1、已知集合 A（x，y）|2x+y4，B（x，y）|xy+10，则 AB（ ） A B2，1 C（2，1） D（1，2） 2 （5 分）已知复数 z 满足，则 z（ ） A34i B3+4i C43i D4+3i 3 （5 分）已知均为单位向量，若，则与的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 4 （5 分）函数 f（x）3x+x35 的零点所在的区间为（ ） A （0，1） B C D 5 （5 分）班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同 时被抽到的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）若 tan2sin（） ，则 cos2（ ） A B
2、1 C或 0 D或 1 7 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，且 ，m， l，则“ml”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）已知过点（0，1）的直线与抛物线 x24y 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， 若，则|AB|（ ） A B C D 9 （5 分）某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的 两门课程已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同， 丁与丙没有相同课程则以下说法错误的是（ ） A丙有可能没有选素描 第 2 页（共 2
3、1 页） B丁有可能没有选素描 C乙丁可能两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选素描 10 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，且当1x0 时，f（x） 2x1，则 f（log220）（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx，将 f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 纵坐标保持不变，得到函数 yg（x）的图象若 g（x1）g（x2）2，则|x1x2|的最 小值为（ ） A B C2 D4 12 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为 x2y0，A， B 分别是 C 的左、右顶点，M 是 C 上异于
4、A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1， k2，若 1k12，则 k2的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件则 z2x+y 的最大值为 14（5 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 acosB+bcosA2ac， 则 a 15 （5 分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机 构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶
5、点为圆心，以边长为半径， 在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒 洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 1：3，若从大的勒洛三角形中随机取一 点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 第 3 页（共 21 页） 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABAC，AB6，AC8，D 是线段 AC 上一点，且 AD3DC三棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 表面上，过点 D 作球 O 的 截面，则所得截面圆的面积的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答
6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答 （一）必考题：共答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an满足 a11，nan+1（n+1）ann（n+1） ，设 （1）求数列bn的通项公式； （2）若，求数列cn的前 n 项和 18 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，ACBDO （1）证明：B1C平面 A1BD； （2）设 ABAA12，若 A1O平面 ABCD，求三棱锥 B1A1BD 的体积 19
7、 （12 分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互 联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国 平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢2019 年 10 月 20 日 至 22 日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了 1000 名志愿者某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到 了他们年龄的中位数为 34 岁，年龄在40，45）岁内的人数为 15，并根据调查结果画出 如图所示的频率分布直方图： 第 4 页（共 21 页） （1） 求 m， n 的值并估
8、算出志愿者的平均年龄 （同一组的数据用该组区间的中点值代表） ； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报 名调查这 100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算 说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关 系”？ 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知 f（x）2xlnx+x2+ax+3
9、 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）若存在，使得 f（x0）0 成立，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以 C 的短轴为直径的圆 与直线 l：3x+4y50 相切 （1）求 C 的方程； （2）直线 yx+m 交椭圆 C 于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，且 x1x2已知 l 上存在 点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形若 P 在直线 MN 右下方，求 m 的值 第 5 页（共 21 页） 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一
10、个两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个 题目计分，作答时请用题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）已知直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 21+2cos （1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P 为 C2上的任意一点，求 P 到 C1距离的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，c0，且 a+
11、b+c2 （1）求 a2+b+c 的取值范围； （2）求证：+18 第 6 页（共 21 页） 2020 年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）年福建省福州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A（x，y）|2x+y4，B（x，y）|xy+10，则 AB（ ） A B2，1 C（2，1） D（1，2） 【分析】根据题意，联立解方程组求出即可
12、 【解答】解：由得 所以 AB（1，2）， 故选：D 【点评】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等 数学核心素养，基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足，则 z（ ） A34i B3+4i C43i D4+3i 【分析】设 za+bi（a，bR） ，依题意得，2a6，a2+b225，联立解得 a，b 的值，则 答案可求 【解答】解：设 za+bi（a，bR） ，依题意得，2a6，a2+b225， 联立解得 a3，b4， z34i， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知均为单位向量，若，则与的夹角为（
13、 ） A30 B60 C120 D150 【分析】根据题意均为单位向量，若，两边平方，解得即 ，代入夹角公式，根据夹角取值范围，即可求得夹角 【解答】解：依题意，|1，|，所以 223，即 第 7 页（共 21 页） ，所以 cos， 0，180，所以，120 故选：C 【点评】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，向量夹角的范围，以及已知 三角函数值求角的方法属于基础题 4 （5 分）函数 f（x）3x+x35 的零点所在的区间为（ ） A （0，1） B C D 【分析】利用函数的零点判断定理转化求解即可 【解答】解：依题意，f（x）为增函数，f（1）3+150，f（2）32+235
14、0， ， 所以 f（x）的零点所在的区间为， 故选：B 【点评】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑推理， 数学运算，直观想象等数学核心素养 5 （5 分）班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同 时被抽到的概率为（ ） A B C D 【分析】从 5 个人中随机抽取 3 人，利用列举法能求出甲、乙同时被抽到的概率 【解答】解：从 5 个人中随机抽取 3 人，所有的情况为： （甲、乙、丙） ， （甲、乙、丁） ， （甲、乙、戊） ， （甲、丙、丁） ， （甲、丙、戊） ， （甲、 丁、戊） ， （乙、丙、丁） ， （乙、丙、戊）
15、， （乙、丁、戊） ， （丙、丁、戊） ，共 10 种， 其中满足条件的为（甲、乙、丙） ， （甲、乙、丁） ， （甲、乙、戊） ，共 3 种， 故甲、乙同时被抽到的概率为 P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 第 8 页（共 21 页） 6 （5 分）若 tan2sin（） ，则 cos2（ ） A B1 C或 0 D或 1 【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，进而根据二倍角公式 即可求解 【解答】解：由题设得， 所以 sin0，或 所以 cos212sin21，或 故选：D 【点评】本题主要考查三角恒等
16、变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学 核心素养 7 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，且 ，m， l，则“ml”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由已知结合平面与平面垂直的性质及充分必要条件的判定方法得答案 【解答】解：由 ，m，l，ml，利用面面垂直的性质可得 m； 由 ，m，l，m，利用面面垂直的性质可得 ml ， 是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，且 ，m，l，则“m l”是“m”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础
17、题 8 （5 分）已知过点（0，1）的直线与抛物线 x24y 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， 若，则|AB|（ ） A B C D 【分析】由题意可知点（0，1）为抛物线的焦点，再由抛物线的定义即可求出结果 【解答】解：由题意可知点（0，1）为抛物线的焦点， 则由抛物线的定义可得|AB|y1+y2+2， 第 9 页（共 21 页） 故选：B 【点评】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系，是中档题 9 （5 分）某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的 两门课程已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同， 丁
18、与丙没有相同课程则以下说法错误的是（ ） A丙有可能没有选素描 B丁有可能没有选素描 C乙丁可能两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选素描 【分析】甲选择了素描，乙必定没选素描假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；丙 没选素描，则丁必定选择了素描综上，必定有且只有 2 人选择素描；不妨设甲另一门 选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况，列 表讨论可知，乙与丁必有一门课程不相同 【解答】解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描 那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描； 若丙没选素描，则丁必定选择了素描 综上，必定有且只有 2 人选择素描，选项 A，B，D 判断
19、正确 不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修， 则对于素描与摄影可能出现如下两种情况： 情形一： 甲 乙 丙 丁 素描 摄影 情形二： 甲 乙 丙 丁 素描 摄影 由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此 C 不正确 故选：C 第 10 页（共 21 页） 【点评】本题考查命题真假的判断，考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养， 考查推理论证能力，是中档题 10 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（2x）f（x） ，且当1x0 时，f（x） 2x1，则 f（log220）（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为周期为 4 的周期函数，据此
20、可得以 f（log220）f （2+log25）f（log252）f（2log25） ，结合函数的解析式分析可得答案 【解答】解：依题意，f（2+x）f（x）f（x） ，所以 f（4+x）f（x） ，所以 f（x） 为周期函数，周期为 4 又 2log253，所以12log250，所以 f（log220）f（2+log25）f（log252） f（2log25）； 故选：B 【点评】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，注意分析函数的周期性，属于基 础题 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx，将 f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 纵坐标保持不变，得到函数 yg（x
21、）的图象若 g（x1）g（x2）2，则|x1x2|的最 小值为（ ） A B C2 D4 【分析】由题意求出函数的周期，|x1x2|的最小值为半个周期，从而得出结论 【解答】解：，所以， 故 g（x）的周期为 ，且， 因为 g（x1） g（x2）2，所以，或， 所以，所以， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考 查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，属于中档题 第 11 页（共 21 页） 12 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为 x2y0，A， B 分别是 C 的左、右顶点，M 是 C 上异于 A，B 的动点，直线
22、MA，MB 的斜率分别为 k1， k2，若 1k12，则 k2的取值范围为（ ） A B C D 【分析】由渐近线的方程可得 a，b 的关系，写出 A，B 的坐标，设 M 的坐标求出直线 MA，MB 的斜率由 MA 的斜率的范围求出 MB 的斜率的方程 【解答】解：依题意，则双曲线的方程为：，则 A（2b，0） ，B （2b，0） ，设 M（x0，y0） ，则， 所以，因为 k11，2， 所以， 故选：A 【点评】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中
23、的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件则 z2x+y 的最大值为 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合，即可得到 结论 【解答】解：作出可行域如图所示， 则当直线 z2x+y 过点 A 时直线的截距最大，z 取最大值 由； A（3，2） ，z 取最大值：2324 第 12 页（共 21 页） 故答案为：4 【点评】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算 等数学核心素养利用数形结合是解决本题的关键 14 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acosB+bco
24、sA2ac，则 a 【分析】利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出 【解答】 解： 由题设及正弦定理得 sinAcosB+sinBcosA2asinC， 所以 sin （A+B） 2asinC 又 A+B+C，所以 sinC2asinC，所以 故答案为： 【点评】本题主要考查正弦定理、和差公式、诱导公式，意在考查逻辑推理、数学运算、 直观想象等数学核心素养属于中档题 15 （5 分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机 构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径， 在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图
25、中的两个勒 洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 1：3，若从大的勒洛三角形中随机取一 点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 【分析】先求出各自的面积，根据面积比即可求得； （也可直接用三角形相似，面积比为 边长比的平方来求 【解答】解：设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 a， 则小勒洛三角形的面积 S1， 因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 1：3， 所以大勒洛三角形的面积 S2， 第 13 页（共 21 页） 若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率 故答案为： 【点评】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读
26、能力与应用意 识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABAC，AB6，AC8，D 是线段 AC 上一点，且 AD3DC三棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 表面上，过点 D 作球 O 的 截面，则所得截面圆的面积的最小值为 12 【分析】将三棱锥 PABC 补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球 O， 记三角形 ABC 的外心为 O1，设球的半径为 R，PA2x，应用球的截面的性质和直角三角 形的勾股定理， 结合当截面与直线 OD 垂直时， 截面面积最小， 设此时截面圆的半径为 r， 由勾股定理可
27、得所求最小值 【解答】解：将三棱锥 PABC 补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球 O，记三角形 ABC 的外心为 O1， 设球的半径为 R，PA2x，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 x，即 OO1x，连接 O1A， 则，所以 R2x2+25 在ABC 中，取 AC 的中点为 E，连接 O1D，O1E，则， 所以 在 RtOO1D 中， 由题意得到当截面与直线 OD 垂直时， 截面面积最小， 设此时截面圆的半径为 r，则 r2R2OD2x2+25（x2+13）12， 所以最小截面圆的面积为 12 故答案为：12 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面
28、等基础知识， 意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养 第 14 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答 （一）必考题：共答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an满足 a11，nan+1（n+1）ann（n+1） ，设 （1）求数列bn的通项公式； （2）若，求数列cn的前
29、n 项和 【分析】本题第（1）题根据，可得 annbn，然后代入递推式，可发现数列bn 是一个等差数列，即可得到数列bn的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计 算出数列cn的通项公式，然后运用分组求和法计算出前 n 项和 【解答】解： （1）依题意，由，可得 annbn， nan+1（n+1）ann（n+1） ， n（n+1）bn+1（n+1）nbnn（n+1） ， 即 bn+1bn1， 又b1a11， 数列bn是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， bn1+（n1）n （2）由（1）知， 设数列cn的前 n 项和为 Sn，则 Snc1+c2+cn （211）+（222）+（2nn）
30、 （21+22+2n）（1+2+n） 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查逻辑推理、数学运算等数 学核心素养以及转化思想的应用本题属中档题 18 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，ACBDO （1）证明：B1C平面 A1BD； 第 15 页（共 21 页） （2）设 ABAA12，若 A1O平面 ABCD，求三棱锥 B1A1BD 的体积 【分析】 （1）证明四边形 A1B1CD 是平行四边形，得到 B1CA1D，然后证明 B1C平面 A1BD （2）求出三棱锥 A1BCD 的体积，通过，即可得到结 果 【解答】 （1）证明：依题意，且， ， 四边
31、形 A1B1CD 是平行四边形， B1CA1D， B1C平面 A1BD，A1D平面 A1BD， B1C平面 A1BD （2）依题意， 在 RtAA1O 中， 所以三棱锥 A1BCD 的体积 由（1）知 B1C平面 A1BD， 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、多面体的体积等基础知识， 意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养 19 （12 分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互 联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国 平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢2019 年 10
32、 月 20 日 第 16 页（共 21 页） 至 22 日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了 1000 名志愿者某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到 了他们年龄的中位数为 34 岁，年龄在40，45）岁内的人数为 15，并根据调查结果画出 如图所示的频率分布直方图： （1） 求 m， n 的值并估算出志愿者的平均年龄 （同一组的数据用该组区间的中点值代表） ； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报 名调查这 100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算 说明能否
33、在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关 系”？ 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）求出志愿者年龄在40，45）内的频率，利用频率和为 1 及中位数两侧的面 积相等都为 0.5 列方程组求解 m，n 的值； （2）由频率分布直方图填写 22 列联表，求出 K2的观测值，结合临界值表得结论 【解答】解： （1）因为志愿者年龄在40，45）内的人数为 15， 所以
34、志愿者年龄在40，45）内的频率为：； 由频率分布直方图得： （0.020+2m+4n+0.010）5+0.151， 第 17 页（共 21 页） 即 m+2n0.07， 由中位数为 34 可得 0.0205+2m5+2n（3430）0.5， 即 5m+4n0.2， 由解得 m0.020，n0.025 志愿者的平均年龄为（22.50.020+27.50.040+32.50.050+37.50.050+42.5 0.030+47.50.010）534（岁） ； （2）根据题意得到列联表： 男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 31 19 50 总计 50 50 100 K2的观
35、测值5.76 10.828，11 分 所以不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系 【点评】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运 算、数据分析的数学核心素养是基础题 20 （12 分）已知 f（x）2xlnx+x2+ax+3 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）若存在，使得 f（x0）0 成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入，求导求出斜率，求出切点，由点斜式方程得解； （2）问题等价于在有解，构造函数利用导数研究其最值 即可得出结论 【解答】解：f（x）2（lnx+1）
36、+2x+a （1）当 a1 时，f（x）2xlnx+x2+x+3，f（x）2（lnx+1）+2x+1， 所以 f（1）5，f（1）5， 所以曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y55（x1） ，即 y5x （2）存在，使得 f（x0）0 成立， 第 18 页（共 21 页） 等价于不等式在有解 设，则， 当时，h（x）0，h（x）为增函数；当 1xe 时，h（x）0，h（x）为减 函数 又，故， 所以当时， 所以，即 a 的取值范围为 【点评】本题主要考查函数和导数及其应用等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理 与数学运算等数学核心素养 21 （12 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以
37、 C 的短轴为直径的圆 与直线 l：3x+4y50 相切 （1）求 C 的方程； （2）直线 yx+m 交椭圆 C 于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，且 x1x2已知 l 上存在 点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形若 P 在直线 MN 右下方，求 m 的值 【分析】 （1）由点到直线的距离公式列式求 b，再由离心率结合隐含条件求得 a，则椭圆 方程可求； （2）直线 yx+m 的倾斜角为 45，且PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形， P 在直线 MN 右下方，可得 NPx 轴过 M 作 NP 的垂线，垂足为 Q，则 Q 为线段 NP 的中点，求得 P（2
38、x1x2，y2） ，代入直线 l 的方程，由，得 4x2+6mx+3m2 30再由根与系数的关系联立求解 m 值 【解答】解： （1）依题意， 离心率，解得， 第 19 页（共 21 页） 椭圆 C 的标准方程为； （2） 直线 yx+m 的倾斜角为 45， 且PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形， P 在直线 MN 右下方，NPx 轴 过 M 作 NP 的垂线，垂足为 Q，则 Q 为线段 NP 的中点，Q（x1，y2） ，故 P（2x1x2， y2） ， 3（2x1x2）+4y250， 即 3（2x1x2）+4（x2+m）50， 整理得 6x1+x2+4m50 由，得 4x2+6mx+
39、3m230 36m248m2+480，解得2m2， ， 由得， 将代入得 x21m， 将代入得，解得 m1 综上，m 的值为1 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系 等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养，是中档题 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个 题目计分，作答时请用题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参
40、数方程 第 20 页（共 21 页） 22 （10 分）已知直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 21+2cos （1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P 为 C2上的任意一点，求 P 到 C1距离的取值范围 【分析】 （1）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 【解答】解： （1）C1的普通方程为 xy3，即 xy+30 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21+2x，即（x1）2+y22
41、（2）由（1）知，C2是以（1，0）为圆心，半径的圆， 圆心 C2（1，0）到 C1的距离， 所以直线 C1与圆 C2相离，P 到曲线 C1距离的最小值为； 最大值， 所以 P 到曲线 C1距离的取值范围为 【点评】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的 极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，c0，且 a+b+c2 （1）求 a2+b+c 的取值范围； （2）求证：+18 【分析】 （1）由条件等式将 b+c 用 a 表示，再从 a0，b0，c0，进一步求出 a 的范 围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解； （2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证 【解答】解： （1）a0，b0，c0 且 a+b+c2， 2ab+c0，0a2， ， 第 21 页（共 21 页） ， a2+b+c 的取值范围为 （2）a0，b0，c0， ， ， 当且仅当时等号成立， 又 a+b+c2， 【点评】本题考查了基本不等式和不等式证明，考查了转化思想，属中档题