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2020年广东省深圳市宝安区高考数学模拟试卷(理科)(2月份)含详细解答

1、已知复数 z(a21)+(a2)i(aR) ,则“a1”是“z 为纯虚数”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 2 (5 分)设 z,f(x)x2x+1,则 f(z)( ) Ai Bi C1+i D1+i 3(5 分) 设向量, 若, 则 ( ) A B C1 D3 4 (5 分)黄金三角形有两种,其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的 三角形,它是顶角为 36的等腰三角形(另一种是顶角为 108的等腰三角形) ,例如, 正五角星由 5 个黄金三角形和一个正五边形组成, 如图所示, 在一个黄金三角形 ABC 中, ,根据这些信息,可得

2、sin234( ) A B C D 5(5 分) 设函数 f (x) x21, 对任意, 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A B (,+) C (,+) D (,11,+) 第 2 页(共 28 页) 6 (5 分)已知实数 x、y 满足,若 yk(x+1)1 恒成立,那么 k 的取值范围是( ) A B C3,+) D 7 ( 5分 ) 已 知0 x 2, 0 y 2, 且M + 则 M 的最小值为( ) A B C2 D 8 (5 分)已知双曲线 C:y21,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N若OMN 为直角三角形,则|MN

3、|( ) A B3 C2 D4 9 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0)在区间(,)上单调,且 f() 1,f()0,则 的最大值为( ) A7 B9 C11 D13 10 (5 分)已知数列an满足 a11,an+1(nN*) ,若 bn+1(n2) (+1) (nN*) ,b1,且数列bn是单调递增数列,则实数 的取值范围是( ) A B C D 11 (5 分)偶函数 f(x)定义域为,其导函数是 f(x) ,当时, 有 f (x) cosx+f (x) sinx0, 则关于 x 的不等式的解集为 ( ) A B C D 12 (5 分)如图所示点 F 是抛物线 y28x

4、的焦点,点 A、B 分别在抛物线 y28x 及圆(x 2)2+y216 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,则FAB 的周长的取值范围 是( ) 第 3 页(共 28 页) A (6,10) B (8,12) C6,8 D8,12 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分)分) 13 (5 分)在(x2+2x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 14 ( 5分 ) 若 数 列 an 是 正 项 数 列 , 且, 则 15 (5 分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为 1,1,与的 夹角为 ,且 tan7,与的夹角为 45若m+n(m,nR) ,则 m+n 16 (5 分)在内切

5、圆圆心为 M 的ABC 中,AB3,BC4,AC5,在平面 ABC 内,过 点 M 作动直线 l,现将ABC 沿动直线 l 翻折,使翻折后的点 C 在平面 ABM 上的射影 E 落在直线 AB 上,点 C 在直线 l 上的射影为 F,则的最小值为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分. 17 (12 分)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且(2ac) (a2b2+c2) 2abccosC (1)求角 B 的大小; (2)若 sinA+1(cosC+)0,求的值 18 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,且 ADPD1,平面 PCD平面

6、 ABCD,PDC120,点 E 为线段 PC 的中点,点 F 是线段 AB 上的一个 第 4 页(共 28 页) 动点 ()求证:平面 DEF平面 PBC; ()设二面角 CDEF 的平面角为 ,试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F,使 得 tan2,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由 19 (12 分)已知两动圆 F1: (x+) 2+y2r2 和 F2: (x) 2+y2(4r)2(0r4) , 把它们的公共点的轨迹记为曲线 C,若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M,且曲线 C 上 的相异两点 A、B 满足:0 (1)求曲线 C 的方程; (2)证明直线 AB 恒经过一定

7、点,并求此定点的坐标; (3)求ABM 面积 S 的最大值 20 (12 分)近年来,国资委、党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重 大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为 了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管 理时间的关系如表所示: 土地使用面积 x(单位:亩) 1 2 3 4 5 管理时间 y (单位:月) 8 10 13 25 24 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 第 5 页(共 28 页

8、) (1)求出相关系数 r 的大小,并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关? (2)是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性? (3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中 任取 3 人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 x,求 x 的分布列及数学期望 参考公式: ,其中 na+b+c+d 临界值表: P(K2k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据:25.2 21 (12 分)已知函数 f(x)x2+ax+b,g

9、(x)ex(cx+d) ,若曲线 yf(x)和曲线 yg (x)都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y4x+2 ()求 a,b,c,d 的值; ()若 x2 时,f(x)kg(x) ,求 k 的取值范围 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答. 22 (10 分)已知直线 l 经过点 P(,1) ,倾斜角 ,圆 C 的极坐标方程为 cos () (1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积 23已知

10、 f(x)|x+1|ax1| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)1 的解集; (2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立,求 a 的取值范围 第 6 页(共 28 页) 2020 年广东省深圳市宝安中学(集团年广东省深圳市宝安中学(集团)高考数学模拟试卷(理)高考数学模拟试卷(理 科) (科) (2 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题(每题一、单选题(每题 5 分)分) 1 (5 分)已知复数 z(a21)+(a2)i(aR) ,则“a1”是“z 为纯虚数”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【分析】当 a1

11、时,复数 z(a21)+(a2)ii,是一个纯虚数;当 z 为纯虚数 时,a1,不能推出 a1 【解答】解:当 a1 时,复数 z(a21)+(a2)ii,是一个纯虚数 当复数 z(a21)+(a2)ii 是一个纯虚数时,a210 且 a20,a1, 故不能推出 a1 故选:A 【点评】本题考查复数的基本概念,充分条件、必要条件的定义,是一道基础题 2 (5 分)设 z,f(x)x2x+1,则 f(z)( ) Ai Bi C1+i D1+i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,代入 f(x)求解 【解答】解:, 且 f(x)x2x+1, 则 f(z)(i)2(i)+1i 故选:A 【点评】

12、本题考查复数代数形式的乘除运算,考查虚数单位 i 的运算性质,是基础题 3(5 分) 设向量, 若, 则 ( ) A B C1 D3 【分析】根据,建立关系,令正切的和与差即可求解 【解答】解:由题意,可得:2cossin0,即 tan2 第 7 页(共 28 页) 那么 故选:D 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切式,同角三角函数公式,向量垂直的关 系,难度不大,属于基础题 4 (5 分)黄金三角形有两种,其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的 三角形,它是顶角为 36的等腰三角形(另一种是顶角为 108的等腰三角形) ,例如, 正五角星由 5 个黄金三角形和一个正五边

13、形组成, 如图所示, 在一个黄金三角形 ABC 中, ,根据这些信息,可得 sin234( ) A B C D 【分析】由已知求得ACB72,可得 cos72的值,再由二倍角的余弦及三角函数的 诱导公式求解 sin234 【解答】解:由图可知,ACB72,且 cos72 cos1442cos2721 则 sin234sin(144+90)cos144 故选:C 第 8 页(共 28 页) 【点评】本题考查三角函数的恒等变换,考查解读信息与应用信息的能力,是中档题 5(5 分) 设函数 f (x) x21, 对任意, 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A B (,+) C (,+) D (

14、,11,+) 【分析】运用参数分离,依据题意得4m2+1 在 x,+)上恒成立, 通过导数,判断单调性,求出函数 g(x)+1 的最小值,即可求出 m 的取值 范围 【解答】解:依据题意得14m2(x1)(x1)21+4(m21)在 x,+ )上恒成立, 即4m2+1 在 x,+)上恒成立 令 g(x)+1,g(x)+, x,+) , g(x)0,g(x)递增, 当 x时,函数 g(x)+1 取得最小值, 所以4m2, 即(3m2+1) (4m23)0, 解得 m或 m, 故选:C 【点评】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解,属于中档题 6 (

15、5 分)已知实数 x、y 满足,若 yk(x+1)1 恒成立,那么 k 的取值范围是( ) 第 9 页(共 28 页) A B C3,+) D 【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据不等式恒成立,利用参数分离法转化为求 直线斜率的最小值即可 【解答】解:实数 x、y 满足化为:, 作出实数 x、y 满足,对应的平面区域如图, 则由图象知 x0, 由不等式 yk(x+1)1 恒成立, 得 k(x+1)y+1,即 k, 设 z, 则 z 的几何意义是区域内的点到定点 D(1,1)的斜率, 由图象知 BD 的斜率最小, 由得 B(1,0) , 此时 z 的最小值为 z, 即 k, 即实数 k 的取

16、值范围是(, 故选:D 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,利用目标函数的几何意义转化为求直线的斜 第 10 页(共 28 页) 率的最值问题,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 7 ( 5分 ) 已 知0 x 2, 0 y 2, 且M + 则 M 的最小值为( ) A B C2 D 【分析】本题要根据 M 表达式的特点联系两点间的距离公式,然后运用数形结合法可得 到 M 取最小的点(x,y)的情况,即可计算出 M 的最小值 【解答】解:根据题意,可知 表示点(x,y)与点 A(,0)的距离; 表示点(x,y)与点 B(0,)的距离; 表示点(x,y)与点 C(,2)的距离; 表

17、示点(x,y)与点 D(2,)的距离 M 表示点(x,y)到 A、B、C、D 四个点的距离的最小值 则可画图如下: +的最小值是点(x,y)在线段 AC 上, 同理,+的最小值是点(x,y)在线段 BD 上, 点(x,y)既在线段 AC 上,又在线段 BD 上, 点(x,y)即为图中点 P M 的最小值为|AC|+|BD|4 故选:D 第 11 页(共 28 页) 【点评】本题主要考查两点间距离公式的应用,考查了转化思想的应用和数形结合法的 应用本题属中档题 8 (5 分)已知双曲线 C:y21,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N若OM

18、N 为直角三角形,则|MN|( ) A B3 C2 D4 【分析】求出双曲线的渐近线方程,求出直线方程,求出 MN 的坐标,然后求解|MN| 【解答】解:双曲线 C:y21 的渐近线方程为:y,渐近线的夹角为: 60,不妨设过 F(2,0)的直线为:y, 则:解得 M(,) , 解得:N() , 则|MN|3 故选:B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力 9 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0)在区间(,)上单调,且 f() 1,f()0,则 的最大值为( ) A7 B9 C11 D13 【分析】 由条件可得, 再根据 f (x) 从到再到 不大于,可得的范围

19、【解答】解:函数 f(x)sin(x+) (0)在区间(,)上单调, ,12 而且0, 故 f(x)从到再到不大于, ,9 第 12 页(共 28 页) 综上的取值范围为(,9, 的最大值为 9 故选:B 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,属中档题 10 (5 分)已知数列an满足 a11,an+1(nN*) ,若 bn+1(n2) (+1) (nN*) ,b1,且数列bn是单调递增数列,则实数 的取值范围是( ) A B C D 【分析】由数列递推式得到+1是首项为 2,公比为 2 的等比数列,求出其通项公式 后代入 bn+1(n2) 2n,由 b2b1求得实数 的取值范围,验证满足

20、bn+1(n2) 2n为增函数得答案 【解答】解:由 an+1得, 则,+12(+1) 由 a11,得+12, 数列+1是首项为 2,公比为 2 的等比数列, +122n 12n, 由 bn+1(n2) (+1)(n2) 2n, b1, b2(12) 224, 由 b2b1,得 24,得 , 此时 bn+1(n2) 2n为增函数,满足题意 实数 的取值范围是(,) 故选:C 【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题 第 13 页(共 28 页) 11 (5 分)偶函数 f(x)定义域为,其导函数是 f(x) ,当时, 有 f (x

21、) cosx+f (x) sinx0, 则关于 x 的不等式的解集为 ( ) A B C D 【分析】根据题意,设 g(x),结合题意求导分析可得函数 g(x)在(0,) 上为减函数,结合函数的奇偶性分析可得函数 g(x)为偶函数,进而将不等式 转化为 g(x)g() ,结合函数的定义域、单调性和奇偶性 可得|x|,解可得 x 的取值范围,即可得答案 【解答】 解: 根据题意, 设 g (x) , 其导数为 g (x) , 又由时,有 f(x)cosx+f(x)sinx0,则有 g(x)0, 则函数 g(x)在(0,)上为减函数, 又由 f(x)为定义域为的偶函数, 则 g(x)g(x) ,则

22、函数 g(x)为偶函数, f()g(x)g() , 又由 g(x)为偶函数且在(0,)上为减函数,且其定义域为, 则有|x|, 解可得:x或x, 即不等式的解集为; 故选:B 【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系,关键是构造新函数 g(x), 并分析其单调性 12 (5 分)如图所示点 F 是抛物线 y28x 的焦点,点 A、B 分别在抛物线 y28x 及圆(x 第 14 页(共 28 页) 2)2+y216 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,则FAB 的周长的取值范围 是( ) A (6,10) B (8,12) C6,8 D8,12 【分析】由抛物线定义可得|AF|x

23、A+2,从而FAB 的周长|AF|+|AB|+|BF|xA+2+(xB xA)+46+xB,确定 B 点横坐标的范围,即可得到结论 【解答】解:抛物线的准线 l:x2,焦点 F(2,0) , 由抛物线定义可得|AF|xA+2, 圆(x2)2+y216 的圆心为(2,0) ,半径为 4, FAB 的周长|AF|+|AB|+|BF|xA+2+(xBxA)+46+xB, 由抛物线 y28x 及圆(x2)2+y216 可得交点的横坐标为 2, xB(2,6) 6+xB(8,12) 故选:B 【点评】本题考查抛物线的定义,考查抛物线与圆的位置关系,确定 B 点横坐标的范围 是关键 二、填空题(每题二、填

24、空题(每题 5 分)分) 13 (5 分)在(x2+2x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 60 【分析】把(x2+2x+y)5化简成二项式机构,利用通项公式可得答案 【解答】解:由(x2+2x+y)5化简为x2+2x)+y, 第 15 页(共 28 页) 由通项公式 Tr+1,要出现 y2,r2 二项式(x2+2x)3展开式中出现 x5 由通项公式 Tk+1, 2(3k)+k5, 可得:k1 x5y2的系数为60 故答案为:60 【点评】本题主要考查二项式定理对三项式的处理能力的应用,考查了二项式系数的性 质,二项式展开式的通项公式,体现了转化的数学思想,属于中档题 14 ( 5分 ) 若

25、 数 列 an 是 正 项 数 列 , 且, 则 2n2+6n 【 分 析 】 由 已 知 数 列 递 推 式 求 出 首 项 , 并 得 到 当n 2时 , 与原递推式作差可得数列通项公式, 进一步 得到,再由等差数列的前 n 项和求解 【解答】解:由, 令 n1,得,a116 当 n2 时, 与已知递推式作差,得 , 当 n1 时,a1适合上式, , 则 4(1+2+n)+4n42n2+6n 故答案为:2n2+6n 【点评】本题考查数列递推式,考查数列通项公式的求法,是中档题 第 16 页(共 28 页) 15 (5 分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为 1,1,与的 夹角为 ,且

26、tan7,与的夹角为 45若m+n(m,nR) ,则 m+n 3 【分析】如图所示,建立直角坐标系A(1,0) 由与的夹角为 ,且 tan7可 得 cos,sinC可得 cos(+45)sin(+45) B利用m+n(m,nR) ,即可得出 【解答】解:如图所示,建立直角坐标系A(1,0) 由与的夹角为 ,且 tan7 cos,sin C cos(+45)(cossin) sin(+45)(sin+cos) B m+n(m,nR) , mn,0+n, 解得 n,m 则 m+n3 故答案为:3 第 17 页(共 28 页) 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,

27、属于 中档题 16 (5 分)在内切圆圆心为 M 的ABC 中,AB3,BC4,AC5,在平面 ABC 内,过 点 M 作动直线 l,现将ABC 沿动直线 l 翻折,使翻折后的点 C 在平面 ABM 上的射影 E 落在直线 AB 上,点 C 在直线 l 上的射影为 F,则的最小值为 824 【分析】建立坐标系,设直线 l 斜率为 k,用 k 表示出|EF|,|CF|,利用基本不等式得出答 案 【解答】解:过 M 作ABC 的三边的垂线,设M 的半径为 r, 则 3r+4r5,即 r1 以 BA,BC 为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示:则 M(1,1) ,C(0,4) C 在平面 ABM 的

28、射影在直线 AB 上,故直线 l 必存在斜率 过 C 作 CFl,垂足为 F,交直线 AB 于 E 设直线 l 的方程为:yk(x1)+1,则|CF|, 又直线 CE 的方程为:yx+4, E(4k,0) ,CE4, 故而|EF|4 1 若 k3,则14(k+3)+24824 当且仅当 4(k+3)即 k3 时取等号 若 k3,则14(k3)+238+23 第 18 页(共 28 页) 当且仅当 4(k3)即 k3 时取等号 故答案为:824 【点评】本题考查了考查空间点、线、面距离的计算,考查基本不等式的运算,难度大 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分. 17 (12 分)在ABC 中

29、,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且(2ac) (a2b2+c2) 2abccosC (1)求角 B 的大小; (2)若 sinA+1(cosC+)0,求的值 【分析】 (1)由已知利用余弦定理,正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得 cosB ,结合范围 B(0,180) ,可求 B 的值; (2)利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cos(A+30) ,结合范围 A+30(30,150) ,可求 A30,由正弦定理即可求得的值 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)(2ac) (a2b2+c2)2abccosC (2ac)2accosB2ab

30、ccosC (2ac)cosBbcosC3 分 , 由正弦定理可得:, a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC, , 2sinAcosBsinCcosBsinBcosC, 第 19 页(共 28 页) 2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin(B+C)sinA, sinA0, cosB, B(0,180) , B606 分 (2)sinA+1(cosC+)0, sinA+1cosC0,可得:sinAcosC, B60,C180BA120A, sinAcos(120A),可得:cosAsinA, cos(A+30), A(0,120) , A+30(30,150) ,

31、A30, 由正弦定理,B60,A30, 可得:12 分 【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,三角函数恒等变换的应用在解三角形中 的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题 18 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,且 ADPD1,平面 PCD平面 ABCD,PDC120,点 E 为线段 PC 的中点,点 F 是线段 AB 上的一个 动点 ()求证:平面 DEF平面 PBC; ()设二面角 CDEF 的平面角为 ,试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F,使 得 tan2,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由 第 20 页(共 28 页) 【分析

32、】 (I)证明 BC平面 PCD 可得 DEBC,由 PDCD 可得 DEPC,故而 DE 平面 PBC,于是平面 DEF平面 PBC; (II)以 D 为原点建立空间坐标系,设 F(1,m,0) ,求出平面 CDE 和平面 DEF 的法 向量,根据二面角的大小列方程计算 m 的值即可得出结论 【解答】解: ()四边形 ABCD 是正方形,BCDC 平面 PCD平面 ABCD,平面 PCD平面 ABCDCD, BC平面 PCDDE平面 PDC, BCDE ADPDDC,点 E 为线段 PC 的中点, PCDE 又PCCBC,DE平面 PBC 又DE平面 DEF, 平面 DEF平面 PBC ()

33、在平面 PCD 内过 D 作 DGDC 交 PC 于点 G, 平面 PCD平面 ABCD,平面 PCD平面 ABCDCD, DG平面 ABCD 以 D 为原点,以 DA,DC,DG 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标 系 Dxyz 则 D(0,0,0) ,C(0,1,0) ,P(0,) , 又 E 为 PC 的中点,E(0,) , 假设在线段 AB 上存在这样的点 F,使得,设 F(1,m,0) (0m1) , 则, 第 21 页(共 28 页) 设平面 DEF 的法向量为,则, ,令,则(m,1) , AD平面 PCD,平面 PCD 的一个法向量(1,0,0) , ,

34、0m1,解得, 【点评】本题考查了面面垂直的判定,考查空间向量与空间角的计算,属于中档题 19 (12 分)已知两动圆 F1: (x+) 2+y2r2 和 F2: (x) 2+y2(4r)2(0r4) , 把它们的公共点的轨迹记为曲线 C,若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M,且曲线 C 上 的相异两点 A、B 满足:0 (1)求曲线 C 的方程; (2)证明直线 AB 恒经过一定点,并求此定点的坐标; (3)求ABM 面积 S 的最大值 【分析】 (1)设两动圆的公共点为 Q,则有|QF1|+|QF2|4,运用椭圆的定义,即可得到 a,c,b,进而得到 Q 的轨迹方程; (2)M(0,

35、1) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据直线 AB 的斜率不存在和存在,设出 直线方程,根据条件,运用向量的数量积的坐标表示,结合韦达定理和直线恒过定点的 第 22 页(共 28 页) 求法,即可得到定点; (3)ABM 面积 SSMNA+SMNB|MN|x1x2|,代入韦达定理,化简整理,结合 N 在椭圆内,运用对勾函数的单调性,即可得到最大值 【解答】解: (1)设两动圆的公共点为 Q,则有|QF1|+|QF2|4(4|F1F2|) 由椭圆的定义可知 Q 的轨迹为椭圆,a2,cb1, 所以曲线 C 的方程是:1 (2)证明:由题意可知:M(0,1) ,设 A(x1,y1)

36、,B(x2,y2) , 当 AB 的斜率不存在时,易知满足条件0 的直线 AB 为:x0,过定点 N(0, ) 当 AB 的斜率存在时,设直线 AB:ykx+m,联立方程组有: (1+4k2)x2+8kmx+4m24 0, x1+x2,x1x2, 因为0,所以有 x1x2+(kx1+m1) (kx2+m1)0, 把代入整理化简得(m1) (5m+3)0,m或 m1(舍) , 综合斜率不存在的情况,直线 AB 恒过定点 N(0,) (3)ABM 面积 SSMNA+SMNB|MN|x1x2| 因 N 在椭圆内部,所以 kR,可设 t2, S(k0 时取到最大值) 所以ABM 面积 S 的最大值为

37、【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查椭圆的定义、方程的运用,同时 考查平面向量的数量积的坐标表示和直线恒过定点的求法,以及函数的单调性的运用, 属于中档题和易错题 20 (12 分)近年来,国资委、党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重 大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为 第 23 页(共 28 页) 了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管 理时间的关系如表所示: 土地使用面积 x(单位:亩) 1 2 3 4 5 管理时间 y (单位:月) 8 10 13 25 24 并调查了某村 300

38、 名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 (1)求出相关系数 r 的大小,并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关? (2)是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性? (3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中 任取 3 人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 x,求 x 的分布列及数学期望 参考公式: ,其中 na+b+c+d 临界值表: P(K2k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.8

39、41 5.024 6.635 10.828 参考数据:25.2 【分析】 (1)分别求出 3, 16,从而10,254, 47,求出 0.933,从而得到管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关 第 24 页(共 28 页) (2)完善列联表,求出 K218.7510.828,从而有 99.9%的把握认为村民的性别与参与 管理的意愿具有相关性 (3)x 的可能取值为 0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一名,取到不愿意参与管理的 男性村民的概率为,由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】解: (1)依题意 3, 16, 故4+1+1+410,64+36+9+81+64254, (2)(8

40、)+(1)(6)+19+2847, 则0.933, 故管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关 (2)依题意,完善表格如下: 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得 K2的观测值为: 18.7510.828, 故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性 (3)依题意,x 的可能取值为 0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一名, 则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为, 故 P(X0)()3,P(X1), P(X2),P(X3), 第 25 页(共 28 页) 故 X 的分布列为

41、: X 0 1 2 3 P 则数学期望为: E(X)+3 【点评】本题考查相关系数的求法,考查独立检验的应用,考查离散型随机变量的分布 列、数学期望的求法,考查二项分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)x2+ax+b,g(x)ex(cx+d) ,若曲线 yf(x)和曲线 yg (x)都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y4x+2 ()求 a,b,c,d 的值; ()若 x2 时,f(x)kg(x) ,求 k 的取值范围 【分析】 ()对 f(x) ,g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线 yf(x) 和曲线 yg(x)都过点

42、P(0,2) ,从而解出 a,b,c,d 的值; ()由(I)得出 f(x) ,g(x)的解析式,再求出 F(x)及它的导函数,通过对 k 的 讨论,判断出 F(x)的最值,从而判断出 f(x)kg(x)恒成立,从而求出 k 的范围 【解答】解: ()由题意知 f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)4, 而 f(x)2x+a,g(x)ex(cx+d+c) ,故 b2,d2,a4,d+c4, 从而 a4,b2,c2,d2; ()由(I)知,f(x)x2+4x+2,g(x)2ex(x+1) 设 F(x)kg(x)f(x)2kex(x+1)x24x2, 则 F(x)2kex(x+2)2x42(

43、x+2) (kex1) , 由题设得 F(0)0,即 k1, 令 F(x)0,得 x1lnk,x22, 若 1ke2,则2x10,从而当 x(2,x1)时,F(x)0,当 x(x1,+ )时,F(x)0, 即 F(x)在(2,x1)上减,在(x1,+)上是增,故 F(x)在2,+)上的最小 值为 F(x1) , 而 F(x1)x1(x1+2)0,x2 时 F(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立 若 ke2,则 F(x)2e2(x+2) (exe 2) ,从而当 x(2,+)时,F(x) 第 26 页(共 28 页) 0, 即 F(x)在(2,+)上是增,而 F(2)0,故当 x2 时,F(x

44、)0,即 f (x)kg(x)恒成立 若 ke2时,F(x)2e2(x+2) (exe 2) , 而 F(2)2ke 2+20,所以当 x2 时,f(x)kg(x)不恒成立, 综上,k 的取值范围是1,e2 【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类 讨论思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答. 22 (10 分)已知直线 l 经过点 P(,1) ,倾斜角 ,圆 C 的极坐标方程为 cos () (1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积 【分析】 (1)由已知中直线 l 经过点,倾斜角,利用直线参数方程的 定义,我们易得到直线 l 的参数方程,再由圆 C 的极坐标方程为, 利用两角差的余弦公式,我们可得 cos+