2019年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷

1、 第 1 页（共 27 页） 2019 年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上 ）置上 ） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，Bx|1x1，则 AB 2 （5 分）i 为虚数单位，复数（12i）2的虚部为 3 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是 4 （5 分）箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球、1 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 5 （

2、5 分）如图是抽取某学校 160 名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前 3 组的 频率成等差数列，则第 2 组的频数为 6 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 第 2 页（共 27 页） 7 （5 分）已知函数，若，则实数 a 8 （5 分）中国古代著作张丘建算经有这样一个问题： “今有马行转迟，次日减半疾， 七日行七百里” ，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一 半，七天一共行走了 700 里那么这匹马在最后一天行走的里程数为 9 （5 分）已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为 10 （5 分）设定义在区间（0，）

3、上的函数的图象与 y3cos2x+2 的图象交 于点 P，则点 P 到 x 轴的距离为 11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，A2B，则 sin（A） 12 （5 分）若直线 l：ax+y4a0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O：x2+y21 上存 在点 C， 使得ABC 为等腰直角三角形 （C 为直角顶点） ， 则实数 a 的取值范围为 13 （5 分）在ABC 中，已知 AB2，AC1，BAC90，D，E 分别为 BC，AD 的中 点，过点 E 的直线交 AB 于点 P，交 AC 于点 Q，则的最大值为 14 （5 分）已知函

4、数 f（x）x2+|xa|，g（x）（2a1）x+alnx，若函数 yf（x）与函 第 3 页（共 27 页） 数 yg（x）的图象恰好有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ）字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）如图，三棱锥 DABC 中，已知 ACBC，ACDC，BCDC，E，F 分別为 BD，CD 的中点 （1）求证：EF平面 ABC； （2）BD平面 ACE 16 （14 分）已

5、知向量 （2cos，2sin） ， （cossin，cos+sin） （1）求向量 与 的夹角； （2）若 ，求实数 的值 17 （14 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化已知空地的一边是直路 AB，余 下的外围是抛物线的一段弧，直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图） 拟在这 个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A， B， C， D 均在该抛物线上经 测量，直路 AB 长为 40 米，抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米设点 C 到抛物线 的对称轴的距离为 m 米，到直路 AB 的距离为 n 米 （1）求出 n 关于 m 的函数关系式； （

6、2）当 m 为多大时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值 第 4 页（共 27 页） 18 （16 分）已知椭圆 E：的离心率为，焦点到相应准线的距离 为 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）已知 P（t，0）为椭圆 E 外一动点，过点 P 分别作直线 l1和 l2，直线 l1和 l2分别交 椭圆 E 于点 A，B 和点 C，D，且 l1和 l2的斜率分别为定值 k1和 k2，求证：为定 值 19 （16 分）已知函数 f（x）（x+1）lnx+ax（aR） （1）若函数 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y+b0，求实数 a，b 的值； （2）设函数 g（

7、x），x1，e（其中 e 为自然对数的底数） 当 a1 时，求函数 g（x）的最大值； 若函数 h（x）|是单调减函数，求实数 a 的取值范围 20 （16 分）定义：若有穷数列 a1，a2，an同时满足下列三个条件，则称该数列为 P 数 列 首项 a11； a1a2an； 对于该数列中的任意两项 ai和 aj（1ijn） ， 其积 aiaj或商仍是该数列中的项 （1）问等差数列 1，3，5 是否为 P 数列？ （2）若数列 a，b，c，6 是 P 数列，求 b 的取值范围； （3）若 n4，且数列 b1，b2，bn是 P 数列，求证：数列 b1，b2，bn是等比数 列 【选做题】本题包括【选

8、做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计分共计 20 分，解分，解 答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 第 5 页（共 27 页） 21 （10 分）已知 x，yR，是矩阵 A的属于特征值1 的一个特征向量， 求矩阵 A 的另一个特征值 B选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，已知直线 l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数） 设 l 与 C 交

9、于 A，B 两点，求 AB 的长 C选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23若不等式|x+1|+|xa|5 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过分，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤 24 从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测， 若这批产品的不合格率为 0.05， 随机变量 X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数 （1）问：这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 P（X2） ”和“恰好有 3 件不

10、合格 的概率 P（X3） ”哪个大？请说明理由； （2）求随机变量 X 的数学期望 E（X） 25 已知 f （n） +， g （n） +， 其中 nN*， n2 （1）求 f（2） ，f（3） ，g（2） ，g（3）的值； （2）记 h（n）f（n）g（n） ，求证：对任意的 mN*，m2，总有 h（2m） 第 6 页（共 27 页） 2019 年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应

11、的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上 ）置上 ） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，Bx|1x1，则 AB 0 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 A0，1，2，Bx|1x1， AB0 故答案为：0 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）i 为虚数单位，复数（12i）2的虚部为 4 【分析】根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（12i）2的值，即可得到复数 （12i）2的虚部 【解答】解：（12i）2 12+（2i）24i 144i 34i 故复数（12i）2的虚部为4 故答案为：4 【点评】本题考

12、查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据复 数代数形式的乘法计算公式，计算复数（12i）2的值是解答本题的关键，本题易错误 理解虚部的概念，而错解为4i 3 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标是 （1，0） 【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在 x 轴正半轴上，且 p2， 由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，抛物线 y24x 的开口向右，其焦点在 x 轴正半轴上， 且 p2， 第 7 页（共 27 页） 则抛物线的焦点坐标为（1，0） ， 故答案为： （1，0） 【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向 4 （

13、5 分）箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球、1 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 【分析】 基本事件总数 n6， 摸到的 2 只球颜色相同包含的基本事件个数 m 3，由此能求出摸到的 2 只球颜色相同的概率 【解答】解：箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球、1 只白球，一次摸出 2 只球， 基本事件总数 n6， 摸到的 2 只球颜色相同包含的基本事件个数 m3， 则摸到的 2 只球颜色相同的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 5 （5 分）如图是抽取某学校 160 名学生的体重频率

14、分布直方图，已知从左到右的前 3 组的 频率成等差数列，则第 2 组的频数为 40 【分析】由频率分布直方图得到前 3 组的频率和为 1（0.0375+0.0125）50.75，由 从左到右的前 3 组的频率成等差数列，得到第 2 组的频率为0.25，由此能求 出第 2 组的频数 【解答】解：如图是抽取某学校 160 名学生的体重频率分布直方图， 由频率分布直方图得到前 3 组的频率和为： 第 8 页（共 27 页） 1（0.0375+0.0125）50.75， 从左到右的前 3 组的频率成等差数列， 第 2 组的频率为0.25， 第 2 组的频数为 1600.2540 故答案为：40 【点评

15、】本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 【分析】由程序框图知所求为 cos的值 【解答】解：由程序框图知所求为 cos的值，当 k5 时 scos 故答案为： 【点评】本题考查程序框图的循环，属于简单题 7 （5 分）已知函数，若，则实数 a log23 【分析】利用分段函数列出方程，转化求解即可 第 9 页（共 27 页） 【解答】解：函数，若， 可得：，解得 a40 舍去 ，解得 alog230，成立 故答案为：log23 【点评】本题考查分段函数的应用，对数的运算法则，

16、考查计算能力 8 （5 分）中国古代著作张丘建算经有这样一个问题： “今有马行转迟，次日减半疾， 七日行七百里” ，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一 半，七天一共行走了 700 里那么这匹马在最后一天行走的里程数为 【分析】设该匹马第一日走 a1里，利用等比数列前 n 项和公式求出 a1，即可求出这匹马 在最后一天行走的里程数为 【解答】解：每天走的里程数是等比数列an，公比 q， 则 S7700，解得 a1， a7（）6里， 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 9 （5 分）已知圆柱的轴

17、截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为 2 【分析】设圆柱底面直径和母线长分别为 2a，b，求出底面半径，代入圆柱侧面积公式， 利用三角函数求最值 【解答】解：设圆柱底面直径和母线长分别为 2a，b， 4a2+b24， 设 acos，b2sin（0） ， 圆柱的侧面积 S2ab2cos2sin2sin2， 圆柱的侧面积的最大值为 2 故答案为：2 第 10 页（共 27 页） 【点评】本题考查的知识点是旋转体的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是关键，是 基础题 10 （5 分）设定义在区间（0，）上的函数的图象与 y3cos2x+2 的图象交 于点 P，则点 P 到 x 轴的距离为

18、 3 【分析】联立方程组求出 sinx 的值，然后代入求出 y 的值，即可求出点 P 到 x 轴的距离 【解答】解：由3cos2x+2 得： 36sin2x3sinx+20， 即 6sin2x+3sinx50， 得 sinx， sinx， x（0，） ， sinx0，sinx， 即点 P 到 x 轴的距离为 y33， 故答案为：3 【点评】本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出 sinx 的值是解决本题的关键 11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，A2B，则 sin（A） 【分析】由已知结合正弦定理可求 cosB，结合同角平方关系可求 s

19、inB进而 可求 sinA，cosA，再结合两角差的正弦公式可求 sin（A） 【解答】解：5a8b，A2B， 由正弦定理可得，5sinA8sinB5sin2B， 10sinBcosB8sinB， sinB0， cosB， sinB， 第 11 页（共 27 页） sinA，cosAcos2B2cos2B1， 则 sin（A）， 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角平方关系及两角差正弦公式，二倍角公式的简 单应用，属于中档试题 12 （5 分）若直线 l：ax+y4a0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O：x2+y21 上存 在点 C， 使得ABC 为等腰直角三角形 （C

20、 为直角顶点） ， 则实数 a 的取值范围为 ， 【分析】根据题意，由直角三角形的性质分析可得 C 到 AB 的距离为1，结合直 线与圆的位置关系可得圆心 O 到直线 l 的距离 d2，即有2，解得 a 的取值范 围，即可得答案 【解答】解：根据题意，若ABC 为等腰直角三角形，其中 C 为直角顶点且|AB|2， 则 C 到 AB 的距离为1， 若圆 O：x2+y21 上存在点 C，使得ABC 为等腰直角三角形， 则圆心 O 到直线 l 的距离 d2，即有2， 解可得：a，即 a 的取值范围，； 故答案为：， 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题 13 （5

21、分）在ABC 中，已知 AB2，AC1，BAC90，D，E 分别为 BC，AD 的中 点，过点 E 的直线交 AB 于点 P，交 AC 于点 Q，则的最大值为 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算以及基本不等式可得 【解答】解：以 A 为原点，AC 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系： 则 B（0，2） ，C（1，0） ，D（，1） ，E（，） ， 第 12 页（共 27 页） 设直线 PQ 的方程为：+1，则由 E 在直线 PQ 上，得+1， （a0，b0） ， Q（a，0） ，P（0，b） （a0，2） （1，b） a2b（a+2b） ， （a+2b） （+）+1+2， （a+2b）

22、， 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题 14 （5 分）已知函数 f（x）x2+|xa|，g（x）（2a1）x+alnx，若函数 yf（x）与函 数 yg（x）的图象恰好有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围为 （1，+） 【分析】函数 yf（x）与函数 yg（x）的图象恰好有两个不同的交点，可转换成利用 函数 h（x）f（x）g（x）的零点个数为 2 个即可求解 【解答】解：已知函数 f（x）x2+|xa|，g（x）（2a1）x+alnx， 若函数 yf（x）与函数 yg（x）的图象恰好有两个不同的交点， 转换成利用函数 h（x）f（x）g（x）的零点个数

23、为 2 个求解，定义域在（0，+） ， a0 时，h（x）f（x）g（x） 很显然，a0，h（x）f（x）g（x）单调递增，至多有一个零点，不符合题意； a0 时，令 h（x）f（x）g（x）x2+|xa|（2a1）xalnx ， 第 13 页（共 27 页） 当 x2（2a2）xaalnx，xa，h（x）2x（2a2）a， 若 a0 时，在 x，函数 h（x）单调递增， 在 0x，函数 h（x）单调递减， 函数 h（x）在 x，取得最小值， 因为 a0，a0，所以 a， 则 h（）0，能使得 h（x）f（x）g（x）的零点个数为 2 个， 那么 h（a）0，也能使得 h（x）f（x）g（x）

24、的零点个数为 2 个， 所以可以求得 a0 时，h（x）0 由两个零点时，h（a）0， 解得：a1， 所以 a1， 当 x22ax+aalnx，xa，同理验证即可 故实数 a 的取值范围为（1，+） ； 【点评】本题考查函数的交点，选取分类讨论法是解决本题的关键，属于中档题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ）字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）如图，三棱锥 DABC 中，已知 ACBC，ACDC，BCDC，E，F 分別为

25、BD，CD 的中点 （1）求证：EF平面 ABC； （2）BD平面 ACE 【分析】 （1）由线面平行的判定得：因为 E，F 分別为 BD，CD 的中点，所以 EFBC， 第 14 页（共 27 页） 又 BC面 ABC，所以 EF面 ABC， （2）由线面垂直的判定定理得：因为 BDAC，BDCE，又 ACCEC，所以 BD 面 ACE，命题得证 【解答】解： （1）证明：因为 E，F 分別为 BD，CD 的中点， 所以 EFBC，又 BC面 ABC， 所以 EF面 ABC， （2）证明：因为 ACBC，ACDC，所以 AC面 BCD， 又 BD面 BCD， 所以 BDAC， 又 BCDC，

26、E 为 BD 的中点 所以 BDCE， 又 ACCEC， 所以 BD面 ACE， 命题得证 【点评】本题考查了线线平行、线面平行的判定及线线垂直，线面垂直的判定定理，属 中档题 16 （14 分）已知向量 （2cos，2sin） ， （cossin，cos+sin） （1）求向量 与 的夹角； （2）若 ，求实数 的值 【分析】 （1）根据向量的坐标即可求出，从而可求 出，根据向量夹角的范围即可求出夹角； （2）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出实数 【解答】解：（1）， 第 15 页（共 27 页） +2sin22； ； 又； 与 的夹角为； （2）； ； 2 【点评】考查根据向量坐标求

27、向量长度的方法，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余 弦公式，以及向量夹角的范围 17 （14 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化已知空地的一边是直路 AB，余 下的外围是抛物线的一段弧，直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图） 拟在这 个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A， B， C， D 均在该抛物线上经 测量，直路 AB 长为 40 米，抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米设点 C 到抛物线 的对称轴的距离为 m 米，到直路 AB 的距离为 n 米 （1）求出 n 关于 m 的函数关系式； （2）当 m 为多大时，等腰梯形草坪 ABCD

28、 的面积最大？并求出其最大值 【分析】 （1）以 AB 的为 x 轴，以 PO 所在的直线的为 y 轴，不妨设 f（x）ax2+40，求 出 a 的值，即可得到 n 关于 m 的函数关系式， （2）S梯形ABCDm32m2+40m+800，设 g（m）m32m2+40m+800，0m 20，利用导数求出函数的最值即可 【解答】解： （1）以 AB 的为 x 轴，以 PO 所在的直线的为 y 轴， 第 16 页（共 27 页） 不妨设 f（x）ax2+40， 直路 AB 长为 40 米， B（20，0） ， 0400a+40，解得 a， f（x）x2+40， C 到抛物线的对称轴的距离为 m 米

29、，到直路 AB 的距离为 n 米， nm2+40，0m20； （2）由（1）可得 CD2m，AB40， S梯形ABCD（2m+40）n（m+20） （m2+40）m32m2+40m+800 设 g（m）m32m2+40m+800，0m20 g（m）m24m+40（3m20） （m+20） ，0m20 令 g（m）0，解得 m， 当 0m时，g（m）0，函数 g（m）单调递增， 当m20 时，g（m）0，函数 g（m）单调递减， g（m）maxg（）（+20） （+40） 答：当 m时，腰梯形草坪 ABCD 的面积最大，其最大值为 【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了导数求函数的最值

30、，考查了分析 问题，解决问题的能力，属于中档题 第 17 页（共 27 页） 18 （16 分）已知椭圆 E：的离心率为，焦点到相应准线的距离 为 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）已知 P（t，0）为椭圆 E 外一动点，过点 P 分别作直线 l1和 l2，直线 l1和 l2分别交 椭圆 E 于点 A，B 和点 C，D，且 l1和 l2的斜率分别为定值 k1和 k2，求证：为定 值 【分析】 （1）由题设条件推导出 e，所以，由此能求出椭圆的标准 方程 （2）分别设出两条直线方程，然后与椭圆的标准方程+y21 联立，通过设而不 求的方法消去不定的值 t，剩下的算式只与定值 k1和 k2有关

31、，最终得证 【解答】 （1）解： （1）由题可得 e，解得 a2，c， 则 b2a2c21 由此椭圆的标准方程为：+y21 （2）证明：设直线 PB 的方程为：yk1（xt） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由题意，可得： 由 整理，得： （1+4）x28ktx+4（t21）0， 第 18 页（共 27 页） x1+x2， x1x2 同理，可得： 再设直线 PD 的方程为：yk2（xt） ，设 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ， 则由上面过程同理，可得到： k1和 k2是定值 是定值 为定值 【点评】 本题第 （1） 主要考查椭圆的离心率和准线方程以此得到椭圆的标准方程；

32、 第 （2） 主要考查平面解析几何中的设而不求的方法来判断定值问题，本题属中档题 第 19 页（共 27 页） 19 （16 分）已知函数 f（x）（x+1）lnx+ax（aR） （1）若函数 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y+b0，求实数 a，b 的值； （2）设函数 g（x），x1，e（其中 e 为自然对数的底数） 当 a1 时，求函数 g（x）的最大值； 若函数 h（x）|是单调减函数，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）f（x）lnx+a，f（1）a+21，解得 af（1）3，将点 （1，3）代入 x+y+b0，解得 b （2）g（x）（+1）lnx1，可得

33、g（x）+令 （x） xlnx+1，利用导数研究其单调性即可得出最值 同理，单调增函数 g（x）a，a+1+，h（x）对 a 分类讨论，研究其单调性最值即可得出 【解答】解： （1）f（x）lnx+a，f（1）a+21，a3， （1 分） f（1）a3，将点（1，3）代入 x+y+b0， 解得 b2 （2 分） （2）因为 g（x）（+1）lnx1， 则 g（x）+ （3 分） 令 （x）xlnx+1， 则 （x）10，函数 （x）在区间1，e上单调递增 （5 分） 因为 （x）（1）0， （6 分） 所以 g（x）0，函数 g（x）在区间1，e上单调递增，所以函数 g（x）的最大值为 g （

34、e） （8 分） 同理，单调增函数 g（x）a，a+1+， （9 分） 则 h（x） 1若 a0，g（x）0，h（x）， 第 20 页（共 27 页） h（x）0， 令 u（x）（1+x+x2）lnxax2+x+1， 则 u（x）（1+2x）lnx（2a+1）x0， 即函数 u（x）区间在1，e上单调递减， 所以 u（x）maxu（1）a+20， 所以 a2 （11 分） 2若 a，g（x）0，h（x）， 由 1知，h（x），又函数 h（x）在区间1，e上是单调减函数， 所以 u（x）（1+x+x2）lnxax2+x+10 对 x1，e恒成立， 即 ax2x+1（1+x+x2）lnx 对 x1

35、，e恒成立， 即 a+lnx 对 x1，e恒成立 令 （x）+lnx，x1，e， （x） （） lnx （+1） + （+） lnx， 记 （x）lnxx+1（1xe） ， 又 （x）10， 所以函数 （x）在区间1，e上单调递减， 故 （x）max（1）0，即 lnxx1，所以 （x）+（+）lnx+（+）lnx（x1） 0， 即函数 （x）在区间1，e上单调递减， 所以 （x）min（e）+（+1）lne1， 所以 a（x）min1，又 a， 所以 a （13 分） 第 21 页（共 27 页） 3若a0， 因为 g（x）（1+）lnx+a， g（x）+0， 所以函数 g（x）在区间1，e

36、上单调递增 又 g（1）g（e）a（a+1+）0， 则存在唯一的 x0（1，e） ，使得 h（x0）0， 所以函数 h（x）在区间1，e上不单调 （15 分） 综上，实数 a 的取值范围为（，12，+） （16 分） 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 20 （16 分）定义：若有穷数列 a1，a2，an同时满足下列三个条件，则称该数列为 P 数 列 首项 a11； a1a2an； 对于该数列中的任意两项 ai和 aj（1ijn） ， 其积 aiaj或商仍是该数列中的项 （1）问等差数列 1，3，5 是否

37、为 P 数列？ （2）若数列 a，b，c，6 是 P 数列，求 b 的取值范围； （3）若 n4，且数列 b1，b2，bn是 P 数列，求证：数列 b1，b2，bn是等比数 列 【分析】 （1）由新定义考虑 3，5 两个元素不符题意，即可判断； （2）由 P 数列，可得 1bc6，即有 bc6，进而得到 b 的范围； （3） 由数列为 P 数列， 考虑 bn与 b2， b3， ， bn1， 的比在数列中， 推得 bnbibn+1i （i 1，2，n1） ， ，bn1bibni（i1，2，n2） ，再由等比数列的定义，即可得证 【解答】解： （1）等差数列 1，3，5 不是 P 数列，由于其中

38、3，5 不满足 35 或仍在 数列中； （2）数列 a，b，c，6 是 P 数列，所以 1abc6， 第 22 页（共 27 页） 由于 6b 或是数列中的项，而 6b 大于数列中的最大项 6， 则是数列中的项，同理也是数列中的项， 考虑到 16，于是b，c， 即 bc6，又 1bc，所以 1b， 综上，b 的取值范围是（1， ） （3）证明：数列bn是 P 数列，所以 1b1b2b3bn， 由于 b2bn或是数列中的项，而 b2bn大于数列中的最大项 bn， 则是数列bn中的项， 同理，也都是数列bn中的项， 考虑到 1bn，且 1，bn这 n 个数 全是共有 n 项的增数列 1，b2，bn

39、中的项， b2，bn1， 从而 bnbibn+1i （i1，2，n1） ， 又bn1b3bn1b2bn，所以 bn1b3不是数列bn中的项， 是数列bn中的项，同理，也都是数列bn中的项， 考虑到 1bn2bn1bn， 且 1， ， bn1， bn这 n 个数全是共有 n 项的增数列 1， b2， ， bn中的项， 于是，同理有，bn1bibni（i1，2，n2） ， 在中将 i 换成 i+1 后与相除，得，i1，2，n2， 第 23 页（共 27 页） b1，b2，bn是等比数列 【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和性质， 以及分类讨论思想方法，考查运算能

40、力和推理能力，属于综合题 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计分共计 20 分，解分，解 答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知 x，yR，是矩阵 A的属于特征值1 的一个特征向量， 求矩阵 A 的另一个特征值 【分析】本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式 A1，然后将矩阵代入计 算可得 x、y 的值，然后写出矩阵 A 的特征多项式 f（） ，令 f（）0 即可找到矩阵 A 的另一个特征值 【

41、解答】解：由特征值与特征向量的定义，可知： A1 即：1 整理，得： ，解得： A 矩阵 A 的特征多项式 f（）（+3） （+1） 令 f（）0，即（+3） （+1）0， 解得：1，或 3 矩阵 A 的另一个特征值为3 【点评】本题主要考查根据特征值与特征向量的定义式计算出矩阵中的参数，然后根据 矩阵的特征多项式计算出矩阵的另一个特征值本题属中档题 B选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，已知直线 l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数） 设 l 与 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长 第

42、24 页（共 27 页） 【分析】由 sin（）0 得 sincoscos0，即 yx，消去参数 t 可得 曲线 C 的直角坐标方程，联立直线 l 与曲线 C 可解得 A，B 的坐标，再用两点间的距离 公式可得|AB| 【解答】解：由 sin（）0 得 sincoscos0，即 yx， 由消去 t 得 y2x21， 联立解得 A（，） ，B（，） ， |AB|2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题 C选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23若不等式|x+1|+|xa|5 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】不等式|x+1|+|xa|5 对任意 xR 恒成

43、立（|x+1|+|xa|）min5，由绝对值不 等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求 a 的范围 【解答】解：不等式|x+1|+|xa|5 对任意 xR 恒成立（|x+1|+|xa|）min5， |x+1|+|xa|x+1（xa）|1+a|， |a+1|5，即 a4 或 a6， 所以实数 a 的取值范围为： （，64，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质的运用，以及不等式 恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过分，解答时应

44、写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤 24 从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测， 若这批产品的不合格率为 0.05， 随机变量 X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数 （1）问：这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 P（X2） ”和“恰好有 3 件不合格 的概率 P（X3） ”哪个大？请说明理由； （2）求随机变量 X 的数学期望 E（X） 【分析】 （1）随机变量 X 服从二项分布，利用二项分布的概率公式求出恰好有 2 件不合 第 25 页（共 27 页） 格的概率 P（X2） ”和“恰好有 3 件不合格的概率 P（X3） ”比较即可 （2）确定 X 的取值从 0 到 10，按照二项分布的概率公式求出 X 每个取值对应的概率， 列出分布列，求期望 【解答】解：由于批量较大，可以认为随机变量 XB（10，0.05） ， （1）恰好有 2 件不合格的概率为 P（X2）0.0520.958， 恰好有 3 件不合格的概率为 P（X3） 因为 P（X2）P（X3）1， 所以 P（X2）P（X3） ，即恰好有 2 件不合格的概率大 （2）因为 P（Xk）， （k0，1，2，10） 随机变量 X 的概率分布为： X 0 1 2 9 10 P 故 E（X）100.050.5 故随机变量 X 的期望为 E（X）0.5 【点评】本题考查了二项分布及其期望