1、已知一组样本数据 5，4，x，3，6 的平均数为 5，则该组数据的方差为 4 （5 分）运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为 5 （5 分）若从 2，3，6 三个数中任取一个数记为 a，再从剩余的两个数中任取一个数记为 b，则“是整数”的概率为 6 （5 分）若抛物线 y22px（p0）的焦点与双曲线 x21 的右焦点重合，则实数 p 的值为 7 （5 分） 在等差数列an中， 若 a5， 8a6+2a4a2， 则an的前 6 项和 S6的值为 8 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为 2，高为 1，则该正四棱锥的侧面积为 9 （5 分）已知 a，bR，函数 f（x）（x2） （ax+b）
2、为偶函数，且在（0，+）上是减 函数，则关于 x 的不等式 f（2x）0 的解集为 10 （5 分）知 a0，b0，且 a+3b，则 b 的最大值为 11 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移个单位得到函数 g（x）的图象，则以 函数 f（x）与 g（x）的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 12 （5 分）在ABC 中，AB2，AC3，BAC60，P 为ABC 所在平面内一点，满 足+2，则的值为 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2+2mx（4m+6）y40（mR） 与 C2（2，3）为圆心的圆相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y
3、2）两点，且满足 x12x22y22 第 2 页（共 23 页） y12，则实数 m 的值为 14 （5 分）已知 x0，y0，z0，且 x+y+z6，则 x3+y2+3z 的最小值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或计算步说明、证明过程或计算步 15 （14 分）在ABC 中，sinA，A（） （1）求 sin2A 的值； （2）若 sinB，求 cosC 的值 16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E，F 分别是 B1
4、C1，AB，AA1的中点 （1）求证：EF平面 A1BD； （2）若 A1B1A1C1，求证：平面 A1BD平面 BB1C1C 17 （14 分）如图，某公园内有两条道路 AB，AP，现计划在 AP 上选择一点 C，新建道路 BC，并把ABC 所在的区域改造成绿化区域已知BAC，AB2km （1）若绿化区域ABC 的面积为 1km2，求道路 BC 的长度； （2）若绿化区域ABC 改造成本为 10 万元/km2，新建道路 BC 成本为 10 万元/km设 ABC（0） ，当 为何值时，该计划所需总费用最小？ 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的离
5、心率为， 且右焦点到右准线 l 的距离为 1 过 x 轴上一点 M （m， 0） （m 为常数， 且 m （0，2） ）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 l 交于点 P，D 是弦 AB 的中点，直线 OD 第 3 页（共 23 页） 与 l 交于点 Q （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）试判断以 PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理 由 19 （16 分）已知函数 f（x）（xa）lnx（aR） （1）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若对于任意的正数 x，f（x）0 恒成立，求实数 a 的值； （3）若函数 f（
6、x）存在两个极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） ，求 实数 a 的取值范围 20 （16 分）已知数列an满足对任意的 nN*，都有 an（qnan1）+2qnanan+1an+1（1 qnan+1） ，且 an+1+an0，其中 a12，q0记 Tna1+qa2+q2a3+qn 1a n （1）若 q1，求 T2019的值 （2）设数列bn满足 bn（1+q）Tnqnan 求数列bn的通项公式； 若数列cn满足 c11，且当 n2 时，cn21，是否存在正整数 k，t，使 ct，ck ct，ctck成等比数列？若存在，求出所有 k，t 的值；若不存在，说明理由 选修选修 4-2
7、：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 A，B，求 A 1B 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C：2cos，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建 立平面直角坐标系 xOy，设过点 A（3，0）的直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直 线 l 的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1| 第 4 页（共 23 页） （1）解不等式 f（x1）+f（x+3）6； （2）若|a|1，|b|1，且 a0，求证： 【必做题】每题【必做题】每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在
8、答题卡指定区域内作答，解答时应写文字说明、证请在答题卡指定区域内作答，解答时应写文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤. 24 （10 分）如图，在三棱锥 DABC 中，DA平面 ABC，CAB90，且 ACAD1， AB2，E 为 BD 的中点 （1）求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值； （2）求二面角 ACEB 的余弦值 25 （10 分）已知数列an满足 a1，an+12an2+2an，nN* （1）用数学归纳法证明：an（0，） ； （2）令 bnan，证明：3n+13 第 5 页（共 23 页） 2019 年江苏省苏北三市（徐州市、淮安市、连云港市）高考数年江苏省苏北
9、三市（徐州市、淮安市、连云港市）高考数 学一模试卷学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 70 分分.请把答案填写在答题卡相应位置请把答案填写在答题卡相应位置 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，Bx|0x2，则 AB 1，2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|0x2； AB1，2 故答案为：1，2 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算 2 （5 分）已知复数 z（2i）2（i 是虚数单位） ，则 z 的模为 5 【分析】根据复数的运算法则进行计
10、算，结合复数的模长公式进行求解即可 【解答】解：z（2i）244i+i234i， 则|z|5， 故答案为：5 【点评】本题主要考查复数的模长计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关 键 3 （5 分）已知一组样本数据 5，4，x，3，6 的平均数为 5，则该组数据的方差为 2 【分析】由一组样本数据 5，4，x，3，6 的平均数为 5，求出 x7，由此能求出该组数 据的方差 【解答】解：一组样本数据 5，4，x，3，6 的平均数为 5， （5+4+x+3+6）5， 解得 x7， 该组数据的方差为： S2（55）2+（45）2+（75）2+（35）2+（65）22 故答案为：2 【点评】本
11、题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能 第 6 页（共 23 页） 力，是基础题 4 （5 分）运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为 21 【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当 I1 时，满足进行循环的条件，I3，S9； 当 I3 时，满足进行循环的条件，I5，S13； 当 I5 时，满足进行循环的条件，I7，S17； 当 I7 时，满足进行循环的条件，I9，S21； 当 i9 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 S 值为 21 故答案为
12、：21 【点评】本题考查的知识点是伪代码（算法语句） ，当循环的次数不多，或有规律时，常 采用模拟循环的方法解答 5 （5 分）若从 2，3，6 三个数中任取一个数记为 a，再从剩余的两个数中任取一个数记为 b，则“是整数”的概率为 【分析】分别计算从 2，3，6，三个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的 2 个数中 随机地抽取一个数记为 b 的所有情况，及满足“ “是整数” ”的情况，进而利用古典概 型公式，可得答案 【解答】解：在 2，3，6 三个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的两个数中随机地 抽取一个数记为 b， 有： （2，3） ， （2，6） ， （3，2） ， （3，6
13、） ， （6，2） ， （6，3）共 6 种情况， 其中“是整数”的有： （6，2） ， （6，3）共 2 种， 故“是整数”的概率 P 故答案为： 第 7 页（共 23 页） 【点评】本题考查了古典概型概率公式，掌握古典概型概率公式：概率所求情况数与 总情况数之比是解题的关键 6 （5 分）若抛物线 y22px（p0）的焦点与双曲线 x21 的右焦点重合，则实数 p 的值为 4 【分析】求出双曲线的右焦点为 F（2，0） ，该点也是抛物线的焦点，可得 2，即可 得到结果 【解答】解：双曲线的标准形式为：x21， c2，双曲线的右焦点为 F（2，0） ， 抛物线 y22px（p0）的焦点与双曲
14、线 x21 的右焦点重合， 2，可得 p4 故答案为：4 【点评】本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双 曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题 7 （5 分） 在等差数列an中， 若 a5， 8a6+2a4a2， 则an的前 6 项和 S6的值为 【分析】利用等差数列an通项公式列方程组求出 a1，d，由此能求出an的 前 6 项和 S6的值 【解答】解：在等差数列an中，a5，8a6+2a4a2， ， 解得 a1，d， an的前 6 项和 S6的值： 6+15（） 故答案为： 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查等差数列的前 6 项和的
15、求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 8 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为 2，高为 1，则该正四棱锥的侧面积为 8 【分析】根据题意求出正四棱锥侧面的高，再计算正四棱锥的侧面积 【解答】解：正四棱锥底面边长为 2，高为 1， 则侧面的高为 h2， 正四棱锥的侧面积为 S4228 故答案为：8 【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征应用问题，是基础题 9 （5 分）已知 a，bR，函数 f（x）（x2） （ax+b）为偶函数，且在（0，+）上是减 函数，则关于 x 的不等式 f（2x）0 的解集为 （0，4） 【分析】根据函数奇偶性的定义，利用特殊值法求出 b2a，
16、结合单调性判断 a 的符号， 将不等式进行转化求解即可 【解答】解：f（x）（x2） （ax+b）为偶函数， f（2）f（2） ，即4（2a+b）0， 则2a+b0，得 b2a， 即 f（x）（x2） （ax+2a）a（x2） （x+2）a（x24） ， 在（0，+）上 f（x）是减函数， 则 a0， 则不等式 f（2x）0 等价为 a（2x）240，即 x24x0， 得 0x4， 即不等式的解集为（0，4） ， 故答案为： （0，4） 【点评】本题主要考查不等式的求解以及函数奇偶性和单调性的应用，根据函数性质求 出 a，b 的关系和符号是解决本题的关键 10 （5 分）知 a0，b0，且 a
17、+3b，则 b 的最大值为 【分析】由已知条件得出，由基本不等式得出，解出该不等式并 结合 b0，可得出 b 的取值范围，于是可得出 b 的最大值 第 9 页（共 23 页） 【解答】解：由已知条件可得， 由基本不等式可得，当且仅当，即当 a1 时， 等号成立 所以，由于 b0，所以，3b2+2b10，解得 因此，b 的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查基本不等式的应用，解决本题的关键就是利用基本不等式求出代数式 的取值范围，并求出参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题 11 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移个单位得到函数 g（x）的图象，则以 函数 f（x）与 g（
18、x）的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 【分析】根据三角函数的图象平移关系求出 g（x）的解析式，由 f（x）g（x） ，求出相 邻的三个交点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可 【解答】解：将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移个单位得到函数 g（x）的图象， 则 g（x）sin2（x）sin（2x） ， 由 sin2xsin（2x） ，得 sin2xsin2xcos2x， 即sin2xcos2x， 得 tan2x， 则 2x+k，即 x+，kZ， 当 k0，1，2 时，连续三个点的横坐标 为， 对应三点的纵坐标为 sin（2（） ）， sin（2），sin（2）， 即连续三
19、个点的坐标为 A（，） ， B（，） ，C（，） ， 第 10 页（共 23 页） 则三角形 ABC 的面积 S（+）（）， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的平移关系求出函数 g（x） 的解析式，以及利用 f（x）g（x）求出交点坐标是解决本题的关键 12 （5 分）在ABC 中，AB2，AC3，BAC60，P 为ABC 所在平面内一点，满 足+2，则的值为 1 【分析】将表示成，后与相乘可得 【解答】解：+2， （）+2（， ， 2 231 故答案为1 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，
20、已知圆 C1：x2+y2+2mx（4m+6）y40（mR） 与 C2（2，3）为圆心的圆相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，且满足 x12x22y22 y12，则实数 m 的值为 6 【分析】设出圆 C2的方程，利用两圆相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则 A（x1， y1） ，B（x2，y2）两点的坐标满足两圆的方程，利用作差法进行求解即可 【解答】解：设以 C2（2，3）为圆心的圆的方程为（x+2）2+（y3）2R2， 即 x2+y2+4x6yR2+13， 两圆相交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点， A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点的坐标满
21、足两圆的方程， 第 11 页（共 23 页） 即 x12+y12+4x16y1R2+13， x22+y22+4x26y2R2+13， 得 x12x22+y12y22+4（x1x2）6（y1y2）0， x12x22y22y12， x12x22+y12y220 则 4（x1x2）6（y1y2）0，即 x1x2（y1y2） 又 x12+y12+2mx1（4m+6）y140， x22+y22+2mx2（4m+6）y240， 得 x12x22+y12y22+2m（x1x2）（4m+6） （y1y2）0， x12x22y22y12， x12x22+y12y220 则 2m（x1x2）（4m+6） （y1y
22、2）0 x1x2（y1y2） ， 2m（y1y2）（4m+6） （y1y2）0， 即 3m（4m+6）m60， 得 m6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查两圆位置关系的应用，利用交点坐标同时在两圆上，利用作差法 是解决本题的关键综合性较强，考查学生的计算能力 14 （5 分）已知 x0，y0，z0，且 x+y+z6，则 x3+y2+3z 的最小值为 【分析】利用换元法以及函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后利用 二次函数的性质求解即可 【解答】解：设 Tx3+y2+3z，因为 x+y+z6，所以 z6xy，Tx3+y2+18 3x3y， 可得 Ty2+3yx3+183x，设
23、f（x）x3+183x，f（x）3x23， 令 f（x）0，可得 x1，f（x）6x，f（1）0，f（1）16， 第 12 页（共 23 页） 0x1 时，f（x）是单调减函数，f（x）16， 当 x1 时，f（x）单调增函数，f（x）16， 即 Ty2+3y16，Ty23y+16，当 y时，函数取得最小值此时 3z 0 故答案为： 【点评】本题考查函数的导数的应用，考查的最值的求法，考查换元法以及转化思想的 应用，是难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、
24、证明过程或计算步说明、证明过程或计算步 15 （14 分）在ABC 中，sinA，A（） （1）求 sin2A 的值； （2）若 sinB，求 cosC 的值 【分析】 （1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得 cosA 的值，再利用二倍角公式求 得 sin2A 的值 （2）由题意利用诱导公式，两角和差的三角公式，求得 cosCcos（A+B）的值 【解答】 解： （1） ABC 中， sinA， A （） ， cosA， 故 sin2A2sinAcosA2 （） （2）若 sinB，则 cosB， cosCcos（A+B）cosAcosB+sinAsinB+ 【点评】本题主要考查同角三角函
25、数的基本关系，二倍角公式的应用，还考查了诱导公 式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题 16 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E，F 分别是 B1C1，AB，AA1的中点 （1）求证：EF平面 A1BD； （2）若 A1B1A1C1，求证：平面 A1BD平面 BB1C1C 第 13 页（共 23 页） 【分析】 （1） 由 E， F 分别是 AB， AA1的中点， 得 EFA1B， 由此能证明 EF平面 A1BD （2）推导出 A1DB1C1，A1DBB1，从而 A1D平面 BB1C1C，由此能证明平面 A1BD 平面 BB1C1C 【解答】证明： （1）在直三棱柱
26、ABCA1B1C1中，E，F 分别是 AB，AA1的中点 EFA1B， EF平面 A1BD，A1B平面 A1BD， EF平面 A1BD； （2）A1B1A1C1，D 是 B1C1的中点 A1DB1C1， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1底面 A1B1C1， A1DBB1， B1C1BB1B1，A1D平面 BB1C1C A1D平面 A1BD，平面 A1BD平面 BB1C1C 【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 17 （14 分）如图，某公园内有两条道路 AB，AP，现计划在 AP 上选
27、择一点 C，新建道路 BC，并把ABC 所在的区域改造成绿化区域已知BAC，AB2km 第 14 页（共 23 页） （1）若绿化区域ABC 的面积为 1km2，求道路 BC 的长度； （2）若绿化区域ABC 改造成本为 10 万元/km2，新建道路 BC 成本为 10 万元/km设 ABC（0） ，当 为何值时，该计划所需总费用最小？ 【分析】 （1）根据三角形的面积公式，和余弦定理即可求出， （2）先根据正弦定理结合三角形的面积可得 F（），0，令 f（），利用导数求出函数的最值 【解答】解： （1）在ABC 中，BAC，AB2km， SABACsin1， 解得 AC2， 在ABC 中，由
28、余弦定理得：BC2AB2+AC22ABACcos22+22222 cos84， BC， （2）由ABC，则ACB（+） ，0， 在ABC 中，BAC，AB2km，由正弦定理得， BC，AC， 记该计划所费用为 F（） ， 则 F（）210+10，0 ， 令 f（）， 第 15 页（共 23 页） 则 f（）， 由 f（）0，解得 ， 当 （0，）时，f（）0，f（）单调递减， 当 （，）时，f（）0，f（）单调递增， 时，该计划所需费用最小 【点评】本题考查了正余弦定理，三角函数的化简，三角形的面积，导数和函数最值的 关系，属于中档题 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知
29、椭圆 C：1（ab0）的离 心率为， 且右焦点到右准线 l 的距离为 1 过 x 轴上一点 M （m， 0） （m 为常数， 且 m （0，2） ）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 l 交于点 P，D 是弦 AB 的中点，直线 OD 与 l 交于点 Q （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）试判断以 PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理 由 【分析】 （1）先由椭圆 C 的离心率得到，再由已知条件可求出 a 和 c 的值，可得 出 b 的值，即可得出椭圆 C 的标准方程； （2）设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，并设直线 AB 的方程为 xty
30、+m，利用点差法可得出 直线 OD 的斜率，从而得出直线 OD 的方程，将直线 AB、OD 的方程分别与直线 l 的方 程联立， 可求出点 P、 Q 的坐标， 根据对称性得知以 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 R （r， 0） ，利用PRQ90，转化为可计算出点 R 的坐标 第 16 页（共 23 页） 【解答】解： （1）设椭圆 C 的焦距为 2c（c0） ，则， 由于椭圆C的右焦点到右准线l的距离为1， 则， 所以， 因此，椭圆 C 的标准方程为； （2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为零，设直线 l 的方程为 xty+m（t0） ， 其中 0m2，直线 l 的斜率为， 设点 A
31、（x1，y1） 、B（x2，y2） ，则线段 AB 的中点为， 直线 AB 的斜率为，直线 OD 的斜率为 将点 A、B 的坐标代入椭圆 C 的方程得， 将上述两式相减得，则 所以，直线 AB 与直线 OD 的斜率之积为， 则直线 OD 的斜率为 所以，直线 OD 的方程为，椭圆 C 的右准线 l 的方程为 x2， 直线 OD 交直线 l 于点 Q（2，t） ，直线 AB 交直线 l 于点， 由对称性可知，以 PQ 为直径的圆经过 x 轴上定点 R（r，0） ，则 PRQR ， ，解得 因此，以 PQ 为直径的圆经过定点和 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程以及点差法，解决本题的
32、关键在 于将一些关键的点或直线等几何要素利用代数形式表示出来，考查计算能力，属于中等 第 17 页（共 23 页） 题 19 （16 分）已知函数 f（x）（xa）lnx（aR） （1）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若对于任意的正数 x，f（x）0 恒成立，求实数 a 的值； （3）若函数 f（x）存在两个极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） ，求 实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，即可求解； （2）可得 x1 时，lnx0，0x1 时，lnx0，必有可得 a1 （3）要使函数 f（x）存在两个极值
33、点，则方程 lnx+10 有两个变号零点，方程 a xlnx+x 有两个不等正实根令 h（x）xlnx+x， （x0） 利用导数求解 【解答】解： （1）a1 时，函数 f（x）（x1）lnx（0） ，f（1）0，f（1）0 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为：y0； （2）x1 时，lnx0，0x1 时，lnx0， 对于任意的正数 x，f（x）0 恒成立，必有 yxa 时单调函数，x1 时 yxa 的零点，a1 （3）， 要使函数 f（x）存在两个极值点，则方程 lnx+10 有两个变号零点， 方程 axlnx+x 有两个不等正实根 令 h（x）xlnx+x， （x0） h
34、（x）lnx+2，令 h（x）0，可得 xe 2 x（0，e 2）时，h（x）0，x（e2，+） ，h（x）0 h（x）在（0，e 2）递减，在（e2，+）递增， 函数 h（x）的草图如下： 第 18 页（共 23 页） h（e 2）e2 实数 a 的取值范围为（e 2，0） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒 成立问题的解法，属于难题 20 （16 分）已知数列an满足对任意的 nN*，都有 an（qnan1）+2qnanan+1an+1（1 qnan+1） ，且 an+1+an0，其中 a12，q0记 Tna1+qa2+q2a3+qn 1a n （
35、1）若 q1，求 T2019的值 （2）设数列bn满足 bn（1+q）Tnqnan 求数列bn的通项公式； 若数列cn满足 c11，且当 n2 时，cn21，是否存在正整数 k，t，使 ct，ck ct，ctck成等比数列？若存在，求出所有 k，t 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由已知条件，结合完全平方式化为 an+an+1q n，由 q1，计算可得所求 和； （2）由（1）的结论，并项求和可得所求通项公式； 求得 cn，假设存在正整数 k，t，使 ct，ckct，ctck成等比数列，运用等比数列中项 性质，解方程即可判断存在性 【解答】解： （1）an（qnan1）+2qnana
36、n+1an+1（1qnan+1） ， 即为 qn（an2+2anan+1+an+12）qn（an+1+an）2an+an+1（an+1+an0） ， 可得 an+an+1q n， 若 q1，可得 an+an+11，T2019a1+（a2+a3）+（a2018+a2019）2+110091011； （2）bn（1+q）Tnqnana1+qa2+q2a3+qn 1a n+qa1+q2a2+q3a3+qn 1a n1+qnan qnan 第 19 页（共 23 页） a1+q（a1+a2）+q2（a2+a3）+qn 1（a n+an1）2+1+12+n1n+1； 若数列cn满足 c11，且当 n2
37、时，cn212n1， 假设存在正整数 k，t，使 ct，ckct，ctck成等比数列， 即有 ct（ctck）（ckct）2，即为 ctctck，或 ctck0， 可得 ck0 或 ckct，即 2k1，即 k0，或 kt，不成立， 故不存在正整数 k，t，使 ct，ckct，ctck成等比数列 【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列和等差数列的通项公式，考 查整体思想和存在性问题解法，考查运算能力和推理能力，属于中档题 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 A，B，求 A 1B 【分析】根据矩阵乘法法则计算 【解答】解：设 A 1 ，AA 1 ，
38、 ，即， A 1 ， A 1B 【点评】本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C：2cos，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建 立平面直角坐标系 xOy，设过点 A（3，0）的直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直 线 l 的斜率 【分析】求出曲线 C 的直角坐标方程为（x1）2+y21，设直线的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kxy3k0，圆心 C（1，0）到直线 l 的距离 d1，由此能求出 直线 l 的斜率 第 20 页（共 23 页） 【解答】解：曲线 C：2cos，22cos，
39、曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y22x0，即（x1）2+y21， 过点 A（3，0）的直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x3，与圆 C 无交点，不成立； 当直线 l 的斜率存在时，设直线的斜率为 k， 则直线 l 的方程为：yk（x3） ，即 kxy3k0， 则圆心 C（1，0）到直线 l 的距离 d1， 解得直线 l 的斜率 k 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化、圆的性 质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）
40、|x1| （1）解不等式 f（x1）+f（x+3）6； （2）若|a|1，|b|1，且 a0，求证： 【分析】 （1）利用绝对值的应用将函数表示成分段函数形式，即可求 f（x1）+f（x+3） 6 的解集； （2）利用分析法，要证 f（ab）|a|f（） ，只需证证（ab1）2（ba）2，再作差 证明即可 【解答】解： （1）由 f（x1）+f（x+3）6 得|x2|+|x+2|6， 若 x2，则不等式等价为 x2+x+26，即 2x6，x3， 若2x2，则不等式等价为x+2+x+26，即 46，此时不等式无解， 若 x2，则不等式等价为（x2）（x+2）6，即2x6，x3， 综上 x3 或
41、x3，即不等式解集为（，33，+） ； （5 分） （2）f（ab）|b|f（） 等价为|ab1|b|1|ab|， 要证：|ab1|b|成立， 只需证：|ab1|ab|成立， 只需证（ab1）2（ba）2， 第 21 页（共 23 页） 而（ab1）2（ba）2a2b2a2b2+1（a21） （b21）0 显然成立， 从而原不等式成立 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对 x 范围的分析讨论，去掉绝对值符号， 利用一次函数的单调性求最值是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题 【必做题】每题【必做题】每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写文字说
42、明、证请在答题卡指定区域内作答，解答时应写文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤. 24 （10 分）如图，在三棱锥 DABC 中，DA平面 ABC，CAB90，且 ACAD1， AB2，E 为 BD 的中点 （1）求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值； （2）求二面角 ACEB 的余弦值 【分析】以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系， （1）分别求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线 AE 与 BC 所成角 的余弦值； （2）分别求出平面 AEC 与平面 BEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二 面角
43、 ACEB 的余弦值 【解答】解：如图，以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立 空间直角坐标系， ACAD1，AB2，E 为 BD 的中点， A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（1，0，0） ，E（0，1，） ， （1）， cos， 第 22 页（共 23 页） 异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为； （2）， 设 平 面AEC与 平 面BEC的 一 个 法 向 量 分 别 为， 由，取 z12，可得； 由，取 z22，可得 cos 由图可知，二面角 ACEB 为钝二面角， 二面角 ACEB 的余弦值为 【点评】本题考查空间角的求法，训练了利
44、用空间向量求解空间角，是中档题 25 （10 分）已知数列an满足 a1，an+12an2+2an，nN* （1）用数学归纳法证明：an（0，） ； （2）令 bnan，证明：3n+13 【分析】 （1）运用数学归纳法证明，检验 n1 成立，假设 nk 成立，证明 nk+1 也成 立，注意运用二次函数的值域； （2）运用（1）的结论，化简变形，取对数，结合等比数列的定义和通项公式，可得 bn 第 23 页（共 23 页） 的通项公式，变形，结合等比数列的求和公式，即可得证 【解答】证明： （1）当 n1 时，a1（0，） ； 假设 nk 时，ak（0，） ， 当 nk+1 时，ak+12ak2+2ak2（ak）2+， 在 ak（0，）时递增，可得 ak+1（0，） ， 综上可得，an（0，） ； （2）由（1）可得 an（0，） ，bnan（0，） ， an+12an2+2an，可得an+1（2an2+2an）2（an）2，