1、文科数学 第 1 页 共 11 页 曲靖市第二中学曲靖市第二中学 2020 届高三适应性考试届高三适应性考试数学（数学（文文科）科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟 第第卷卷 一、 选择题 （共一、 选择题 （共 12 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 60 分， 在每小题的四个选项中， 只有一项符合要求 ）分， 在每小题的四个选项中， 只有一项符合要求 ） 1已知集合 2 230AxZ xx ，则A的真子集的个数为（ ） A5 B6 C7 D8 2设i是虚数单位，若复数() 1 a zi aR i 是实数，则a的值为
2、（ ） A2 B1 C1 D2 3 命题“0| , 2 xxRx”的否定是（ ） A0| , 2 xxRx B0| , 2 xxRx C0| , 2 000 xxRx D0| , 2 000 xxRx 4已知 5 sin 5 ，则 44 sincos的值为（ ） A 3 5 B 1 5 C 5 1 D 5 3 5设变量 , x y满足约束条件 20 30 230 x xy xy ，则目标函数6zxy的最大值为（ ） A3 B4 C18 D40 6某学校为了解高三年级 1000 名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况，决定将高三年 级学生编号为 1，2，31000，从这 1000 名学生中用系
3、统抽样方法等距抽取 100 名学生进行 网上问卷调查，若 46 号同学被抽到，则下面 4 名同学中也被抽到的是（ ） A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生 文科数学 第 2 页 共 11 页 7已知函数 2 3 ,0 ( ) log,0 x x f x x x 那么 f 1 ( ( ) 8 f的值为（ ） A27 B 1 27 C27 D 1 27 8已知双曲线 22 22 100 xy Cab ab ： ， 的一条渐近线与圆 22 (2 3)4xy相交于 A， B 两点，若|AB|2，则 C 的离心率为（ ） A 2 3 3 B 3 C2 D4 9 七巧板由七块
4、板 （五个等腰直角三角形， 一个正方形， 一个平行四边形） 组成的。如图，将七巧板拼成一个正方形ABCD，在正方形ABCD内任 取一点P，则该点落在正方形EFGH内的概率为（ ） A 1 4 B 1 5 C 1 6 D1 8 10中国古代数学名著九章算术中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵” 。已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的 左视图的面积为（ ） A 27 2 2 B18 2 C18 3 D18 6 11 已知函数 22 cos2sin2 66 f xxx 则关于它有关性质的说法中不正确的 是（ ） A周期为 B将其图象向右平移 6 个单位,所得图象关于 y 轴
5、对称 文科数学 第 3 页 共 11 页 C对称中心为 3 (, ) 1222 k （kZ） D0, 2 上单调递减 12已知球的直径4DC ，A，B是该球面上的两点， 6 ADCBDC ，则三棱锥 ABCD的体积最大值是（ ） A1 B2 C3 D4 第第卷卷 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上 ）分把答案填在答题卡中的横线上 ） 13若曲线lnyxxP上点处的切线平行于直线2 10,xyP 则点的坐标是_ 14已知1, 2a ，0, 3b ，则向量b在向量a方向上的投影为_ 15直线l过抛物线 2 :
6、2(0)C ypx p的焦点F，交抛物线C于点A（点A在x轴上方） ， 过点A作直线 2 p x 的垂线，垂足为M，若垂足M恰好在线段AF的垂直平分线上，则直 线l的斜率为_ 16ABC是等边三角形，点 D 在边AC的延长线上，且 3ADCD，2 7BD ，则CD _；sinABD_ 三、三、解答题（共解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 道试题考生都必须作答第道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ）题为选考题，考生根据要求作答 ） 17 （本小题满分 12
7、分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访 男性、女性各 50 名，其中每人每天的健身时间不少于 1 小时称为“健身族”，否则称其为“非健 身族”，调查结果如下： 健身族 非健身族 合计 文科数学 第 4 页 共 11 页 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （1）若居民每人每天的平均健身时间不低于 70 分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机 采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別 是 1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？ （2）
8、根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？ 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na bcd . 参考数据： 2 0 P Kk 0. 50 0. 40 0. 25 0. 05 0. 025 0. 010 0 k 0. 455 0. 708 1. 321 3. 840 5. 024 6. 635 18 （本小题满分 12 分）已知数列 n a是等比数列， 2 4a ， 3 2a 是 2 a和 4 a的等差中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2log1 nn ba，求数列 n n a
9、b的前n项和 n T 文科数学 第 5 页 共 11 页 19（本小题满分 12 分） 如图， 平面ACEF 平面ABCD， 四边形ABCD是菱形， 60ABC， /AFCE，AFAC，21ABAFCE （1）求四棱锥BACEF的体积； （2） 在BF上有一点P， 使得/APDE， 求 BP PF 的值 20 （本小题满分 12 分）设( )1 x f xaex（aR）. （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若( )f x在(0,3)上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 21 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知点( 2,0)M ，(2,0)N，动点,P x y满 足直
10、线MP与直线NP的斜率之积为 1 4 .记动点P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过点( 3,0)作直线l与曲线C交于不同的两点,A B，试问在x轴上是否存在定点Q，使 文科数学 第 6 页 共 11 页 得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂 黑注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，黑注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在
11、答题卡选答区域指定位置答题如果多做， 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角 坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲 线，其极坐标方程为1 sin （0） ，M为该曲线上的任意一点. （1）当 3 2 OM 时，求M点的极坐标； （2）将射线OM绕原点O逆时针旋转 2 与该曲线相交于点 N，求MN的最大值. 23.（本小题满分 10 分） 【选修 45：不等式选讲】 已知函数 1f xx. （1）解不等
12、式 48f xf x； （2）若1a ，1b ，0a，求证： b f aba f a . 文科数学 第 7 页 共 11 页 文科数学答案文科数学答案 1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.D 10.B 11.D 12.B 13.( , )e e 14. 6 15.3 16. 2 32 1 14 17.（1）随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间为 1.2 400.8 10 1.5 300.720 1.15 100 小时， 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 1.15 小时， 因为 1.15 小时 7 6 小时=70 分钟，所以该社区不可称为“健
13、身社区” ； （2）由联立表可得 2 2 n adbc K abcdacbd 2 100 40 2030 10 4.7623.840 70 30 50 50 ， 所以能在犯错误概率不超过 5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 18.（1）设数列 n a的公比为，因为 2 4a ，所以 3 4aq， 2 4 4aq 因为 3 2a 是 2 a和 4 a的等差中项，所以 324 22aaa即 2 2 424 4qq，化简得 2 20qq 因为公比0q ，所以2q =所以 22 2 4 22 nnn n aa q （ * nN） （2）因为2n n a ，所以 2 2log121 nn ban
14、 21 2n n n a bn 文科数学 第 8 页 共 11 页 则 231 1 2 3 25 223 221 2 nn n Tnn ， 2341 21 23 25 223 221 2 nn n Tnn . 得， 231 22 22 22 221 2 nn n Tn 1 11 4 1 2 2221 2623 2 1 2 n nn nn ，所以 1 623 2n n Tn 19 （1）四边形ABCD是菱形，BDAC， 又平面ACEF 平面ABCD,平面ACEF平面ABCDAC,BD 平面ABCD BD 平面ACEF，在ABC中,60 ,2ABCAB,设BDACO,计算得 2,3ACBO，在梯形
15、ACEF中, / /,2,1AFCE AFAC ACAFCE 梯形ACEF的面积 1 1223 2 S ，四棱锥BACEF的体积为 11 333 33 VSBO . （2）在平面ABF内作/BMAF,且1BM ,连接AM交BF于P，则点P满足/APDE, 证明如下：/ /,1AFCE CE ,/BMCE,且BMCE, 四边形BMEC是平行四边形./ /,BCME BCME, 又菱形ABCD中,/ /,BCAD BCAD./ /,MEAD MEAD, 四边形ADEM是平行四边形 ,/AMDE,即/APDE. /BMAF,BPMFPA ,又1BM , 1 2 BPBM PFAF . 20.（1）
16、文科数学 第 9 页 共 11 页 21. （1） 由题设可得 2 MP y K x ， 2 NP y K x ，2x ， 则 1 224 yy xx 2x ， 化简得. 2 2 1 4 x y 2x ， 所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 X 轴上的椭圆，不含左右顶点. （2）存在定点 4 3 ,0 3 Q ，满足直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称， 由题设知，直线 l 的斜率不为 0，设直线l的方程为30xmy， 与椭圆C的方程联立整理得 22 42 310mymy ， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 定点( 0)Q t， （依题意 12 txtx，）.
17、 由根与系数的关系可得， 12 2 2 3 4 m yy m ， 12 2 1 4 y y m 文科数学 第 10 页 共 11 页 直线QA与直线QB恰好关于 x 轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数， 所以 12 12 0 yy xtxt ，即 1221 0y xtyxt. 又 11 30xmy， 22 30xmy，所以 1221 3-30ymytymyt整理 得 1212 3-20tyymy y. 从而可得 22 2 31 3-20 44 m tm mm 即，2430mt 所以当 4 3 3 t ，即 4 3 (,0) 3 Q时，直线QA与直线QB恰好关于 x 轴对称 所以，在x
18、轴上存在点， 4 3 (,0) 3 Q满足直线QA与直线QB恰好关于 x 轴对称 22. （1） 设点M在极坐标系中的坐标 3 , 2 ， 由1 s i n ， 得 3 1 s i n 2 ， 1 sin 2 ， 02， 7 6 或 11 6 ，所以点M的极坐标为 3 7 , 26 或 3 11 , 26 . （2）由题意可设 1, M ， 2, 2 N .由 1 sin ，得 1 1 sin ， 2 1 sin1 cos 2 . 22 12 MN 22 1 sin1 cos 3 2 sincos32 2sin 4 ,故 5 4 时，MN的最大值为 21 . 23. （1） 22,3 4134, 31 22,1 xx f xf xxxx xx . 文科数学 第 11 页 共 11 页 当3x时，由228x ，解得5x，此时5x； 当31x 时， 8f x 不成立； 当1x 时，由228x，解得3x，此时3x. 综上所述，不等式 4f x 的解集为 , 53, ； （2）要证 a b f aba f ，即证1abab ， 因为1a ，1b ，所以， 2 1a ， 2 1b ， 222222 2 22 2 12121ababa babaabba bab 22222 11110abbab. 所以， 1abab .故所证不等式成立.