1、已知集合 AxR|x29，集合 BxR|2x6，则 AB（ ） A3，6 B （3，6） C （，32，+） D （，33，+） 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，实数 a，b 满足（2i） （abi）（8i）i，则 ab 的值 为（ ） A6 B6 C5 D5 3 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则的最小值是（ ） A3 B C0 D3 4 （5 分）已知函数图象的相邻两对称中心的 距离为，且对任意 xR 都有，则函数 yf（x）的一个单调递 增区间可以为（ ） A B C D 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值为（ ） 第 2 页（共 27 页） A7 B6 C
2、5 D4 6 （5 分） 过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为的直线 l， 若 l 与抛物线交于 A， B 两点，且 AB 的中点到抛物线准线的距离为 4，则 p 的值为（ ） A B1 C2 D3 7 （5 分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由 波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中 点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形 重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概 率是（ ） A B C D 8 （5 分）在ABC 中
3、，则（ ） A B 第 3 页（共 27 页） C D 9 （5 分）已知双曲线 C：，O 为坐标原点，过 C 的右顶点且垂 直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 A，B，过 C 的右焦点右侧的点且垂直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 M，N，若OAB 与OMN 的面积之比为 1：9，则双曲线 C 的渐近线方程 为（ ） Ay2x B C Dy8x 10 （5 分）设，则展开式中的常数项为（ ） A560 B1120 C2240 D4480 11 （5 分）在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底 面的棱柱称为堑堵 已知在堑堵 ABCA1B1C1中， ABC90， A
4、BAA12， 则 CA1与平面 ABB1A1所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 12 （5 分）已知函数，若方程 f（x）kx+1 有四个不相等的实根， 则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 tan2，则 cos（2+） 14 （5 分）已知 a，bR，且 a+3b20，则 2a+8b的最小值为 15 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD面 ABCD，且 PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表
5、面积为 16（5 分） 在ABC 中， B60， 若 c2am 恒成立， 则 m 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分，请写出解答的详细过程分，请写出解答的详细过程 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足：a11，Sn+11Sn+an，数列bn为等 比数列，满足 b14b3，nN* （）求数列an，bn的通项公式； （） 若数列的前 n 项和为 Wn， 数列bn的前 n 项和为 Tn， 试比较 Wn与 第 4 页（共 27 页） 的大小 18 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，AE平面 ABC，平面 BCD平面 ABC，ABC 是边长为
6、2 的等边三角形，AE2 （）证明：平面 EBD平面 BCD； （）求二面角 AEBD 的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，A，B 分别为椭圆 C 的左、 右顶点，F 为椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，当直线 l 垂直于 x 轴时，四边形 APBQ 的面积为 6 （）求椭圆 C 的方程； （） 若直线 l 的斜率为 k （k0） ， 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M， 求证： 为定值 20 （12 分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水 线上各抽取 100 件产品作为样本称出
7、它们的质量（单位：毫克） ，质量值落在（175，225 的产品为合格品，否则为不合格品如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线 样本的频率分布直方图 产品质量/毫克 频数 （165，175 3 （175，185 9 （185，195 19 （195，205 35 （205，215 22 第 5 页（共 27 页） （215，225 7 （225，235 5 （） 由以上统计数据完成下面 22 列联表， 能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下 认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 附表： P（K2k） 0.15 0.10
8、0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：） （）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标 z 服从正态 分布 N（200，12.22） ，求质量指标 z 落在（187.8，224.4）上的概率； 参考公式：P（z+）0.6826，P（2z+2）0.9544 （）若以频率作为概率，从甲流水线任取 2 件产品，求至少有一件产品是合格品的概 率 21 （12 分）已知函数 （）当 a0 时，证明：函数 f（x）只有一个零点； （）若函数 f（x）的极大值等于 0
9、，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 27 页） 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答题中任选一题做答,如果多做如果多做,则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分.做答时做答时,用用 2B 铅笔铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为其中 为参数） ； 以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C2：4sin （）求曲线 C1的普通方程和极坐标方程； （）已知直
10、线 l 与曲线 C1和曲线 C2分别交于 M 和 N 两点（均异于点 O） ，求线段 MN 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x2|x+a|，aR （）若 a1，解不等式 f（x）+x0； （）对任意 xR，f（x）3 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 27 页） 2019 年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共 12 小题，每
11、小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 1 （5 分）已知集合 AxR|x29，集合 BxR|2x6，则 AB（ ） A3，6 B （3，6） C （，32，+） D （，33，+） 【分析】先求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 AxR|x29x|x3 或 x3， 集合 BxR|2x6， ABx|x3 或 x2（，32，+） 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，实数 a，b 满足（2i） （abi）（8i）i，则 ab 的值 为（ ） A6 B6 C5 D5
12、【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可得答案 【解答】解：（2i） （abi）2ab（2b+a）i（8i）i18i， ，解得 ab 的值为 6 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题 3 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则的最小值是（ ） A3 B C0 D3 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用 z 的几何意义进行求解即可 第 8 页（共 27 页） 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分） ： 则 z 的几何意义为区域内的点到定点 P（6，0）的直线的斜率， 由图象可知当直线过
13、A 点时对应的斜率最大，由，解得 A（3，9） ， 此时 PD 的斜率 z3， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方 法，要熟练掌握目标函数的几何意义 4 （5 分）已知函数图象的相邻两对称中心的 距离为，且对任意 xR 都有，则函数 yf（x）的一个单调递 增区间可以为（ ） A B C D 【分析】根据条件求出函数的周期和 ，利用条件判断函数的对称性，然后结合函数单 调性的性质进行求解即可 【解答】解：函数 f（x）图象的相邻两对称中心的距离为， ，即 T， ，2， 对任意 xR 都有， 第 9 页（共 27 页） 函数关于 x对称， 即
14、2+k+，kZ， 即 k，kZ， |，当 k0 时，0， 即 f（x）sin2x， 由 2k2x2k+， 得 kxk+，kZ， 即函数的单调递增区间为为k，k+，kZ， 当 k0 时，单调递增区间为， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题 的关键 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值为（ ） A7 B6 C5 D4 【分析】由流程线循环 4 次，输出 k 【解答】解：初始值 k9，s1，是， 第 10 页（共 27 页） 第一次循环：s，k8，是， 第二次循环：s，k7，是， 第三次循环：s，k6，是， 第四次循环：s，k5，
15、否，输出 k5 故选：C 【点评】本题考查程序框图的循环，属于简单题 6 （5 分） 过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为的直线 l， 若 l 与抛物线交于 A， B 两点，且 AB 的中点到抛物线准线的距离为 4，则 p 的值为（ ） A B1 C2 D3 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由点差法得到 （y1+y2）2p，因为过抛物 线 C：y22px（p0）的焦点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，所 以1，AB 方程为：yx，故 y1+y22p，AB 中点横坐标为，再由线段 AB 的中点到抛物线 C 准线的距离为 4，能求
16、出 p 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， ，得： （y1y2） （y1+y2）2p（x1x2） ， （y1+y2）2p， 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点， 1，AB 方程为：yx， 为 AB 中点纵坐标， y1+y22p， 第 11 页（共 27 页） y1x1，y2x2， y1+y2x1+x2p， x1+x2y1+y2+p， ， AB 中点横坐标为， 线段 AB 的中点到抛物线 C 准线的距离为 4， 4，解得 p2 故选：C 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题
17、，仔细解答， 注意合理地进行等价转化 7 （5 分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由 波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中 点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形 重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概 率是（ ） A B C D 【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P（A）， 得解 【解答】解：由图可知：黑色部分由 9 个小三角形组成，该图案由 16 个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为
18、事件 A，由几何概型中的面积型可 得： 第 12 页（共 27 页） P（A）， 故选：B 【点评】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，属中档题 8 （5 分）在ABC 中，则（ ） A B C D 【分析】由平面向量的基本定理得： ：（） ，得解 【解答】解：（）， 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属中档题 9 （5 分）已知双曲线 C：，O 为坐标原点，过 C 的右顶点且垂 直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 A，B，过 C 的右焦点右侧的点且垂直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 M，N，若OAB 与OMN 的面积之比为 1：9，则双曲线 C 的渐近线方程 为（ ）
19、 Ay2x B C Dy8x 【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得2，即可求出渐近线方程 【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方， 则， 9， 2， C 的渐近线方程为 y2x， 故选：B 第 13 页（共 27 页） 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题 10 （5 分）设，则展开式中的常数项为（ ） A560 B1120 C2240 D4480 【分析】计算定积分求得 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式 中的常数项 【解答】解：设cosx2，则展开式中的通 项公式为 Tr+12rx8 2r， 令 82r0，求得 r4，可得展开式中的常数项为16112
20、0， 故选：B 【点评】本题主要考查定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二 项式系数的性质，属于基础题 11 （5 分）在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底 面的棱柱称为堑堵 已知在堑堵 ABCA1B1C1中， ABC90， ABAA12， 则 CA1与平面 ABB1A1所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出 CA1与平面 ABB1A1所成角的大小 【解答】解：在堑堵 ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA12，
21、以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 第 14 页（共 27 页） 则 C（0，2，0） ，A1（2，0，2） ， （2，2，2） ，平面 ABB1A1的法向量 （0，1，0） ， 设 CA1与平面 ABB1A1所成角的大小为 ， 则 sin， CA1与平面 ABB1A1所成角的大小为 45 故选：B 【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档 题 12 （5 分）已知函数，若方程 f（x）kx+1 有四个不相等的实根， 则实数
22、k 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由方程的根的个数与函数图象交点个数的关系得：方程 f（x）kx+1 有四个不 相等的实根，等价于函数 f（x）的图象与直线 ykx+1 有四个交点， 结合导数求函数图象的切线方程可得： ：当直线 ykx+1 与函数 f（x）x2相 切时，k，当直线 ykx+1 与函数 f（x）2xxlnx 相切时，利用导数的几何意义 可得：k1， 再结合像图知函数 f（x）的图象与直线 ykx+1 有四个交点时，实数 k 的取值范围是 第 15 页（共 27 页） ，得解 【解答】解：方程 f（x）kx+1 有四个不相等的实根， 等价于函数 f（x）的图象与直线
23、 ykx+1 有四个交点， 易得：当直线 ykx+1 与函数 f（x）x2相切时，k， 当直线 ykx+1 与函数 f（x）2xxlnx 相切时，利用导数的几何意义可得：k1， 即由图知函数 f（x）的图象与直线 ykx+1 有四个交点时， 实数 k 的取值范围是， 故选：D 【点评】本题考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象 的切线方程，属中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若 tan2，则 cos（2+） 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 cos（2
24、+）的值 【解答】解：tan2，则 cos（2+）cos2 ， 故答案为： 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题 14 （5 分）已知 a，bR，且 a+3b20，则 2a+8b的最小值为 4 【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果 第 16 页（共 27 页） 【解答】解：a+3b20， a+3b2， 2a+8b224， 当且仅当 a1，b时取等号， 故答案为：4 【点评】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生 的运算能力和转化能力，属于基础题型 15 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD
25、 是边长为 2 的正方形，PD面 ABCD，且 PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为 【分析】分别计算出四棱锥 PABCD 的体积 V 和表面积 S，利用公式计算出该四 棱锥的内切球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案 【解答】解：四棱锥 PABCD 的体积为， 如下图所示， 易证 PDAD，PDCD，PAAB，PCBC， 所以，四棱锥 PABCD 的表面积为， 所以，四棱锥 PABCD 的内切球的半径为， 因此，此球的最大表面积为 【点评】本题考查球体表面积的计算，考查计算能力，属于中等题 16（5 分） 在ABC 中， B60， 若 c2am 恒成立， 则 m 的最小
26、值为 【分析】 由正弦定理可得， 可表示 a2sinA， c2sinC2sin （120 A） ，然后根据和差角公式及余弦函数的性质可求 c2a 的范围，进而可求 第 17 页（共 27 页） 【解答】解：B60， 由正弦定理可得，2， a2sinA，c2sinC2sin（120A） ， c2a2sin（120A）4sinA2cos（A+60） 0A120， 600A+60180， ， 22cos（A+60）， c2am 恒成立， 则 m，即 m 的最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及余弦函数的性质的简单应用，属于中 档试题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大
27、题共 70 分，请写出解答的详细过程分，请写出解答的详细过程 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足：a11，Sn+11Sn+an，数列bn为等 比数列，满足 b14b3，nN* （）求数列an，bn的通项公式； （） 若数列的前 n 项和为 Wn， 数列bn的前 n 项和为 Tn， 试比较 Wn与 的大小 【分析】 （）由题意可得数列an为首项和公差均为 1 的等差数列，即可得到所求an 的通项公式；再由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到bn的通项 公式； （）由，运用裂项相消求和可得 Wn，由等比数列的求 和公式可得 Tn，由不等式的性质即可得到大小关系
28、 【解答】解： （）a11，Sn+11Sn+an， 可得 an+1an+1， 即数列an为首项和公差均为 1 的等差数列， 第 18 页（共 27 页） 可得 ann； 数列bn为等比数列，满足 b14b3，nN* 设公比为 q，可得 b14b1q2，可得 q， 即有 q时，b1，可得 b1； q不成立，舍去， 则 bn（）n； （）， Wn1+11； Tn1（0，1） ，则1， 即有 Wn 【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列 的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题 18 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，AE平
29、面 ABC，平面 BCD平面 ABC，ABC 是边长为 2 的等边三角形，AE2 （）证明：平面 EBD平面 BCD； （）求二面角 AEBD 的余弦值 【分析】 （）取 BC 的中点 O，连结 AO，DO，推导出 DOBC，从而 DO平面 ABC， 再由 AE平面 ABC，得 AEDO，从而四边形 AODE 是平行四边形，进而 EDAO，推 导出 AOBC， AO平面 BCD， 从而 BD平面 BCD， 由此能证明平面 EBD平面 BCD 第 19 页（共 27 页） （）分别以 OB，OA，OD 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出二面角 AEBD 的余弦值
30、【解答】证明： （）取 BC 的中点 O，连结 AO，DO， BDCD，DOBC，DO2， DO平面 BCD，平面 DBC平面 ABCBC，平面 BCD平面 ABC， DO平面 ABC， AE平面 ABC，AEDO， 又 DO2AE，四边形 AODE 是平行四边形，EDAO， ABC 是等边三角形，AOBC， 又AO平面 ABC，平面 BCD平面 ABCBC，平面 BCD平面 ABC， AO平面 BCD，BD平面 BCD， ED平面 EBD，平面 EBD平面 BCD 解： （）由（）得 AO平面 BCD，AODO， 又 DOBC，AOBC，分别以 OB，OA，OD 所在直线为 x，y，z 轴，
31、建立空间直角 坐标系， 则 A（0，0） ，B（1，0，0） ，D（0，0，2） ，E（0，2） ， 设平面 ABE 的一个法向量为 （x，y，z） ， （1，0） ，（1，2） ， 则，取 x，得 （） ， 设平面 BED 的一个法向量为 （x，y，z） ， （1，0，2） ，（1，2） ， 则，取 x2，得 （2，0，1） ， 设二面角 AEBD 的平面角为 ，由题意 为钝角， 则 cos 第 20 页（共 27 页） 二面角 AEBD 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思
32、想，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，A，B 分别为椭圆 C 的左、 右顶点，F 为椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，当直线 l 垂直于 x 轴时，四边形 APBQ 的面积为 6 （）求椭圆 C 的方程； （） 若直线 l 的斜率为 k （k0） ， 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M， 求证： 为定值 【分析】 （）根据 S四边形APBQ|AB|PQ2b26，可得 b23，再根据离心率求出 a， 即可求出椭圆方程， （）由题意可知 F（1，0） ，直线 l 的方程为 yk（x1） ，根据韦达定理和弦长公式求
33、出|PQ|，再求出直线 MN 的方程可得 M 的坐标，即可求出|MF|，问题得以证明 【解答】解： （）由：1，令 xc 可得 y，则|PQ|， 则 S四边形APBQ|AB|PQ|2a2b26，可得 b23 e，a2c，a2b2+c2， a24 椭圆 C 的方程为+1 第 21 页（共 27 页） 证明： （）由题意可知 F（1，0） ，直线 l 的方程为 yk（x1） ， 由， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， x1+x2，x1x2， y1+y2k（x1+x2）2k， 设 PQ 的中点为 N，则 N（，） ， 则 MN 的过程为 y+（x） ， 令 y0，可得 M（，0） ， |
34、MF|， |PQ| ， 为定值 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 20 （12 分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水 线上各抽取 100 件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克） ，质量值落在（175，225 的产品为合格品，否则为不合格品如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线 样本的频率分布直方图 产品质量/毫克 频数 （165，175 3 第 22 页（共 27 页） （175，185 9 （185，195 19 （195，205 35 （205，215 22 （
35、215，225 7 （225，235 5 （） 由以上统计数据完成下面 22 列联表， 能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下 认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 附表： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：） （）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标 z 服从正态 分布 N（200，12.22） ，求质量指标 z 落在（187.8，224.4
36、）上的概率； 参考公式：P（z+）0.6826，P（2z+2）0.9544 （）若以频率作为概率，从甲流水线任取 2 件产品，求至少有一件产品是合格品的概 率 第 23 页（共 27 页） 【分析】 （）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为 100（10.04） 96，由此可得 22 列联表，根据列联表求得 K2的观测值，结合临界值表可得； （）P（z+2）P（z0）+P（0z+2）P（z +）+P（+z+2）（0.6826+0.9544）0.8185，即：P（20012.2 z200+12.22）P（187.8z224.4）0.8185， （）根据对立事件概率公式计算 【解答】
37、解： （）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为 100（1 0.04）96 所以，22 列联表是： 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 92 96 188 不合格品 8 4 12 总计 100 100 200 所以 K21.4182.072， 所以在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水 线的选择有关 （）乙流水线的产品生产质量指标 z 服从正态分布 N（200，12.22） ， 所以 P（z+）0.6826，P（2z+2）0.9544， 所以 P（z+2）P（z0）+P（0z+2） P（z+）+P（+z+2） 第 24 页（共 27 页）
38、（0.6826+0.9544）0.8185， 即：P（20012.2z200+12.22）P（187.8z224.4）0.8185， 所以质量指标落在187.8，224.4）的概率是 0.8185 （）若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率 P0.08， 设“任取两件产品，至少有一件合格品“为事件 A， 则 为”任取两件产品，两件均为不合格品“，且 P（ ）p20.0820.0064， 所以 P（A）1P（ ）10.00640.9936， 所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为 0.9936 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 21 （12 分）已知函数 （）当 a0
39、 时，证明：函数 f（x）只有一个零点； （）若函数 f（x）的极大值等于 0，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性证明题中的 结论即可； （）由题意结合函数的解析式和导函数的性质分类讨论确定实数 a 的取值范围即可 【解答】解： （）由题知：f （x）1x+alnx 令， 所以，当 a0 时，即 g（x）在（0，+）上单调递减 又因为 f （1）g（1）0，所以，当 0x1 时，f （x）0；当 x1 时，f （x） 0 所以，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以 f（x）f（1） 0 所以 f（x）只有一个零点
40、 （）由（）知：当 a0 时，f（x）的极大值等于 0，符合题意 当 0a1 时，因为当 x（0，a）时，g （x）0；当 x（a，+）时，g （x） 0； 且 g（1）0， 第 25 页（共 27 页） 故存在，满足 ， 又 x（a，1） ，f （x）0；x（1，+） ，f （x）0； 所以，此时 x1 是 f（x）的唯一极大值点，且 f（1）0 ，符合题意 当 a1 时，因为 x（0，1） ，g（x）0；x（1，+） ，g（x）0，且 g（1）0， 所以 g（x）0，即 f（x）在（0，+）上单调递减无极值点，不合题意 当 a1 时，因为当 x（0，a）时，g （x）0；当 x（a，+）时
41、，g（x）0； 且 g（1）0，g（ea）1ea+a2 令，则；所以 W（a）W（1）1， 所以 1+a2ea，即 g（ea）0 又因为 a1+a2ea，故存在 x0（a，ea） ， 满足， 此时 x1 是 f（x）的唯一极小值点，xx0是 f（x）的唯一极大值点，f（x0）f（1） 0因此不合题意 综上可得：a1 【点评】本题主要考查导数研究函数的零点，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思 想等知识，属于中等题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答题中任选一题做答,如果多做如果多做,则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分.做答时做答时,用用 2B 铅笔铅笔 在答题卡上把所选题
42、目对应的题号后的方框涂黑在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为其中 为参数） ； 以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C2：4sin （）求曲线 C1的普通方程和极坐标方程； （）已知直线 l 与曲线 C1和曲线 C2分别交于 M 和 N 两点（均异于点 O） ，求线段 MN 的长 【分析】 （）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程； 第 26 页（共 27 页） （）设 M，N 的极坐标并分别代入 C1，C
43、2可得 1，2，再利用|MN|1|+|2|可得 【解答】解： （）因为曲线 C1的参数方程为（ 为参数 ） ， 所以 C1的普通方程为（x2）2+（y1）25， 在极坐标系中，将代入得 24cos2sin0， 化简得，C1的极坐标方程为：4cos+2sin （）因为直线 l 的极坐标方程为 （R） ， 且直线 l 与曲线 C1和和曲线 C2分别交于 M，N，可设 M（1，） ，N（2，） ， 将 M（1，）代入得 14cos+2sin4（）+2， 将 N（2，）代入曲线 C2：4sin 得 24sin42 所以|MN|1|+|2|+23 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题 选修选
44、修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x2|x+a|，aR （）若 a1，解不等式 f（x）+x0； （）对任意 xR，f（x）3 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）a1 时函数 f（x）|x2|x+1|，去掉绝对值，分段讨论求不等式 f（x） +x0 的解集； （）利用绝对值不等式求得 f（x）的最大值 f（x）max，把 f（x）3 恒成立化为 f（x） max3，求出解集即可 【解答】解： （）a1 时，函数 f（x）|x2|x+a|x2|x+1|， 当 x1 时，f（x）（x2）+（x+1）3， 不等式 f（x）+x0 可化为 3+x0， 解得 x3，所以3x1； 当1x2 时，f（x）（x2）（x+1）2x+1， 不等式 f（x）+x0 可化为x+10， 解得 x1，所以1x1； 当 x2 时，f（x）（x2）（x+