1、已知集合 Ax|2x2，Bx|ln（x）0，则 A（RB）（ ） A B （1， C，1） D （1，1 2 （5 分）棣莫弗公式（cosx+isinx）ncosnx+isinnx（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫 弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+isin）6在复平面内 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） 已知点 （3， 1） 和 （4， 6） 在直线 3x2y+a0 的两侧， 则 a 的取值范围是 （ ） A7a24 Ba7 或 a24 Ca7 或 a24 D24a7 4 （5 分）已知 f（x）是（，+）上
2、的减函数，那么实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1） B0， C， D，1 5 （5 分）在ABC 中，D 是 BC 边上一点，ADAB，则 （ ） A2 B3 C D 6 （5 分）已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一 个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为（ ） A B C D 7 （5 分）在等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，已知 3a85a13，且 a10，若 Sn取得最 大值，则 n 为（ ） A20 B21 C22 D23 8 （5 分）已知抛物线 y28x，过点 A（2，0）作倾斜角为的直线 l，若 l 与抛物线交于 第 2 页
3、（共 25 页） B、C 两点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ） A B C D 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期是 ，把它图象 向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论： 函数 f（x）的图象关于直线 x对称 函数 f（x）的图象关于点（，0） 对称 函数 f（x）在区间，上单调递减 函数 f（x）在，上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 10（5 分） 甲、 乙两队进行排球比赛， 根据以往的经验， 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6 设 各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要
4、分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3：1 获胜的概率是（ ） A0.0402 B0.2592 C0.0864 D0.1728 11 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x2，3时，f（x）x，则 x 2，0时，f（x）的解析式为（ ） Af（x）2+|x+1| Bf（x）3|x+1| Cf（x）2x Df（x）x+4 12 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AB、A1D1的中点直线 DB1与平面 EFC 的交点 O，则的值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，
5、共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 x 轴为曲线 f（x）4x3+4（a1）x+1 的切线，则 a 的值为 14 （5 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 第 3 页（共 25 页） 15 （5 分）某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片 区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任 4 位申请人中，申请的 房源在 2 个片区的概率是 16 （5 分）在平面直角坐标系中，过椭圆+1（ab0）的左焦点 F 的直线交椭 圆于 A，B 两点，CABC 是等腰直角三角形，且A90，则椭 圆的离心率为 三、解答题
6、：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，已知 sin2BsinAsinC （1）求证：0B； （2）求 2sin2+sinB1 的取值范围 18 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ADBC，SAABBC CD1，AD
7、2 （1）在棱 SD 上是否存在一点 P，使得 CP平面 SAB？请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 C：+1，A、B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点，M 为椭圆 上的动点 （1）求AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k，且 k（，） ，求直线 BM 的斜率的取值范围 20 （12 分）已知函数 f（x）ln（x+1） ，g（x）ex（e 为自然对数的底数） 第 4 页（共 25 页） （1）讨论函数 （x）f（x）在定义域内极值点的个数； （2）设直线 l 为函数 f（x）的图象上一点 A（
8、x0，y0）处的切线，证明：在区间（0，+ ）上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 yg（x）相切 21 （12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外 疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病 例） （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们 的年龄数据，得如表的频数分布表： 年龄 10，20 （20， 30 （30， 40 （40， 50 （50， 60 （60， 70 （70， 80 （80， 90 （90， 100 人数 2 6 12 18 22 2
9、2 12 4 2 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布 N（，15.22） ，其 中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） 请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（70）的患者比例； （2） 截至 2 月 29 日， 该省新冠肺炎的密切接触者 （均已接受检测） 中确诊患者约占 10%， 以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是 否确诊相互独立现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（1n20 且 n 是 20 的约数）个人一
10、组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验， 若发现新冠病毒， 则对该组的 n 个人抽取的 另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人数为 Xn，以化验次数的期望值为决策依据， 试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值 参考数据：若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9973，0.940.66，0.950.59，0.9100.35 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的
11、第一题计分的题目如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：（t 为参数，） ， 曲线 C1：（ 为参数） ，l1与 C1相切于点 A，以坐标原点为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系 第 5 页（共 25 页） （1）求 C1的极坐标方程及点 A 的极坐标； （2）已知直线 l2：与圆 C2：交于 B，C 两点， 记AOB 的面积为 S1，COC2的面积为 S2，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x2a| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）2x+1
12、； （2）若存在实数 a（1，+） ，使得关于 x 的不等式 f（x）+m 有实数解， 求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2020 年广东省深圳市高考数学模拟试卷（理年广东省深圳市高考数学模拟试卷（理科） （二） （科） （二） （4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|2x2，Bx|ln（x）0，则 A（RB）（ ） A B （1
13、， C，1） D （1，1 【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合 A、B，再由交、并、补集的混合运算得 答案 【解答】 解： Ax|2x2x|1x1， Bx|ln （x） 0x|x， RBx|x或 x，则 A（RB）（1， 故选：B 【点评】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交、并、补集的混合运算，是 基础的计算题 2 （5 分）棣莫弗公式（cosx+isinx）ncosnx+isinnx（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫 弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+isin）6在复平面内 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
14、 【分析】由题意可得（cos+isin）6cos+isin，再由 三角函数的符号得答案 【解答】解：由（cosx+isinx）ncosnx+isinnx， 得（cos+isin）6cos+isin， 复数（cos+isin）6在复平面内所对应的点的坐标为（，sin） ，位 于第三象限 故选：C 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题 3 （5 分） 已知点 （3， 1） 和 （4， 6） 在直线 3x2y+a0 的两侧， 则 a 的取值范围是 （ ） 第 7 页（共 25 页） A7a24 Ba7 或 a24 Ca7 或 a24 D24a7 【分析】利用点
15、（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，列出不等式组，求 解即可 【解答】解：点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧， 可得： （92+a） （1212+a）0，解得：7a24 关系：A 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查不等式的解法，考查计算能力以及转化思想 的应用 4 （5 分）已知 f（x）是（，+）上的减函数，那么实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1） B0， C，） D，1 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论 【解答】解：f（x）是（，+）上的减函数， 满足， 即， 解得， 故选：C 【点评】本题主要考查函数的单调
16、性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的 关键 5 （5 分）在ABC 中，D 是 BC 边上一点，ADAB，则 第 8 页（共 25 页） （ ） A2 B3 C D 【分析】画出示意图，利用条件将所求转化为，再根据图形性质可知 ，进而可求出结果 【解答】解：如图， ADAB， ， ， |cos， 故选：D 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，数形结合是关键，属于中档题 6 （5 分）已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一 个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为（ ） A B C D 【分析】由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的
17、直观图是一个边长为 1 的 正方形，求出四棱锥的底面面积，然后求出四棱锥的体积 【解答】解：一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一 个边长为 1 的正方形， 则四棱锥的底面面积为：2，所以四棱锥的体积为：； 故选：D 第 9 页（共 25 页） 【点评】本题是基础题，在斜二测画法中，平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的 面积之比为 2，是需要牢记的结论，也是解题的根据 7 （5 分）在等差数列an中，Sn为其前 n 项的和，已知 3a85a13，且 a10，若 Sn取得最 大值，则 n 为（ ） A20 B21 C22 D23 【分析】由题意可得等差数列的公差
18、d0，结合题意可得 a1d，可得 Sn na1+d 进而结合二次不等式的性质可求 【解答】解：由题意 3a85a13， 化简得：3（a1+7d）5（a1+12d） ，又 a10， a1d，d0， Snna1+ddn220dn n20 为对称轴，即 n20 时，Sn有最大值 故选：A 【点评】本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前 n 项和 的公式以及结合二次函数的性质来解题 8 （5 分）已知抛物线 y28x，过点 A（2，0）作倾斜角为的直线 l，若 l 与抛物线交于 B、C 两点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ） A B C D 【分
19、析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程 3x220x+120，利用韦达定理， 可求弦 BC 的中点坐标，求出弦 BC 的中垂线的方程，可得 P 的坐标，即可得出结论 【解答】解：由题意，直线 l 方程为：y（x2） ， 代入抛物线 y28x 整理得：3x212x+128x， 3x220x+120， 设 B（x1，y1） 、C（x2，y2） ， x1+x2， 弦 BC 的中点坐标为（，） ， 第 10 页（共 25 页） 弦 BC 的中垂线的方程为 y（x） ， 令 y0，可得 x， P（，0） ， A（2，0） ， |AP| 故选：A 【点评】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关
20、系，考查韦达定理的运用， 解题的关键是联立方程，利用韦达定理 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期是 ，把它图象 向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论： 函数 f（x）的图象关于直线 x对称 函数 f（x）的图象关于点（，0） 对称 函数 f（x）在区间，上单调递减 函数 f（x）在，上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】根据题意求出解析式， 可以求出函数所有的对称轴，然后判断， 可以求出函数所有的对称中心，然后判断， 可以求出函数所有的单调递减区间，然后判断， 可以求出函数所有的零点，然后判断， 【解
21、答】解：最小正周期是 ， ， 它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ysin2（x）+为奇函数，则 ，kZ， 第 11 页（共 25 页） |， 则 ， ， 函数 f（x）的图象所有对称轴为 x，kZ，关于直线 x对称，对； 函数 f（x）的图象关于点（，0） ，kZ 对称，不关于点（，0）对称，错； 函数 f（x）所有单调递减区间Z， k0 时，在区间，上单调递减，在区间，上单调递减，对； 函数 f（x）零点为，kZ，则函数 f（x）在，上有 共 2 个零点，错， 故选：D 【点评】本题考查三角函数，以及图象的一些性质，属于中档题 10（5 分） 甲、 乙两队进行排球比赛，
22、 根据以往的经验， 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6 设 各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3：1 获胜的概率是（ ） A0.0402 B0.2592 C0.0864 D0.1728 【分析】甲以 3：1 获胜是指前 3 局中甲 2 胜 1 负，第 4 局甲胜，由此能求出结果 【解答】解：甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率 为 0.6 设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制， 则甲以 3：1 获胜的概率为： P0.2592 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查 n 次独立重复试验中事件 A
23、 恰好发生 k 次概率计算 公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 11 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x2，3时，f（x）x，则 x 2，0时，f（x）的解析式为（ ） Af（x）2+|x+1| Bf（x）3|x+1| Cf（x）2x Df（x）x+4 第 12 页（共 25 页） 【分析】当 x2，1时，则 x+42，3，由题意可得：f（x+4）x+4再根据函 数的周期性可得 f（x）f（x+4）x+4当 x1，0时，则 2x2，3，由题意 可得：f（2x）2x再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式 【解答】解：当 x2，1时，则 x+42
24、，3， 因为当 x2，3时，f（x）x， 所以 f（x+4）x+4 又因为 f（x）是周期为 2 的周期函数， 所以 f（x）f（x+4）x+4 所以当 x2，1时，f（x）x+4 当 x1，0时，则 2x2，3， 因为当 x2，3时，f（x）x， 所以 f（2x）2x 又因为 f（x）是周期为 2 的周期函数， 所以 f（x）f（2x）2x 因为函数 f（x）是定义在实数 R 上的偶函数， 所以 f（x）f（x）f（2x）2x 所以由可得当 x2，0时，f（x）3|x+1| 故选：B 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性 等有关性质 12 （5 分）如
25、图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AB、A1D1的中点直线 DB1与平面 EFC 的交点 O，则的值为（ ） A B C D 【分析】O 在面 ECF 与面 D1DBB1的交线上，延展平面 ECF，得到面 ECFH，H 在 C1D1 上，KM 为面 ECFH 与面 D1DBB1的交线，O 在 KM 上，DB1KMO，由KOB1 第 13 页（共 25 页） MOD，利用相似三角形对应边成比例可得的值 【解答】解：交点 O 既在平面 ECF 上，又在平面 D1DBB1上， O 在面 ECF 与面 D1DBB1的交线上， 延展平面 ECF，得到面 ECHF，H 在 C1D1
26、上， 则 K，M 都即在面 ECFH 上，又在平面 D1DBB1上， KM 为面 ECFH 与面 D1DBB1的交线，O 在 KM 上， O 在 DB1上，DB1KMO， 取出平面 D1DBB1，KOB1MOD， 由DMCBME，得 DM， 设 G 为 C1D1的中点，由三角形相似可得， 再由题意可得 A1GFH，则，则 故选：A 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定及其应用，考查空间想 象能力与运算求解能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 x 轴为曲线 f（x）4x3+4
27、（a1）x+1 的切线，则 a 的值为 【分析】先对 f（x）求导，然后设切点为（x0，0） ，由切线斜率和切点在曲线上得到关 第 14 页（共 25 页） 于 x0和 a 的方程，再求出 a 的值 【解答】解：由 f（x）4x3+4（a1）x+1，得 f（x）12x2+4（a1） ， x 轴为曲线 f（x）的切线，f（x）的切线方程为 y0， 设切点为（x0，0） ，则， 又， 由，得， a 的值为 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题 14 （5 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 32 【分析】根据数列
28、的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论 【解答】解：因为 Sn为数列an的前 n 项和， 若 Sn2an2， 则 a12a12a12； 则 Sn12an12， 得：an2an2an1an2an1数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 故 an2n； S5S42532 故答案为：32 【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目 15 （5 分）某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片 区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任 4 位申请人中，申请的 房源在 2 个片区的概率是 【分析】该市的任 4 位申请人
29、中，基本事件总数 n3481，申请的房源在 2 个片区包含 的基本事件个数 m（）42，由此能求出申请的房源在 2 个片区的概 率 【解答】解：某市公租房的房源位于 A，B，C 三个片区， 第 15 页（共 25 页） 设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的， 则该市的任 4 位申请人中，基本事件总数 n3481， 申请的房源在 2 个片区包含的基本事件个数 m（）42， 申请的房源在 2 个片区的概率是 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 16 （5 分）在平面直角坐标系中，过椭圆+1
30、（ab0）的左焦点 F 的直线交椭 圆于 A，B 两点，CABC 是等腰直角三角形，且A90，则椭 圆的离心率为 【分析】作图，根据椭圆定义，设 ABACx，则可求出 x（）a，利用勾股定 理求得 a2与 c2的关系是即可 【解答】解：如图，根据题意不妨设 ABACx，则 BCx， 由椭圆定义可知：AF+AC2a，BF+BC2a， 所以 AF2ax，又 BFABAFx（2ax）2x2a， 所以 2x2a+x2a，解得 x（）a， 在 RtAFC 中，AF2+AC2CF2，即（2ax）2+x24c2，将 x（）a 代入， 整理可得（42）2+（22）2a24c2， 两边同时除以 a2，则 e29
31、6（）2， 所以 e， 故答案为： 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查椭圆定义的应用，考查数形结合思想，方程思想，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c，已知 sin2BsinAsinC （1）求证：0B； （2）
32、求 2sin2+sinB1 的取值范围 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求 cosB 的范围，进而可求 B 的范围； （2）结合和差角公式及辅助角公式先进行化简，然后结合正弦函数的性质可求 【解答】解： （1）由正弦定理可得， sin2BsinAsinC b2ac， 由余弦定理可得，cosB， 因为 0B， 所以 0B； （2）2sin2+sinB1cos（A+C）+sinB cosB+sinB， 0B， ， ， 2sin2+sinB1 的范围（1， 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属 于中档试题 18 （12 分）如图所示，四棱锥 SA
33、BCD 中，SA平面 ABCD，ADBC，SAABBC CD1，AD2 （1）在棱 SD 上是否存在一点 P，使得 CP平面 SAB？请证明你的结论； 第 17 页（共 25 页） （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1）当点 P 为棱 SD 的中点时，取 SA 中点 F，连结 FP，FB，PC，则 FPAD， 且 FPAD1，推导出四边形 FBCP 是平行四边形，从而 CPBF，由此能推导出 CP 平面 SAB （2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax，以点 A 为原点，分别以直线 Ax，AD 和 AS 为 x，y，z 轴，建立空间直角
34、坐标系，利用向量法能求出平面 SAB 和平面 SCD 所 成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）当点 P 为棱 SD 的中点时，CP平面 SAB 证明如下： 取 SA 中点 F，连结 FP，FB，PC，则 FPAD，且 FPAD1， FPBC，且 FPBC，四边形 FBCP 是平行四边形，CPBF， CP平面 SAB，BF平面 SAB， CP平面 SAB （2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax， SA平面 ABCD，SAAD，SAAx， 直线 AS，Ax 和 AD 两两垂直， 以点 A 为原点，分别以直线 Ax，AD 和 AS 为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角
35、坐标 系， 过点 B 作 BEAD，交直线 AD 于 E， ADBC，ABBCCD1，AD2， AE，BE， A（0，0，0） ，B（，0） ，C（，0） ，D（0，2，0） ，S（0，0，1） ， 第 18 页（共 25 页） （0，0，1） ，（，0） ，（0，2，1） ，（，0） ， 设平面 SAB 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，0） ， 设平面 SCD 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 a，得 （） ， |cos| 平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线 线、线面、面
36、面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：+1，A、B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点，M 为椭圆 上的动点 （1）求AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k，且 k（，） ，求直线 BM 的斜率的取值范围 【分析】 （1）过 M 作垂直于 x 轴的直线于 H，将AMB 分成两个角，求出两个角的正切 值， 再由两角和的正切公式求出AMB 的正切值， 由 M 的纵坐标的取值范围求出AMB 第 19 页（共 25 页） 的最大值 （2）设 M 的坐标，求出 AM 的斜率 K 的范围，及 BM 的斜率 k可得 kk
37、为定值， 再由 k 的范围求出 k的范围 【解答】解： （1）根据椭圆的对称性，不妨设 M（x0，y0） ， （2x0，0y0 2） ， 过点 M 作 MHx 轴，垂足为 H，则 H（x0，0） （0y02） ， 于是又 tanAMH，tanBMH， tanAMBtan（AMH+BMH）， 因为点 M（x0，y0）在椭圆 C 上，所以+1， 所以 x02123y02， 所以 tanAMB，而 0y02， 所以 tanAMB， 因为 0AMB， 所以AMB 的最大值为，此时 y02， 即 M 为椭圆的上顶点， 由椭圆的对称性，当 M 为椭圆的短轴的顶点时，AMB 取最大值，且最大值为； （2）设
38、直线 BM 的斜率为 kM（x0，y0） ，则 k，k， 所以 kk， 又+1，所以 x02123y02， 所以 kk 第 20 页（共 25 页） 因为k，所以 k（，1） 所以直线 BM 的斜率的取值范围 （，1） 【点评】本题考查两角和正切公式的逆算，及不等式的运算，和椭圆的性质，直线与椭 圆的综合应用 20 （12 分）已知函数 f（x）ln（x+1） ，g（x）ex（e 为自然对数的底数） （1）讨论函数 （x）f（x）在定义域内极值点的个数； （2）设直线 l 为函数 f（x）的图象上一点 A（x0，y0）处的切线，证明：在区间（0，+ ）上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线
39、yg（x）相切 【分析】 （1）先求出 （x）的解析式，然后 （x）的单调性，根据单调性判断函数的 极值点的个数； （2）先用 x0和 y0表示直线 l 在点 A（x0，y0）处的切线方程，然后直线 l 与曲线 yg（x） 相切于点 B（x1，得到，进一步证明在区间（0，+）上 存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 yg（x）相切 【解答】解： （1）（x1 且 x0） ， ， 令 h（x）x2+ax+a，则a24a， 当a24a0，即 0a4 时，（x）0， 此时 （x）在（1，0）和（0，+）上单调递增，无极值点； 当a24a0，即 a0 或 a4 时， 函数 h（x）x2+ax+a 由
40、两个零点， 第 21 页（共 25 页） 若 a0，则由， 有 x20x11，函数 （x）在（1，x1）和（x2，+）上单调递增， 在（x1，0）和（0，x2）上单调递减，此时函数 （x）有两个极值点； 若 a4，则由， 有 x1x21，此时 （x）0，（x）在（1，0）和（0，+）上单调递增，无 极值点， 综上，当 a0 时，函数 （x）无极值点，当 a0 时，函数 （x）有两个极值点 （2）证明：由 f（x）ln（x+1） ，得， 函数 f （x） 的图象上一点 A （x0， y0） 处的切线 l 的方程可表示为， 设直线 l 与曲线 yg（x）相切于点， g（x）ex， 消去 x1，得，
41、 由（1）可知，当 a1 时，函数在（0，+）上单调递 增， 又， 函数 （x）在（e1，e21）上有唯一的零点，又因为 （x）在（0，+）上单调 递增， 方程在（0，+）上存在唯一的根， 在区间（0，+）上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 yg（x）相切 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数研究曲线上某点切线 第 22 页（共 25 页） 方程，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题 21 （12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外 疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入
42、病 例） （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们 的年龄数据，得如表的频数分布表： 年龄 10，20 （20， 30 （30， 40 （40， 50 （50， 60 （60， 70 （70， 80 （80， 90 （90， 100 人数 2 6 12 18 22 22 12 4 2 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布 N（，15.22） ，其 中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） 请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（70）的患者比例； （2） 截至 2 月 29
43、日， 该省新冠肺炎的密切接触者 （均已接受检测） 中确诊患者约占 10%， 以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是 否确诊相互独立现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（1n20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验， 若发现新冠病毒， 则对该组的 n 个人抽取的 另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人数为 Xn，以化验次数的期望值为决策依据， 试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值 参考数据：若 ZN（，2） ，则 P（
44、Z+）0.6826，P（2Z+2 ）0.9544，P（3Z+3）0.9973，0.940.66，0.950.59，0.9100.35 【分析】 （1）先由题目给的数据根据公式求出均值，根据正态分布密度函数的性质即可 年龄在 70 岁以上的患者比例，即 P（Z70） （2）20 人平均分成 n 组，可知 n 应该可以整除 20 方可，并且每组内患者的人数服从二 项分布；然后算出每种分组中化验次数的期望，横向比较，取最小值即可获解 【解答】解：（1） 54.8 所以 P（54.815.2X54.8+15.2）P（39.6X70）0.6826 第 23 页（共 25 页） P（Z70） 所以该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（70）的患者比例为 15.87% （2）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为，n 的可能取值为 2，4，5， 10且 XnB（n，） 对于某组 n 个人，化验次数 Y 的可能取值为 1，n+1 P（Y1），P（Yn+1） 所以n+1， 则 20 人的化验总次数为 f（n）， 经计算 f（2）13.8，f（4）11.8，f（5）12.2，f（10）15 所以，当 n4 时符合题意，即按 4 人一组检测，可是化验总次数最少 【点评】本题是一道应用题