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2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷(理科)含详细解答

1、已知集合 Ax|5x2,则 AB( ) Ax|5x2 Bx|5x2 Cx|5x2 Dx|2x2 2 (5 分)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上单调递增的是( ) A Bf(x)exe x Cf(x)xsinx Df(x)ln(1x)ln(1+x) 3 (5 分)x2y2的充分不必要条件是( ) Axy Byx0 C|y|x| D|y|x 4 (5 分) 已知 Sn为公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和, S918, am2, 则 m ( ) A4 B5 C6 D7 5 (5 分)已知向量,满足,则( ) A B C D1 6 (5 分)已知函数 yf(x)的部分图象如下,是判断函数解

2、析式为( ) Af(x)xsinx Bf(x)x2+cosx Cf(x)xsinx+cosx Df(x)(exe x)sinx+1 7 (5 分)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618 就是黄金分割比:的近似值, 黄金分割比还可以表示成 2sin18,则( ) A B C2 D4 第 2 页(共 20 页) 8 (5 分)已知,则( ) Abca Bcab Cabc Dacb 9 (5 分)已知直线 l:mx+ny20 与圆 x2+y24 相交的弦长为,则 m+n 的取值范围 为( ) A2,2 B C

3、D4,4 10 (5 分)若直线 l:ykx2 与函数的图象恰好有 2 个不同的 公共点,则 k 的取值范围为( ) A (,0) B C (,0)(2,+) D 11 (5 分)如图四面体 ABCD 中,ADBC2,ADBC,截面四边形 EFGH 满足 EF BC;FGAD,则下列结论正确的个数为( ) 四边形 EFGH 的周长为定值 四边形 EFGH 的面积为定值 四边形 EFGH 为矩形 四边形 EFGH 的面积有最大值 1 A0 B1 C2 D3 12 (5 分)已知数列an中,a11,a22,an+12an+3an1(n2) ,数列an的前 99 项 和 S99( ) A B C D

4、 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每题小题,每题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 第 3 页(共 20 页) 13 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z3x+y+2 的最小值 为 14 (5 分) 函数 f (x) alnx+bx2在点 (1, f (1) ) 处的切向方程为 y4x3, 则 a , b 15(5分) 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上, PAPBPC, AB2, AC3,E,F 分别为 AC,PB 的中点,则球 O 的体积为 16 (5 分)函数,则如下结论正确的序号 是 当 2 时,若 f(x)图象的对称轴为,则; 当

5、2 时,若 f(x)的图象向右平移单位长度后关于原点对称,则; 当时,若 f(x)的图象在区间内有且仅有一条对称轴,则 的取值 范围为1,5) ; 当时,若集合含有 2020 个元素,则 的取值范 围为(2019,2020.5) 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若, (1)求 C 的值; (2)若,求ABC 的面积 18(12 分) 如图三棱柱 ABCA1B1C1中,平面 ABC (1)证明:A

6、B平面 ACC1A1; (2)求 AB1与平面 BCC1所成的角的正弦值 第 4 页(共 20 页) 19 (12 分)已知数列an满足 a11, (n+1)an+1nan+n+1 (1)求数列an的通项公式; (2)Sn为数列的前 n 项和,求证: 20 (12 分) 如图正方形 ABCD 纸片的边长为, 中心为 O, 正方形 EFGH 的中心也是 O, AEH,BEF,CFG,DGH 分别是以 EH,EF,FG,GH 为底边的等腰三角形, 沿虚线剪开后,分别以 EH,EF,FG,GH 为折痕折起AEH,BEF,CFG,DGH, 使得 A、B、C、D 重合于点 S,得到四棱锥 SEFGH,设

7、正方形 EFGH 的边长为 x (1)用 x 表示四棱锥 SEFGH 的体积 V(x) ; (2)当 V(x)最大时,求四棱锥 SEFGH 的表面积 21 (12 分)已知两定点 M(1,0) ,N(4,0)点 P 满足|PN|2|PM| (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若 D(0,2) ,直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点,DA,DB 的斜率之和为 2,直线 l 是否恒过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由 22 (12 分)已知函数 f(x)axxlnx, (aR)的最大值为 1 (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)e 2x+2x2 第 5 页(

8、共 20 页) 2020 年山西省吕梁市高考数学一模试卷(理科)年山西省吕梁市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 Ax|5x2,则 AB( ) Ax|5x2 Bx|5x2 Cx|5x2 Dx|2x2 【分析】求出集合 B,再计算即可 【解答】解:因为 Bx|2x2,所以 ABx|5x2, 故选:C 【点评】考查集合的并集运算,基础题

9、 2 (5 分)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上单调递增的是( ) A Bf(x)exe x Cf(x)xsinx Df(x)ln(1x)ln(1+x) 【分析】逐项判断即可 【解答】解:A 中单增区间为(,0)和(0,+) ,定义域上不是单调递增; B 满足条件,C 为偶函数,D 为减函数 故选:B 【点评】本题考查函数单调性及奇偶性的判断,属于基础题 3 (5 分)x2y2的充分不必要条件是( ) Axy Byx0 C|y|x| D|y|x 【分析】由 x2y2|x|y|,又 x|y|x2y2,即可判断出答案 【解答】解:由 x2y2|x|y|,又 x|y|x2y2,A,B 既不是充分

10、条件也不是必要条 件, C 是充要条件 故选:D 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 4 (5 分) 已知 Sn为公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和, S918, am2, 则 m ( ) 第 6 页(共 20 页) A4 B5 C6 D7 【分析】根据等差数列的性质和求和公式可得 【解答】解:S99a518, a52, am2 m5, 故选:B 【点评】本题考查了等差数列的性质和求和公式,属于基础题 5 (5 分)已知向量,满足,则( ) A B C D1 【分析】直接对所求问题平方再把已知条件代入即可求解 【解答】解:因为,

11、所以; 故选:C 【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及模长计算,考查计算能力 6 (5 分)已知函数 yf(x)的部分图象如下,是判断函数解析式为( ) Af(x)xsinx Bf(x)x2+cosx Cf(x)xsinx+cosx Df(x)(exe x)sinx+1 【分析】由特殊点的函数值,运用排除法得解 【解答】解:f(0)1,可排除 A;f()0,可排除 B,D 故选:C 【点评】本题考查利用函数图象确定函数解析式,考查逻辑推理能力,属于基础题 7 (5 分)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 第 7 页(共 20 页) 在

12、生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618 就是黄金分割比:的近似值, 黄金分割比还可以表示成 2sin18,则( ) A B C2 D4 【分析】把 t2sin18代入要求的式子,利用二倍角的三角公式化简可得结论 【解答】解:把t2sin18代入 , 故选:A 【点评】本题主要考查新定义、二倍角的余弦、正弦公式的应用,属于基础题 8 (5 分)已知,则( ) Abca Bcab Cabc Dacb 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】解:,因 5225,所以 525,所以 ,所以 acb 故选:D 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础

13、题 9 (5 分)已知直线 l:mx+ny20 与圆 x2+y24 相交的弦长为,则 m+n 的取值范围 为( ) A2,2 B C D4,4 【分析】由已知结合垂径定理可得 m2+n22,再由基本不等式得(m+n)22(m2+n2) 4,则 m+n 的取值范围可求 【解答】解:圆心 O(0,0)到直线 l:mx+ny20 的距离, 直线 l:mx+ny20 与圆 x2+y24 相交的弦长为, ,得 m2+n22, 第 8 页(共 20 页) 又(m+n)22(m2+n2)4, 2m+n2 故选:A 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,训练了利用基本不等式求最值,是中档题 10 (5 分)

14、若直线 l:ykx2 与函数的图象恰好有 2 个不同的 公共点,则 k 的取值范围为( ) A (,0) B C (,0)(2,+) D 【分析】直线 l 过点(0,2) ,若有两个交点,结合函数图象分三种情况讨论,当 k0 时,当 k0 时,当 k0 时,进而得出结论 【解答】解:画出函数 f(x)的图象, 由图可知, 当 k0 时,直线 l 与函数 f(x)在区间(,1)内有两个交点,与区间1,+)的 部分没有交点,因而满足条件, 当 k0 时,直线 l 与函数 f(x)只有一个交点,不满足条件, 当 k0 时,直线 l 与函数 f(x)在区间(,1)内只有一个交点, 当直线 l 与 f(

15、x)在区间1,+)内的部分也有一个交点时满足条件, 这时由 ykx2 与 yx24x+3 联立, 得 x2(k+4)x+50, 由(k+4)2200 得, , 当 k2 时,直线 l 也与 f(x)在区间1,+)内的部分也有一个交点, 所以满足条件的 k 的取值范围为 故选:D 第 9 页(共 20 页) 【点评】考查函数的零点与方程之间的关系,属于中档题 11 (5 分)如图四面体 ABCD 中,ADBC2,ADBC,截面四边形 EFGH 满足 EF BC;FGAD,则下列结论正确的个数为( ) 四边形 EFGH 的周长为定值 四边形 EFGH 的面积为定值 四边形 EFGH 为矩形 四边形

16、 EFGH 的面积有最大值 1 A0 B1 C2 D3 【分析】说明四边形 EFGH 为平行四边形,又 ADBC,推出四边形 EFGH 为矩形求 出周长,以及面积的最值判断命题的真假即可 【解答】解:因为 EFBC,EF平面 BCD,所以 EF平面 BCD,又平面 EFGH平面 BDCGH, 所以 EFGH, 同理 FGEH,所以四边形 EFGH 为平行四边形,又 ADBC, 所以四边形 EFGH 为矩形 由相似三角形的性质得,所以,BCAD2, 所以 EF+FG2, 所以四边形 EFGH 的周长为定值 4, 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1,因为正确 第 10 页(共 20 页) 故

17、选:D 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,空间几何体的直线与平面的位置关系的综 合应用,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题 12 (5 分)已知数列an中,a11,a22,an+12an+3an1(n2) ,数列an的前 99 项 和 S99( ) A B C D 【分析】本题根据递推式进行转化可得到数列an+1+an是以 3 为首项,公比为 3 的等比 数列,然后将 an+1+an看成一个整体在求和时代入计算,再利用等比数列求和公式可得 S99的值 【解答】解:由题意,递推式 an+12an+3an1两边同时加上 an,可得 an+1+an2an+3an1+an3(an+an1)

18、a1+a23, 数列an+1+an是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列, 由题意,设,则 S99a1+a2+a99 a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a98+a99) a1+c2+c4+c98 1+32+34+398 1+ 故选:B 【点评】本题主要考查由递推式得到通项公式,整体思想的运用,以及等比数列的求和 公式,本题属中档题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每题小题,每题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z3x+y+2 的最小值为 第 11 页(共 20 页) 7 【分析】作出不等式组对应的平面区

19、域,z3x+y+2 得 y3x+z2,利用数形结合即可 的得到结论 【解答】解:可行域为ABC 如图所示:目标函数 z3x+y+2 化为 y3x+z2, 平移直线 y3x, 由图象可知当直线 y3x+z2,经过 B 点(3,0)时,直线 y3x+z2 在 y 轴上的截距 最小, 此时 z 最小,zmin33+0+27 故答案为:7 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,通过数形结合是解决本题 的关键 14 (5 分)函数 f(x)alnx+bx2在点(1,f(1) )处的切向方程为 y4x3,则 a 2 , b 1 【分析】结合导数的几何意义及已知切线方程可求 a,b, 【

20、解答】解:, 由导数的几何意义可得 f(1)1,kf(1)4, 即 b1, 所以 a2,b1 故答案为:2,1 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用,属于基础试题 第 12 页(共 20 页) 15(5分) 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上, PAPBPC, AB2, AC3,E,F 分别为 AC,PB 的中点,则球 O 的体积为 【分析】由已知可得ABC90,因 PAPBPC,所以点 P 在ABC 内的投影为 ABC 的外心 E,所以 PE平面 ABC,PEBE,所以 PB2EF3,所以 PE ,再利用勾股定理求出,从而求出球 O 体积 【解答】解:如图所示: 由已知可得AB

21、C90,因 PAPBPC, 所以点 P 在ABC 内的投影为ABC 的外心 E, 所以 PE平面 ABC,PEBE, 所以 PB2EF3, 所以 PE, 又球心 O 在 PE 上,设 POr,则,所以, 所以球 O 体积, 故答案为:4 【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球,是中档题 16 (5 分)函数,则如下结论正确的序号是 当 2 时,若 f(x)图象的对称轴为,则; 当 2 时,若 f(x)的图象向右平移单位长度后关于原点对称,则; 第 13 页(共 20 页) 当时,若 f(x)的图象在区间内有且仅有一条对称轴,则 的取值 范围为1,5) ; 当时,若集合含有 2020 个元素,则

22、的取值范 围为(2019,2020.5) 【分析】通过正弦函数的对称轴判断;利用三角函数的图象的平移转化求解判断; 利用函数的对称轴列出不等式求解判断;利用函数的值结合函数的周期怕啥函数的零 点个数判断 【解答】解:对于,由得,因,取 k0 得 ; 对于,由得, 所以; 对于,由的对称轴为, 由得 1,5) ; 对于,由得,或 所 以或 因 集 合 含 有 2020 个 元 素 , 所 以 且,所以 20192020.5,所以不正确; 故正确序号为 故答案为: 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,三角函数的简单性质的应用,考查分析问 题解决问题的能力,是中档题 三、解答题(本大题共三、解答

23、题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若, (1)求 C 的值; (2)若,求ABC 的面积 第 14 页(共 20 页) 【分析】 (1)由二倍角公式化简已知等式可得,解方程可求 ,结合范围 0C,可求 C 的值 (2)解法一:由正弦定理可求 sinB 的值,利用大边对大角可求 B 为锐角,可求, 利用三角形内角和定理可求 A,进而利用三角形的面积公式即可得解 解法二:作 ADBC 垂足为 D,则可求 CD,AD 的值,利用勾

24、股定理可求 BD 的值,进 而可求 a,利用三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解: (1)由得, 所以, 由于 0C, 所以 (2)解法一:由正弦定理得, 即, 又 cb, 所以 CB, 所以, 所以, 可得, 所以 解法二:作 ADBC 垂足为 D,则, 所以, 所以, 所以 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦定理,勾股定理,三角 形的面积公式在解三角形中的应用,属于基础题 第 15 页(共 20 页) 18(12 分) 如图三棱柱 ABCA1B1C1中,平面 ABC (1)证明:AB平面 ACC1A1; (2)求 AB1与平面 BCC1所成的角的正弦值 【分析】

25、(1)判断出 ABAC,又 C1AAB,利用线面垂直定理证明即可; (2)以 AB,AC,AC分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间坐标系,求出 AB1对应的 向量和平面 BCC1的法向量,利用夹角公式求出即可 【解答】解: (1)因为, 所以ABC 是直角三角形,ABAC,又 C1AAB, ACC1AA, 所以 AB平面 ACC1A1 (2)以 AB,AC,AC分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,B1(1,1,1) ,C1(0,0,1) 所以, 设平面 BCC1的法向量为, 则, 即,取, 设 AB1与平面

26、BCC1所成的角为 ,则, 故 AB1与平面 BCC1所成角的正弦值 第 16 页(共 20 页) 【点评】考查线面垂直的判断,利用向量法求直线和平面所成的角,中档题 19 (12 分)已知数列an满足 a11, (n+1)an+1nan+n+1 (1)求数列an的通项公式; (2)Sn为数列的前 n 项和,求证: 【分析】 (1)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 (2)利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果 【解答】解: (1)由(n+1)an+1nan+n+1 得, (n+1)an+1nann+1, 取 n1,2,3,n1 得,2a2a123a32a234a43a

27、34, nan(n1)an1n, 相加得, 所以 证明: (2)由(1)得, 所以 Sn, 因 Sn随 n 的增大而增大,所以, 又 Sn2, 所以 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和 中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 20 (12 分) 如图正方形 ABCD 纸片的边长为, 中心为 O, 正方形 EFGH 的中心也是 O, AEH,BEF,CFG,DGH 分别是以 EH,EF,FG,GH 为底边的等腰三角形, 沿虚线剪开后,分别以 EH,EF,FG,GH 为折痕折起AEH,BEF,CFG,DGH, 使得 A、B、C、

28、D 重合于点 S,得到四棱锥 SEFGH,设正方形 EFGH 的边长为 x 第 17 页(共 20 页) (1)用 x 表示四棱锥 SEFGH 的体积 V(x) ; (2)当 V(x)最大时,求四棱锥 SEFGH 的表面积 【分析】 (1)连接 OA 交 EH 为 M,则,求出四棱锥 SEFGH 的高为 ,由此能用 x 表示四棱锥 SEFGH 的体积 V(x) (2)法一:设 f(x)25x45x5(0x5) ,则 f(x)100x325x4,利用导数性质能求出四棱锥 SEFGH 的表面积 法二:,由此 能求出四棱锥 SEFGH 的表面积 【解答】解: (1)连接 OA 交 EH 为 M,则,

29、 所以四棱锥 SEFGH 的高为 所以 (2)解法一: 设 f(x)25x45x5(0x5) ,则 f(x)100x325x4, 由 f(x)0 得,x4 所以当 x4 时,f(x)由最大值,也即 V(x)有最大值 此时四棱锥 SEFGH 的表面积为 解法二: 当且仅当 x4 时,体积取最大值, 第 18 页(共 20 页) 此时四棱锥 SEFGH 的表面积为 【点评】本题考查四棱锥体积、四棱锥 SEFGH 的表面积的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 21 (12 分)已知两定点 M(1,0) ,N(4,0)点 P 满足|PN|2|PM| (

30、1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若 D(0,2) ,直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点,DA,DB 的斜率之和为 2,直线 l 是否恒过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由 【分析】 (1)设 P 的坐标为(x,y) ,列出方程转化求解即可 (2)当直线 l 的斜率不存在时,验证直线 l 与圆相切,不合题意 当直线 l 的斜率存在时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 l 的方程为 ykx+m,与轨迹 C 联立得(1+k2)x2+2kmx+m240,结合韦达定理,斜率关系,求出直线系方程,然 后求解即可 【解答】解: (1)设 P 的坐标为(x

31、,y) , 由题意得, 化简得:x2+y24 (2)当直线 l 的斜率不存在时, 设 A(x0,y0) ,B(x0,y0) 则有,得 x02, 此时直线 l 与圆相切,不合题意 当直线 l 的斜率存在时, 设 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 直线 l 的方程为 ykx+m, 与轨迹 C 联立得 (1+k2) x2+2kmx+m2 40, 第 19 页(共 20 页) , 所以, 所以 m2k+2, 所以直线 l 的方程为 yk(x2)+2, 所以直线 l 过定点(2,2) 【点评】本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以 及计算能力,是中档题 2

32、2 (12 分)已知函数 f(x)axxlnx, (aR)的最大值为 1 (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)e 2x+2x2 【分析】 (1)先对函数求导,然后结合导数可判断函数的单调性,进而可求函数的最大 值,即可求解; (2) 法一: 欲证 f (x) e 2x+2x2, 即证明 e2x+2x2xxlnx, 构造函数 h (x) e2x+2x2 x+xlnx,转化为求解 h(x)的最值,结合导数可求; 法二:欲证 f(x)e 2x+2x2,即证明 e2x+2x2xxlnx,分别构造函数 g(x)e2x+x2, h(x)x2+xxlnx,转化为求解函数 g(x) ,h(x)的最值,结

33、合导数可求 【解答】解: (1)由题意 x0,f(x)a1lnxf(x)a1lnx0xea 10, 故当 x(0,ea 1)时,f(x)0,当 x(ea1,+)时,f(x)0, 所以函数 f(x)在 x(0,ea 1)上单调递增,函数 f(x)在 x(ea1,+)上单调递 减; 所以 f(x)在 xea 1 处取到最大值,即 f(ea 1)1,所以 a1, (2)解法一:欲证 f(x)e 2x+2x2,即证明 e2x+2x2xxlnx, 令 h(x)e 2x+2x2x+xlnx, 则 h(x)2e 2x+4x+lnx, , 所以 h(x)为增函数,又 h(1)2e 2+40, , 所以存在,所

34、以 h(x)h(x0) , 第 20 页(共 20 页) 由 h(x0)0 得, 设 g(x)2ex+x,则 g(x)2ex+10, 所以 g(x)为增函数,所以, 所以, 即 h(x)0,即 f(x)e 2x+2x2 解法二:欲证 f(x)e 2x+2x2,即证明 e2x+2x2xxlnx, 设 g(x)e 2x+x2,h(x)x2+xxlnx, 则 g(x)2e 2x+2x, 因 g(x)为增函数,g(1)2e 2+20, , 得 g(x)在区间上存在唯一零点 x0,此时, g(x)在 xx0时,有最小值, h(x)2xlnx,因 h(x)为减函数,h(1)20h(1)20, , 得 h(x)在区间上存在唯一零点 x1, 此 时 lnx1 2x1, 所 以, 即 h ( x ) 在 x1 x0时 , 有 最 大 值 所以 g(x)g(x0)h(x0)h(x) , 即 f(x)e 2x+2x2 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的最值,证明不等式,其中不等式的证明关 键是构造函数,转化为求解函数的最值