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2020年山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷(文科)(一)(5月份)含详细解答

1、已知集合 MxZ|x2x20,N0,1,则MN( ) A0,1 B1,2 C1,0,2 D1,0,1,2 2 (5 分)已知 i 为虚数单位,a,bR,若b+2i,则 ab( ) A2 B1 C2 D3 3 (5 分)在新型冠状病毒疫情期间,商业活动受到很大影响某小型零售连锁店总部统计了 本地区 50 家加盟店 2 月份的零售情况,统计数据如图所示据估计,平均销售收入比去 年同期下降 40%,则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入约为( ) A6.6 万元 B3.96 万元 C9.9 万元 D7.92 万元 4 (5 分)已知 a(),b(),clog,则( ) Abac Babc

2、Cbca Dacb 5 (5 分) 中国象棋中棋子 “马” 的走法规则是走 “日” 字的对角线 (图中楚河汉界处的 “日” 字没有画出) ,如图,马从点 A 处走出一步,只能到达点 B,C,D 中的一处则马从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处,最少需要的步数是( ) 第 2 页(共 24 页) A5 B6 C7 D8 6 (5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 acosBbcosAc,则 A( ) A B C D 7 (5 分)cossin( ) A0 B C D 8 (5 分)抛物线 C:x22py(p0)的焦点为 F,准线为 l,点 P 在 l 上,

3、线段 PF 与抛物 线 C 交于点 A,若,点 A 到 y 轴的距离为 1,则抛物线 C 的方程为( ) Ax24y Bx23y Cx22y Dx2y 9 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,则输出 x 的值为( ) 第 3 页(共 24 页) A2 B1 C D9 10 (5 分)函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 11 (5 分)体积为 36 的金属球在机床上通过切割,加工成一个底面积为 8 的圆柱,当圆 柱的体积最大时,其侧面积为( ) A8 B8 C6 D9 12 (5 分)双曲线 C:l(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,过 F1作斜

4、率为 k(k0)的直线 l 与双曲线右支交于点 M,与 y 轴交于点 N,点 M 在 第 4 页(共 24 页) x 轴上的射影是 F2若直线 AM、AN 的倾斜角互补,则 k( ) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)函数 f(x)的图象在 x1 处的切线方程是 14 (5 分)如图所示,ABCD 是梯形,ADBC,AD2BC,设 , ,用 , 表 示 15 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (03,0)满足 f(x)f(x4) , f(x)f(x+3) ,则 f(x) 16 (5 分)正

5、方体 ABCDA1B1C1D 中,E 是 BC 的中点,平面 经过直线 BD 且与直线 C1E 平行,若正方体的棱长为 2,则平面 截正方体所得的多边形的面积为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)腾飞中学学生积极参加科技创新大赛,在市级组织的大赛中屡创佳绩为了组 织学生参加下一届市级大

6、赛,了解学生报名参加社会科学类比赛(以下称为 A 类比赛) 和自然科学类比赛(以下称为 B 类比赛)的意向,校团委随机调查了 60 名男生和 40 名 女生调查结果如下:60 名男生中,15 名不准备参加比赛,5 名准备参加 A 类比赛和 B 类 比赛,剩余的男生有准备参加 A 类比赛,准备参加 B 类比赛,40 名女生中,10 名不 准备参加比赛,25 名准备参加 A 类比赛,5 名准备参加 B 类比赛 (1)根据统计数据,完成如 22 列联表(A 类比赛和 B 类比赛都参加的学生需重复统 计) : 第 5 页(共 24 页) A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 女生 总计 (2)能否有 9

7、9%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关? 附:K2 P(K2k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18 (12 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S1050,a10+a1120 (1)求数列an的通项公式; (2)当 n2 时,证明:Snan2 19 (12 分)如图,四棱台 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形,侧棱 AA1垂直于底面,AB 2A1B12AA12 (1)证明:BB1C1D; (2)求点 D1到平面 B1C1D 的距离 20 (12 分)动点 P 到点

8、F(1,0)的距离与到直线 l:x4 的距离的比值为 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l1与点 P 的轨迹 C 交于两点 A,B,设点 A,B 到直线 l 的距离分别 为 d1,d2,当|d1d2|时,求直线 l1的方程 21 (12 分)已知函数 f(x)ex(x2)ax2+ax(aR) (1)当 a1 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)恰有两个零点,求实数 a 的取值范围 第 6 页(共 24 页) (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则

9、按所做的第一 题计分题计分.(本小题满分(本小题满分 10 分)分)选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 或 t 为参数) 以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (cos+sin)1 (1)当 t 为参数,时,判断曲线 C 与直线 l 的位置关系; (2) 当 为参数, t2 时, 直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 设 P (1, 0) , 求+ 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分(本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|

10、x|2x4| (1)求不等式 f(x)x2 的解集; (2)若 f(x)的最大值为 t,a,b,c 为正数,且 a+b+ct,求证:a2+b2+c2 第 7 页(共 24 页) 2020 年山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷 (文科)(一)年山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷 (文科)(一) (5 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 MxZ|x

11、2x20,N0,1,则MN( ) A0,1 B1,2 C1,0,2 D1,0,1,2 【分析】可以求出集合 M,然后进行补集的运算即可 【解答】解:MxZ|1x21,0,1,2,N0,1, MN1,2 故选:B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义,一元二次不等式的解法,补集的运算,考 查了计算能力,属于基础题 2 (5 分)已知 i 为虚数单位,a,bR,若b+2i,则 ab( ) A2 B1 C2 D3 【分析】把已知等式变形,再由复数相等的条件列式求得 a,b 的值,则答案可求 【解答】解:b+2i, 1+ai3(b+2i)3b+6i, 则,即 a6,b ab2 故选:C 【点评】本题

12、考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题 3 (5 分)在新型冠状病毒疫情期间,商业活动受到很大影响某小型零售连锁店总部统计了 本地区 50 家加盟店 2 月份的零售情况,统计数据如图所示据估计,平均销售收入比去 年同期下降 40%,则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入约为( ) 第 8 页(共 24 页) A6.6 万元 B3.96 万元 C9.9 万元 D7.92 万元 【分析】由频率分布直方图求出今年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入,再由平均销 售收入比去年同期下降 40%,能求出去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入 【解答】解:由频率分布

13、直方图得: 今年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入为: 10.082+30.162+50.2+70.0623.96(万元) , 据估计,平均销售收入比去年同期下降 40%, 则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入为: 6.6(万元) 故选:A 【点评】本题考查频率分布直方图等基础知识,考查数据处理能力,运算求解能力,考 查统计概率思想等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 4 (5 分)已知 a(),b(),clog,则( ) Abac Babc Cbca Dacb 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解:, ba0, ,c0, bac, 故选:A 【点评】本题

14、考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 第 9 页(共 24 页) 5 (5 分) 中国象棋中棋子 “马” 的走法规则是走 “日” 字的对角线 (图中楚河汉界处的 “日” 字没有画出) ,如图,马从点 A 处走出一步,只能到达点 B,C,D 中的一处则马从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处,最少需要的步数是( ) A5 B6 C7 D8 【分析】利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线,即可算出结果 【解答】解:由题意可知,按如图所示的走法,需要 5 步即可点 A 出发到达对方“帅” 所在的 P 处, 故选:A 【点评】本题主要考

15、查了简单的合情推理,是基础题 6 (5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 acosBbcosAc,则 A( ) A B C D 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解 A 【解答】解:acosBbcosAc, 由正弦定理可得,sinAcosBsinBcosAsinC, 所以 sinAcosBsinBcosAsin(A+B)sinAcosB+sinBcosA, 第 10 页(共 24 页) 所以 sinBcosA0, 因为 sinB0, 所以 cosA0,即 A, 故选:B 【点评】本题主要考查了正弦定理,和差角公式在三角化简中的应用,属于基础试

16、题 7 (5 分)cossin( ) A0 B C D 【分析】利用诱导公式化简,进而根据两角差的余弦函数公式,特殊角的三角函数值即 可计算求解 【解答】解:cossin cos(2)sin() cos+cos 2cos 2cos() 2coscos+2sinsin 2+2 故选:D 【点评】本题主要考查了诱导公式,两角差的余弦函数公式,特殊角的三角函数值在三 角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 8 (5 分)抛物线 C:x22py(p0)的焦点为 F,准线为 l,点 P 在 l 上,线段 PF 与抛物 线 C 交于点 A,若,点 A 到 y 轴的距离为 1,则抛物线

17、 C 的方程为( ) Ax24y Bx23y Cx22y Dx2y 【分析】根据抛物线的性质可知,点 F(0,) ,P(xp,) ,由于点 A 到 y 轴的距离 为 1,且 A 在抛物线上,所以点 A(1,) ,因为,结合平面向量的线性坐标 第 11 页(共 24 页) 运算即可列出关于 p 的方程,解之可得 p 的值,从而得抛物线的方程 【解答】解:由题可知,点 F(0,) ,P(xp,) , 点 A 到 y 轴的距离为 1,且 A 在抛物线上,点 A(1,) , , ,解得或(舍负) 抛物线的方程为 故选:C 【点评】本题考查抛物线方程的求法、平面向量的坐标运算,熟练掌握抛物线的几何性 质

18、是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题 9 (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,则输出 x 的值为( ) A2 B1 C D9 【分析】直接利用程序框图和循环结构求出结果由已知中的程序语句可知:该程序的 功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量 第 12 页(共 24 页) 值的变化情况,可得答案 【解答】解:模拟程序的运行,可得 x0,s0,t10 不满足条件 x20,x3,s1,t8 不满足条件 t2,不满足条件 x20,x81,s2,t6 不满足条件 t2,满足条件 x20,x2,s3,t4 不满足条件 t2,不满足条件

19、 x20,x,s4,t2 此时,满足条件 t2,退出循环,输出 x 的值为 故选:C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 10 (5 分)函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值,运用排除法得解 【解答】 解: 函数的定义域为 (, 0) (0, +) , 函数 f(x)为偶函数,故排除 B 选项; 又,故排除 D 选项;,故排 除选项 A 故选:C 【点评】本题考查利用函数的性质确定函数图象,考查数形结合思想,属于基础题 11 (5 分)体积为 36 的金属球在机床上通过切割,

20、加工成一个底面积为 8 的圆柱,当圆 第 13 页(共 24 页) 柱的体积最大时,其侧面积为( ) A8 B8 C6 D9 【分析】由球的体积可得球的半径当圆柱的体积最大时,则圆柱的上下底面与求相切, 由圆柱的底面积求出圆柱的底面半径,进而求出圆柱的高,进而求出圆柱的侧面积 【解答】解:由球的体积可设球的半径 R,由题意R336,可得 R3, 当圆柱的体积最大时,则圆柱的上下底面与球相切, 因为底面积为 8,设底面半径为 r,则 r28,所以 r2, 所以圆柱的高为:h222, 所以圆柱的侧面积为 2rh28, 故选:A 【点评】本题考查球的体积公式及圆柱的侧面积公式,属于中档题 12 (5

21、 分)双曲线 C:l(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,过 F1作斜率为 k(k0)的直线 l 与双曲线右支交于点 M,与 y 轴交于点 N,点 M 在 x 轴上的射影是 F2若直线 AM、AN 的倾斜角互补,则 k( ) A B C D 【分析】由双曲线的性质可知,点 A(a,0) ,F1(c,0) ,F2(c,0) ,所以直线 l 的 方程为 yk(x+c) ,点 N(0,kc) ,点 M(c,2kc) ,利用两点的坐标可分别表示出直线 AM、AN 的斜率,再根据直线 AM、AN 的倾斜角互补,其斜率之和为 0,即 ,所以,然后利用双曲线的定义|MF1|MF2|2a

22、,可得 ,化简得,解得 【解答】解:由题意可知,点 A(a,0) ,F1(c,0) ,F2(c,0) , 直线 l 的方程为 yk(x+c) ,点 N(0,kc) , 点 M 在 x 轴上的射影是 F2,点 M(c,2kc) , 第 14 页(共 24 页) 直线 AM、AN 的斜率分别为, 直线 AM、AN 的倾斜角互补,化简得 由双曲线的定义可得,|MF1|MF2|2a, ,化简整理得,解得 故选:D 【点评】本题考查双曲线的定义、基本几何性质和直线的斜率,考查学生的分析能力和 运算能力,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20

23、 分分 13 (5 分)函数 f(x)的图象在 x1 处的切线方程是 3x4y+10 【分析】先对函数求导数,然后求出切点处的导数值、函数值,最后利用点斜式写出切 线方程 【解答】解:由已知得, 所以 故切线为, 即 3x4y+10 故答案为:3x4y+10 【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法,同时考查学生的运算能力属 于基础题 14 (5 分)如图所示,ABCD 是梯形,ADBC,AD2BC,设 , ,用 , 表 示 【分析】由题意,放在ABC 和ACD 中,运用向量的三角形法则,即可用来表 示出 【解答】解:由题,ADBC,AD2BC, 第 15 页(共 24 页) , ,

24、故答案为: 【点评】本题考查了向量的三角形法则和基本定理,考查了学生转化的思想,属于基础 题 15 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (03,0)满足 f(x)f(x4) , f(x)f(x+3) ,则 f(x) sin(x+) 【分析】由 f(x)f(x4)说明函数周期为 4,可求 ,由 f(x)f(x+3)说明函 数对称轴 x,可求 , 【解答】解:因为函数 f(x)sin(x+) (03,0)满足 f(x)f(x 4) , 所以周期 T4,则 又 f(x)f(x+3) , 所以函数 f(x)关于 x对称,则 f()sin(+)1, 所以 +k+,由于 0,则 , 故答案为:si

25、n(x+) 【点评】本题考查待定系数法,由周期求 ,对称轴时函数取最值求 ,属于基础题 16 (5 分)正方体 ABCDA1B1C1D 中,E 是 BC 的中点,平面 经过直线 BD 且与直线 C1E 平行,若正方体的棱长为 2,则平面 截正方体所得的多边形的面积为 【分析】根据线面平行的性质作出平面 与正方体的截面,计算截面梯形的各边长即可 第 16 页(共 24 页) 求出截面面积 【解答】解:过 B 作 BMC1E 交 B1C1于 M,过 M 作 BD 的平行线,交 C1D1于 N,连 接 DN, 则平面 BDMN 即为符合条件的平面 , 由作图可知 M,N 分别为 B1C1,C1D1的

26、中点, 故 BD2,MN,且 BMDN, 等腰梯形 MNDB 的高为 h, 梯形 MNDB 的面积为() 故答案为: 【点评】本题考查了线面平行的性质,面面平行的性质,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)腾飞中学学生积极参加科技创新大赛,在市级组织的大赛中屡创佳绩为了组 织学

27、生参加下一届市级大赛,了解学生报名参加社会科学类比赛(以下称为 A 类比赛) 和自然科学类比赛(以下称为 B 类比赛)的意向,校团委随机调查了 60 名男生和 40 名 女生调查结果如下:60 名男生中,15 名不准备参加比赛,5 名准备参加 A 类比赛和 B 类 比赛,剩余的男生有准备参加 A 类比赛,准备参加 B 类比赛,40 名女生中,10 名不 准备参加比赛,25 名准备参加 A 类比赛,5 名准备参加 B 类比赛 (1)根据统计数据,完成如 22 列联表(A 类比赛和 B 类比赛都参加的学生需重复统 计) : A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 第 17 页(共 24 页) 女生 总

28、计 (2)能否有 99%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关? 附:K2 P(K2k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】 (1)根据题目所给的数据填写 22 列联表即可; (2)计算 K 的观测值 K2,对照题目中的表格,得出统计结论 【解答】解: (1)根据题目所给数据得到如下 22 的列联表: A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 15 35 50 女生 25 5 30 总计 40 40 80 (2)K 的观测值:K221.333; 由于 21.3336.635, 有 99

29、%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题,也考查了计算能力的应用问题,是基础题 目 18 (12 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S1050,a10+a1120 (1)求数列an的通项公式; (2)当 n2 时,证明:Snan2 【分析】 (1)设等差数列an的公差为 d,由 S1050,a10+a1120可得:10a1+45d 50,2a1+19d20,联立解得:a1,d,可得 an (2)当 n2 时,利用求和公式可得 Snn2通过作差即可证明结论 【解答】解: (1)设等差数列an的公差为 d,S1050,a10+a11

30、20 10a1+45d50,2a1+19d20, 第 18 页(共 24 页) 联立解得:a1,d1, an+n1 (2)证明:当 n2 时,Snn2 Snn20,Sn Snn20,Sn 综上可得:Snan2 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、作差法、方程的解法,考查了推 理能力与计算能力,属于基础题 19 (12 分)如图,四棱台 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形,侧棱 AA1垂直于底面,AB 2A1B12AA12 (1)证明:BB1C1D; (2)求点 D1到平面 B1C1D 的距离 【分析】 (1)由侧棱 AA1垂直于底面,得 AA1B1C1,再由底面 A1B1C1D

31、1是正方形,得 B1C1A1B1,证明 B1C1平面 AA1B1B,得 B1C1BB1 在平面 AA1B1B 中, 过 B1作 B1O AB,由已知求解三角形证明 BB1B1D可得 BB1平面 B1C1D,从而得到 BB1C1D; (2) 设点 D1到平面 B1C1D 的距离为 h 利用求解点 D1到平面 B1C1D 的距离 【解答】 (1)证明:侧棱 AA1垂直于底面,AA1B1C1, 又底面 A1B1C1D1是正方形,B1C1A1B1, A1B1AA1A1,B1C1平面 AA1B1B,则 B1C1BB1 在平面 AA1B1B 中,过 B1作 B1OAB, 第 19 页(共 24 页) 由侧

32、棱 AA1垂直于底面,得平面 AA1B1B底面 ABCD, 又平面 AA1B1B底面 ABCDAB,得 B1O底面 ABCD 再由 AB2A1B12AA12,解得,DO,BD2,则 ,即 BB1B1D 又 B1DB1C1B1,BB1平面 B1C1D, 得 BB1C1D; (2)解:设点 D1到平面 B1C1D 的距离为 h 在 RtC1D1D 中, B1C11,由(1)得 cosB1C1D,则 sinB1C1D ,解得 h 即点 D1到平面 B1C1D 的距离为 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用,考查空间 想象能力与思维能力,训练了利用等体积法求点到面的距离,

33、考查运算求解能力,是中 档题 20 (12 分)动点 P 到点 F(1,0)的距离与到直线 l:x4 的距离的比值为 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l1与点 P 的轨迹 C 交于两点 A,B,设点 A,B 到直线 l 的距离分别 为 d1,d2,当|d1d2|时,求直线 l1的方程 【分析】 (1)设 P 的坐标,由题意可得等式,整理可得 P 的轨迹方程; 第 20 页(共 24 页) (2)由题意设 l1的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出 A,B 到直线 x 4 的距离之差,由题意可得参数的值,进而求出直线 AB 的方程 【解答】解: (1)设

34、 P 的坐标(x,y) ,由题意可得, 整理可得:+1; 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为:+1; (2)当直线 AB 的斜率为 0 时,则直线 AB 为 y0,可得 A(2,0) ,B(2,0) , 则由题意 d16,d22,则|d1d2|4, 所以直线 AB 的方程为:xmy+1,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立直线 AB 与椭圆的方程:整理可得(4+3m2)y2+6my90,y1+y2 ,y1y2, 所以 A,B 到 x4 的距离之差|d1d2|(x14)(x24)|x1x2|m(y1y2)| |m|m| 由题意可得,整理可得:31m4+m2320,解得 m21,即

35、m 1 所以直线 l1的方程为:x+y10 或 xy10 【点评】本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)ex(x2)ax2+ax(aR) (1)当 a1 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)恰有两个零点,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)代入 a 的值,求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的极值 即可; 第 21 页(共 24 页) (2)显然 x2 是函数 f(x)的一个零点,若 f(x)恰有两个零点,则只需 yexax 恰有 1 个零点,问题转化为只需 g(x)ex和 h(x)ax 只有 1 个交点即可,通过讨 论 a

36、 的范围,结合函数的图象判断即可 【解答】解: (1)a1 时,f(x)ex(x2)x2+x, f(x)ex(x1)x+1(x1) (ex1) , 令 f(x)0,解得:x1 或 x0, 令 f(x)0,解得:0x1, 故 f(x)在(,0)递增,在(0,1)递减,在(1,+)递增, 故 f(x)极大值f(0)2,f(x)极小值f(1)e; (2)f(x)ex(x2)ax2+ax(x2) (exax) , 显然 x2 是函数 f(x)的一个零点,若 f(x)恰有两个零点, 则只需 yexax 恰有 1 个零点, 即只需 g(x)ex和 h(x)ax 只有 1 个交点即可, a0 时,如图示:

37、结合图象,a0 时 g(x)ex和 h(x)ax 只有 1 个交点,符合题意; a0 时,g(x)ex和 y0 无交点,不合题意; a0 时,g(x)ex和 h(x)ax 相切时 1 个交点, 设切点是 P(m,em) ,则aem(i) , emam(ii) ,由(i) (ii)解得:P(1,e) ,a2e,符合题意, 第 22 页(共 24 页) 综上,若 f(x)恰有两个零点,则 a(,0)2e 【点评】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用,转化思想,分类讨论 思想,数形结合思想,是一道综合题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中

38、任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则按所做的第一 题计分题计分.(本小题满分(本小题满分 10 分)分)选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 或 t 为参数) 以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (cos+sin)1 (1)当 t 为参数,时,判断曲线 C 与直线 l 的位置关系; (2) 当 为参数, t2 时, 直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 设 P (1, 0) , 求+ 的值 【分析】 (1)先得到曲线 C 的普通

39、方程,直线 l 的直角坐标方程,它们的斜率相等,所 以它们位置关系是平行 (2)先得到曲线 C 的普通方程,直线 l 的极坐标方程,联立得 t1+t2,t1t21, ,进而得出结论 【解答】解: (1)当 t 为参数,曲线 C 的参数方程为 化 简得 消掉参数得 yx, 因为直线 l 的极坐标方程为:(cos+sin)1, 化为直角坐标方程为:yx+, 曲线 C 与直线 l 斜率相等,所以它们平行 (2)当 为参数,t2 时,曲线 C 的参数方程为:, 化为普通方程得(x1)2+(y+)4, 第 23 页(共 24 页) 由(1)知直线 l 的斜率为,直线 l 过点 P(1,0) , 所以直线

40、 l 的倾斜角为 150, 所以直线 l 的参数方程为:,即, 联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的普通方程得: t2+t10, 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2 所以 t1+t2,t1t21, 所以 【点评】本题考查极坐标方程和参数方程,考查了转化思想,属于中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分(本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|x|2x4| (1)求不等式 f(x)x2 的解集; (2)若 f(x)的最大值为 t,a,b,c 为正数,且 a+b+ct,求证:a2+b2+c2 【分析】 (1)由 f(x)|x|2x4|,f(x)x2,利用零

41、点分段法解不等式即可; (2)先求出 f(x)的最大值,然后利用基本不等式得到 2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca) , 进一步证明 a2+b2+c2成立 【解答】解: (1)f(x)|x|2x4|,f(x)x2, 当 x2 时,x(2x4)x2,解得 x3; 当 0x2 时,x(2x+4)x2,解得 x1,0x1; 当 x0 时,x(2x+4)x2,不等式恒成立,x0 综上,不等式 f(x)x2 的解集为 x|x1 或 x3; (2)由(1)可知,当 x2 时,函数 f(x) 单调递减, 当 x2 时,函数 f(x) 单调递增, f(x) 的最大值为 tf(2)2,则 a+b+c2 第 24 页(共 24 页) a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca, 2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca) , 3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)2, ,当且仅当 时等号成立 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,基本不等式和利用综合法证明不等式,考查 了分类讨论思想和转化思想,属中档题