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辽宁省丹东市2020届高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2020 年辽宁省丹东市高考数学二模试卷(理科)年辽宁省丹东市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题). 1已知集合 Ax|x2x20,B3,2,1,0,1,2,3,则 AB( ) A3,2 B3,2,3 C1,0,1,2 D3,2,2,3 2已知 a,bR,则“log2alog2b”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知复数 za2 1 为纯虚数,则实数 a( ) A0 B1 C1 D1 4天文学家开普勒的行星运动定律可表述为:绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半 长轴 a 的三次方跟它的公转周期 T 的二次方的比值

2、都相等,即 , ,其中 M 为中心天体质量,G 为引力常量,已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长 约为 1.5 亿千米, 地球的公转周期为 1 年, 距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的 椭圆轨道的半长轴长约为 60 亿千米,取 ,则冥王星的公转周期约为( ) A157 年 B220 年 C248 年 D256 年 5已知平面向量 , 满足 ,那么 与 的夹角为( ) A B C D 6下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) Ay|x| By3x Cyx3 Dy x 7如图是某圆锥的三视图,其正视图是一个边长为 1 的正三角形,圆锥表面上的点 M、N 在正视图上的

3、对应点分别是 A、B则在此圆锥的侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路 径的长度为( ) A1 B C2 D 8在ABC 中, ,则 ( ) A7 B C7 D 95 名志愿者中有组长和副组长各 1 人,组员 3 人,社区将这 5 人分成两组,一组 2 人, 一组3人, 去两居民小区进行疫情防控巡查, 则组长和副组长不在同一组的概率为 ( ) A B C D 10已知函数 , , ,若存在实数 s,t 满足 0st,且 f(s)f(t), 则 t4s 的最小值为( ) A1 Be21 C2ln2 D22ln2 11已知 F 为双曲线 C: 1(ab0)的一个焦点,过 F 作 C 的一条渐近线

4、的垂 线 l, 垂足为点 A, l 与 C 的另一条渐近线交于点 B, 若|AB| , 则 C 的离心率为 ( ) A2 B C D 12关于函数 ,有下述四个结论: 若 f(x)在(0,)内单调递增,则 , 若 f(x)在(0,)内单调递减,则 , 若 f(x)在(0,)内有且仅有一个极大值点,则 , 若 f(x)在(0,)内有且仅有一个极小值点,则 , 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13某医院职工总数为 200 人,在 2020 年 1 月份,每人约有 25 次到超市或市场购物,为调 查职工带口罩购物的次数,随

5、机抽取了 40 名职工进行调查,得到这个月职工带口罩购物 次数的频率分布直方图,根据该直方图估计,2020 年 1 月份,该院职工带口罩购物次数 不低于 15 次的职工人数约为 14 ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 c2+a2b22ab, , 则 B 15 经过抛物线 C: y22px (p0) 的焦点 F, 倾斜角为 30的直线 l 与 C 交于 A, B 两点, 若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7,那么 p 16已知球 O 在正方体 ABCDA1B1C1D1内,且与该正方体的六个面都相切,E 为底面正 方形 ABCD 的中心,A1E 与球 O 表面相

6、交于点 F,若 AB2,则 EF 的长为 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17在数列an中, ,(4n2)an+1(2n+1)an (1)设 ,证明:bn是等比数列,并求an的通项公式; (2)设 Sn为数列an的前 n 项和,证明:Sn3 18如图,在四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,点 E 在线段 PC 上 (1)证明:平面 EBD平面 PAC; (2)若ABC60,二面角 BPCD 的余弦值为

7、 ,求 的值 192019 年 10 月,工信部颁发了国内首个 5G 无线电通信设备进网许可证,标志着 5G 基 站设备将正式接入公用电信商用网络某 4G 手机生产商拟升级设备生产 5G 手机,有两 种方案可供选择,方案 1:直接引进 5G 手机生产设备;方案 2:对已有的 4G 手机生产 设备进行技术改造,升级到 5G 手机生产设备该生产商对未来 5G 手机销售市场行情及 回报率进行大数据模拟,得到如下统计表: 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 2p 13p p 预期年利润数值(单位:亿元) 方案 1 70 40 40 方案 2 60 30 10 (1)以预期年利润的期望值为

8、依据,求 p 的取值范围,讨论该生产商应该选择哪种方案 进行设备升级? (2)设该生产商升级设备后生产的 5G 手机年产量为 x 万部,通过大数据模拟核算,选 择方案 1 所生产的 5G 手机年度总成本 (亿元),选择方案 2 所生产的 5G 手机年度总成为 (亿元)已知 p0.2,当所生 产的 5G 手机市场行情为畅销、平销和滞销时,每部手机销售单价分别为 0.8 万元,0.8 0.001x(万元),0.80.002x(万元),根据(1)的决策,求该生产商所生产的 5G 手机年利润期望的最大值?并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值 20设函数 f(x)exalnxa (1)设

9、x1 是 f(x)的极值点,求 a,并讨论 f(x)的单调性; (2)若 0ae,证明:在区间 , 内,f(x)存在唯一的极小值点 x0,且 f(x0) 0 21已知椭圆 C: 经过点 , ,两个焦点为 , , , (1)求 C 的方程; (2)设圆 D:x2+y2r2(bra),若直线 l 与椭圆 C,圆 D 都相切,切点分别为 A 和 B,求|AB|的最大值 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)以 O 为极 点,以 x

10、轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程 2(1+sin2)2 (1)求曲线 C1的极坐标方程; (2)设 A,B 为曲线 C2上位于 x 轴上方的两点,且 OAOB,射线 OA,OB 分别与 C1 相交于点 D 和点 C,当AOB 面积取最小值时,求四边形 ABCD 的面积 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+a|(x+1)+|x1|(x+a) (1)当 a0 时,求 f(x)0 的解集; (2)若 f(x)0 在(,0)上恒成立,求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符

11、合题目要求的. 1已知集合 Ax|x2x20,B3,2,1,0,1,2,3,则 AB( ) A3,2 B3,2,3 C1,0,1,2 D3,2,2, 3 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 Ax|x2x20x|x1 或 x2, B3,2,1,0,1,2,3, AB3,2,3 故选:B 2已知 a,bR,则“log2alog2b”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用不等式的解法,结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论 解:若 log2alog2b,则 ab0,此时充分性成立, 若 0ab,则 log2alog

12、2b 无意义,则必要性不成立, 故“log2alog2b”是“ab”成立的充分不必要条件, 故选:A 3已知复数 za2 1 为纯虚数,则实数 a( ) A0 B1 C1 D1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 解:za2 1 a 21+(a+1)i 为纯虚数, ,解得 a1 故选:C 4天文学家开普勒的行星运动定律可表述为:绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半 长轴 a 的三次方跟它的公转周期 T 的二次方的比值都相等,即 , ,其中 M 为中心天体质量,G 为引力常量,已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长 约为 1.5 亿千米,

13、地球的公转周期为 1 年, 距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的 椭圆轨道的半长轴长约为 60 亿千米,取 ,则冥王星的公转周期约为( ) A157 年 B220 年 C248 年 D256 年 【分析】由题意可得地球的半长轴长即周期及冥王星的半长轴长,设冥王星的公转周期 为 T2,由题意可得绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方跟它的公 转周期 T 的二次方的比值都相等,所以 T22的值,进而求出 T2 解:设地球的半长轴 a11.5 亿千米,周期 T11 年,冥王星的半长轴长为 a260 亿千 米,周期 T2年, 因为绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴 a 的

14、三次方跟它的公转周期 T 的二 次方的比值都相等, 所以 ,即: ,所以 T22 402410,因为 3.1, 所以 T80 248 年, 故选:C 5已知平面向量 , 满足 ,那么 与 的夹角为( ) A B C D 【分析】由平面向量的模长公式和数量积的定义,即可求出两向量的夹角 解:由 , 所以 , 2 , 设 与 的夹角为 , 则 1+2cos+11, 解得 cos ; 又 0, 所以 与 的夹角 故选:B 6下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) Ay|x| By3x Cyx3 Dy x 【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案 解:根据题

15、意,依次分析选项: 对于 A,y|x|,为偶函数,不是奇函数,不符合题意; 对于 B,y3x,为指数函数,不是奇函数,不符合题意; 对于 C,yx3,在其定义域内既是奇函数又是增函数,符合题意; 对于 D,y x,是奇函数但在其定义域内不是减函数,不符合题意; 故选:C 7如图是某圆锥的三视图,其正视图是一个边长为 1 的正三角形,圆锥表面上的点 M、N 在正视图上的对应点分别是 A、B则在此圆锥的侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路 径的长度为( ) A1 B C2 D 【分析】由三视图还原原几何体,可知原几何体为圆锥,沿母线 PM 剪开再展开,求解 三角形可得在此圆锥的侧面上从 M 到

16、 N 的路径中的最短路径的长度 解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为圆锥 PO,圆锥的轴截面是边长为 1 的正三角形, 沿母线 PM 剪开再展开,则在此圆锥的侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为 |MN1|, 由圆锥底面周长为 2 ,再由弧长公式可得,展开后是半径为 1 的半圆, 则 故选:B 8在ABC 中, ,则 ( ) A7 B C7 D 【分析】先根据同角三角函数基本关系式求出 cosA,进而得到 tanA,再结合两角差的正 切即可求解 解:因为ABC 中, , cos2A+sin2A+2sinAcosA sinAcosA ; cosA0; cosA ; cosA

17、,( 舍); 故 sinA ; tanA ; 7; 故选:A 95 名志愿者中有组长和副组长各 1 人,组员 3 人,社区将这 5 人分成两组,一组 2 人, 一组3人, 去两居民小区进行疫情防控巡查, 则组长和副组长不在同一组的概率为 ( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n 20,组长和副组长不在同一组包含的基本事件个数 m 12,由此能求出组长和副组长不在同一组的概率 解:5 名志愿者中有组长和副组长各 1 人,组员 3 人, 社区将这 5 人分成两组,一组 2 人,一组 3 人,去两居民小区进行疫情防控巡查, 基本事件总数 n 20, 组长和副组长不在同一组包含的基本事件个数:

18、 m 12, 则组长和副组长不在同一组的概率为 P 故选:D 10已知函数 , , ,若存在实数 s,t 满足 0st,且 f(s)f(t), 则 t4s 的最小值为( ) A1 Be21 C2ln2 D22ln2 【分析】由条件可得 s lnt,1te 2,则 t4st2lnt,令 g(t)t2lnt,1te2, 利用导数求最值 解:由 0st,使得 f(s)f(t), 可得 2slnt, 得 s lnt,1te 2, 可得 t4st2lnt, 令 g(t)t2lnt,1te2, 可得 g(t)1 , 当 1t2 时,g(t)0,g(t)递减;当 2te2时,g(t)0,g(t)递增 可得

19、g(t)取得极小值且为最小值 g(2)22ln2 故选:D 11已知 F 为双曲线 C: 1(ab0)的一个焦点,过 F 作 C 的一条渐近线的垂 线 l, 垂足为点 A, l 与 C 的另一条渐近线交于点 B, 若|AB| , 则 C 的离心率为 ( ) A2 B C D 【分析】画出图形,利用渐近线的夹角,通过求解三角形推出双曲线的离心率即可 解:画出图形,如图:可知 OAa,AFb,OFc,|AB| , tanAOF , tanAOB , 可得 2ab (a2b2) (2a2c2), 4a2(c2a2)3(2a2c2)2,即 3c4+16a416a2c20, 可得 3e416e2+160

20、,e1,解得:e2 或 e 因为 ab0,所以 e2 1 2, 所以 e2 舍去,e 故选:C 12关于函数 ,有下述四个结论: 若 f(x)在(0,)内单调递增,则 , 若 f(x)在(0,)内单调递减,则 , 若 f(x)在(0,)内有且仅有一个极大值点,则 , 若 f(x)在(0,)内有且仅有一个极小值点,则 , 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质,得出结论 解:对于函数 , 由 f(x)在(0,)内单调递增,根据 x ( , ),可得 ,求 得 ,故正确; 由 f(x)在(0,)内单调递减,根据 x ( , ),f(x)不可能递减,故

21、 错误; 由 f(x)在(0,)内有且仅有一个极大值,再根据 x ( , ), 可得 ( , , ,故正确; 由 f(x)在(0,)内有且仅有一个极小值,再根据 x ( , ), 可得 ( , , ,故错误, 故选:A 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13某医院职工总数为 200 人,在 2020 年 1 月份,每人约有 25 次到超市或市场购物,为调 查职工带口罩购物的次数,随机抽取了 40 名职工进行调查,得到这个月职工带口罩购物 次数的频率分布直方图,根据该直方图估计,2020 年 1 月份,该院职工带口罩购物次数 不低于 15 次的职工人数约为 60 【分

22、析】 先求出 2020 年 1 月份, 该院职工带口罩购物次数不低于 15 次的职工所占频率, 由此能求出 2020 年 1 月份,该院职工带口罩购物次数不低于 15 次的职工人数 解:由频率分布直方图得: 2020 年 1 月份,该院职工带口罩购物次数不低于 15 次的职工所占频率为: (0.05+0.01)50.3, 2020年1 月份, 该院职工带口罩购物次数不低于15次的职工人数约为: 0.320060 故答案为:60 14ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c2+a2b22ab, ,则 B 【分析】由余弦定理化简已知等式可得 bccosB,由正弦定理可得 sinB

23、sinCcosB,由 已知利用同角三角函数基本关系式可求 tanB ,结合范围 B(0,),可求 B 的值 解:c2+a2b22ab, 由余弦定理可得 c2+a2b22accosB2ab, bccosB, 由正弦定理可得 sinBsinCcosB, , tanB , B(0,), B 故答案为: 15 经过抛物线 C: y22px (p0) 的焦点 F, 倾斜角为 30的直线 l 与 C 交于 A, B 两点, 若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7,那么 p 2 【分析】求得抛物线的焦点坐标,设出直线 l 的方程,联立抛物线的方程,消去 y,可得 x 的二次方程,运用韦达定理和中点坐标公式

24、,解方程可得所求值 解:抛物线 C:y22px(p0)的焦点 F( ,0), 直线 l 的方程设为 y (x ), 联立抛物线方程,可得 (x 2px )2px, 化为 4x228px+p20, (28p)244p20, 设 A,B 的横坐标分别为 x1,x2,则 x1+x27p, 由线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7,可得 p7, 即 p2 故答案为:2 16已知球 O 在正方体 ABCDA1B1C1D1内,且与该正方体的六个面都相切,E 为底面正 方形 ABCD 的中心,A1E 与球 O 表面相交于点 F,若 AB2,则 EF 的长为 【分析】由题意画出截面图,利用三角形相似求得半弦长

25、,则 EF 可求 解:过相对棱 AA1,CC1作截面图如图, 过 O 作 OHA1E,垂足为 H,则 RtA1GERtOHE, 则 , 正方体的棱长为 2, EF 的长为 2EH 故答案为: 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17在数列an中, ,(4n2)an+1(2n+1)an (1)设 ,证明:bn是等比数列,并求an的通项公式; (2)设 Sn为数列an的前 n 项和,证明:Sn3 【分析】 (1) 先由题设条件推证出 , 再求

26、出 b1, 进而证明结论, 求得 an; (2)利用错位相减法求出 Sn,即可证明结论 【解答】证明:(1):因为 ,(4n2)an+1(2n+1)an, ,所以 , 又 b1 1,所以bn是首项为 ,公比为 的等比数列 于是 ,故 ; (2)由(1)知 , 又 , 由可得: S n 2( ) 2+( ) 3+( ) 4+( ) n (2n+3) ( ) n+1 , 故 Sn3 18如图,在四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,点 E 在线段 PC 上 (1)证明:平面 EBD平面 PAC; (2)若ABC60,二面角 BPCD 的余弦值为 ,求 的值 【分析】

27、(1)推导出 ACBD,PABD,BD平面 PAC由此能证明平面 EBD平面 PAC (2) 法一: 推导出 PA底面 ABCD, 四边形 ABCD 菱形, 从而 PBPD, PBCPDC, 取点 E 满足 BEPC,则 DEPC,所以BED 是二面角 BPCD 的平面角设 AB 2,PAt,则 AC2, ,则 等腰PBC 面积为 , 从而 ,由此能求 出结果 (2)法二:由 BDAC,设 BDACO,分别以 , 为 x 轴,y 轴,以平行于 PA 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz利用向量法能求出结果 解:(1)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 ACBD 因为 PA平面

28、ABCD,所以 PABD 因为 PAACA,所以 BD平面 PAC 因为 BD平面 EBD,所以平面 EBD平面 PAC (2)解法一:因为 PA底面 ABCD,四边形 ABCD 菱形, 所以 PBPD,PBCPDC, 取点 E 满足 BEPC,则 DEPC,所以BED 是二面角 BPCD 的平面角 设AB2, PAt, 因为ABC60, 所以AC2, , 则 所以等腰PBC 的面积为 , 所以 , ,由 得 t 22, 故 (2)解法二:因为 BDAC,设 BDACO, 分别以 , 为 x 轴,y 轴,以平行于 PA 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系 Oxyz 设 AB2,P

29、At,则 , , ,C(0,1,0), , , ,P(0,1,t), , , , , , , , , 设平面 PBC 的一个法向量为 , , , 则 ,即 ,可取 , , 设平面 PDC 的一个法向量为 , , , 则 ,即 ,可取 , , , ,因为 , ,所以 t 22, 故 192019 年 10 月,工信部颁发了国内首个 5G 无线电通信设备进网许可证,标志着 5G 基 站设备将正式接入公用电信商用网络某 4G 手机生产商拟升级设备生产 5G 手机,有两 种方案可供选择,方案 1:直接引进 5G 手机生产设备;方案 2:对已有的 4G 手机生产 设备进行技术改造,升级到 5G 手机生产

30、设备该生产商对未来 5G 手机销售市场行情及 回报率进行大数据模拟,得到如下统计表: 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 2p 13p p 预期年利润数值(单位:亿元) 方案 1 70 40 40 方案 2 60 30 10 (1)以预期年利润的期望值为依据,求 p 的取值范围,讨论该生产商应该选择哪种方案 进行设备升级? (2)设该生产商升级设备后生产的 5G 手机年产量为 x 万部,通过大数据模拟核算,选 择方案 1 所生产的 5G 手机年度总成本 (亿元),选择方案 2 所生产的 5G 手机年度总成为 (亿元)已知 p0.2,当所生 产的 5G 手机市场行情为畅销、平销和滞

31、销时,每部手机销售单价分别为 0.8 万元,0.8 0.001x(万元),0.80.002x(万元),根据(1)的决策,求该生产商所生产的 5G 手机年利润期望的最大值?并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值 【分析】(1)利用概率分布列,推出关系式,然后求解概率的范围,求出方案 1 的预期 平均年利润期望值方案 2 的预期平均年利润期望值,比较 E1,E2,判断手机生产商应 该选择的方案; (2)设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为 X1,X2,X3(万元),结合概 率得到分布列,求解期望 解:(1)由 ,可得 p 的取值范围为 方案 1 的预期平均年利润期望值为 E1

32、2p70+(13p)40+p(40)4020p 方案 2 的预期平均年利润期望值为 E22p60+(13p)30+p(10)30+20p 当 时,E1E2,该手机生产商应该选择方案 1; 当 时,E1E2,该手机生产商可以选择方案 1,也可以以选择方案 2; 当 时,E 1E2,该手机生产商应该选择方案 2; (2)因为 , ,该手机生产商将选择方案 1,此时生产的 5G 手机的年度总 成本为 (亿元) 设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为 X1,X2,X3(万元), 那么 X10.8x, , 因为 p0.2,所以手机生产商年利润 X 的分布列为 X 0.8x 0.8x0.001x2

33、 0.8x0.002x2 P 0.4 0.4 0.2 所以 E (X) 0.40.8x+0.4 (0.8x0.001x2) +0.2 (0.8x0.002x2) 0.0008x2+0.8x 年利润期望值 (亿元) 当 x300 时,年利润期望 f(x)取得最大值 40 亿元 方案 1 的预期平均年利润期望值为 40200.236(亿元) 因为 4036,因此这个年利润期望的最大值可以达到预期年利润数值 20设函数 f(x)exalnxa (1)设 x1 是 f(x)的极值点,求 a,并讨论 f(x)的单调性; (2)若 0ae,证明:在区间 , 内,f(x)存在唯一的极小值点 x0,且 f(x

34、0) 0 【分析】(1)先对函数求导,然后结合极值存在的条件可求 a,然后结合导数与单调性 的关系可求; (2)法 1:先对函数求导,然后结合导数可分析函数的单调性,结合极值存在的条件可 证; 法 2: 先对函数求导, 然后结合导数与单调性的关系及函数的性质及函数的零点判定定理 可证 【解答】解法 1:(1)f(x)定义域为(0,+), 由题设 f(1)0,所以 ae 此时 ,当 0x1 时,f(x)0,f(x)单调递减,当 x1 时,f(x) 0,f(x)单调递增,所以 x1 是 f(x)的极小值点 综上,ae,f(x)在单调区间是(0,1),在单调递增区间是(1,+) (2)证明:因为 0

35、ae,所以 在 , 内单调递增 因为 ,f(1)ea0,所以存在 , ,使得 f(x0)0 当 , 时,f(x)0,当 x(x0,1)时,f(x)0,所以 f(x)在 , 上 单调递减,在(x0,1)上单调递增, 所以 f(x)在区间 , 内有唯一的极小值点 x0,没有极大值点 由 f(x0)0 得 ,于是 因为当 时,(1x0)x0lnx00,所以 f(x0)0 综上,f(x)在区间 , 内有唯一的极小值点 x0,没有极大值点,且极小值为正 解法 2: (1)同解法 1 (2)证明:因为 0ae,所以 在 , 内单调递增 因为 ,f(1)ea0,所以存在 , ,使得 f(x0)0 当 , 时

36、,f(x)0,当 x(x0,1)时,f(x)0,所以 f(x)在 , 上 单调递减,在(x0,1)上单调递增, 所以 f(x)在区间 , 内有唯一的极小值点 x0,没有极大值点 由 f(x0)0 得 ,进一步 lnx0lnax0 从 而 综上,f(x)在区间 , 内有唯一的极小值点 x0,没有极大值点,且极小值为正 21已知椭圆 C: 经过点 , ,两个焦点为 , , , (1)求 C 的方程; (2)设圆 D:x2+y2r2(bra),若直线 l 与椭圆 C,圆 D 都相切,切点分别为 A 和 B,求|AB|的最大值 【分析】解法 1:(1)由 ,化简椭圆方程 利用椭圆经过 的点,转化求解即

37、可 (2)设 l:ykx+m,代入 得(4k 2+1)x2+8kmx+4m240利用韦达定理, 结合点到直线的距离,弦长公式转化求解即可 解法 2:(1)由椭圆定义得 a,结合 c,求解 b,得到椭圆方程 (2)设 l:ykx+m,代入 得(4k 2+1)x2+8kmx+4m240由0,得 m21+4k2设 A(x1,y1),将 ykx+m 代入 x2+y2r2得(k2+1)x2+2kmx+m2r20由 0,得 m2r2(1+k2)推出 设 B(x 2,y2),利用弦长公式,结合基本 不等式求解即可 解:解法 1: (1)由题意 ,所以 a2b2+3,C 的方程可化为 因为 C 的经过点 ,

38、,所以 ,解得 b2 1,或 (舍去) 于是 C 的方程为 (2)设 l:ykx+m,代入 得(4k 2+1)x2+8kmx+4m240 由16(4k2+1m2)0,得 m21+4k2 设 A(x0,y0),则 , 因为 l 与圆 D 相切,所以圆心 D 到 l 距离 ,即 m2r2(1+k2) 由得 , 所以圆 D 的切线长 因为 ,当 时取等号,因为 , ,所以|AB|的 最大值为 1 解法 2: (1)由椭圆定义得 2a |AF1|+|AF2| 4 所以 a2,因为 ,所以 b2a2c21,于是 C 的方程为 (2)设 l:ykx+m,代入 得(4k 2+1)x2+8kmx+4m240

39、由16(4k2+1m2)0,得 m21+4k2 设 A(x1,y1),则 将 ykx+m 代入 x2+y2r2得(k2+1)x2+2kmx+m2r20 由4(r2k2+r2m2)0,得 m2r2(1+k2) 由得 设 B(x2,y2),则 . 因为 ,当 时取等号,因为 , ,所以|AB|的 最大值为 1 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)以 O 为极 点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程 2(1+sin2)2 (1)求曲线 C1的极坐标方程; (2)设 A,B 为曲线 C2上位于 x 轴上方的两点,且 OAOB,射

40、线 OA,OB 分别与 C1 相交于点 D 和点 C,当AOB 面积取最小值时,求四边形 ABCD 的面积 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解法 1:(1)消去 中的参数 t 得 将 xcos,ysin 代入得 C1的极坐标方程为 (2)不妨设 A(1,), , ,D(3,), , , 则 , AOB 面积为 , 时取等号, AOB 面积取最小值为 此时 , , , 可得 3416,COD 面积为 , 因此四边形 ABCD 的面积为 解法 2: (1)同解法 1 (2)不妨设 A

41、(1,), , ,D(3,), , , 则 , ,于是 因为 , 所以 , AOB 面积为 ,当 12, 时取等号, 所以AOB 面积最小值为 此时 , , , 可得 3416,COD 面积为 , 因此四边形 ABCD 的面积为 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+a|(x+1)+|x1|(x+a) (1)当 a0 时,求 f(x)0 的解集; (2)若 f(x)0 在(,0)上恒成立,求 a 的取值范围 【分析】(1)求得 a0 时,f(x)的解析式,由绝对值的意义,去绝对值,解不等式, 求并集,可得所求解集; (2)讨论 a0,a0,a0,化简 f(x)的解析式,判断是否

42、恒成立,可得所求范围 解:(1)当 a0 时,f(x)|x|(x+1)+|x1|x 当 x1 时,f(x)x(x+1)+(x1)x2x2,此时 f(x)0 的解集为x|x1; 当 0x1 时,f(x)x(x+1)+(1x)x2x,此时 f(x)0 的解集为x|0x1; 当 x0 时,f(x)x(x+1)(x1)x2x2,此时 f(x)0 的解集为, 综上所述 f(x)0 的解集为x|x0; (2)由(1)可知当 a0 时,在 x(,0)内 f(x)0 恒成立; 当 a0 时,在 x(,0)内 f(x)(x+a)(x+1)(x1)(x+a)2x (x+a)0 恒成立; 当 a0 时,在 x(a,0)内 f(x)(x+a)(x+1)(x1)(x+a)2(x+a) 0,不满足 f(x)0 在(,0)上恒成立的条件,综上所述 a0