1、已知全集 U0，1，2，3，4，集合 A1，2，3，B2，4，则（UA） B 为（ ） A1，2，4 B2，3，4 C0，2，3，4 D0，2，4 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 m+1+（2m）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实 数 m 的取值范围是（ ） A （，1） B （1，2） C （2，+） D （，1）（2，+） 3 （5 分）已知等差数列an中，前 5 项和 S525，a23，则 a9（ ） A16 B17 C18 D19 4 （5 分）已知平面向量，若与 垂直，则 （ ） A2 B2 C1 D1 5 （5 分） 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，
2、它由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清）陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又 有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具， 足以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中 任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）某程序框图如图所示，若 a4，则该程序运行后输出的结果是（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 7 （5 分）函数的图象大致为（ ） A B C 第 3 页（共 26 页） D 8 （5 分） 已知变量 x， y 满足约束条件， 若目标函数 zx+2y 的
3、最大值为 （ ） A3 B5 C8 D11 9 （5 分）设 aR，b0，2） ，若对任意实数 x 都有 sin（3x）sin（ax+b） ，则满足 条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ） A1 B2 C3 D4 10 （5 分）刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ） A B3 C D4 11 （5 分）过抛物线 y24x 上点 P（1，2）作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3， 与抛物线分别交于不同与 P 的点 A，B，C若 k1+k20，k2k31，则下列结论正确 的是（ ） A直线 A
4、B 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 12 （5 分）函数 f（x）的定义域为（，2） ，f（x）为其导函数若（x2）f（x）+f 第 4 页（共 26 页） （x）且 f（0）0，则 f（x）0 的解集为（ ） A （，0） B （0，1） C （1，2） D （0，2） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）双曲线 2x2y28 的实轴长是 14 （5 分）已知函数 f（x）log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数，则 k 的值为 15 （5 分）在如图所示装置中
5、，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD 与平面 ABEF 互 相垂直，活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值 是 16 （5 分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列an中， a11，a21，an+2an+1+an（nN*） 用 Sn表示它的前 n 项和，若已知 S2020m，那么 a2022 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，
6、考生根据要求作答 （一）必考题；题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题； 共共 60 分分 17 （12 分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位： 百步） ，绘制出如下频率分布直方图： （）求直方图中 a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数； （）若该校有教职工 175 人，试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数； （）在（）的条件下，该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动， 再从 6 人中选取 2 人担任领队， 求着两人均来自区间 （150， 170的概率 第 5 页（共 2
7、6 页） 18 （ 12 分 ） 已 知 ABC 中 ， a ， b ， c 分 别 是 内 角 A ， B ， C 的 对 边 ， 2cos （）求 C； （）若 c3，ABC 的面积为，求的值 19 （12 分）如图（1）在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，AB4，点 D 为 AB 中 点，将ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD，如图（2） ，其中A1DB60，点 M， N，G 分别为 A1C，BC，A1B 的中点 （）求证：MN平面 DCG； （）求三棱锥 GA1DC 的体积 20 （12 分）已知函数 f（x）excosx （1）求 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线
8、方程； （2）求证：f（x）在（，+）上仅有两个零点 21 （12 分）椭圆 E 的焦点为 F1（1，0）和 F2（1，0） ，过 F2的直线 l1交 E 于 A，B 两 点， 过 A 作与 y 轴垂直的直线 l2， 又知点 H （2， 0） ， 直线 BH 记为 l3， l2与 l3交于点 C 设 ，已知当 2 时，|AB|BF1| 第 6 页（共 26 页） （）求椭圆 E 的方程； （）求证：无论 如何变化，点 C 的横坐标是定值，并求出这个定值 （二）选考题：共二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，
9、则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分 10 分）分） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 已知点 Q（6，0） ，点 P 是曲线 C1上任意一点，点 M 满足，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （）已知直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若4，求 k 的值 选修选修 4-5：不：不等式选讲等式选
10、讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2x+a|，g（x）|x1| （）若 f（x）+2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值； （）若关于 x 的不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含，1，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 26 页） 2020 年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）年山西省太原市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的太原市一项是符
11、合题目要求的太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科） （考试年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科） （考试 时间：时间：120 分值）分值） 1 （5 分）已知全集 U0，1，2，3，4，集合 A1，2，3，B2，4，则（UA） B 为（ ） A1，2，4 B2，3，4 C0，2，3，4 D0，2，4 【分析】由题意，集合UA0，4，从而求得（UA）B0，2，4 【解答】解：UA0，4， （UA）B0，2，4； 故选：D 【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 m+1+（2m）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实 数 m 的取值
12、范围是（ ） A （，1） B （1，2） C （2，+） D （，1）（2，+） 【分析】由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解 【解答】解：复数 m+1+（2m）i 在复平面内对应的点在第二象限， ，解得 m1 实数 m 的取值范围是（，1） 故选：A 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题 3 （5 分）已知等差数列an中，前 5 项和 S525，a23，则 a9（ ） A16 B17 C18 D19 【分析】根据等差中项求出 a3，然后求出 a1和 d，求出 a9 【解答】解：S525，a23， 第 8 页（共 26 页） S5255a3，
13、 则 a35， 则公差 da3a22，a11， 则 a91+8217 故选：B 【点评】本题考查等差数列性质，属于基础题 4 （5 分）已知平面向量，若与 垂直，则 （ ） A2 B2 C1 D1 【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得 的值 【解答】解：平面向量，若与 垂直， （ + ） +4+6+100，求得 1， 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题 5 （5 分） 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具， 它由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 （清）陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又
14、有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具， 足以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中 任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 【分析】 先设大正方形的边长为 4， 则阴影部分可看做一个等腰直角三角形， 边长为 2， 另外一部分为梯形，上底为，下底为 2，高，然后分别求出面积，根据与面积 有关的几何概率公式可求 【解答】解：设大正方形的边长为 4，则面积 4416， 阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 2，面积4， 第 9 页（共 26 页） 另外一部分为梯形，上底为，下底为 2，高，面积3， 故概率
15、 P 故选：C 【点评】本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题 6 （5 分）某程序框图如图所示，若 a4，则该程序运行后输出的结果是（ ） A B C D 【分析】 分析循环体的算法功能可知， 该程序计算的是数列前四项的和再加上 1利用裂项法求和可求解 【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列前四项的和再加上 1 ， S1+（1）+ 故选：B 【点评】本题考查了直到型循环结构求数列前 n 项和的问题，要注意判断准确求和的项 数，区分好当型循环结构与直到型循环结构 7 （5 分）函数的图象大致为（ ） 第 10 页（共 26 页） A B C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对
16、称性，判断当 x0 时的单调性，利用排除法进 行求解即可 第 11 页（共 26 页） 【解答】解：f（x）f（x） ，则 f（x）为偶函数，图象关于 y 轴 对称，排除 B，C， 当 x0 时，f（x）x为增函数，排除 A， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是 解决本题的关键 8 （5 分） 已知变量 x， y 满足约束条件， 若目标函数 zx+2y 的最大值为 （ ） A3 B5 C8 D11 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+2y 过点 P（2，1）时，z 最大值即可 【解答】解：作出可行域如图
17、， 由 zx+2y 知，yx+z， 所以动直线 yx+z 的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值 由得 A（1，5） 结合可行域可知当动直线经过点 A（1，5）时， 目标函数取得最大值 z1+2511 故选：D 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 第 12 页（共 26 页） 9 （5 分）设 aR，b0，2） ，若对任意实数 x 都有 sin（3x）sin（ax+b） ，则满足 条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同 【解答】解：对于任意实数 x 都有 sin（3x）si
18、n（ax+b） ， 则函数的周期相同，若 a3， 此时 sin（3x）sin（3x+b） ， 此时 b+2， 若 a3，则方程等价为 sin（3x）sin（3x+b）sin（3xb）sin（3x b+） ， 则b+，则 b， 综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，） ， （3，） ， 共有 2 组， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的 性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键 10 （5 分）刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ） A B3 C D
19、4 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径 第 13 页（共 26 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体 如图所示： 首先求出底面对角线的长为，所以外接球的半径设为 r，利用勾股定理的应用， 所以 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的 求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）过抛物线 y24x 上点 P（1，2）作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3， 与抛物线分别交于不同与 P 的点 A，B，C若 k1+k20，k2k
20、31，则下列结论正确 的是（ ） A直线 AB 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 【分析】由 k1+k20，k2k31，可设直线 l1的方程，可得 l2，l3的方程，分别于抛物 线联立可得 A，B，C 的坐标，进而可得直线 AB 的斜率为定值1 【解答】解：k1+k20，k2k31 可得设 l1d 的斜率为 k，则 l2，l3的斜率分别为：k， ， 设直线 l1的方程为：yk（x1）+2， 则 l2的方程为 yk（x1）+2， l3的方程为 y（x1）2， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， 联立直线 l1与抛物线的方
21、程：，整理可得 k2x2+2k（2k）4x+（2k） 20， 第 14 页（共 26 页） 所以xA1， 所以xA， 代入直线l1中可得yAk （x1） +2k 1+2，即 A（，） ； 联立直线 l2与抛物线的方程可得，整理可得 k2x22k（2+k）+4x+（2+k） 20， 所以xB1， 可得xB， 代入l2中可得yBk （x1） +2k 1+2，即 B（，） ； 联立直线 l3与抛物线的方程：，整理可得 y24ky+8k40，yC28k 4， 所以 yC4k2，代入抛物线的方程可得 xC（2k1）2，可得 C（ （2k1）2，4k2） ； 所以 kAB1 为定值； 故选：B 【点评】本
22、题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法属于中档题 12 （5 分）函数 f（x）的定义域为（，2） ，f（x）为其导函数若（x2）f（x）+f （x）且 f（0）0，则 f（x）0 的解集为（ ） A （，0） B （0，1） C （1，2） D （0，2） 【分析】结合已知构造函数 g（x）（x2）f（x） ，x2，结合已知可知 g（x）的单调 性，结合其函数的特征可求解不等式 【解答】解：令 g（x）（x2）f（x） ，x2， 由题意可得，g（x）， 当 x1 时，g（x）0，函数单调递减，当 0x1 时，g（x）0，函数单调递减， 第 15 页（共 26 页） 又 g（0）0，x2 时
23、，g（x）0， 由 f（x）0 可得0 即 g（x）0， 结合函数图象可知，0x2 故选：D 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想 的应用，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）双曲线 2x2y28 的实轴长是 4 【分析】双曲线 2x2y28 化为标准方程为，即可求得实轴长 【解答】解：双曲线 2x2y28 化为标准方程为 a24 a2 2a4 即双曲线 2x2y28 的实轴长是 4 故答案为：4 【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化
24、为标准方程， 属于基础题 14 （5 分）已知函数 f（x）log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数，则 k 的值为 【分析】利用函数为偶函数的定义寻找关于 k 的方程是求解本题的关键，转化过程中要 注意对数的运算性质的运用 【解答】解： （1）由函数 f（x）是偶函数，可知 f（x）f（x） 第 16 页（共 26 页） log4（4x+1）+kxlog4（4 x+1）kx 即 ， log44x2kx x2kx 对一切 xR 恒成立， k 故答案为 【点评】本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归 思想，注意学生的运算整理变形的等价性 15 （5 分）在如图所示
25、装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD 与平面 ABEF 互 相垂直，活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC，BF 上移动，则 MN 长度的最小值是 【分析】以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系，01，01，可 得（，1，） ，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值 【解答】解： 法一：如图， 第 17 页（共 26 页） 以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，F（1，0，0） ，C（0，1，1） ， 设，01，0
26、1 （0，1，0）（0，）+（，0） （，1，） （当且仅当 时等号成立） 令 +t（0t2） ，则 当 t，即时， MN 长度的最小值是 法二： （0，1，1） ，（1，1，0） ， 设与，都垂直的一个法向量为（x，y，z） ， ，取 y1，得（1，1，1） ， 又（0，1，0） ， MN 长度的最小值是 第 18 页（共 26 页） 故答案为： 【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用 换元法与基本不等式求最值，属难题 16 （5 分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列an中， a11，a21，an+2an+1+an（nN*）
27、用 Sn表示它的前 n 项和，若已知 S2020m，那么 a2022 m+1 【分析】根据条件，利用累加法得到 a1+a2+a3+a2020a2022a2m，从而 a2022 m+1， 【解答】解：a11，a21，an+2an+1+an（nN*） ， a1+a2a3， a2+a3a4， a3+a4a5， a2019+a2020a2021， a2020+a2021a2022， 以上累加得：a1+2a2+2a3+2a4+2a2020+a2021a3+a4+a2021+a2022， a1+a2+a3+a2020a2022a2m， a2022m+1， 故答案为：m+1 【点评】本题主要考查了数列的递推
28、式，以及累加法数列求和，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题；题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题； 共共 60 分分 17 （12 分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位： 百步） ，绘制出如下频率分布直方图： （）求直方图中 a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数； （）若该校有教职工 175 人，
29、试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数； （）在（）的条件下，该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动， 再从 6 人中选取 2 人担任领队， 求着两人均来自区间 （150， 第 19 页（共 26 页） 170的概率 【分析】 （）由频率分布直方图列出方程，能求出 a 和中位数 （）由频率分布直方图求出一天行走步数不大于 130 百步的人数的频率，由此能估计 一天行走步数不大于 130 百步的人数 （）在区间（150，170中有 28 人，在区间（170，190中有 7 人，在区间（190，210 中有 7 人，按分层抽样抽取 6 人
30、，则从（150，170中抽取 4 人， （170，190和（190，210 中各抽取 1 人，由此能求出从 6 人中选取 2 人担任领队，这两人均来自区间（150，170 的概率 【解答】解： （）由题意得： 0.00220+0.00620+a20+0.00220+0.002201， 解得 a0.008， 设中位数是 110+x，则 0.00220+0.00620+0.00820+0.012x0.5， 解得 x15，中位数是 125 （）由 175（0.00220+0.00620+0.00820）98， 估计一天行走步数不大于 130 百步的人数为 98 （）在区间（150，170中有 28
31、人，在区间（170，190中有 7 人， 在区间（190，210中有 7 人， 按分层抽样抽取 6 人，则从（150，170中抽取 4 人， （170，190和（190，210中各抽取 1 人， 再从 6 人中选取 2 人担任领队，基本事件总数 n， 这两人均来自区间（150，170包含的基本事件个数 m6， 这两人均来自区间（150，170的概率 p 【点评】本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识， 第 20 页（共 26 页） 考查运算求解能力，是基础题 18 （ 12 分 ） 已 知 ABC 中 ， a ， b ， c 分 别 是 内 角 A ， B ， C
32、 的 对 边 ， 2cos （）求 C； （）若 c3，ABC 的面积为，求的值 【分析】 （）根据三角函数的化简即可求出 C 的值， （）根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 【解答】解： （）， sin（+C）cosC， cosC+sinCcosC， sinCcosC， sin（C）， 而 C 为三角形的内角， C； （）ABC 的面积为，及 C，得absin， 化简可得 ab6， 又 c3，由余弦定理，得 a2+b22abcosC9， 化简得 a2+b215， a+b3， + 【点评】本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题 19 （12 分）如图（1）在等腰
33、直角三角形 ABC 中，ACB90，AB4，点 D 为 AB 中 点，将ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD，如图（2） ，其中A1DB60，点 M， N，G 分别为 A1C，BC，A1B 的中点 （）求证：MN平面 DCG； （）求三棱锥 GA1DC 的体积 第 21 页（共 26 页） 【分析】 （）推导出 A1DBD，A1CBC，从而 DGA1B，CGA1B，进而 A1B平 面 DGC，推导出 MNA1B，由此能证明 MN平面 DCG （）由 CDA1D，CDBD，A1DBDD，得 CD平面 A1DG，推导出A1DB 是等 边三角形，三棱锥 GA1DC 的体积，由此能求出 结果
34、【解答】解： （）由题意知，在图（1）中，ACBC2，ADBDCD2， 在三棱锥 A1BCD 中，A1DBD，A1CBC， G 是 A1B 的中点，DGA1B，CGA1B， DGCGG，A1B平面 DGC， 点 M，N，分别为 A1C，BC 的中点MNA1B， MN平面 DCG （）解：由图（1）知 CDA1D，CDBD，A1DBDD， CD平面 A1DG， 又A1DB60，A1DB 是等边三角形， DGA1B，A1B2，A1GA1B1，DG， ， 三棱锥 GA1DC 的体积： 第 22 页（共 26 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间
35、的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）excosx （1）求 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）求证：f（x）在（，+）上仅有两个零点 【分析】 （1）f（0）0切点为（0，0） f（x）ex+sinx可得 f（0）1，利用 点斜式即可得出切线方程 （2）f（x）ex+sinx分类讨论：x0 时，利用导数研究其单调性可得 f（x）0， 函数 f（x）在0，+）上只有一个零点 0x（，0）时，f （x）ex+cosx0可 得函数 f（x）在 x（，0）上单调递增，进而得出 f（x）零点的个数 【解答】解： （1）f（0）0切点为（
36、0，0） f（x）ex+sinx f（0）1， f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为：y0x0，化为：xy0 证明： （2）f（x）ex+sinx x0 时，ex1，f（x）0， 函数 f（x）在0，+）上单调递增，而 f（0）0， 函数 f（x）在0，+）上只有一个零点 0 x（，0）时，f （x）ex+cosx0 函数 f（x）在 x（，0）上单调递增， 第 23 页（共 26 页） 而10，f（0）10， 存在唯一实数 x0（，0） ，使得 f（x0）+sinx00， 且函数 f（x）在 x（，x0）上单调递减，x（x0，0）上单调递增 又0，f（x0）cosx0sinx0cos
37、x00，f（0）0 函数 f（x）在 x（，x0）上存在唯一零点，而在 xx0，0）上无零点 综上可得：f（x）在（，+）上仅有 2 个零点 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21 （12 分）椭圆 E 的焦点为 F1（1，0）和 F2（1，0） ，过 F2的直线 l1交 E 于 A，B 两 点， 过 A 作与 y 轴垂直的直线 l2， 又知点 H （2， 0） ， 直线 BH 记为 l3， l2与 l3交于点 C 设 ，已知当 2 时，|AB|BF1| （）求椭圆 E 的方程； （）求证：无论 如何变
38、化，点 C 的横坐标是定值，并求出这个定值 【分析】 （1）设椭圆方程为，其中 b2a21，利用椭圆的定义和已知条件可 得 B（，） ，代入椭圆方程解得 a，b，c 的值，从而得到椭圆方程； （2）设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设直线 AB 的方程为：xmy+1，与椭圆方程联立， 利用韦达定理可得，进而得到直线 BH 斜率 kBHy1，再得到直线 BH 的方程 与直线 l2方程联立即可得到点 C 的横坐标是定值 3 【解答】解： （）设椭圆方程为，其中 b2a21， 由已知当 2 时，不妨设|BF2|m，则|AF2|2m， |AB|BF1|，|BF1|3m， 由椭圆定义得 2a
39、4m，从而|AF1|AF2|2m， 第 24 页（共 26 页） 故此时点 A 在 y 轴上，不妨设 A（0，b） ，从而由已知条件可得 B（，） ，代入椭圆 方程，解得 a23，所以 b2a212， 故所求椭圆方程为：； （）证明：如图所示： ， 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 设直线 AB 的方程为：xmy+1，代入椭圆 2x2+3y26 中，得： （2m2+3）y2+4my40， ， ， 由题设知 H（2，0） ，直线 BH 斜率 kBHy1， 直线 BH 的方程为：yy1（x2） ，而直线 l2方程为：yy1，代入 yy1（x2） ，得 x 3， 故点 C 的横坐标是定
40、值 3 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（本小题满分 10 分）分） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 第 25 页（共 26 页） 已知点 Q（6，0） ，点 P
41、 是曲线 C1上任意一点，点 M 满足，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程； （）已知直线 l：ykx 与曲线 C2交于 A，B 两点，若4，求 k 的值 【分析】 （）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （）利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果 【解答】解： （）曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，设 P（3cos，3sin） ， 由于点 M 满足， 所以（ 为参数） ， 转换为直角坐标方程为（x4）2+y21 转换为极坐标方程为 28cos+150 （）直线 l：ykx 转
42、换为极坐标方程为 ， 设 A（1，） ，B（2，） ，由于4， 所以，即 5142， 由于 28cos+150， 所以，解得 所以， 解得 ktan 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极 径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2x+a|，g（x）|x1| （）若 f（x）+2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值； 第 26 页（共 26 页） （）若关于 x 的不等式 f（x）+g（
43、x）1 的解集包含，1，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）化简 f（x）+2g（x）的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值 为 1，即可求解实数 a 的值； （）化简不等式 f（x）+g（x）1 的解集，通过解集包含，1，列出不等式，然后 求实数 a 的取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）|2x+a|，g（x）|x1| f（x）+2g（x）|2x+a|+2|x1| |2x+a|+|2x2|2x+a（2x2）| |a+2|1，解得 a1 或 a3； （）x，1时，不等式 f（x）+g（x）1，即：|2x+a|+|x1|1，可得：|2x+a|+1 x1，|2x+a|x xa， 不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含，1， 即：且a1， 实数 a 的取值范围： （，1） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力