（x）单调递增， x0 是函数 f（x）的极小值点，无极大值点； 第 22 页（共 25 页） （ 2 ） 证 明 ： 当 x 0
43、时 ， f （ x ） 0 ， 故 f （ x ） 0 等 价 于， ， 令，则， 当时， h （x） 0， h （x） 单调递减， 当 x0 时， h （x） +， 当时，令 （x）xsinx+2cosx，则 （x）xcosxsinx0，（x） 单调递减， 又，故存在，使得 （x0）0， 且当时，（x）0，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（x0，） 时，（x）0，h（x）0，h（x）单调递增； 当时，h（x）0，h（x）单调递增； 综上 yh（x）在（0，x0）单调递减，在单调递增， 由于 yh（x）为偶函数，只需函数 yh（x）与 ya 在上有两个交点， h（0）+， ， 以下估计 N
44、h（x0）的范围： ， ， 又， ， ， ，结论得证 第 23 页（共 25 页） 【点评】本题考查函数的单调性，导数及其应用，不等式等基础知识，考查推理论证能 力，运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于 较难题目 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x2，曲线 C 的方程为（x1）2+y2 1，动点 P 到原点 O 的距离与到 l 的距离相等以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 （1）求 C 的极坐标方程和 P 点轨迹的极坐标方程； （2）若 Q 是曲线 C 上一点，且4，求|OP| 【分析】 （1）由 2x2+y2，cosx，可得曲线 C 的极坐标方程；当 P 在 y 轴右侧时， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，作 y 轴的垂线，垂足为 N，设 l 与 x 轴的交点为 R，由解 直角三角形和两点的距离公式可得 P 的轨迹方程； （2）设 P（1，） ，Q（2，） ，分别代入 P，Q 的极坐标方程，结合向量共线定理可 得所求值