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2020年广东省深圳市高考数学模拟试卷(理科)(二)(4月份)含详细解答

1、已知集合 Ax|2x2,Bx|ln(x)0,则 A(RB)( ) A B (1, C,1) D (1,1 2 (5 分)棣莫弗公式(cosx+isinx)ncosnx+isinnx(i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫 弗(16671754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数(cos+isin)6在复平面内 所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 (5 分) 已知点 (3, 1) 和 (4, 6) 在直线 3x2y+a0 的两侧, 则 a 的取值范围是 ( ) A7a24 Ba7 或 a24 Ca7 或 a24 D24a7 4 (5 分)已知 f(x)是(,+)上

2、的减函数,那么实数 a 的取值范围是( ) A (0,1) B0, C, D,1 5 (5 分)在ABC 中,D 是 BC 边上一点,ADAB,则 ( ) A2 B3 C D 6 (5 分)已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一 个边长为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( ) A B C D 7 (5 分)在等差数列an中,Sn为其前 n 项的和,已知 3a85a13,且 a10,若 Sn取得最 大值,则 n 为( ) A20 B21 C22 D23 8 (5 分)已知抛物线 y28x,过点 A(2,0)作倾斜角为的直线 l,若 l 与抛物线交于 第 2 页

3、(共 25 页) B、C 两点,弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P,则线段 AP 的长为( ) A B C D 9 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0,|)的最小正周期是 ,把它图象 向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论: 函数 f(x)的图象关于直线 x对称 函数 f(x)的图象关于点(,0) 对称 函数 f(x)在区间,上单调递减 函数 f(x)在,上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 10(5 分) 甲、 乙两队进行排球比赛, 根据以往的经验, 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6 设 各局比赛相互间没有影响,且每场比赛均要

4、分出胜负,若采用五局三胜制,则甲以 3:1 获胜的概率是( ) A0.0402 B0.2592 C0.0864 D0.1728 11 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,当 x2,3时,f(x)x,则 x 2,0时,f(x)的解析式为( ) Af(x)2+|x+1| Bf(x)3|x+1| Cf(x)2x Df(x)x+4 12 (5 分)如图,长方体 ABCDA1B1C1D1中,E、F 分别为棱 AB、A1D1的中点直线 DB1与平面 EFC 的交点 O,则的值为( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,

5、共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 x 轴为曲线 f(x)4x3+4(a1)x+1 的切线,则 a 的值为 14 (5 分)已知 Sn为数列an的前 n 项和,若 Sn2an2,则 S5S4 第 3 页(共 25 页) 15 (5 分)某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只能申请其中一个片 区的房子,申请其中任一个片区的房屋是等可能的,则该市的任 4 位申请人中,申请的 房源在 2 个片区的概率是 16 (5 分)在平面直角坐标系中,过椭圆+1(ab0)的左焦点 F 的直线交椭 圆于 A,B 两点,CABC 是等腰直角三角形,且A90,则椭 圆的离心率为 三、解答题

6、:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,已知 sin2BsinAsinC (1)求证:0B; (2)求 2sin2+sinB1 的取值范围 18 (12 分)如图所示,四棱锥 SABCD 中,SA平面 ABCD,ADBC,SAABBC CD1,AD

7、2 (1)在棱 SD 上是否存在一点 P,使得 CP平面 SAB?请证明你的结论; (2)求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 19 (12 分)已知椭圆 C:+1,A、B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点,M 为椭圆 上的动点 (1)求AMB 的最大值,并证明你的结论; (2)设直线 AM 的斜率为 k,且 k(,) ,求直线 BM 的斜率的取值范围 20 (12 分)已知函数 f(x)ln(x+1) ,g(x)ex(e 为自然对数的底数) 第 4 页(共 25 页) (1)讨论函数 (x)f(x)在定义域内极值点的个数; (2)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点 A(

8、x0,y0)处的切线,证明:在区间(0,+ )上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 yg(x)相切 21 (12 分)2020 年初,新冠肺炎疫情袭击全国,某省由于人员流动性较大,成为湖北省外 疫情最严重的省份之一,截至 2 月 29 日,该省已累计确诊 1349 例患者(无境外输入病 例) (1)为了解新冠肺炎的相关特征,研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者,统计他们 的年龄数据,得如表的频数分布表: 年龄 10,20 (20, 30 (30, 40 (40, 50 (50, 60 (60, 70 (70, 80 (80, 90 (90, 100 人数 2 6 12 18 22 2

9、2 12 4 2 由频数分布表可以大致认为,该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布 N(,15.22) ,其 中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表) 请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上(70)的患者比例; (2) 截至 2 月 29 日, 该省新冠肺炎的密切接触者 (均已接受检测) 中确诊患者约占 10%, 以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率,每名密切接触者是 否确诊相互独立现有密切接触者 20 人,为检测出所有患者,设计了如下方案:将这 20 名密切接触者随机地按 n(1n20 且 n 是 20 的约数)个人一

10、组平均分组,并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验, 若发现新冠病毒, 则对该组的 n 个人抽取的 另一半血液逐一化验,记 n 个人中患者的人数为 Xn,以化验次数的期望值为决策依据, 试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值 参考数据:若 ZN(,2) ,则 P(Z+)0.6826,P(2Z+2 )0.9544,P(3Z+3)0.9973,0.940.66,0.950.59,0.9100.35 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意:只能做所选定两题中任选一题作答注意:只能做所选定 的题目如果多做,则按所做的

11、第一题计分的题目如果多做,则按所做的第一题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:(t 为参数,) , 曲线 C1:( 为参数) ,l1与 C1相切于点 A,以坐标原点为极点,x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系 第 5 页(共 25 页) (1)求 C1的极坐标方程及点 A 的极坐标; (2)已知直线 l2:与圆 C2:交于 B,C 两点, 记AOB 的面积为 S1,COC2的面积为 S2,求的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 f(x)|x2a| (1)当 a1 时,解不等式 f(x)2x+1

12、; (2)若存在实数 a(1,+) ,使得关于 x 的不等式 f(x)+m 有实数解, 求实数 m 的取值范围 第 6 页(共 25 页) 2020 年广东省深圳市高考数学模拟试卷(理年广东省深圳市高考数学模拟试卷(理科) (二) (科) (二) (4 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|2x2,Bx|ln(x)0,则 A(RB)( ) A B (1

13、, C,1) D (1,1 【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合 A、B,再由交、并、补集的混合运算得 答案 【解答】 解: Ax|2x2x|1x1, Bx|ln (x) 0x|x, RBx|x或 x,则 A(RB)(1, 故选:B 【点评】本题考查指数不等式与对数不等式的解法,考查交、并、补集的混合运算,是 基础的计算题 2 (5 分)棣莫弗公式(cosx+isinx)ncosnx+isinnx(i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫 弗(16671754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数(cos+isin)6在复平面内 所对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

14、 【分析】由题意可得(cos+isin)6cos+isin,再由 三角函数的符号得答案 【解答】解:由(cosx+isinx)ncosnx+isinnx, 得(cos+isin)6cos+isin, 复数(cos+isin)6在复平面内所对应的点的坐标为(,sin) ,位 于第三象限 故选:C 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查三角函数值的符号,是基础题 3 (5 分) 已知点 (3, 1) 和 (4, 6) 在直线 3x2y+a0 的两侧, 则 a 的取值范围是 ( ) 第 7 页(共 25 页) A7a24 Ba7 或 a24 Ca7 或 a24 D24a7 【分析】利用点

15、(3,1)和(4,6)在直线 3x2y+a0 的两侧,列出不等式组,求 解即可 【解答】解:点(3,1)和(4,6)在直线 3x2y+a0 的两侧, 可得: (92+a) (1212+a)0,解得:7a24 关系:A 【点评】本题考查函数与方程的应用,考查不等式的解法,考查计算能力以及转化思想 的应用 4 (5 分)已知 f(x)是(,+)上的减函数,那么实数 a 的取值范围是( ) A (0,1) B0, C,) D,1 【分析】根据分段函数单调性的性质,列出不等式组,求解即可得到结论 【解答】解:f(x)是(,+)上的减函数, 满足, 即, 解得, 故选:C 【点评】本题主要考查函数的单调

16、性的应用,根据复合函数单调性的性质是解决本题的 关键 5 (5 分)在ABC 中,D 是 BC 边上一点,ADAB,则 第 8 页(共 25 页) ( ) A2 B3 C D 【分析】画出示意图,利用条件将所求转化为,再根据图形性质可知 ,进而可求出结果 【解答】解:如图, ADAB, , , |cos, 故选:D 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及其运算,数形结合是关键,属于中档题 6 (5 分)已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一 个边长为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( ) A B C D 【分析】由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的

17、直观图是一个边长为 1 的 正方形,求出四棱锥的底面面积,然后求出四棱锥的体积 【解答】解:一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一 个边长为 1 的正方形, 则四棱锥的底面面积为:2,所以四棱锥的体积为:; 故选:D 第 9 页(共 25 页) 【点评】本题是基础题,在斜二测画法中,平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的 面积之比为 2,是需要牢记的结论,也是解题的根据 7 (5 分)在等差数列an中,Sn为其前 n 项的和,已知 3a85a13,且 a10,若 Sn取得最 大值,则 n 为( ) A20 B21 C22 D23 【分析】由题意可得等差数列的公差

18、d0,结合题意可得 a1d,可得 Sn na1+d 进而结合二次不等式的性质可求 【解答】解:由题意 3a85a13, 化简得:3(a1+7d)5(a1+12d) ,又 a10, a1d,d0, Snna1+ddn220dn n20 为对称轴,即 n20 时,Sn有最大值 故选:A 【点评】本题是一个最大值的问题,主要是利用等差数列的性质与等差数列的前 n 项和 的公式以及结合二次函数的性质来解题 8 (5 分)已知抛物线 y28x,过点 A(2,0)作倾斜角为的直线 l,若 l 与抛物线交于 B、C 两点,弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P,则线段 AP 的长为( ) A B C D 【分

19、析】先表示出直线方程,代入抛物线方程可得方程 3x220x+120,利用韦达定理, 可求弦 BC 的中点坐标,求出弦 BC 的中垂线的方程,可得 P 的坐标,即可得出结论 【解答】解:由题意,直线 l 方程为:y(x2) , 代入抛物线 y28x 整理得:3x212x+128x, 3x220x+120, 设 B(x1,y1) 、C(x2,y2) , x1+x2, 弦 BC 的中点坐标为(,) , 第 10 页(共 25 页) 弦 BC 的中垂线的方程为 y(x) , 令 y0,可得 x, P(,0) , A(2,0) , |AP| 故选:A 【点评】本题以抛物线为载体,考查直线与抛物线的位置关

20、系,考查韦达定理的运用, 解题的关键是联立方程,利用韦达定理 9 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0,|)的最小正周期是 ,把它图象 向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论: 函数 f(x)的图象关于直线 x对称 函数 f(x)的图象关于点(,0) 对称 函数 f(x)在区间,上单调递减 函数 f(x)在,上有 3 个零点 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【分析】根据题意求出解析式, 可以求出函数所有的对称轴,然后判断, 可以求出函数所有的对称中心,然后判断, 可以求出函数所有的单调递减区间,然后判断, 可以求出函数所有的零点,然后判断, 【解

21、答】解:最小正周期是 , , 它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数, ysin2(x)+为奇函数,则 ,kZ, 第 11 页(共 25 页) |, 则 , , 函数 f(x)的图象所有对称轴为 x,kZ,关于直线 x对称,对; 函数 f(x)的图象关于点(,0) ,kZ 对称,不关于点(,0)对称,错; 函数 f(x)所有单调递减区间Z, k0 时,在区间,上单调递减,在区间,上单调递减,对; 函数 f(x)零点为,kZ,则函数 f(x)在,上有 共 2 个零点,错, 故选:D 【点评】本题考查三角函数,以及图象的一些性质,属于中档题 10(5 分) 甲、 乙两队进行排球比赛,

22、 根据以往的经验, 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6 设 各局比赛相互间没有影响,且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制,则甲以 3:1 获胜的概率是( ) A0.0402 B0.2592 C0.0864 D0.1728 【分析】甲以 3:1 获胜是指前 3 局中甲 2 胜 1 负,第 4 局甲胜,由此能求出结果 【解答】解:甲、乙两队进行排球比赛,根据以往的经验,单局比赛甲队胜乙队的概率 为 0.6 设各局比赛相互间没有影响,且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制, 则甲以 3:1 获胜的概率为: P0.2592 故选:B 【点评】本题考查概率的求法,考查 n 次独立重复试验中事件 A

23、 恰好发生 k 次概率计算 公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 11 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,当 x2,3时,f(x)x,则 x 2,0时,f(x)的解析式为( ) Af(x)2+|x+1| Bf(x)3|x+1| Cf(x)2x Df(x)x+4 第 12 页(共 25 页) 【分析】当 x2,1时,则 x+42,3,由题意可得:f(x+4)x+4再根据函 数的周期性可得 f(x)f(x+4)x+4当 x1,0时,则 2x2,3,由题意 可得:f(2x)2x再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式 【解答】解:当 x2,1时,则 x+42

24、,3, 因为当 x2,3时,f(x)x, 所以 f(x+4)x+4 又因为 f(x)是周期为 2 的周期函数, 所以 f(x)f(x+4)x+4 所以当 x2,1时,f(x)x+4 当 x1,0时,则 2x2,3, 因为当 x2,3时,f(x)x, 所以 f(2x)2x 又因为 f(x)是周期为 2 的周期函数, 所以 f(x)f(2x)2x 因为函数 f(x)是定义在实数 R 上的偶函数, 所以 f(x)f(x)f(2x)2x 所以由可得当 x2,0时,f(x)3|x+1| 故选:B 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质,即周期性,奇偶性,单调性 等有关性质 12 (5 分)如

25、图,长方体 ABCDA1B1C1D1中,E、F 分别为棱 AB、A1D1的中点直线 DB1与平面 EFC 的交点 O,则的值为( ) A B C D 【分析】O 在面 ECF 与面 D1DBB1的交线上,延展平面 ECF,得到面 ECFH,H 在 C1D1 上,KM 为面 ECFH 与面 D1DBB1的交线,O 在 KM 上,DB1KMO,由KOB1 第 13 页(共 25 页) MOD,利用相似三角形对应边成比例可得的值 【解答】解:交点 O 既在平面 ECF 上,又在平面 D1DBB1上, O 在面 ECF 与面 D1DBB1的交线上, 延展平面 ECF,得到面 ECHF,H 在 C1D1

26、上, 则 K,M 都即在面 ECFH 上,又在平面 D1DBB1上, KM 为面 ECFH 与面 D1DBB1的交线,O 在 KM 上, O 在 DB1上,DB1KMO, 取出平面 D1DBB1,KOB1MOD, 由DMCBME,得 DM, 设 G 为 C1D1的中点,由三角形相似可得, 再由题意可得 A1GFH,则,则 故选:A 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定及其应用,考查空间想 象能力与运算求解能力,是中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 x 轴为曲线 f(x)4x3+4

27、(a1)x+1 的切线,则 a 的值为 【分析】先对 f(x)求导,然后设切点为(x0,0) ,由切线斜率和切点在曲线上得到关 第 14 页(共 25 页) 于 x0和 a 的方程,再求出 a 的值 【解答】解:由 f(x)4x3+4(a1)x+1,得 f(x)12x2+4(a1) , x 轴为曲线 f(x)的切线,f(x)的切线方程为 y0, 设切点为(x0,0) ,则, 又, 由,得, a 的值为 故答案为: 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查了方程思想,属基础题 14 (5 分)已知 Sn为数列an的前 n 项和,若 Sn2an2,则 S5S4 32 【分析】根据数列

28、的递推关系,求出数列的通项公式,然后即可求解结论 【解答】解:因为 Sn为数列an的前 n 项和, 若 Sn2an2, 则 a12a12a12; 则 Sn12an12, 得:an2an2an1an2an1数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列; 故 an2n; S5S42532 故答案为:32 【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式,属于基础题目 15 (5 分)某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只能申请其中一个片 区的房子,申请其中任一个片区的房屋是等可能的,则该市的任 4 位申请人中,申请的 房源在 2 个片区的概率是 【分析】该市的任 4 位申请人

29、中,基本事件总数 n3481,申请的房源在 2 个片区包含 的基本事件个数 m()42,由此能求出申请的房源在 2 个片区的概 率 【解答】解:某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区, 第 15 页(共 25 页) 设每位申请人只能申请其中一个片区的房子,申请其中任一个片区的房屋是等可能的, 则该市的任 4 位申请人中,基本事件总数 n3481, 申请的房源在 2 个片区包含的基本事件个数 m()42, 申请的房源在 2 个片区的概率是 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 16 (5 分)在平面直角坐标系中,过椭圆+1

30、(ab0)的左焦点 F 的直线交椭 圆于 A,B 两点,CABC 是等腰直角三角形,且A90,则椭 圆的离心率为 【分析】作图,根据椭圆定义,设 ABACx,则可求出 x()a,利用勾股定 理求得 a2与 c2的关系是即可 【解答】解:如图,根据题意不妨设 ABACx,则 BCx, 由椭圆定义可知:AF+AC2a,BF+BC2a, 所以 AF2ax,又 BFABAFx(2ax)2x2a, 所以 2x2a+x2a,解得 x()a, 在 RtAFC 中,AF2+AC2CF2,即(2ax)2+x24c2,将 x()a 代入, 整理可得(42)2+(22)2a24c2, 两边同时除以 a2,则 e29

31、6()2, 所以 e, 故答案为: 第 16 页(共 25 页) 【点评】本题考查椭圆定义的应用,考查数形结合思想,方程思想,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)在ABC 中,内角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,已知 sin2BsinAsinC (1)求证:0B; (2)

32、求 2sin2+sinB1 的取值范围 【分析】 (1)由已知结合正弦定理及余弦定理可求 cosB 的范围,进而可求 B 的范围; (2)结合和差角公式及辅助角公式先进行化简,然后结合正弦函数的性质可求 【解答】解: (1)由正弦定理可得, sin2BsinAsinC b2ac, 由余弦定理可得,cosB, 因为 0B, 所以 0B; (2)2sin2+sinB1cos(A+C)+sinB cosB+sinB, 0B, , , 2sin2+sinB1 的范围(1, 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用,属 于中档试题 18 (12 分)如图所示,四棱锥 SA

33、BCD 中,SA平面 ABCD,ADBC,SAABBC CD1,AD2 (1)在棱 SD 上是否存在一点 P,使得 CP平面 SAB?请证明你的结论; 第 17 页(共 25 页) (2)求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 【分析】 (1)当点 P 为棱 SD 的中点时,取 SA 中点 F,连结 FP,FB,PC,则 FPAD, 且 FPAD1,推导出四边形 FBCP 是平行四边形,从而 CPBF,由此能推导出 CP 平面 SAB (2)在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax,以点 A 为原点,分别以直线 Ax,AD 和 AS 为 x,y,z 轴,建立空间直角

34、坐标系,利用向量法能求出平面 SAB 和平面 SCD 所 成锐二面角的余弦值 【解答】解: (1)当点 P 为棱 SD 的中点时,CP平面 SAB 证明如下: 取 SA 中点 F,连结 FP,FB,PC,则 FPAD,且 FPAD1, FPBC,且 FPBC,四边形 FBCP 是平行四边形,CPBF, CP平面 SAB,BF平面 SAB, CP平面 SAB (2)在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax, SA平面 ABCD,SAAD,SAAx, 直线 AS,Ax 和 AD 两两垂直, 以点 A 为原点,分别以直线 Ax,AD 和 AS 为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角

35、坐标 系, 过点 B 作 BEAD,交直线 AD 于 E, ADBC,ABBCCD1,AD2, AE,BE, A(0,0,0) ,B(,0) ,C(,0) ,D(0,2,0) ,S(0,0,1) , 第 18 页(共 25 页) (0,0,1) ,(,0) ,(0,2,1) ,(,0) , 设平面 SAB 的法向量 (x,y,z) , 则,取 x1,得 (1,0) , 设平面 SCD 的法向量 (a,b,c) , 则,取 a,得 () , |cos| 平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的判断与证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线 线、线面、面

36、面间的位置关系等基础知识,考查运算能力和推理论证能力,属于中档题 19 (12 分)已知椭圆 C:+1,A、B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点,M 为椭圆 上的动点 (1)求AMB 的最大值,并证明你的结论; (2)设直线 AM 的斜率为 k,且 k(,) ,求直线 BM 的斜率的取值范围 【分析】 (1)过 M 作垂直于 x 轴的直线于 H,将AMB 分成两个角,求出两个角的正切 值, 再由两角和的正切公式求出AMB 的正切值, 由 M 的纵坐标的取值范围求出AMB 第 19 页(共 25 页) 的最大值 (2)设 M 的坐标,求出 AM 的斜率 K 的范围,及 BM 的斜率 k可得 kk

37、为定值, 再由 k 的范围求出 k的范围 【解答】解: (1)根据椭圆的对称性,不妨设 M(x0,y0) , (2x0,0y0 2) , 过点 M 作 MHx 轴,垂足为 H,则 H(x0,0) (0y02) , 于是又 tanAMH,tanBMH, tanAMBtan(AMH+BMH), 因为点 M(x0,y0)在椭圆 C 上,所以+1, 所以 x02123y02, 所以 tanAMB,而 0y02, 所以 tanAMB, 因为 0AMB, 所以AMB 的最大值为,此时 y02, 即 M 为椭圆的上顶点, 由椭圆的对称性,当 M 为椭圆的短轴的顶点时,AMB 取最大值,且最大值为; (2)设

38、直线 BM 的斜率为 kM(x0,y0) ,则 k,k, 所以 kk, 又+1,所以 x02123y02, 所以 kk 第 20 页(共 25 页) 因为k,所以 k(,1) 所以直线 BM 的斜率的取值范围 (,1) 【点评】本题考查两角和正切公式的逆算,及不等式的运算,和椭圆的性质,直线与椭 圆的综合应用 20 (12 分)已知函数 f(x)ln(x+1) ,g(x)ex(e 为自然对数的底数) (1)讨论函数 (x)f(x)在定义域内极值点的个数; (2)设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点 A(x0,y0)处的切线,证明:在区间(0,+ )上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线

39、yg(x)相切 【分析】 (1)先求出 (x)的解析式,然后 (x)的单调性,根据单调性判断函数的 极值点的个数; (2)先用 x0和 y0表示直线 l 在点 A(x0,y0)处的切线方程,然后直线 l 与曲线 yg(x) 相切于点 B(x1,得到,进一步证明在区间(0,+)上 存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 yg(x)相切 【解答】解: (1)(x1 且 x0) , , 令 h(x)x2+ax+a,则a24a, 当a24a0,即 0a4 时,(x)0, 此时 (x)在(1,0)和(0,+)上单调递增,无极值点; 当a24a0,即 a0 或 a4 时, 函数 h(x)x2+ax+a 由

40、两个零点, 第 21 页(共 25 页) 若 a0,则由, 有 x20x11,函数 (x)在(1,x1)和(x2,+)上单调递增, 在(x1,0)和(0,x2)上单调递减,此时函数 (x)有两个极值点; 若 a4,则由, 有 x1x21,此时 (x)0,(x)在(1,0)和(0,+)上单调递增,无 极值点, 综上,当 a0 时,函数 (x)无极值点,当 a0 时,函数 (x)有两个极值点 (2)证明:由 f(x)ln(x+1) ,得, 函数 f (x) 的图象上一点 A (x0, y0) 处的切线 l 的方程可表示为, 设直线 l 与曲线 yg(x)相切于点, g(x)ex, 消去 x1,得,

41、 由(1)可知,当 a1 时,函数在(0,+)上单调递 增, 又, 函数 (x)在(e1,e21)上有唯一的零点,又因为 (x)在(0,+)上单调 递增, 方程在(0,+)上存在唯一的根, 在区间(0,+)上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 yg(x)相切 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,利用导数研究曲线上某点切线 第 22 页(共 25 页) 方程,考查了分类讨论思想和转化思想,属难题 21 (12 分)2020 年初,新冠肺炎疫情袭击全国,某省由于人员流动性较大,成为湖北省外 疫情最严重的省份之一,截至 2 月 29 日,该省已累计确诊 1349 例患者(无境外输入

42、病 例) (1)为了解新冠肺炎的相关特征,研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者,统计他们 的年龄数据,得如表的频数分布表: 年龄 10,20 (20, 30 (30, 40 (40, 50 (50, 60 (60, 70 (70, 80 (80, 90 (90, 100 人数 2 6 12 18 22 22 12 4 2 由频数分布表可以大致认为,该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布 N(,15.22) ,其 中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表) 请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上(70)的患者比例; (2) 截至 2 月 29

43、日, 该省新冠肺炎的密切接触者 (均已接受检测) 中确诊患者约占 10%, 以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率,每名密切接触者是 否确诊相互独立现有密切接触者 20 人,为检测出所有患者,设计了如下方案:将这 20 名密切接触者随机地按 n(1n20 且 n 是 20 的约数)个人一组平均分组,并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验, 若发现新冠病毒, 则对该组的 n 个人抽取的 另一半血液逐一化验,记 n 个人中患者的人数为 Xn,以化验次数的期望值为决策依据, 试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值 参考数据:若 ZN(,2) ,则 P(

44、Z+)0.6826,P(2Z+2 )0.9544,P(3Z+3)0.9973,0.940.66,0.950.59,0.9100.35 【分析】 (1)先由题目给的数据根据公式求出均值,根据正态分布密度函数的性质即可 年龄在 70 岁以上的患者比例,即 P(Z70) (2)20 人平均分成 n 组,可知 n 应该可以整除 20 方可,并且每组内患者的人数服从二 项分布;然后算出每种分组中化验次数的期望,横向比较,取最小值即可获解 【解答】解:(1) 54.8 所以 P(54.815.2X54.8+15.2)P(39.6X70)0.6826 第 23 页(共 25 页) P(Z70) 所以该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上(70)的患者比例为 15.87% (2)由题意,每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为,n 的可能取值为 2,4,5, 10且 XnB(n,) 对于某组 n 个人,化验次数 Y 的可能取值为 1,n+1 P(Y1),P(Yn+1) 所以n+1, 则 20 人的化验总次数为 f(n), 经计算 f(2)13.8,f(4)11.8,f(5)12.2,f(10)15 所以,当 n4 时符合题意,即按 4 人一组检测,可是化验总次数最少 【点评】本题是一道应用题