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2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)含详细解答

1、已知全集 U0,1,2,3,4,集合 A1,2,3,B2,4,则(UA) B 为( ) A1,2,4 B2,3,4 C0,2,3,4 D0,2,4 2 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实 数 m 的取值范围是( ) A (,1) B (1,2) C (2,+) D (,1)(2,+) 3 (5 分)已知等差数列an中,前 5 项和 S525,a23,则 a9( ) A16 B17 C18 D19 4 (5 分)已知平面向量,若与 垂直,则 ( ) A2 B2 C1 D1 5 (5 分) 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,

2、它由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又 有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具, 足以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中 任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A B C D 6 (5 分)某程序框图如图所示,若 a4,则该程序运行后输出的结果是( ) 第 2 页(共 26 页) A B C D 7 (5 分)函数的图象大致为( ) A B C 第 3 页(共 26 页) D 8 (5 分) 已知变量 x, y 满足约束条件, 若目标函数 zx+2y 的

3、最大值为 ( ) A3 B5 C8 D11 9 (5 分)设 aR,b0,2) ,若对任意实数 x 都有 sin(3x)sin(ax+b) ,则满足 条件的有序实数对(a,b)的对数为( ) A1 B2 C3 D4 10 (5 分)刘徽注九章算术商功中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 马如图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为( ) A B3 C D4 11 (5 分)过抛物线 y24x 上点 P(1,2)作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3, 与抛物线分别交于不同与 P 的点 A,B,C若 k1+k20,k2k31,则下列结论正确 的是( ) A直线 A

4、B 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 12 (5 分)函数 f(x)的定义域为(,2) ,f(x)为其导函数若(x2)f(x)+f 第 4 页(共 26 页) (x)且 f(0)0,则 f(x)0 的解集为( ) A (,0) B (0,1) C (1,2) D (0,2) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)双曲线 2x2y28 的实轴长是 14 (5 分)已知函数 f(x)log4(4x+1)+kx(kR)是偶函数,则 k 的值为 15 (5 分)在如图所示装置中

5、,正方形框架的边长都是 1,且平面 ABCD 与平面 ABEF 互 相垂直,活动弹子 M,N 分别在正方形对角线 AC,BF 上移动,则 MN 长度的最小值 是 16 (5 分)我们知道,裴波那契数列是数学史上一个著名数列,在裴波那契数列an中, a11,a21,an+2an+1+an(nN*) 用 Sn表示它的前 n 项和,若已知 S2020m,那么 a2022 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,

6、考生根据要求作答 (一)必考题;题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题; 共共 60 分分 17 (12 分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天走步数(单位: 百步) ,绘制出如下频率分布直方图: ()求直方图中 a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数; ()若该校有教职工 175 人,试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数; ()在()的条件下,该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动, 再从 6 人中选取 2 人担任领队, 求着两人均来自区间 (150, 170的概率 第 5 页(共 2

7、6 页) 18 ( 12 分 ) 已 知 ABC 中 , a , b , c 分 别 是 内 角 A , B , C 的 对 边 , 2cos ()求 C; ()若 c3,ABC 的面积为,求的值 19 (12 分)如图(1)在等腰直角三角形 ABC 中,ACB90,AB4,点 D 为 AB 中 点,将ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD,如图(2) ,其中A1DB60,点 M, N,G 分别为 A1C,BC,A1B 的中点 ()求证:MN平面 DCG; ()求三棱锥 GA1DC 的体积 20 (12 分)已知函数 f(x)excosx (1)求 f(x)在点(0,f(0) )处的切线

8、方程; (2)求证:f(x)在(,+)上仅有两个零点 21 (12 分)椭圆 E 的焦点为 F1(1,0)和 F2(1,0) ,过 F2的直线 l1交 E 于 A,B 两 点, 过 A 作与 y 轴垂直的直线 l2, 又知点 H (2, 0) , 直线 BH 记为 l3, l2与 l3交于点 C 设 ,已知当 2 时,|AB|BF1| 第 6 页(共 26 页) ()求椭圆 E 的方程; ()求证:无论 如何变化,点 C 的横坐标是定值,并求出这个定值 (二)选考题:共二)选考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,

9、则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分 10 分)分) 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数) , 已知点 Q(6,0) ,点 P 是曲线 C1上任意一点,点 M 满足,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ()求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程; ()已知直线 l:ykx 与曲线 C2交于 A,B 两点,若4,求 k 的值 选修选修 4-5:不:不等式选讲等式选

10、讲(本小题满分(本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|2x+a|,g(x)|x1| ()若 f(x)+2g(x)的最小值为 1,求实数 a 的值; ()若关于 x 的不等式 f(x)+g(x)1 的解集包含,1,求实数 a 的取值范围 第 7 页(共 26 页) 2020 年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)年山西省太原市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的太原市一项是符

11、合题目要求的太原市 2020 年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试 时间:时间:120 分值)分值) 1 (5 分)已知全集 U0,1,2,3,4,集合 A1,2,3,B2,4,则(UA) B 为( ) A1,2,4 B2,3,4 C0,2,3,4 D0,2,4 【分析】由题意,集合UA0,4,从而求得(UA)B0,2,4 【解答】解:UA0,4, (UA)B0,2,4; 故选:D 【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题 2 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实 数 m 的取值

12、范围是( ) A (,1) B (1,2) C (2,+) D (,1)(2,+) 【分析】由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解 【解答】解:复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限, ,解得 m1 实数 m 的取值范围是(,1) 故选:A 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查不等式组的解法,是基础题 3 (5 分)已知等差数列an中,前 5 项和 S525,a23,则 a9( ) A16 B17 C18 D19 【分析】根据等差中项求出 a3,然后求出 a1和 d,求出 a9 【解答】解:S525,a23, 第 8 页(共 26 页) S5255a3,

13、 则 a35, 则公差 da3a22,a11, 则 a91+8217 故选:B 【点评】本题考查等差数列性质,属于基础题 4 (5 分)已知平面向量,若与 垂直,则 ( ) A2 B2 C1 D1 【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,求得 的值 【解答】解:平面向量,若与 垂直, ( + ) +4+6+100,求得 1, 故选:C 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,属于基础题 5 (5 分) 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具, 它由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又

14、有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具, 足以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中 任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A B C D 【分析】 先设大正方形的边长为 4, 则阴影部分可看做一个等腰直角三角形, 边长为 2, 另外一部分为梯形,上底为,下底为 2,高,然后分别求出面积,根据与面积 有关的几何概率公式可求 【解答】解:设大正方形的边长为 4,则面积 4416, 阴影部分可看做一个等腰直角三角形,边长为 2,面积4, 第 9 页(共 26 页) 另外一部分为梯形,上底为,下底为 2,高,面积3, 故概率

15、 P 故选:C 【点评】本题考查了观察能力及几何概型中的面积型,属中档题 6 (5 分)某程序框图如图所示,若 a4,则该程序运行后输出的结果是( ) A B C D 【分析】 分析循环体的算法功能可知, 该程序计算的是数列前四项的和再加上 1利用裂项法求和可求解 【解答】解:由题意知,该程序计算的是数列前四项的和再加上 1 , S1+(1)+ 故选:B 【点评】本题考查了直到型循环结构求数列前 n 项和的问题,要注意判断准确求和的项 数,区分好当型循环结构与直到型循环结构 7 (5 分)函数的图象大致为( ) 第 10 页(共 26 页) A B C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对

16、称性,判断当 x0 时的单调性,利用排除法进 行求解即可 第 11 页(共 26 页) 【解答】解:f(x)f(x) ,则 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴 对称,排除 B,C, 当 x0 时,f(x)x为增函数,排除 A, 故选:D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用条件判断函数的奇偶性和单调性是 解决本题的关键 8 (5 分) 已知变量 x, y 满足约束条件, 若目标函数 zx+2y 的最大值为 ( ) A3 B5 C8 D11 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 zx+2y 过点 P(2,1)时,z 最大值即可 【解答】解:作出可行域如图

17、, 由 zx+2y 知,yx+z, 所以动直线 yx+z 的纵截距z 取得最大值时, 目标函数取得最大值 由得 A(1,5) 结合可行域可知当动直线经过点 A(1,5)时, 目标函数取得最大值 z1+2511 故选:D 【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题 第 12 页(共 26 页) 9 (5 分)设 aR,b0,2) ,若对任意实数 x 都有 sin(3x)sin(ax+b) ,则满足 条件的有序实数对(a,b)的对数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同 【解答】解:对于任意实数 x 都有 sin(3x)si

18、n(ax+b) , 则函数的周期相同,若 a3, 此时 sin(3x)sin(3x+b) , 此时 b+2, 若 a3,则方程等价为 sin(3x)sin(3x+b)sin(3xb)sin(3x b+) , 则b+,则 b, 综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,) , (3,) , 共有 2 组, 故选:B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的 性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键 10 (5 分)刘徽注九章算术商功中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 马如图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为( ) A B3 C D

19、4 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的外接球的半径 第 13 页(共 26 页) 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:挂几何体为四棱锥体 如图所示: 首先求出底面对角线的长为,所以外接球的半径设为 r,利用勾股定理的应用, 所以 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的外接球的半径的 求法的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 11 (5 分)过抛物线 y24x 上点 P(1,2)作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3, 与抛物线分别交于不同与 P 的点 A,B,C若 k1+k20,k2k

20、31,则下列结论正确 的是( ) A直线 AB 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 【分析】由 k1+k20,k2k31,可设直线 l1的方程,可得 l2,l3的方程,分别于抛物 线联立可得 A,B,C 的坐标,进而可得直线 AB 的斜率为定值1 【解答】解:k1+k20,k2k31 可得设 l1d 的斜率为 k,则 l2,l3的斜率分别为:k, , 设直线 l1的方程为:yk(x1)+2, 则 l2的方程为 yk(x1)+2, l3的方程为 y(x1)2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) , 联立直线 l1与抛物线的方

21、程:,整理可得 k2x2+2k(2k)4x+(2k) 20, 第 14 页(共 26 页) 所以xA1, 所以xA, 代入直线l1中可得yAk (x1) +2k 1+2,即 A(,) ; 联立直线 l2与抛物线的方程可得,整理可得 k2x22k(2+k)+4x+(2+k) 20, 所以xB1, 可得xB, 代入l2中可得yBk (x1) +2k 1+2,即 B(,) ; 联立直线 l3与抛物线的方程:,整理可得 y24ky+8k40,yC28k 4, 所以 yC4k2,代入抛物线的方程可得 xC(2k1)2,可得 C( (2k1)2,4k2) ; 所以 kAB1 为定值; 故选:B 【点评】本

22、题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法属于中档题 12 (5 分)函数 f(x)的定义域为(,2) ,f(x)为其导函数若(x2)f(x)+f (x)且 f(0)0,则 f(x)0 的解集为( ) A (,0) B (0,1) C (1,2) D (0,2) 【分析】结合已知构造函数 g(x)(x2)f(x) ,x2,结合已知可知 g(x)的单调 性,结合其函数的特征可求解不等式 【解答】解:令 g(x)(x2)f(x) ,x2, 由题意可得,g(x), 当 x1 时,g(x)0,函数单调递减,当 0x1 时,g(x)0,函数单调递减, 第 15 页(共 26 页) 又 g(0)0,x2 时

23、,g(x)0, 由 f(x)0 可得0 即 g(x)0, 结合函数图象可知,0x2 故选:D 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性,解不等式,体现了数形结合思想 的应用,属于中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)双曲线 2x2y28 的实轴长是 4 【分析】双曲线 2x2y28 化为标准方程为,即可求得实轴长 【解答】解:双曲线 2x2y28 化为标准方程为 a24 a2 2a4 即双曲线 2x2y28 的实轴长是 4 故答案为:4 【点评】本题重点考查双曲线的几何性质,解题的关键是将双曲线方程化

24、为标准方程, 属于基础题 14 (5 分)已知函数 f(x)log4(4x+1)+kx(kR)是偶函数,则 k 的值为 【分析】利用函数为偶函数的定义寻找关于 k 的方程是求解本题的关键,转化过程中要 注意对数的运算性质的运用 【解答】解: (1)由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)f(x) 第 16 页(共 26 页) log4(4x+1)+kxlog4(4 x+1)kx 即 , log44x2kx x2kx 对一切 xR 恒成立, k 故答案为 【点评】本题考查函数为偶函数的定义,考查对数的运算性质,考查学生的转化与化归 思想,注意学生的运算整理变形的等价性 15 (5 分)在如图所示

25、装置中,正方形框架的边长都是 1,且平面 ABCD 与平面 ABEF 互 相垂直,活动弹子 M,N 分别在正方形对角线 AC,BF 上移动,则 MN 长度的最小值是 【分析】以 A 为坐标原点,分别以 AF,AB,AD 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系,01,01,可 得(,1,) ,求其模,利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值 【解答】解: 法一:如图, 第 17 页(共 26 页) 以 A 为坐标原点,分别以 AF,AB,AD 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0) ,B(0,1,0) ,F(1,0,0) ,C(0,1,1) , 设,01,0

26、1 (0,1,0)(0,)+(,0) (,1,) (当且仅当 时等号成立) 令 +t(0t2) ,则 当 t,即时, MN 长度的最小值是 法二: (0,1,1) ,(1,1,0) , 设与,都垂直的一个法向量为(x,y,z) , ,取 y1,得(1,1,1) , 又(0,1,0) , MN 长度的最小值是 第 18 页(共 26 页) 故答案为: 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算,训练了空间向量的应用,考查利用 换元法与基本不等式求最值,属难题 16 (5 分)我们知道,裴波那契数列是数学史上一个著名数列,在裴波那契数列an中, a11,a21,an+2an+1+an(nN*)

27、用 Sn表示它的前 n 项和,若已知 S2020m,那么 a2022 m+1 【分析】根据条件,利用累加法得到 a1+a2+a3+a2020a2022a2m,从而 a2022 m+1, 【解答】解:a11,a21,an+2an+1+an(nN*) , a1+a2a3, a2+a3a4, a3+a4a5, a2019+a2020a2021, a2020+a2021a2022, 以上累加得:a1+2a2+2a3+2a4+2a2020+a2021a3+a4+a2021+a2022, a1+a2+a3+a2020a2022a2m, a2022m+1, 故答案为:m+1 【点评】本题主要考查了数列的递推

28、式,以及累加法数列求和,是中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题;题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题; 共共 60 分分 17 (12 分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天走步数(单位: 百步) ,绘制出如下频率分布直方图: ()求直方图中 a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数; ()若该校有教职工 175 人,

29、试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数; ()在()的条件下,该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动, 再从 6 人中选取 2 人担任领队, 求着两人均来自区间 (150, 第 19 页(共 26 页) 170的概率 【分析】 ()由频率分布直方图列出方程,能求出 a 和中位数 ()由频率分布直方图求出一天行走步数不大于 130 百步的人数的频率,由此能估计 一天行走步数不大于 130 百步的人数 ()在区间(150,170中有 28 人,在区间(170,190中有 7 人,在区间(190,210 中有 7 人,按分层抽样抽取 6 人

30、,则从(150,170中抽取 4 人, (170,190和(190,210 中各抽取 1 人,由此能求出从 6 人中选取 2 人担任领队,这两人均来自区间(150,170 的概率 【解答】解: ()由题意得: 0.00220+0.00620+a20+0.00220+0.002201, 解得 a0.008, 设中位数是 110+x,则 0.00220+0.00620+0.00820+0.012x0.5, 解得 x15,中位数是 125 ()由 175(0.00220+0.00620+0.00820)98, 估计一天行走步数不大于 130 百步的人数为 98 ()在区间(150,170中有 28

31、人,在区间(170,190中有 7 人, 在区间(190,210中有 7 人, 按分层抽样抽取 6 人,则从(150,170中抽取 4 人, (170,190和(190,210中各抽取 1 人, 再从 6 人中选取 2 人担任领队,基本事件总数 n, 这两人均来自区间(150,170包含的基本事件个数 m6, 这两人均来自区间(150,170的概率 p 【点评】本题考查中位数、频数、概率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识, 第 20 页(共 26 页) 考查运算求解能力,是基础题 18 ( 12 分 ) 已 知 ABC 中 , a , b , c 分 别 是 内 角 A , B , C

32、 的 对 边 , 2cos ()求 C; ()若 c3,ABC 的面积为,求的值 【分析】 ()根据三角函数的化简即可求出 C 的值, ()根据三角形的面积公式和余弦定理,即可求出 【解答】解: (), sin(+C)cosC, cosC+sinCcosC, sinCcosC, sin(C), 而 C 为三角形的内角, C; ()ABC 的面积为,及 C,得absin, 化简可得 ab6, 又 c3,由余弦定理,得 a2+b22abcosC9, 化简得 a2+b215, a+b3, + 【点评】本题考查了三角函数的化简,三角形的面积公式,余弦定理,属于中档题 19 (12 分)如图(1)在等腰

33、直角三角形 ABC 中,ACB90,AB4,点 D 为 AB 中 点,将ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD,如图(2) ,其中A1DB60,点 M, N,G 分别为 A1C,BC,A1B 的中点 ()求证:MN平面 DCG; ()求三棱锥 GA1DC 的体积 第 21 页(共 26 页) 【分析】 ()推导出 A1DBD,A1CBC,从而 DGA1B,CGA1B,进而 A1B平 面 DGC,推导出 MNA1B,由此能证明 MN平面 DCG ()由 CDA1D,CDBD,A1DBDD,得 CD平面 A1DG,推导出A1DB 是等 边三角形,三棱锥 GA1DC 的体积,由此能求出 结果

34、【解答】解: ()由题意知,在图(1)中,ACBC2,ADBDCD2, 在三棱锥 A1BCD 中,A1DBD,A1CBC, G 是 A1B 的中点,DGA1B,CGA1B, DGCGG,A1B平面 DGC, 点 M,N,分别为 A1C,BC 的中点MNA1B, MN平面 DCG ()解:由图(1)知 CDA1D,CDBD,A1DBDD, CD平面 A1DG, 又A1DB60,A1DB 是等边三角形, DGA1B,A1B2,A1GA1B1,DG, , 三棱锥 GA1DC 的体积: 第 22 页(共 26 页) 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、 面面间

35、的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20 (12 分)已知函数 f(x)excosx (1)求 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求证:f(x)在(,+)上仅有两个零点 【分析】 (1)f(0)0切点为(0,0) f(x)ex+sinx可得 f(0)1,利用 点斜式即可得出切线方程 (2)f(x)ex+sinx分类讨论:x0 时,利用导数研究其单调性可得 f(x)0, 函数 f(x)在0,+)上只有一个零点 0x(,0)时,f (x)ex+cosx0可 得函数 f(x)在 x(,0)上单调递增,进而得出 f(x)零点的个数 【解答】解: (1)f(0)0切点为(

36、0,0) f(x)ex+sinx f(0)1, f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为:y0x0,化为:xy0 证明: (2)f(x)ex+sinx x0 时,ex1,f(x)0, 函数 f(x)在0,+)上单调递增,而 f(0)0, 函数 f(x)在0,+)上只有一个零点 0 x(,0)时,f (x)ex+cosx0 函数 f(x)在 x(,0)上单调递增, 第 23 页(共 26 页) 而10,f(0)10, 存在唯一实数 x0(,0) ,使得 f(x0)+sinx00, 且函数 f(x)在 x(,x0)上单调递减,x(x0,0)上单调递增 又0,f(x0)cosx0sinx0cos

37、x00,f(0)0 函数 f(x)在 x(,x0)上存在唯一零点,而在 xx0,0)上无零点 综上可得:f(x)在(,+)上仅有 2 个零点 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题 21 (12 分)椭圆 E 的焦点为 F1(1,0)和 F2(1,0) ,过 F2的直线 l1交 E 于 A,B 两 点, 过 A 作与 y 轴垂直的直线 l2, 又知点 H (2, 0) , 直线 BH 记为 l3, l2与 l3交于点 C 设 ,已知当 2 时,|AB|BF1| ()求椭圆 E 的方程; ()求证:无论 如何变

38、化,点 C 的横坐标是定值,并求出这个定值 【分析】 (1)设椭圆方程为,其中 b2a21,利用椭圆的定义和已知条件可 得 B(,) ,代入椭圆方程解得 a,b,c 的值,从而得到椭圆方程; (2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线 AB 的方程为:xmy+1,与椭圆方程联立, 利用韦达定理可得,进而得到直线 BH 斜率 kBHy1,再得到直线 BH 的方程 与直线 l2方程联立即可得到点 C 的横坐标是定值 3 【解答】解: ()设椭圆方程为,其中 b2a21, 由已知当 2 时,不妨设|BF2|m,则|AF2|2m, |AB|BF1|,|BF1|3m, 由椭圆定义得 2a

39、4m,从而|AF1|AF2|2m, 第 24 页(共 26 页) 故此时点 A 在 y 轴上,不妨设 A(0,b) ,从而由已知条件可得 B(,) ,代入椭圆 方程,解得 a23,所以 b2a212, 故所求椭圆方程为:; ()证明:如图所示: , 设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 设直线 AB 的方程为:xmy+1,代入椭圆 2x2+3y26 中,得: (2m2+3)y2+4my40, , , 由题设知 H(2,0) ,直线 BH 斜率 kBHy1, 直线 BH 的方程为:yy1(x2) ,而直线 l2方程为:yy1,代入 yy1(x2) ,得 x 3, 故点 C 的横坐标是定

40、值 3 【点评】本题主要考查了椭圆方程,以及直线与椭圆的位置关系,是中档题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分 10 分)分) 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数) , 第 25 页(共 26 页) 已知点 Q(6,0) ,点 P

41、 是曲线 C1上任意一点,点 M 满足,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ()求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程; ()已知直线 l:ykx 与曲线 C2交于 A,B 两点,若4,求 k 的值 【分析】 ()直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 ()利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果 【解答】解: ()曲线 C1的参数方程为( 为参数) ,设 P(3cos,3sin) , 由于点 M 满足, 所以( 为参数) , 转换为直角坐标方程为(x4)2+y21 转换为极坐标方程为 28cos+150 ()直线 l:ykx 转

42、换为极坐标方程为 , 设 A(1,) ,B(2,) ,由于4, 所以,即 5142, 由于 28cos+150, 所以,解得 所以, 解得 ktan 【点评】本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,极 径的应用,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力,属于基础题型 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分(本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|2x+a|,g(x)|x1| ()若 f(x)+2g(x)的最小值为 1,求实数 a 的值; 第 26 页(共 26 页) ()若关于 x 的不等式 f(x)+g(

43、x)1 的解集包含,1,求实数 a 的取值范围 【分析】 ()化简 f(x)+2g(x)的表达式,利用绝对值的几何意义,然后通过最小值 为 1,即可求解实数 a 的值; ()化简不等式 f(x)+g(x)1 的解集,通过解集包含,1,列出不等式,然后 求实数 a 的取值范围 【解答】解: ()函数 f(x)|2x+a|,g(x)|x1| f(x)+2g(x)|2x+a|+2|x1| |2x+a|+|2x2|2x+a(2x2)| |a+2|1,解得 a1 或 a3; ()x,1时,不等式 f(x)+g(x)1,即:|2x+a|+|x1|1,可得:|2x+a|+1 x1,|2x+a|x xa, 不等式 f(x)+g(x)1 的解集包含,1, 即:且a1, 实数 a 的取值范围: (,1) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想以及计算能力