1、已知集合 Mx|y，Nx|2x3，则 MN（ ） Ax|3x2 Bx|3x2 Cx|2x2 Dx|2x2 2 （5 分）若复数 z 满足 z（12i） i，则复平面内 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 alog38，b21.1，c0.83.1，则（ ） Abac Bacb Ccba Dcab 4 （5 分） （x+1） （2x）5的展开式中常数项为（ ） A40 B40 C80 D80 5 （5 分）赵爽弦图（图 1）是取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全 等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形图 2 是由弦图变化
2、得到，它是 由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成现随机向图 2 中大正方形的 内部投掷一枚飞镖， 若直角三角形的直角边长分别为 2 和 3， 则飞镖投中小正方形 （阴影） 区域的概率为（ ） A B C D 6 （5 分） 已知函数 f （x） 2sin （2x+） 满足 f （x） f （+x） ， 则 f （） （ ） A2 B0 C D2 7 （5 分）函数 f（x）（3x3 x）log 3x2的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 23 页） C D 8 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B， 若AFB 是直角三角形，则椭圆
3、 C 的离心率为（ ） A B C D 9 （5 分）关于函数 f（x）2sinsin（+）x 有下述四个结论： 函数 f（x）的图象把圆 x2+y21 的面积两等分 f（x）是周期为 的函数 函数 f（x）在区间（，+）上有 3 个零点 函数 f（x）在区间（，+）上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 10 （5 分）已知 O 是坐标原点，F 是双曲线 C：1（3a4b0）的左焦点，过 F 作斜率为 k（k0）的直线 l 与双曲线渐近线相交于点 A，A 在第一象限且|OA|OF|， 则 k 等于（ ） A B C D 11 （5 分）已知在ABC 中，AB4，AC6，其
4、外接圆的圆心为 O，则（ ） A20 B C10 D 12 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧棱 AA1， BB1， CC1分别交于 M， N， Q， 若MNQ 为直角三角形， 则MNQ 面积的最小值为 （ ） A B3 C2 D6 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 y（x22）lnx 在 x1 处的切线方程为 14（5分） ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c 若ABC的面积为， 第 3 页（共 23 页） 则 A 15 （5 分）记 Sn为
5、数列an的前 n 项和，若 a11，2Sn+1an+1，则 16 （5 分）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262190 年）的著作圆锥曲线论是古 代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地他 证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k（k0，且 k1）的点的轨迹 是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，现有ABC，AC4，sinC2sinA，则当ABC 的面积最大时，AC 边上的高为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已
6、知等差数列an的公差 d0，若 a611，且 a2，a5，a14成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形，ABCD，AB 4，BCCD2，顶点 D1在底面 ABCD 内的射影恰为点 C （1）求证：BC平面 ACD1； （2）若直线 DD1与底面 ABCD 所成的角为，求平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成锐二 面角的余弦值 19 （12 分）近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应 求各大养猪场正面临巨大挑战目前各项针对性政策措施
7、对于生猪整体产量恢复、激 发养殖户积极性的作用正在逐步显现 现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有 1 万头猪，将其中重量（kg）在1，139 内的猪分为三个成长阶段如下表 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期 重量（Kg） 1，24） 24，116） 116，139 第 4 页（共 23 页） 根据以往经验，两个养猪场猪的体重 X 均近似服从正态分布 XN（70，232） 由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成 年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及 养殖模式 已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质
8、检合格的概率分别为， （1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量； （2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利 600 元，若为不 合格的猪，则亏损 100 元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈 利 500 元，若为不合格的猪，则亏损 200 元 （）记 Y 为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量 Y 的分布列； （）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值 （参考数据：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9974） 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p
9、0）上一点 P（2，m） ，F 为焦点，PFO 面积为 1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 P 引圆的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A、B，求直线 AB 斜率的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnxax2（aR） （1）讨论函数的极值点个数； （2）若 g（x）f（x）x 有两个极值点 x1，x2，试判断 x1+x2与 x1x2的大小关系并证 明 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第 一个题目计分一个题目计
10、分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（0，2） ，倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； 第 5 页（共 23 页） （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求+的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|x2a| （1）若 a1，解不等式 f（x）4；
11、（2）对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 m22m+4f（x） ，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2020 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科）年福建省龙岩市高考数学一模试卷（理科） 参考参考答案与试题解析答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Mx|y，Nx|2x3，则 MN（ ） Ax|3x2 Bx|3x2 Cx|2x2 Dx|2x2 【分析】可以求出集合
12、 M，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Mx|x2，Nx|2x3， MNx|2x2 故选：C 【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）若复数 z 满足 z（12i） i，则复平面内 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：z（12i） i2+i， 2i 在复平面内所对应的点（2，1）位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 3 （5 分）已知 alog38，b2
13、1.1，c0.83.1，则（ ） Abac Bacb Ccba Dcab 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解：log33log38log39，1a2， 21.1212，b2， 00.83.10.801，0c1， cab， 故选：D 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 第 7 页（共 23 页） 和指数函数的性质的合理运用 4 （5 分） （x+1） （2x）5的展开式中常数项为（ ） A40 B40 C80 D80 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解：（2x）5的的展开式的通项公式：Tr+1（2x）5 r（ ）r（ 1）r 25
14、 r x5 2r 令 52r1，或 52r0， 解得 r3，r（舍去） （x+1） （2x）5的展开式中常数项： （1）32240 故选：A 【点评】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 5 （5 分）赵爽弦图（图 1）是取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全 等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形图 2 是由弦图变化得到，它是 由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成现随机向图 2 中大正方形的 内部投掷一枚飞镖， 若直角三角形的直角边长分别为 2 和 3， 则飞镖投中小正方形 （阴影） 区域的概率为（ ） A B
15、C D 【分析】由图形可知小正方形的边长为 321，大正方形的边长为：2+35，分别求 解面积，由几何概型中的面积型即可求解 【解答】解：由题意可知：小正方形的边长为 321，面积为 1， 大正方形的边长为：2+35，面积 25， 设飞镖投中小正方形（阴影）区域为事件 A， 由几何概型中的面积型可得 P（A） 第 8 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题考查了正方形面积的求法及几何概型中的面积型，属基础题 6 （5 分） 已知函数 f （x） 2sin （2x+） 满足 f （x） f （+x） ， 则 f （） （ ） A2 B0 C D2 【分析】由 f（x）f（+x）可知函数关于
16、x对称，根据正弦函数对称轴处 取得函数的最值可求 ，然后代入即可求解 【解答】解：由 f（x）f（+x）可知函数关于 x对称， 根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知，kZ， 故 ，f（）2sin（）0 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题 7 （5 分）函数 f（x）（3x3 x）log 3x2的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，且 x0 时，f（x）0，由排除法分析可 得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（3x3 x）log 3x2，其定义域为x|x0， 且 f（x）（3x3 x）log 3x2（3x
17、3 x）log 3x2）f（x） ，即函数 f（x）为奇函 数，排除 A、C， 又由 x0 时， （3x3 x）0，则 f（x）0，排除 D； 故选：B 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域、奇偶性的分析，属于基础题 第 9 页（共 23 页） 8 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B， 若AFB 是直角三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意和直角三角形的射影定理可得 a，b，c 之间的关系，进而求出离心率 【解答】解：在直角三角形 AFB 中，AOBF， 由射影定理可得 OA2OFOB， 即 b2ac， 所
18、以 a2c2ac， 整理可得 e2+e10，解得 e， 因为 e（0，1） ， 所以 e， 故选：D 【点评】考查椭圆的性质及直角三角形的射影定理的应用，属于基础题 9 （5 分）关于函数 f（x）2sinsin（+）x 有下述四个结论： 函数 f（x）的图象把圆 x2+y21 的面积两等分 f（x）是周期为 的函数 函数 f（x）在区间（，+）上有 3 个零点 函数 f（x）在区间（，+）上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】先利用诱导公式和二倍角公式将函数化简为 f（x）sinxx，因为单位圆既是 轴对称图形，也是中心对称图形，所以可以先证明函数的奇偶性，进而
19、即可判断，利 用函数的周期性可判断，利用导数判断函数单调递减，从而可以判断 第 10 页（共 23 页） 【解答】解：f（x）2sinsin（+）x2sincosxsinxx， 对于，因为 f（x）sin（x）（x）sinx+xf（x） ，所以函数 f（x）为 奇函数，关于原点对称，而圆 x2+y21 也是关于原点对称，所以正确； 对于，因为 f（x+）sin（x+）（x+）sinxxf（x） ，所以 f（x）的周 期不是 ，即错误； 对于，因为 f（x）cosx10，所以 f（x）单调递减，所以 f（x）在区间（，+ ）上至多有 1 个零点， 即错误； 对于，f（x）cosx10，所以 f（
20、x）单调递减，即正确 故选：C 【点评】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，以及利用导数判断函数的单 调性，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于基础题 10 （5 分）已知 O 是坐标原点，F 是双曲线 C：1（3a4b0）的左焦点，过 F 作斜率为 k（k0）的直线 l 与双曲线渐近线相交于点 A，A 在第一象限且|OA|OF|， 则 k 等于（ ） A B C D 【分析】由题意设直线 l 的方程与渐近线 yx 联立求出 A 的坐标，再由|OA|OF|即 3a4b 可得 k 的值 【解答】 解： 由题意可得直线l的方程为： yk （x+c） 与渐近线yx联立可得xk， y，
21、因为 OAOF，属于 x2+y2c2， 即（）2+（）2c2， 由 3a4b，即 ba， 所以整理可得（k）2，k0， 解得 k， 故选：B 第 11 页（共 23 页） 【点评】考查双曲线的性质，及直线的交点坐标的求法，属于基础题 11 （5 分）已知在ABC 中，AB4，AC6，其外接圆的圆心为 O，则（ ） A20 B C10 D 【分析】作 ODAB 于 D，OEAC 于 E，根据向量数量积的几何意义即可得到答案 【解答】解：如右图，过 O 作 ODAB 于 D，OEAC 于 E， 可得 D，E 为 AB，AC 的中点， 则 （） （+） （+） + 2+020 （3616） 10 故
22、选：C 【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的 几何意义，属于中档题 12 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧棱 AA1， BB1， CC1分别交于 M， N， Q， 若MNQ 为直角三角形， 则MNQ 面积的最小值为 （ ） A B3 C2 D6 【分析】由题意画出图形，以 AC 中点 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，AC 所在直 线为 y 轴，建立空间直角坐标系，设 M（0，1，a） ，N（，0，b） ，Q（0，1，c） ， 不妨设 N 为直角，可得，写出三角形面积，再由基本不等式 求最值 第 1
23、2 页（共 23 页） 【解答】解：如图，以 AC 中点 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴， 建立空间直角坐标系，设 M（0，1，a） ，N（，0，b） ，Q（0，1，c） ， 不妨设 N 为直角， ， S 故选：B 【点评】本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 基本不等式求最值，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 y（x22）lnx 在 x1 处的切线方程为 x+y10 【分析】根据条件求出 x1 时 y、y的值即可表示出切线方程
24、 【解答】解：根据题意可得 y2xlnx+x， 则当 x1 时，y0，y1， 所以曲线在 x1 处的切线方程为 y（x1） ，整理得 x+y10， 故答案为：x+y10 【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题 14（5分） ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c 若ABC的面积为， 第 13 页（共 23 页） 则 A 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解 【解答】解：由余弦定理可得 a2b2c22bccosA， ABC 的面积为， 又因为 SABC， 所以 tanA， 由 A（0，）可得 A 故答案为： 【点评】本题主要考查了余弦定理
25、及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题 15 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，若 a11，2Sn+1an+1，则 3 【分析】本题先根据 anSnSn1（n2） ，进一步计算可发现数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列然后根据等比数列的通项公式和求和公式可计算出表达式的结果 【解答】解：依题意，当 n2 时，由 2Sn+1an+1，可得 2Sn1+1an， 两式相减，可得 2anan+1an， 即 an+13an（n2） a22S1+12a1+13， 数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列 an3n 1，nN* 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查等比数列的判
26、别以及等比数列的性质应用考查了转化思想，公 式法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力本题属基础题 16 （5 分）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262190 年）的著作圆锥曲线论是古 代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地他 第 14 页（共 23 页） 证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k（k0，且 k1）的点的轨迹 是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，现有ABC，AC4，sinC2sinA，则当ABC 的面积最大时，AC 边上的高为 【分析】ABC，AC4，sinC2sinA 即2根据阿波罗尼斯圆可得：点 B 的轨迹为 圆（去掉两个点）
27、求出圆的方程，进而得出结论 【解答】解：ABC，AC4，sinC2sinA 即2 根据阿波罗尼斯圆的性质，点 B 的轨迹为圆（去掉两个点） 建立如图所示的直角坐标系 设 B（x，y） ，则2， 化为：+y2 点 B 的轨迹为以 M为圆心，为半径的圆，去掉两个点： （，0） ， （6，0） MBAC 时，ABC 的面积最大 此时 MB 故答案为： 【点评】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤应写出文字说明，证明过程或演
28、算步骤 17 （12 分）已知等差数列an的公差 d0，若 a611，且 a2，a5，a14成等比数列 第 15 页（共 23 页） （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由已知列式求得等差数列的首项与公差，则通项公式可求； （2）把数列an的通项公式代入，再由裂项相消法求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）a611，a1+5d11， a2，a5，a14成等比数列， 化简得 d2a1， 由可得，a11，d2 数列的通项公式是 an2n1； （2）由（1）得， Sn 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了裂项
29、相消法求数 列的前 n 项和，是中档题 18 （12 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形，ABCD，AB 4，BCCD2，顶点 D1在底面 ABCD 内的射影恰为点 C （1）求证：BC平面 ACD1； （2）若直线 DD1与底面 ABCD 所成的角为，求平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成锐二 面角的余弦值 【分析】 （1）连接 D1C，则 D1C平面 ABCD，推导出 BCD1C，连接 AC，过点 C 作 CGAB 于点 G，推导出 BCAC，由此能证明 BC平面 AD1C （2）以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CD1，所在直线为 x 轴
30、，y 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：如图，连接 D1C，则 D1C平面 ABCD， 第 16 页（共 23 页） BC平面 ABCD，BCD1C， 在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC，过点 C 作 CGAB 于点 G， AB4，BCCD2，ABCD， 则 AG3，BG1，CG， AG2， 因此满足 AC2+BC216AB2，BCAC， 又 D1C，AC平面 AD1C，D1CACC， BC平面 AD1C （2）解：由（1）知 AC，BC，D1C 两两垂直， D1C平面 ABCD，D1CCD2
31、， 以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CD1，所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，D1（0，0，2） ， （2，2，0） ，（2，0，2） ， 设平面 ABC1D1的法向量 （x，y，z） ， 由，取 x1，得 （1，） ， 又（0，0，2）为平面 ABCD 的一个法向量， 设平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成锐二面角为 ， 则 cos 平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的
32、位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 17 页（共 23 页） 19 （12 分）近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应 求各大养猪场正面临巨大挑战目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激 发养殖户积极性的作用正在逐步显现 现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有 1 万头猪，将其中重量（kg）在1，139 内的猪分为三个成长阶段如下表 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期 重量（Kg） 1，24） 24，116） 116，139 根据以往经验，两个养猪场猪的体重 X 均近似服从正态分布 XN（70，232） 由于我国有关部门加强对
33、大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成 年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及 养殖模式 已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为， （1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量； （2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利 600 元，若为不 合格的猪，则亏损 100 元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈 利 500 元，若为不合格的猪，则亏损 200 元 （）记 Y 为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量 Y 的分布列； （）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪
34、场的总利润期望值 （参考数据：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9974） 【分析】 （1）由于猪的体重 X 近似服从正态分布 XN（70，232） ，根据参考数据求出对 应的概率，再求出结果； （2）根据题意，写出 Y 的分别列，求出数学期望，再求出总利润 【解答】解： （1）由于猪的体重 X 近似服从正态分布 XN（70，232） ， 设各阶段猪的数量分别 n1，n2，n3， 所以 P（1X24）P（70323X70223）， 所以 n1100000.0215215（头） ； 同理 P（24X116）P（70223X70+223
35、）0.9544， 第 18 页（共 23 页） 所以 n2100000.95449544（头） P（16X139）P（70+223X70+323） 所以 n3100000.0215215（头） 所以，甲养猪场有幼年期猪 215 头，成长期猪 9544 头，成年期猪 215 头 （2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为， 随机变量 Y 可能取值为 1100，400，300， P（Y1100），P（Y400），P（Y300） 所以 Y 的分布列为： Y 1100 400 300 P 所以 E（Y）1100+（元） ， 由于各养猪场均有 215 头成年期猪，一头猪出售的
36、利润总和的期望为 785 元， 则总利润期望为 785215168775（元） 【点评】考查正态分布及其应用，考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 P（2，m） ，F 为焦点，PFO 面积为 1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 P 引圆的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A、B，求直线 AB 斜率的取值范围 【分析】 （1）由题意可知：，求出 p 的值，从而得到抛物线 C 的方程； （2）设直线 PA 斜率为 k1，则 PA 方程为 y1k1（x2） ，即 k1xy+12k10
37、，利用 直线 PA 与圆相切，可得，设直线 PB 斜率为 k2，同理得 ，所以 k1，k2 是方程（4r2）k2+8k+4r20 的两个根， 第 19 页（共 23 页） 从而得到，k1k21，联立直线 PA 与抛物线方程，由韦达定理得 x14k1 2，同理 x24k22，代入直线 AB 的斜率公式得 kAB，再根据 r 的范围即 可求出直线 AB 斜率的取值范围 【解答】解： （1）由已知得，即，解得 p2， 所以抛物线 C 的方程为 x24y； （2）由（1）得 P（2，1） ，设直线 PA 斜率为 k1，则 PA 方程为 y1k1（x2） ，即 k1x y+12k10， 又直线 PA 与
38、圆的相切， ， 设直线 PB 斜率为 k2，同理得， k1，k2 是方程（4r2）k2+8k+4r20 的两个根 4r2（8r2）0 （） ， ，k1k21， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由得 x24k1x+8k140，由韦达定理得 x1+24k1， x14k12，同理 x24k22， 所以 kAB（x1+x2）k1+k21， 又，kAB（5，3） ， 直线 AB 斜率的取值范围是（5，3） 【点评】本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnxax2（aR） （1）讨论函数的极值点个数； （2）若 g（x）f（x
39、）x 有两个极值点 x1，x2，试判断 x1+x2与 x1x2的大小关系并证 明 第 20 页（共 23 页） 【分析】 （1）先求出 f（x）lnx+x2axlnx2ax+1（x0） ，令 f（x）0，得 2a ，记 Q（x），则函数 f（x）的极值点个数转化为函数 Q（x）与 y 2a 的交点个数，再利用导数得到 Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+） 上是减 函数，且 Q（x）maxQ（1）1，对 a 分情况讨论，即可得到函数 f（x）的极值点个数 情况； （2）g（x）xlnxax2x，g（x）lnx2ax（x0） ，令 g（x）0，则 lnx2ax0， 所以 2a，记 h（x）
40、，利用导数得到 h（x）在（0，e ）上是增函数，在（e， +）上是减函数，h（x）maxh（e），当 xe 时，f（x）0，所以当 02a即 1a时 g（x） 有 2 个极值点 x1，x2，从而得到，所以 ln（x1+x2） ln（x1x2） ，即 x1+x2x1x2 【解答】解： （1）f（x）lnx+x2axlnx2ax+1（x0） ， 令 f（x）0，得 2a，记 Q（x），则 Q（x）， 令 Q（x）0，得 0x1；令 Q（x）0，得 x1， Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+） 上是减函数，且 Q（x）maxQ（1） 1， 当 2a1，即 a 时，f（x）0 无解，f（x）
41、 无极值点， 当 2a1，即 a时，f（x）0 有一解，2a，即 lnx2ax+10，f（x）0 恒成立，f（x）无极值点， 当 02a1，即 0a时，f（x）0 有两解，f（x）有 2 个极值点， 当 2a0，即 a0 时，f（x）0 有一解，f（x）有一个极值点， 综上所述：当 a时，f（x）无极值点；0a时，f（x）有 2 个极值点；当 a0 时，f（x）有 1 个极点； （2）g（x）xlnxax2x，g（x）lnx2ax（x0） ， 令 g（x）0，则 lnx2ax0，2a， 第 21 页（共 23 页） 记 h（x），则 h（x）， 由 h（x）0 得 0xe，由 h（x）0，得
42、xe， h（x）在（0，e ）上是增函数，在（e，+）上是减函数，h（x）maxh（e）， 当 xe 时，f（x）0， 当 02a即 1a时 g（x） 有 2 个极值点 x1，x2， 由得，ln（x1x2）lnx1+lnx22a（x1+x2） ， ， 不妨设 x1x2，则 1x1ex2，x1+x2x2e， 又 h（x）在（e，+） 上是减函数， 2a， ln（x1+x2）ln（x1x2） ， x1+x2x1x2 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是难题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第注意：只能做所选定
43、的题目如果多做，则按所做第 一个题目计分一个题目计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（0，2） ，倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求+的值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根
44、和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程是 6cos0，转换为直角坐标方程为（x3） 2+y29 第 22 页（共 23 页） 直线 l 过点 M（0，2） ，倾斜角为整理得参数方程为（t 为参数） （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得， 整理得， 所以：，t1t24， 所以求+ 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|x2a| （1）若 a1，解不等式 f（x）4； （2）对任意的实数 m，若总存在实数 x，使得 m22m+4f（x） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入 f（x）中，再利用零点分段法解不等式 f（x）4 即可； （2）根据条件可知，m22m+4 的取值范围是 f（x）值域的子集，然后求出 f（x）的值 域和 m22m+4 的取值范围，再求出 a 的范围