1、2020 年辽宁省丹东市高考数学二模试卷（理科）年辽宁省丹东市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x2x20，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A3，2 B3，2，3 C1，0，1，2 D3，2，2，3 2已知 a，bR，则“log2alog2b”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知复数 za2 1 为纯虚数，则实数 a（ ） A0 B1 C1 D1 4天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半 长轴 a 的三次方跟它的公转周期 T 的二次方的比值
2、都相等，即 ， ，其中 M 为中心天体质量，G 为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长 约为 1.5 亿千米， 地球的公转周期为 1 年， 距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的 椭圆轨道的半长轴长约为 60 亿千米，取 ，则冥王星的公转周期约为（ ） A157 年 B220 年 C248 年 D256 年 5已知平面向量 ， 满足 ，那么 与 的夹角为（ ） A B C D 6下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） Ay|x| By3x Cyx3 Dy x 7如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为 1 的正三角形，圆锥表面上的点 M、N 在正视图上的
3、对应点分别是 A、B则在此圆锥的侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路 径的长度为（ ） A1 B C2 D 8在ABC 中， ，则 （ ） A7 B C7 D 95 名志愿者中有组长和副组长各 1 人，组员 3 人，社区将这 5 人分成两组，一组 2 人， 一组3人， 去两居民小区进行疫情防控巡查， 则组长和副组长不在同一组的概率为 （ ） A B C D 10已知函数 ， ， ，若存在实数 s，t 满足 0st，且 f（s）f（t）， 则 t4s 的最小值为（ ） A1 Be21 C2ln2 D22ln2 11已知 F 为双曲线 C： 1（ab0）的一个焦点，过 F 作 C 的一条渐近线
4、的垂 线 l， 垂足为点 A， l 与 C 的另一条渐近线交于点 B， 若|AB| ， 则 C 的离心率为 （ ） A2 B C D 12关于函数 ，有下述四个结论： 若 f（x）在（0，）内单调递增，则 ， 若 f（x）在（0，）内单调递减，则 ， 若 f（x）在（0，）内有且仅有一个极大值点，则 ， 若 f（x）在（0，）内有且仅有一个极小值点，则 ， 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13某医院职工总数为 200 人，在 2020 年 1 月份，每人约有 25 次到超市或市场购物，为调 查职工带口罩购物的次数，随
5、机抽取了 40 名职工进行调查，得到这个月职工带口罩购物 次数的频率分布直方图，根据该直方图估计，2020 年 1 月份，该院职工带口罩购物次数 不低于 15 次的职工人数约为 14 ABC 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 c2+a2b22ab， ， 则 B 15 经过抛物线 C： y22px （p0） 的焦点 F， 倾斜角为 30的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， 若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7，那么 p 16已知球 O 在正方体 ABCDA1B1C1D1内，且与该正方体的六个面都相切，E 为底面正 方形 ABCD 的中心，A1E 与球 O 表面相
6、交于点 F，若 AB2，则 EF 的长为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17在数列an中， ，（4n2）an+1（2n+1）an （1）设 ，证明：bn是等比数列，并求an的通项公式； （2）设 Sn为数列an的前 n 项和，证明：Sn3 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，点 E 在线段 PC 上 （1）证明：平面 EBD平面 PAC； （2）若ABC60，二面角 BPCD 的余弦值为
7、 ，求 的值 192019 年 10 月，工信部颁发了国内首个 5G 无线电通信设备进网许可证，标志着 5G 基 站设备将正式接入公用电信商用网络某 4G 手机生产商拟升级设备生产 5G 手机，有两 种方案可供选择，方案 1：直接引进 5G 手机生产设备；方案 2：对已有的 4G 手机生产 设备进行技术改造，升级到 5G 手机生产设备该生产商对未来 5G 手机销售市场行情及 回报率进行大数据模拟，得到如下统计表： 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 2p 13p p 预期年利润数值（单位：亿元） 方案 1 70 40 40 方案 2 60 30 10 （1）以预期年利润的期望值为
8、依据，求 p 的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案 进行设备升级？ （2）设该生产商升级设备后生产的 5G 手机年产量为 x 万部，通过大数据模拟核算，选 择方案 1 所生产的 5G 手机年度总成本 （亿元），选择方案 2 所生产的 5G 手机年度总成为 （亿元）已知 p0.2，当所生 产的 5G 手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为 0.8 万元，0.8 0.001x（万元），0.80.002x（万元），根据（1）的决策，求该生产商所生产的 5G 手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值 20设函数 f（x）exalnxa （1）设
9、x1 是 f（x）的极值点，求 a，并讨论 f（x）的单调性； （2）若 0ae，证明：在区间 ， 内，f（x）存在唯一的极小值点 x0，且 f（x0） 0 21已知椭圆 C： 经过点 ， ，两个焦点为 ， ， ， （1）求 C 的方程； （2）设圆 D：x2+y2r2（bra），若直线 l 与椭圆 C，圆 D 都相切，切点分别为 A 和 B，求|AB|的最大值 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数）以 O 为极 点，以 x
10、轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程 2（1+sin2）2 （1）求曲线 C1的极坐标方程； （2）设 A，B 为曲线 C2上位于 x 轴上方的两点，且 OAOB，射线 OA，OB 分别与 C1 相交于点 D 和点 C，当AOB 面积取最小值时，求四边形 ABCD 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|（x+1）+|x1|（x+a） （1）当 a0 时，求 f（x）0 的解集； （2）若 f（x）0 在（，0）上恒成立，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符
11、合题目要求的. 1已知集合 Ax|x2x20，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A3，2 B3，2，3 C1，0，1，2 D3，2，2， 3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x2x20x|x1 或 x2， B3，2，1，0，1，2，3， AB3，2，3 故选：B 2已知 a，bR，则“log2alog2b”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论 解：若 log2alog2b，则 ab0，此时充分性成立， 若 0ab，则 log2alog
12、2b 无意义，则必要性不成立， 故“log2alog2b”是“ab”成立的充分不必要条件， 故选：A 3已知复数 za2 1 为纯虚数，则实数 a（ ） A0 B1 C1 D1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 解：za2 1 a 21+（a+1）i 为纯虚数， ，解得 a1 故选：C 4天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半 长轴 a 的三次方跟它的公转周期 T 的二次方的比值都相等，即 ， ，其中 M 为中心天体质量，G 为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长 约为 1.5 亿千米，
13、地球的公转周期为 1 年， 距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的 椭圆轨道的半长轴长约为 60 亿千米，取 ，则冥王星的公转周期约为（ ） A157 年 B220 年 C248 年 D256 年 【分析】由题意可得地球的半长轴长即周期及冥王星的半长轴长，设冥王星的公转周期 为 T2，由题意可得绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方跟它的公 转周期 T 的二次方的比值都相等，所以 T22的值，进而求出 T2 解：设地球的半长轴 a11.5 亿千米，周期 T11 年，冥王星的半长轴长为 a260 亿千 米，周期 T2年， 因为绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴 a 的
14、三次方跟它的公转周期 T 的二 次方的比值都相等， 所以 ，即： ，所以 T22 402410，因为 3.1， 所以 T80 248 年， 故选：C 5已知平面向量 ， 满足 ，那么 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】由平面向量的模长公式和数量积的定义，即可求出两向量的夹角 解：由 ， 所以 ， 2 ， 设 与 的夹角为 ， 则 1+2cos+11， 解得 cos ； 又 0， 所以 与 的夹角 故选：B 6下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） Ay|x| By3x Cyx3 Dy x 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 解：根据题
15、意，依次分析选项： 对于 A，y|x|，为偶函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 B，y3x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 C，yx3，在其定义域内既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于 D，y x，是奇函数但在其定义域内不是减函数，不符合题意； 故选：C 7如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为 1 的正三角形，圆锥表面上的点 M、N 在正视图上的对应点分别是 A、B则在此圆锥的侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路 径的长度为（ ） A1 B C2 D 【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为圆锥，沿母线 PM 剪开再展开，求解 三角形可得在此圆锥的侧面上从 M 到
16、 N 的路径中的最短路径的长度 解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为圆锥 PO，圆锥的轴截面是边长为 1 的正三角形， 沿母线 PM 剪开再展开，则在此圆锥的侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 |MN1|， 由圆锥底面周长为 2 ，再由弧长公式可得，展开后是半径为 1 的半圆， 则 故选：B 8在ABC 中， ，则 （ ） A7 B C7 D 【分析】先根据同角三角函数基本关系式求出 cosA，进而得到 tanA，再结合两角差的正 切即可求解 解：因为ABC 中， ， cos2A+sin2A+2sinAcosA sinAcosA ； cosA0； cosA ； cosA
17、，（ 舍）； 故 sinA ； tanA ； 7； 故选：A 95 名志愿者中有组长和副组长各 1 人，组员 3 人，社区将这 5 人分成两组，一组 2 人， 一组3人， 去两居民小区进行疫情防控巡查， 则组长和副组长不在同一组的概率为 （ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n 20，组长和副组长不在同一组包含的基本事件个数 m 12，由此能求出组长和副组长不在同一组的概率 解：5 名志愿者中有组长和副组长各 1 人，组员 3 人， 社区将这 5 人分成两组，一组 2 人，一组 3 人，去两居民小区进行疫情防控巡查， 基本事件总数 n 20， 组长和副组长不在同一组包含的基本事件个数：
18、 m 12， 则组长和副组长不在同一组的概率为 P 故选：D 10已知函数 ， ， ，若存在实数 s，t 满足 0st，且 f（s）f（t）， 则 t4s 的最小值为（ ） A1 Be21 C2ln2 D22ln2 【分析】由条件可得 s lnt，1te 2，则 t4st2lnt，令 g（t）t2lnt，1te2， 利用导数求最值 解：由 0st，使得 f（s）f（t）， 可得 2slnt， 得 s lnt，1te 2， 可得 t4st2lnt， 令 g（t）t2lnt，1te2， 可得 g（t）1 ， 当 1t2 时，g（t）0，g（t）递减；当 2te2时，g（t）0，g（t）递增 可得
19、g（t）取得极小值且为最小值 g（2）22ln2 故选：D 11已知 F 为双曲线 C： 1（ab0）的一个焦点，过 F 作 C 的一条渐近线的垂 线 l， 垂足为点 A， l 与 C 的另一条渐近线交于点 B， 若|AB| ， 则 C 的离心率为 （ ） A2 B C D 【分析】画出图形，利用渐近线的夹角，通过求解三角形推出双曲线的离心率即可 解：画出图形，如图：可知 OAa，AFb，OFc，|AB| ， tanAOF ， tanAOB ， 可得 2ab （a2b2） （2a2c2）， 4a2（c2a2）3（2a2c2）2，即 3c4+16a416a2c20， 可得 3e416e2+160
20、，e1，解得：e2 或 e 因为 ab0，所以 e2 1 2， 所以 e2 舍去，e 故选：C 12关于函数 ，有下述四个结论： 若 f（x）在（0，）内单调递增，则 ， 若 f（x）在（0，）内单调递减，则 ， 若 f（x）在（0，）内有且仅有一个极大值点，则 ， 若 f（x）在（0，）内有且仅有一个极小值点，则 ， 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论 解：对于函数 ， 由 f（x）在（0，）内单调递增，根据 x （ ， ），可得 ，求 得 ，故正确； 由 f（x）在（0，）内单调递减，根据 x （ ， ），f（x）不可能递减，故
21、 错误； 由 f（x）在（0，）内有且仅有一个极大值，再根据 x （ ， ）， 可得 （ ， ， ，故正确； 由 f（x）在（0，）内有且仅有一个极小值，再根据 x （ ， ）， 可得 （ ， ， ，故错误， 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13某医院职工总数为 200 人，在 2020 年 1 月份，每人约有 25 次到超市或市场购物，为调 查职工带口罩购物的次数，随机抽取了 40 名职工进行调查，得到这个月职工带口罩购物 次数的频率分布直方图，根据该直方图估计，2020 年 1 月份，该院职工带口罩购物次数 不低于 15 次的职工人数约为 60 【分
22、析】 先求出 2020 年 1 月份， 该院职工带口罩购物次数不低于 15 次的职工所占频率， 由此能求出 2020 年 1 月份，该院职工带口罩购物次数不低于 15 次的职工人数 解：由频率分布直方图得： 2020 年 1 月份，该院职工带口罩购物次数不低于 15 次的职工所占频率为： （0.05+0.01）50.3， 2020年1 月份， 该院职工带口罩购物次数不低于15次的职工人数约为： 0.320060 故答案为：60 14ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2+a2b22ab， ，则 B 【分析】由余弦定理化简已知等式可得 bccosB，由正弦定理可得 sinB
23、sinCcosB，由 已知利用同角三角函数基本关系式可求 tanB ，结合范围 B（0，），可求 B 的值 解：c2+a2b22ab， 由余弦定理可得 c2+a2b22accosB2ab， bccosB， 由正弦定理可得 sinBsinCcosB， ， tanB ， B（0，）， B 故答案为： 15 经过抛物线 C： y22px （p0） 的焦点 F， 倾斜角为 30的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， 若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7，那么 p 2 【分析】求得抛物线的焦点坐标，设出直线 l 的方程，联立抛物线的方程，消去 y，可得 x 的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式
24、，解方程可得所求值 解：抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（ ，0）， 直线 l 的方程设为 y （x ）， 联立抛物线方程，可得 （x 2px ）2px， 化为 4x228px+p20， （28p）244p20， 设 A，B 的横坐标分别为 x1，x2，则 x1+x27p， 由线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7，可得 p7， 即 p2 故答案为：2 16已知球 O 在正方体 ABCDA1B1C1D1内，且与该正方体的六个面都相切，E 为底面正 方形 ABCD 的中心，A1E 与球 O 表面相交于点 F，若 AB2，则 EF 的长为 【分析】由题意画出截面图，利用三角形相似求得半弦长
25、，则 EF 可求 解：过相对棱 AA1，CC1作截面图如图， 过 O 作 OHA1E，垂足为 H，则 RtA1GERtOHE， 则 ， 正方体的棱长为 2， EF 的长为 2EH 故答案为： 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17在数列an中， ，（4n2）an+1（2n+1）an （1）设 ，证明：bn是等比数列，并求an的通项公式； （2）设 Sn为数列an的前 n 项和，证明：Sn3 【分析】 （1） 先由题设条件推证出 ， 再求
26、出 b1， 进而证明结论， 求得 an； （2）利用错位相减法求出 Sn，即可证明结论 【解答】证明：（1）：因为 ，（4n2）an+1（2n+1）an， ，所以 ， 又 b1 1，所以bn是首项为 ，公比为 的等比数列 于是 ，故 ； （2）由（1）知 ， 又 ， 由可得： S n 2（ ） 2+（ ） 3+（ ） 4+（ ） n （2n+3） （ ） n+1 ， 故 Sn3 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，点 E 在线段 PC 上 （1）证明：平面 EBD平面 PAC； （2）若ABC60，二面角 BPCD 的余弦值为 ，求 的值 【分析】
27、（1）推导出 ACBD，PABD，BD平面 PAC由此能证明平面 EBD平面 PAC （2） 法一： 推导出 PA底面 ABCD， 四边形 ABCD 菱形， 从而 PBPD， PBCPDC， 取点 E 满足 BEPC，则 DEPC，所以BED 是二面角 BPCD 的平面角设 AB 2，PAt，则 AC2， ，则 等腰PBC 面积为 ， 从而 ，由此能求 出结果 （2）法二：由 BDAC，设 BDACO，分别以 ， 为 x 轴，y 轴，以平行于 PA 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz利用向量法能求出结果 解：（1）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD 因为 PA平面
28、ABCD，所以 PABD 因为 PAACA，所以 BD平面 PAC 因为 BD平面 EBD，所以平面 EBD平面 PAC （2）解法一：因为 PA底面 ABCD，四边形 ABCD 菱形， 所以 PBPD，PBCPDC， 取点 E 满足 BEPC，则 DEPC，所以BED 是二面角 BPCD 的平面角 设AB2， PAt， 因为ABC60， 所以AC2， ， 则 所以等腰PBC 的面积为 ， 所以 ， ，由 得 t 22， 故 （2）解法二：因为 BDAC，设 BDACO， 分别以 ， 为 x 轴，y 轴，以平行于 PA 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系 Oxyz 设 AB2，P
29、At，则 ， ， ，C（0，1，0）， ， ， ，P（0，1，t）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，即 ，可取 ， ， 设平面 PDC 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，即 ，可取 ， ， ， ，因为 ， ，所以 t 22， 故 192019 年 10 月，工信部颁发了国内首个 5G 无线电通信设备进网许可证，标志着 5G 基 站设备将正式接入公用电信商用网络某 4G 手机生产商拟升级设备生产 5G 手机，有两 种方案可供选择，方案 1：直接引进 5G 手机生产设备；方案 2：对已有的 4G 手机生产 设备进行技术改造，升级到 5G 手机生产
30、设备该生产商对未来 5G 手机销售市场行情及 回报率进行大数据模拟，得到如下统计表： 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 2p 13p p 预期年利润数值（单位：亿元） 方案 1 70 40 40 方案 2 60 30 10 （1）以预期年利润的期望值为依据，求 p 的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案 进行设备升级？ （2）设该生产商升级设备后生产的 5G 手机年产量为 x 万部，通过大数据模拟核算，选 择方案 1 所生产的 5G 手机年度总成本 （亿元），选择方案 2 所生产的 5G 手机年度总成为 （亿元）已知 p0.2，当所生 产的 5G 手机市场行情为畅销、平销和滞
31、销时，每部手机销售单价分别为 0.8 万元，0.8 0.001x（万元），0.80.002x（万元），根据（1）的决策，求该生产商所生产的 5G 手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值 【分析】（1）利用概率分布列，推出关系式，然后求解概率的范围，求出方案 1 的预期 平均年利润期望值方案 2 的预期平均年利润期望值，比较 E1，E2，判断手机生产商应 该选择的方案； （2）设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为 X1，X2，X3（万元），结合概 率得到分布列，求解期望 解：（1）由 ，可得 p 的取值范围为 方案 1 的预期平均年利润期望值为 E1
32、2p70+（13p）40+p（40）4020p 方案 2 的预期平均年利润期望值为 E22p60+（13p）30+p（10）30+20p 当 时，E1E2，该手机生产商应该选择方案 1； 当 时，E1E2，该手机生产商可以选择方案 1，也可以以选择方案 2； 当 时，E 1E2，该手机生产商应该选择方案 2； （2）因为 ， ，该手机生产商将选择方案 1，此时生产的 5G 手机的年度总 成本为 （亿元） 设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为 X1，X2，X3（万元）， 那么 X10.8x， ， 因为 p0.2，所以手机生产商年利润 X 的分布列为 X 0.8x 0.8x0.001x2
33、 0.8x0.002x2 P 0.4 0.4 0.2 所以 E （X） 0.40.8x+0.4 （0.8x0.001x2） +0.2 （0.8x0.002x2） 0.0008x2+0.8x 年利润期望值 （亿元） 当 x300 时，年利润期望 f（x）取得最大值 40 亿元 方案 1 的预期平均年利润期望值为 40200.236（亿元） 因为 4036，因此这个年利润期望的最大值可以达到预期年利润数值 20设函数 f（x）exalnxa （1）设 x1 是 f（x）的极值点，求 a，并讨论 f（x）的单调性； （2）若 0ae，证明：在区间 ， 内，f（x）存在唯一的极小值点 x0，且 f（x
34、0） 0 【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件可求 a，然后结合导数与单调性 的关系可求； （2）法 1：先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，结合极值存在的条件可 证； 法 2： 先对函数求导， 然后结合导数与单调性的关系及函数的性质及函数的零点判定定理 可证 【解答】解法 1：（1）f（x）定义域为（0，+）， 由题设 f（1）0，所以 ae 此时 ，当 0x1 时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x1 时，f（x） 0，f（x）单调递增，所以 x1 是 f（x）的极小值点 综上，ae，f（x）在单调区间是（0，1），在单调递增区间是（1，+） （2）证明：因为 0
35、ae，所以 在 ， 内单调递增 因为 ，f（1）ea0，所以存在 ， ，使得 f（x0）0 当 ， 时，f（x）0，当 x（x0，1）时，f（x）0，所以 f（x）在 ， 上 单调递减，在（x0，1）上单调递增， 所以 f（x）在区间 ， 内有唯一的极小值点 x0，没有极大值点 由 f（x0）0 得 ，于是 因为当 时，（1x0）x0lnx00，所以 f（x0）0 综上，f（x）在区间 ， 内有唯一的极小值点 x0，没有极大值点，且极小值为正 解法 2： （1）同解法 1 （2）证明：因为 0ae，所以 在 ， 内单调递增 因为 ，f（1）ea0，所以存在 ， ，使得 f（x0）0 当 ， 时
36、，f（x）0，当 x（x0，1）时，f（x）0，所以 f（x）在 ， 上 单调递减，在（x0，1）上单调递增， 所以 f（x）在区间 ， 内有唯一的极小值点 x0，没有极大值点 由 f（x0）0 得 ，进一步 lnx0lnax0 从 而 综上，f（x）在区间 ， 内有唯一的极小值点 x0，没有极大值点，且极小值为正 21已知椭圆 C： 经过点 ， ，两个焦点为 ， ， ， （1）求 C 的方程； （2）设圆 D：x2+y2r2（bra），若直线 l 与椭圆 C，圆 D 都相切，切点分别为 A 和 B，求|AB|的最大值 【分析】解法 1：（1）由 ，化简椭圆方程 利用椭圆经过 的点，转化求解即
37、可 （2）设 l：ykx+m，代入 得（4k 2+1）x2+8kmx+4m240利用韦达定理， 结合点到直线的距离，弦长公式转化求解即可 解法 2：（1）由椭圆定义得 a，结合 c，求解 b，得到椭圆方程 （2）设 l：ykx+m，代入 得（4k 2+1）x2+8kmx+4m240由0，得 m21+4k2设 A（x1，y1），将 ykx+m 代入 x2+y2r2得（k2+1）x2+2kmx+m2r20由 0，得 m2r2（1+k2）推出 设 B（x 2，y2），利用弦长公式，结合基本 不等式求解即可 解：解法 1： （1）由题意 ，所以 a2b2+3，C 的方程可化为 因为 C 的经过点 ，
38、，所以 ，解得 b2 1，或 （舍去） 于是 C 的方程为 （2）设 l：ykx+m，代入 得（4k 2+1）x2+8kmx+4m240 由16（4k2+1m2）0，得 m21+4k2 设 A（x0，y0），则 ， 因为 l 与圆 D 相切，所以圆心 D 到 l 距离 ，即 m2r2（1+k2） 由得 ， 所以圆 D 的切线长 因为 ，当 时取等号，因为 ， ，所以|AB|的 最大值为 1 解法 2： （1）由椭圆定义得 2a |AF1|+|AF2| 4 所以 a2，因为 ，所以 b2a2c21，于是 C 的方程为 （2）设 l：ykx+m，代入 得（4k 2+1）x2+8kmx+4m240
39、由16（4k2+1m2）0，得 m21+4k2 设 A（x1，y1），则 将 ykx+m 代入 x2+y2r2得（k2+1）x2+2kmx+m2r20 由4（r2k2+r2m2）0，得 m2r2（1+k2） 由得 设 B（x2，y2），则 . 因为 ，当 时取等号，因为 ， ，所以|AB|的 最大值为 1 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数）以 O 为极 点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程 2（1+sin2）2 （1）求曲线 C1的极坐标方程； （2）设 A，B 为曲线 C2上位于 x 轴上方的两点，且 OAOB，射
40、线 OA，OB 分别与 C1 相交于点 D 和点 C，当AOB 面积取最小值时，求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解法 1：（1）消去 中的参数 t 得 将 xcos，ysin 代入得 C1的极坐标方程为 （2）不妨设 A（1，）， ， ，D（3，）， ， ， 则 ， AOB 面积为 ， 时取等号， AOB 面积取最小值为 此时 ， ， ， 可得 3416，COD 面积为 ， 因此四边形 ABCD 的面积为 解法 2： （1）同解法 1 （2）不妨设 A
41、（1，）， ， ，D（3，）， ， ， 则 ， ，于是 因为 ， 所以 ， AOB 面积为 ，当 12， 时取等号， 所以AOB 面积最小值为 此时 ， ， ， 可得 3416，COD 面积为 ， 因此四边形 ABCD 的面积为 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+a|（x+1）+|x1|（x+a） （1）当 a0 时，求 f（x）0 的解集； （2）若 f（x）0 在（，0）上恒成立，求 a 的取值范围 【分析】（1）求得 a0 时，f（x）的解析式，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式， 求并集，可得所求解集； （2）讨论 a0，a0，a0，化简 f（x）的解析式，判断是否
42、恒成立，可得所求范围 解：（1）当 a0 时，f（x）|x|（x+1）+|x1|x 当 x1 时，f（x）x（x+1）+（x1）x2x2，此时 f（x）0 的解集为x|x1； 当 0x1 时，f（x）x（x+1）+（1x）x2x，此时 f（x）0 的解集为x|0x1； 当 x0 时，f（x）x（x+1）（x1）x2x2，此时 f（x）0 的解集为， 综上所述 f（x）0 的解集为x|x0； （2）由（1）可知当 a0 时，在 x（，0）内 f（x）0 恒成立； 当 a0 时，在 x（，0）内 f（x）（x+a）（x+1）（x1）（x+a）2x （x+a）0 恒成立； 当 a0 时，在 x（a，0）内 f（x）（x+a）（x+1）（x1）（x+a）2（x+a） 0，不满足 f（x）0 在（，0）上恒成立的条件，综上所述 a0