1、已知集合 Ax|0，B1，0，1，则 AB 等于（ ） Ax|1x1 B1，0，1 C1，0 D0，1 2 （5 分） 复数 z12+i， 若复数 z1， z2在复平面内对应的点关于虚轴对称， 则等于 （ ） A B C3+4i D 3 （5 分）已知 tan3，则 cos2+sin2（ ） A B C D 4 （5 分）函数 f（x）|x|的图象大致为（ ） A B C D 5 （5 分）已知平面向量 ， 满足，且，则 与 的夹 角为（ ） A B C D 6 （5 分）公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在 跑步英雄阿基里斯前面 1000 米处开始与阿基
2、里斯赛跑， 并且假定阿基里斯的速度是乌龟 的 10 倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米，当阿基 里斯跑完下一个 100 米时，乌龟先他 10 米，当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟先他 1 第 2 页（共 25 页） 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距 离恰好为 0.1 米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A米 B米 C米 D米 7（5分） 某位教师2017年的家庭总收入为80000元， 各种用途占比统计如下面的折线图.2018 年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知 2018 年的就医费用比 2017 年
3、的就医费用增加了 4750 元，则该教师 2018 年的旅行费用为（ ） A21250 元 B28000 元 C29750 元 D85000 元 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ） A4 B C D 9 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，0） ，f（），f（） 0 且 f（x）在（0，）上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A Bf（） C函数 f（x）在，上单调递减 D函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 第 3 页（共 25 页） 10 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 ，设椭
4、圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1，e2的关系为（ ） A+4 Be12+e224 C+4 De12+3e224 11 （5 分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为 2，高为，有一个球的表面与这个正四棱 锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A4 B4 C4 D3 12 （5 分）设 f（x）是函数 f（x） （x0）的导函数，且满足 f（x），若在ABC 中，A，则（ ） Af（sinA）sin2Bf（sinB）sin2A Bf（sinC）sin2Bf（sinB）sin2C Cf（cosA）sin2Bf（sinB）cos2A Df（cosC）sin2Bf（sinB）cos2C 二
5、、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知（x+1）n的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则 n 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数 z2x+y 的最小值为 15 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 相切于 M 点，N 是 l 上一 点（不与 M 重合） ，若以线段 MN 为直径的圆恰好经过 F，则点 N 到抛物线顶点 O 的距 离|ON|的最小值是 16 （5 分）已知ABC 中，ABBC，点 D
6、是边 BC 的中点，ABC 的面积为 2，则线段 AD 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 a11， an0 （n2） ， Sn， nN*， 各项均为正数的等比数列bn满足 b1a2，b3a4 第 4 页（共 25 页） （1）求数列an，bn的通项公式； （2）若 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 18在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解 情况，进行了一次创
7、城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参 加问卷调查的 100 人的得分统计结果如表所示： 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 频数 2 12 20 25 24 13 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ZN（，198） ， 近似为这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 P （38.2Z80.2） ； （2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的
8、可以获赠 1 次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单位：元） 20 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列与数学期望 附： 参考数据与公式：14， 若 XN （， 2） ， 则 P （X+） 0.6826； P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974 19已知椭圆 C：+1（a0，b0）的长轴长为 4，离心率 e （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A，B 分别为椭圆与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴的交点，P 是椭圆 C 上在第一象限 的一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线
9、 PB 与 x 轴交于点 N，问PMN 与PAB 面积之 差是否为定值？说明理由 20已知函数 f（x）ax2+cosx（aR） （1）当 a时，证明 f（x）0，在0，+）恒成立； （2）若 f（x）在 x0 处取得极大值，求 a 的取值范围 第 5 页（共 25 页） 21如图 1，ADC 与ABC 是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，ACB ACD30，ABCADC90，AB2，连接是 BD、E 边 BC 上一点，过 E 作 EF BD，交 CD 于点 F，沿 EF 将CEF 向上翻折，得到如图 2 所示的六面体 PABEFD （1）求证：BDAP； （2）设（R） ，若平面 PE
10、F底面 ABEFD，若平面 PAB 与平面 PDF 所成角 的余弦值为，求 的值； （3）若平面 PEF底面 ABEFD，求六面体 PABEFD 的体积的最大值 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题作答时请写清题 号号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）曲线 C1的参数方程为为参数） ，在以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 cos23sin （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）若直
11、线 l：ykx 与曲线 C1，C2的交点分别为 A，B（A，B 异于原点） ，当斜率 时，求的最小值 选修选修 4-5：不等：不等式选讲式选讲 23已知函数 f（x）2|x+1|xm|（m0） （1）当 m2 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）g（x）f（x）2，g（x）的图象与两坐标轴的交点分别为 A，B，C，若三角形 ABC 的面积大于 12，求参数 m 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2020 年山西省运城市高考数学一模试卷（理科）年山西省运城市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个
12、小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|0，B1，0，1，则 AB 等于（ ） Ax|1x1 B1，0，1 C1，0 D0，1 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x1，B1，0，1， AB1，0 故选：C 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，分式不等式的解法，交集的运算，考查了 计算能力，属于基础题 2 （5 分） 复数 z12+i， 若复数 z1， z2在复平面内对应的点关于虚轴对称， 则等于 （ ） A B C3
13、+4i D 【分析】由已知求得 z2，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z12+i，且复数 z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称， z22+i， 则 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）已知 tan3，则 cos2+sin2（ ） A B C D 第 7 页（共 25 页） 【分析】由题意，可将 cos2+sin2 变为，再利用商数关系将其 用切表示出来，代入正切的值即可求出分式的值 【解答】解：tan3， cos2+sin2， 故选：B 【点评】本题考查同角三角函数的关系，已知角的正切值，求解
14、时注意“1”的妙用，属 于基础题 4 （5 分）函数 f（x）|x|的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性可排除 CD，利用导数研究可知当 x0 时，其在 x1 处取得 极小值，可排除 B，由此得解 【解答】解：因为 f（x）f（x） ，所以 f（x）是偶函数，排除 C 和 D 当 x0 时，令 f（x）0，得 0x1；令 f （x）0，得 x1 所以 f（x）在 x1 处取得极小值，排除 B， 故选：A 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题 第 8 页（共 25 页） 5 （5 分）已知平面向量 ， 满足，且，则 与 的夹 角为（ ） A B C D 【
15、分析】设 与 的夹角为 ，由题意求得 cos 的值，可得 的值 【解答】解：平面向量 ， 满足| | |1，| |1，| |3 |2 + | + |，4 +4 +2 +，3 +2 0， 设 与 的夹角为 ，0，则 3+213cos0， 求得 cos， 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题 6 （5 分）公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在 跑步英雄阿基里斯前面 1000 米处开始与阿基里斯赛跑， 并且假定阿基里斯的速度是乌龟 的 10 倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米，当阿基 里斯跑完下
16、一个 100 米时，乌龟先他 10 米，当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟先他 1 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距 离恰好为 0.1 米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A米 B米 C米 D米 【分析】由题意可知，龟每次爬行的距离构成等比数列an，写出 a1，q，an，再利用等 比数列的前 n 项和公式即可求出总距离 Sn 【解答】解：由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列an，且 a1100，q， an0.1， 乌龟爬行的总距离为 Sn， 故选：D 【点评】本题主要考查了数列的实际运用，以及等比数列的性质，是中档题 第 9 页（共 25 页） 7（5
17、分） 某位教师2017年的家庭总收入为80000元， 各种用途占比统计如下面的折线图.2018 年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知 2018 年的就医费用比 2017 年 的就医费用增加了 4750 元，则该教师 2018 年的旅行费用为（ ） A21250 元 B28000 元 C29750 元 D85000 元 【分析】先对图表信息进行分析，再结合简单的合情推理可得解 【解答】解：设教师 2018 年家庭总收入为 n， 则 n15%8000010%4750， 解得 n85000， 则该教师 2018 年的旅行费用为 8500035%29750， 故选：C 【点评】本题考查了
18、对图表信息的分析及进行简单的合情推理，属中档题 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ） A4 B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 第 10 页（共 25 页） 最长的棱长为 AB 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法及应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，0） ，f（），f（） 0 且 f（x）在（0，）上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A B
19、f（） C函数 f（x）在，上单调递减 D函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 【分析】因为 f（x）在（0，）上是单调函数，所以周期大于 2，f（），f （）0 对应的点在一个周期内，且相差，由此可求出 ，进一步求出 的值然 后逐项判断 【解答】解：因为 f（x）在（0，）上是单调函数，所以周期大于 2，f（）， f（）0 对应的点在一个周期内，且相差 ，T3，故 A 错误 ，由 f（）0 得 0，k0 时， ，故 B 正确 当 x，时，这是 ysinx 的增区间故原区间是原函 第 11 页（共 25 页） 数的增区间故 C 错误 因为，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查了三角函数的
20、图象与性质的综合应用，同时考查学生的逻辑推理、直 观想象、数学运算等核心数学素养有一定的难度 10 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1，e2的关系为（ ） A+4 Be12+e224 C+4 De12+3e224 【分析】先设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长 a2，焦距 2c因为涉及椭圆及双 曲线离心率的问题，所以需要找 a1，a2，c 之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以 用 a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且F1PF2，在F1PF2中根据余弦定理即可得到 +4
21、【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，则根据椭圆及双 曲线的定义： ，解得|PF1|a1+a2，|PF2|a1a2， 设|F1F2|2c，F1PF2，则： 在PF1F2中由余弦定理得，4c2（a1+a2） 2+（a1a2）22（a1+a2） （a1a2） cos ， 第 12 页（共 25 页） 化简得：3a12+a224c2，该式可变成： +4 故选：A 【点评】本题考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定 义，考查余弦定理的应用，是中档题 11 （5 分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为 2，高为，有一个球的表面与这个正四棱 锥的每个边
22、都相切，则该球的表面积为（ ） A4 B4 C4 D3 【分析】由正四棱锥形底边边长为 2，高为，过顶点 P 作 PO面 ABCD，取 BC，PB 的中点，可得 POEO，EOBC，可得 OEOFR1，且球的表面与这个正四棱锥的 每个边都相切，进而求出球的表面积 【解答】解：过 P 作 PO面 ABCD 于 O，分别取 PB，BC 的中点 F，E，连接 OF，OE， PE，OB， 可得 POOE，POOB，因为底边边长为 2，高为， 则 OE1，OBPO，所以 OF1， 所以 O 为表面与这个正四棱锥的每个边都相切的球的球心，且球的半径 R1，所以球的 表面积 S4R24 故选：B 【点评】本
23、题考查球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切时球的半径与棱长的关系， 及球的表面积公式，属于中档题 12 （5 分）设 f（x）是函数 f（x） （x0）的导函数，且满足 f（x），若在ABC 中，A，则（ ） 第 13 页（共 25 页） Af（sinA）sin2Bf（sinB）sin2A Bf（sinC）sin2Bf（sinB）sin2C Cf（cosA）sin2Bf（sinB）cos2A Df（cosC）sin2Bf（sinB）cos2C 【分析】结合已知可考虑构造函数 g（x），然后对其求导，结合导数与单调性 的关系可求 g（x）的单调性，进而可比较大小 【解答】解：令 g（x）， x0
24、，f（x），xf（x）2f（x）0， 则0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增， 因为 A，所以 B+C，即 0sinBsin（）cosC1， g（sinB）g（cosC） ， ， f（sinB）cos2Cf（cosC）sin2B， 故选：D 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，比较函数值的大小，属于中档试 题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知（x+1）n的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则 n 10 【分析】直接利用二项式定
25、理求出 n 【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等， 可得n4n6，可得 n4+610 故答案为：10 【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用 以及计算能力 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数 z2x+y 的最小值为 1 第 14 页（共 25 页） 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A（1，3）时，直线的截距最小， 此时
26、z 最小， 此时 z1231， 故答案为：1 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义 是解决此类问题的基本方法 15 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 相切于 M 点，N 是 l 上一 点（不与 M 重合） ，若以线段 MN 为直径的圆恰好经过 F，则点 N 到抛物线顶点 O 的距 离|ON|的最小值是 2 【分析】先证明点 N 在抛物线的准线 x2 上，因此，原问题转化为：准线上的动点 N 引抛物线的切线于 M，求切线 NM 长的最小值，显然当 N 位于（2，0）时，|ON|有最 小值，则答案可求 【解答】解：设
27、M（a，2） ，则 kMF，NF 的方程为 y（x2） ， y28x，取 y2，得 y， 直线 l 的方程为 y2（xa） ， 联立，可得点 N 在抛物线的准线 x2 上， 第 15 页（共 25 页） 因此，原问题转化为：准线上的动点 N 到抛物线顶点的距离的最小值 显然当 N 位于（2，0）时，|ON|有最小值为 2， 故答案为：2 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定点 P 在抛物线 的准线 x2 上是关键，是中档题 16 （5 分）已知ABC 中，ABBC，点 D 是边 BC 的中点，ABC 的面积为 2，则线段 AD 的取值范围是 【分析】设 ABBCx，
28、ABC，由题意建立坐标系，先根据面积找到 x， 的关系， 再将 AD 表示出来，得到关于 的函数，求值域即可 【解答】解：设 ABBCx，ABC，如图建立平面直角坐标系 则：A（xcos，xsin） ，B（0，0） ，D（） 由已知得， 化简后并令 y（0，） ，并令此时 因为 y45cos 在（0，）上递增， （0，）时，y0，函数递减，（，）时，y0，函数递增 故，ymin3 易知，当 x0 或 x 时，y+ 故 AD23，所以 第 16 页（共 25 页） 故 AD 的取值范围是） 故答案为： 【点评】本题考查解三角形以及导数的应用同时考查学生运用函数思想、转化与化归 思想解决问题的能力
29、，同时对学生的运算能力也有一定的要求，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 a11， an0 （n2） ， Sn， nN*， 各项均为正数的等比数列bn满足 b1a2，b3a4 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）若 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）先由 Sn，nN*求出an相邻两项之间的关系，接着求出 an， 再结合条件求出 bn； （2）先由（1）得出的 an，bn求出 cn
30、，再利用错位相减法求 Tn 【解答】解： （1）Sn，nN*， Sn+1， nN* ， 由 可 得Sn+1 Sn an+1， 整理得： 6an+1an+22an+129， 即 （an+1+3） 2an+22 an0 （n2） ， an+1+3an+2 所以 an+2an+13，又当 n1 时 S1a11，an0（n2） ，a22， a2a12（1）3 也适合 an+1an3，所以数列an是以1 为首项，以 3 为公差的等差数列 an3n4 各项均为正数的等比数列bn满足 b1a22，b3a48，公比 q2， b 第 17 页（共 25 页） （2）由（1）知：cnanbn（3n4）2n 1，
31、Tn120+221+522+823+（3n4）2n 1， 2Tn121+222+523+（3n7）2n 1+（3n4）2n， 由可得：Tn120+3（21+22+23+2n 1）（3n4）2n1+3 +（43n）2n， Tn（3n7）2n+7 【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求和，属于较难题 18在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解 情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参 加问卷调查的 100 人的得分统计结果如表所示： 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80）
32、 80，90） 90，100） 频数 2 12 20 25 24 13 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ZN（，198） ， 近似为这 100 人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 P （38.2Z80.2） ； （2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单位：元） 20 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，
33、 求 X 的分布列与数学期望 附： 参考数据与公式：14， 若 XN （， 2） ， 则 P （X+） 0.6826； P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974 【分析】 （1）先算出每个区间上的频率，然后套公式求出 的值然后根据正态分布密 度曲线的性质 （2）显然得分超过与不超过 的概率各占 0.5，根据题意可知，所得话费分别为 20 元、 40 元、50 元、70 元、100 元，然后分别算出它们的概率，即可得到分布列，求出期望 第 18 页（共 25 页） 【解答】 解：（1） 350.02+450.12+550.20+650.25+750.24+850.13+950.04
34、 66.2 故ZN（66.2，198） ，易知 0.8413 又0.0228 故 P（38.2Z80.2）P（Z80.2）P（Z38.2）0.8185 （2） 由题意一位市民得分高于或低于 的概率各为该市民参与活动获赠话费 X 的可 能取值为 20，40，50，70，100 P（X20）； ； 故 X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 所以 EX41.25 故该市民参与活动获赠话费的数学期望为 41.25 元 【点评】本题考查了频率直方图的识图，二项分布、正态分布的性质及应用，同时也考 查了一般情况下分布列的求法属于中档题 19已知椭圆 C：+1（a0，b0）的长轴长为 4
35、，离心率 e （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A，B 分别为椭圆与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴的交点，P 是椭圆 C 上在第一象限 的一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，问PMN 与PAB 面积之 差是否为定值？说明理由 【分析】 （1）由离心率及长轴长和 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的 方程； （2）由（1）可得 A，B 的坐标，设 P 的坐标，可得横纵坐标的关系，求出直线 PA，PB 的方程，由题意可得 M，N 的坐标，进而求出|BM|，|AN|的值，再由 SPMNSPAB（S 第 19 页（共 25 页） MPNSP
36、AN）（SBANSPAN）SMANSBAN| |AN|BM|可得关于 P 的横纵坐标 的代数式，整理可得为定值 【解答】解： （1）由题意可得 2a4，e，b2a2c2，可得：a24，b21， 所以椭圆的方程为：+x21； （2）由（1）可得 A（1，0） ，B（0，2） ，设 P（m，n） ，则+m21， 直线 PA 的方程为：y（x1） ，令 x0，则 yM，所以|BM|2， 直线 PB 的方程为：yx+2，令 y0，可得 xN，所以|AN|1 SPMNSPAB（SMPNSPAN）（SBANSPAN）SMANSBAN|AN|（|OM| |OB|） |AN|BM| （2） （1+） 2 所以
37、PMN 与PAB 面积之差为定值 2 【点评】本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合应用，属于中难题 20已知函数 f（x）ax2+cosx（aR） （1）当 a时，证明 f（x）0，在0，+）恒成立； （2）若 f（x）在 x0 处取得极大值，求 a 的取值范围 【分析】 （1）当 a时，f（x）xsinx，令 g（x）xsinx， 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论 （2）f（x）2axsinx，令 g（x）2axsinx，可得 g（x）2acosx，对 a 分类 讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论 第 20 页（共 25 页） 【解答】 （1）证明：当
38、a时，f（x）xsinx， 令 g（x）xsinx，则 g（x）1cosx0 即 g（x）在 R 上单调递增， 所以 g（x）g（0）0， 故 f（x）0，在0，+）恒成立； （2）解：f（x）2axsinx，令 g（x）2axsinx，则 g（x）2acosx， a时，则 g（x）2acosx0，所以 f（x）单调递增，且 f（0）0， 当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递减， 在 x0 处取得极小值，不符合题意； 当 a时，则 g（x）2acosx0，所以 f（x）单调递减，且 f（0）0， 当 x0 时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x
39、0 时，f（x）0，f（x）单调递增， 在 x0 处取得极大值，符合题意； a0 时，x（，）时，则 g（x）2acosx0，所以 f（x）单 调递减，且 f（0）0，在 x0 处取得极大值，符合题意； 0a时，则存在 x1（，0）使得 g（x1）2acosx10，存在 x2（0， ）使得 g（x2）2acosx20， x（x1，x2） ，g（x）2acosx0，f（x）单调递减，f（0）0，在 x0 处取 得极大值，符合题意 综上可得：a 的取值范围是（，） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于
40、难题 21如图 1，ADC 与ABC 是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，ACB ACD30，ABCADC90，AB2，连接是 BD、E 边 BC 上一点，过 E 作 EF BD，交 CD 于点 F，沿 EF 将CEF 向上翻折，得到如图 2 所示的六面体 PABEFD 第 21 页（共 25 页） （1）求证：BDAP； （2）设（R） ，若平面 PEF底面 ABEFD，若平面 PAB 与平面 PDF 所成角 的余弦值为，求 的值； （3）若平面 PEF底面 ABEFD，求六面体 PABEFD 的体积的最大值 【分析】 （1）先证明 BD平面 PAN，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
41、 （2）以 N 为坐标原点，NA，NE，NP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系，根据已知条件求得平面 PAB 与平面 PDF 的法向量，进而根据题意建立方程求解， 得出结论； （3）设所求几何体的体积为 V，设 CNx（0x3） ，则，表示出 V，再利用 导数求其最值即可 【解答】解： （1）证明：不妨设 EF 与 AC 的交点为 N，BD 与 AC 的交点为 M，由题知， CDBC，DCABCA30，则有 BDAC， 又 BDEF，则有 EFAC， 由折叠可知，PNEF，则有 PNBD， 又 ACPNN，且都在平面 PAN 内， BD平面 PAN， 又 AP 在平面
42、 PAN 内， BDAP； （2）依题意，有 PNEF，平面 PEF平面 ABEFD，又 PN 在平面 PEF 内，则有 PN 平面 ABEFD， PNAC， 第 22 页（共 25 页） 又由题意知，EFAC，故以 N 为坐标原点，NA，NE，NP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知， 由可知， 则 ， ， ， 设平面 PAB 与平面 DFP 的法向量分别为， 则，可取， 同理可得， ， 因为 （0，1） ，故； （3）设所求几何体的体积为 V，设 CNx（0x3） ，则， 第 23 页（共 25 页） ， ， 当 0x2 时，V0，当 2x3
43、时，V0， V（x）在（0，2）单调递增，在（2，3）单调递减， ， 六面体 PABEFD 的体积的最大值为 【点评】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空 间几何体的体积以及利用导数研究函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的 能力，属于难题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题作答时请写清题 号号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）曲线 C1的参数方程为为参数） ，在以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极
44、坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 cos23sin （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）若直线 l：ykx 与曲线 C1，C2的交点分别为 A，B（A，B 异于原点） ，当斜率 时，求的最小值 【分析】 （）把曲线 C1的参数方程为参数）消去参数即可得到直 角坐标方程， 进一步得到曲线 C1的极坐标方程， 把曲线 C2的极坐标方程两边同时乘以 ， 结合公式可得曲线 C2的直角坐标方程； （）设直线 l 的倾斜角为 ，则直线 l 的参数方程为（ 为参数， ） ，分别联立直线 l 与曲线 C1、C2的直角坐标方程，求出|OA|，|OB|，再 由手机不行及基本不等式求的最小值 第 24 页（共 25 页） 【解答】解： （）曲线 C1的参数方程为为参数） ， 得直角坐标方程为，即 x2+y2y0 曲线 C1的极坐标方程为 2sin0，即 sin 曲线 C2的极坐标方程为 cos23sin，即 2cos23sin， 曲线 C2的直角坐标方