1、已知复数 z（a21）+（a2）i（aR） ，则“a1”是“z 为纯虚数”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 2 （5 分）设 z，f（x）x2x+1，则 f（z）（ ） Ai Bi C1+i D1+i 3（5 分） 设向量， 若， 则 （ ） A B C1 D3 4 （5 分）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的 三角形，它是顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角形） ，例如， 正五角星由 5 个黄金三角形和一个正五边形组成， 如图所示， 在一个黄金三角形 ABC 中， ，根据这些信息，可得
2、sin234（ ） A B C D 5（5 分） 设函数 f （x） x21， 对任意， 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，+） C （，+） D （，11，+） 第 2 页（共 28 页） 6 （5 分）已知实数 x、y 满足，若 yk（x+1）1 恒成立，那么 k 的取值范围是（ ） A B C3，+） D 7 （ 5分 ） 已 知0 x 2， 0 y 2， 且M + 则 M 的最小值为（ ） A B C2 D 8 （5 分）已知双曲线 C：y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN
3、|（ ） A B3 C2 D4 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0）在区间（，）上单调，且 f（） 1，f（）0，则 的最大值为（ ） A7 B9 C11 D13 10 （5 分）已知数列an满足 a11，an+1（nN*） ，若 bn+1（n2） （+1） （nN*） ，b1，且数列bn是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 11 （5 分）偶函数 f（x）定义域为，其导函数是 f（x） ，当时， 有 f （x） cosx+f （x） sinx0， 则关于 x 的不等式的解集为 （ ） A B C D 12 （5 分）如图所示点 F 是抛物线 y28x
4、的焦点，点 A、B 分别在抛物线 y28x 及圆（x 2）2+y216 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围 是（ ） 第 3 页（共 28 页） A （6，10） B （8，12） C6，8 D8，12 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分）分） 13 （5 分）在（x2+2x+y）5的展开式中，x5y2的系数为 14 （ 5分 ） 若 数 列 an 是 正 项 数 列 ， 且， 则 15 （5 分）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为 1，1，与的 夹角为 ，且 tan7，与的夹角为 45若m+n（m，nR） ，则 m+n 16 （5 分）在内切
5、圆圆心为 M 的ABC 中，AB3，BC4，AC5，在平面 ABC 内，过 点 M 作动直线 l，现将ABC 沿动直线 l 翻折，使翻折后的点 C 在平面 ABM 上的射影 E 落在直线 AB 上，点 C 在直线 l 上的射影为 F，则的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且（2ac） （a2b2+c2） 2abccosC （1）求角 B 的大小； （2）若 sinA+1（cosC+）0，求的值 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且 ADPD1，平面 PCD平面
6、 ABCD，PDC120，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是线段 AB 上的一个 第 4 页（共 28 页） 动点 （）求证：平面 DEF平面 PBC； （）设二面角 CDEF 的平面角为 ，试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F，使 得 tan2，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 19 （12 分）已知两动圆 F1： （x+） 2+y2r2 和 F2： （x） 2+y2（4r）2（0r4） ， 把它们的公共点的轨迹记为曲线 C，若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M，且曲线 C 上 的相异两点 A、B 满足：0 （1）求曲线 C 的方程； （2）证明直线 AB 恒经过一定
7、点，并求此定点的坐标； （3）求ABM 面积 S 的最大值 20 （12 分）近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重 大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为 了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管 理时间的关系如表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 y （单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 第 5 页（共 28 页
8、） （1）求出相关系数 r 的大小，并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关？ （2）是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中 任取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 x，求 x 的分布列及数学期望 参考公式： ，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：25.2 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+b，g
9、（x）ex（cx+d） ，若曲线 yf（x）和曲线 yg （x）都过点 P（0，2） ，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2 （）求 a，b，c，d 的值； （）若 x2 时，f（x）kg（x） ，求 k 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答. 22 （10 分）已知直线 l 经过点 P（，1） ，倾斜角 ，圆 C 的极坐标方程为 cos （） （1）写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程； （2）设 l 与圆 C 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离之积 23已知
10、 f（x）|x+1|ax1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 28 页） 2020 年广东省深圳市宝安中学（集团年广东省深圳市宝安中学（集团）高考数学模拟试卷（理）高考数学模拟试卷（理 科） （科） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每题一、单选题（每题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z（a21）+（a2）i（aR） ，则“a1”是“z 为纯虚数”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【分析】当 a1
11、时，复数 z（a21）+（a2）ii，是一个纯虚数；当 z 为纯虚数 时，a1，不能推出 a1 【解答】解：当 a1 时，复数 z（a21）+（a2）ii，是一个纯虚数 当复数 z（a21）+（a2）ii 是一个纯虚数时，a210 且 a20，a1， 故不能推出 a1 故选：A 【点评】本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题 2 （5 分）设 z，f（x）x2x+1，则 f（z）（ ） Ai Bi C1+i D1+i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入 f（x）求解 【解答】解：， 且 f（x）x2x+1， 则 f（z）（i）2（i）+1i 故选：A 【点评】
12、本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位 i 的运算性质，是基础题 3（5 分） 设向量， 若， 则 （ ） A B C1 D3 【分析】根据，建立关系，令正切的和与差即可求解 【解答】解：由题意，可得：2cossin0，即 tan2 第 7 页（共 28 页） 那么 故选：D 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切式，同角三角函数公式，向量垂直的关 系，难度不大，属于基础题 4 （5 分）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的 三角形，它是顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角形） ，例如， 正五角星由 5 个黄金三角形和一个正五边
13、形组成， 如图所示， 在一个黄金三角形 ABC 中， ，根据这些信息，可得 sin234（ ） A B C D 【分析】由已知求得ACB72，可得 cos72的值，再由二倍角的余弦及三角函数的 诱导公式求解 sin234 【解答】解：由图可知，ACB72，且 cos72 cos1442cos2721 则 sin234sin（144+90）cos144 故选：C 第 8 页（共 28 页） 【点评】本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题 5（5 分） 设函数 f （x） x21， 对任意， 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，+） C （，+） D （
14、，11，+） 【分析】运用参数分离，依据题意得4m2+1 在 x，+）上恒成立， 通过导数，判断单调性，求出函数 g（x）+1 的最小值，即可求出 m 的取值 范围 【解答】解：依据题意得14m2（x1）（x1）21+4（m21）在 x，+ ）上恒成立， 即4m2+1 在 x，+）上恒成立 令 g（x）+1，g（x）+， x，+） ， g（x）0，g（x）递增， 当 x时，函数 g（x）+1 取得最小值， 所以4m2， 即（3m2+1） （4m23）0， 解得 m或 m， 故选：C 【点评】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解，属于中档题 6 （
15、5 分）已知实数 x、y 满足，若 yk（x+1）1 恒成立，那么 k 的取值范围是（ ） 第 9 页（共 28 页） A B C3，+） D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据不等式恒成立，利用参数分离法转化为求 直线斜率的最小值即可 【解答】解：实数 x、y 满足化为：， 作出实数 x、y 满足，对应的平面区域如图， 则由图象知 x0， 由不等式 yk（x+1）1 恒成立， 得 k（x+1）y+1，即 k， 设 z， 则 z 的几何意义是区域内的点到定点 D（1，1）的斜率， 由图象知 BD 的斜率最小， 由得 B（1，0） ， 此时 z 的最小值为 z， 即 k， 即实数 k 的取
16、值范围是（， 故选：D 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用目标函数的几何意义转化为求直线的斜 第 10 页（共 28 页） 率的最值问题，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 7 （ 5分 ） 已 知0 x 2， 0 y 2， 且M + 则 M 的最小值为（ ） A B C2 D 【分析】本题要根据 M 表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得 到 M 取最小的点（x，y）的情况，即可计算出 M 的最小值 【解答】解：根据题意，可知 表示点（x，y）与点 A（，0）的距离； 表示点（x，y）与点 B（0，）的距离； 表示点（x，y）与点 C（，2）的距离； 表
17、示点（x，y）与点 D（2，）的距离 M 表示点（x，y）到 A、B、C、D 四个点的距离的最小值 则可画图如下： +的最小值是点（x，y）在线段 AC 上， 同理，+的最小值是点（x，y）在线段 BD 上， 点（x，y）既在线段 AC 上，又在线段 BD 上， 点（x，y）即为图中点 P M 的最小值为|AC|+|BD|4 故选：D 第 11 页（共 28 页） 【点评】本题主要考查两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用和数形结合法的 应用本题属中档题 8 （5 分）已知双曲线 C：y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OM
18、N 为直角三角形，则|MN|（ ） A B3 C2 D4 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出 MN 的坐标，然后求解|MN| 【解答】解：双曲线 C：y21 的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为： 60，不妨设过 F（2，0）的直线为：y， 则：解得 M（，） ， 解得：N（） ， 则|MN|3 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0）在区间（，）上单调，且 f（） 1，f（）0，则 的最大值为（ ） A7 B9 C11 D13 【分析】 由条件可得， 再根据 f （x） 从到再到 不大于，可得的范围
19、【解答】解：函数 f（x）sin（x+） （0）在区间（，）上单调， ，12 而且0， 故 f（x）从到再到不大于， ，9 第 12 页（共 28 页） 综上的取值范围为（，9， 的最大值为 9 故选：B 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，属中档题 10 （5 分）已知数列an满足 a11，an+1（nN*） ，若 bn+1（n2） （+1） （nN*） ，b1，且数列bn是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由数列递推式得到+1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求出其通项公式 后代入 bn+1（n2） 2n，由 b2b1求得实数 的取值范围，验证满足
20、bn+1（n2） 2n为增函数得答案 【解答】解：由 an+1得， 则，+12（+1） 由 a11，得+12， 数列+1是首项为 2，公比为 2 的等比数列， +122n 12n， 由 bn+1（n2） （+1）（n2） 2n， b1， b2（12） 224， 由 b2b1，得 24，得 ， 此时 bn+1（n2） 2n为增函数，满足题意 实数 的取值范围是（，） 故选：C 【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 第 13 页（共 28 页） 11 （5 分）偶函数 f（x）定义域为，其导函数是 f（x） ，当时， 有 f （x
21、） cosx+f （x） sinx0， 则关于 x 的不等式的解集为 （ ） A B C D 【分析】根据题意，设 g（x），结合题意求导分析可得函数 g（x）在（0，） 上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数 g（x）为偶函数，进而将不等式 转化为 g（x）g（） ，结合函数的定义域、单调性和奇偶性 可得|x|，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】 解： 根据题意， 设 g （x） ， 其导数为 g （x） ， 又由时，有 f（x）cosx+f（x）sinx0，则有 g（x）0， 则函数 g（x）在（0，）上为减函数， 又由 f（x）为定义域为的偶函数， 则 g（x）g（x） ，则
22、函数 g（x）为偶函数， f（）g（x）g（） ， 又由 g（x）为偶函数且在（0，）上为减函数，且其定义域为， 则有|x|， 解可得：x或x， 即不等式的解集为； 故选：B 【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数 g（x）， 并分析其单调性 12 （5 分）如图所示点 F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A、B 分别在抛物线 y28x 及圆（x 第 14 页（共 28 页） 2）2+y216 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则FAB 的周长的取值范围 是（ ） A （6，10） B （8，12） C6，8 D8，12 【分析】由抛物线定义可得|AF|x
23、A+2，从而FAB 的周长|AF|+|AB|+|BF|xA+2+（xB xA）+46+xB，确定 B 点横坐标的范围，即可得到结论 【解答】解：抛物线的准线 l：x2，焦点 F（2，0） ， 由抛物线定义可得|AF|xA+2， 圆（x2）2+y216 的圆心为（2，0） ，半径为 4， FAB 的周长|AF|+|AB|+|BF|xA+2+（xBxA）+46+xB， 由抛物线 y28x 及圆（x2）2+y216 可得交点的横坐标为 2， xB（2，6） 6+xB（8，12） 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定 B 点横坐标的范围 是关键 二、填空题（每题二、填
24、空题（每题 5 分）分） 13 （5 分）在（x2+2x+y）5的展开式中，x5y2的系数为 60 【分析】把（x2+2x+y）5化简成二项式机构，利用通项公式可得答案 【解答】解：由（x2+2x+y）5化简为x2+2x）+y， 第 15 页（共 28 页） 由通项公式 Tr+1，要出现 y2，r2 二项式（x2+2x）3展开式中出现 x5 由通项公式 Tk+1， 2（3k）+k5， 可得：k1 x5y2的系数为60 故答案为：60 【点评】本题主要考查二项式定理对三项式的处理能力的应用，考查了二项式系数的性 质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题 14 （ 5分 ） 若
25、 数 列 an 是 正 项 数 列 ， 且， 则 2n2+6n 【 分 析 】 由 已 知 数 列 递 推 式 求 出 首 项 ， 并 得 到 当n 2时 ， 与原递推式作差可得数列通项公式， 进一步 得到，再由等差数列的前 n 项和求解 【解答】解：由， 令 n1，得，a116 当 n2 时， 与已知递推式作差，得 ， 当 n1 时，a1适合上式， ， 则 4（1+2+n）+4n42n2+6n 故答案为：2n2+6n 【点评】本题考查数列递推式，考查数列通项公式的求法，是中档题 第 16 页（共 28 页） 15 （5 分）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为 1，1，与的 夹角为 ，且
26、tan7，与的夹角为 45若m+n（m，nR） ，则 m+n 3 【分析】如图所示，建立直角坐标系A（1，0） 由与的夹角为 ，且 tan7可 得 cos，sinC可得 cos（+45）sin（+45） B利用m+n（m，nR） ，即可得出 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A（1，0） 由与的夹角为 ，且 tan7 cos，sin C cos（+45）（cossin） sin（+45）（sin+cos） B m+n（m，nR） ， mn，0+n， 解得 n，m 则 m+n3 故答案为：3 第 17 页（共 28 页） 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，
27、属于 中档题 16 （5 分）在内切圆圆心为 M 的ABC 中，AB3，BC4，AC5，在平面 ABC 内，过 点 M 作动直线 l，现将ABC 沿动直线 l 翻折，使翻折后的点 C 在平面 ABM 上的射影 E 落在直线 AB 上，点 C 在直线 l 上的射影为 F，则的最小值为 824 【分析】建立坐标系，设直线 l 斜率为 k，用 k 表示出|EF|，|CF|，利用基本不等式得出答 案 【解答】解：过 M 作ABC 的三边的垂线，设M 的半径为 r， 则 3r+4r5，即 r1 以 BA，BC 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则 M（1，1） ，C（0，4） C 在平面 ABM 的
28、射影在直线 AB 上，故直线 l 必存在斜率 过 C 作 CFl，垂足为 F，交直线 AB 于 E 设直线 l 的方程为：yk（x1）+1，则|CF|， 又直线 CE 的方程为：yx+4， E（4k，0） ，CE4， 故而|EF|4 1 若 k3，则14（k+3）+24824 当且仅当 4（k+3）即 k3 时取等号 若 k3，则14（k3）+238+23 第 18 页（共 28 页） 当且仅当 4（k3）即 k3 时取等号 故答案为：824 【点评】本题考查了考查空间点、线、面距离的计算，考查基本不等式的运算，难度大 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分. 17 （12 分）在ABC 中
29、，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且（2ac） （a2b2+c2） 2abccosC （1）求角 B 的大小； （2）若 sinA+1（cosC+）0，求的值 【分析】 （1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 cosB ，结合范围 B（0，180） ，可求 B 的值； （2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cos（A+30） ，结合范围 A+30（30，150） ，可求 A30，由正弦定理即可求得的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）（2ac） （a2b2+c2）2abccosC （2ac）2accosB2ab
30、ccosC （2ac）cosBbcosC3 分 ， 由正弦定理可得：， a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC， ， 2sinAcosBsinCcosBsinBcosC， 第 19 页（共 28 页） 2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA， sinA0， cosB， B（0，180） ， B606 分 （2）sinA+1（cosC+）0， sinA+1cosC0，可得：sinAcosC， B60，C180BA120A， sinAcos（120A），可得：cosAsinA， cos（A+30）， A（0，120） ， A+30（30，150） ，
31、A30， 由正弦定理，B60，A30， 可得：12 分 【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且 ADPD1，平面 PCD平面 ABCD，PDC120，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是线段 AB 上的一个 动点 （）求证：平面 DEF平面 PBC； （）设二面角 CDEF 的平面角为 ，试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F，使 得 tan2，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 第 20 页（共 28 页） 【分析
32、】 （I）证明 BC平面 PCD 可得 DEBC，由 PDCD 可得 DEPC，故而 DE 平面 PBC，于是平面 DEF平面 PBC； （II）以 D 为原点建立空间坐标系，设 F（1，m，0） ，求出平面 CDE 和平面 DEF 的法 向量，根据二面角的大小列方程计算 m 的值即可得出结论 【解答】解： （）四边形 ABCD 是正方形，BCDC 平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD， BC平面 PCDDE平面 PDC， BCDE ADPDDC，点 E 为线段 PC 的中点， PCDE 又PCCBC，DE平面 PBC 又DE平面 DEF， 平面 DEF平面 PBC （）
33、在平面 PCD 内过 D 作 DGDC 交 PC 于点 G， 平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD， DG平面 ABCD 以 D 为原点，以 DA，DC，DG 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标 系 Dxyz 则 D（0，0，0） ，C（0，1，0） ，P（0，） ， 又 E 为 PC 的中点，E（0，） ， 假设在线段 AB 上存在这样的点 F，使得，设 F（1，m，0） （0m1） ， 则， 第 21 页（共 28 页） 设平面 DEF 的法向量为，则， ，令，则（m，1） ， AD平面 PCD，平面 PCD 的一个法向量（1，0，0） ， ，
34、0m1，解得， 【点评】本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题 19 （12 分）已知两动圆 F1： （x+） 2+y2r2 和 F2： （x） 2+y2（4r）2（0r4） ， 把它们的公共点的轨迹记为曲线 C，若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M，且曲线 C 上 的相异两点 A、B 满足：0 （1）求曲线 C 的方程； （2）证明直线 AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM 面积 S 的最大值 【分析】 （1）设两动圆的公共点为 Q，则有|QF1|+|QF2|4，运用椭圆的定义，即可得到 a，c，b，进而得到 Q 的轨迹方程； （2）M（0，
35、1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，根据直线 AB 的斜率不存在和存在，设出 直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的 第 22 页（共 28 页） 求法，即可得到定点； （3）ABM 面积 SSMNA+SMNB|MN|x1x2|，代入韦达定理，化简整理，结合 N 在椭圆内，运用对勾函数的单调性，即可得到最大值 【解答】解： （1）设两动圆的公共点为 Q，则有|QF1|+|QF2|4（4|F1F2|） 由椭圆的定义可知 Q 的轨迹为椭圆，a2，cb1， 所以曲线 C 的方程是：1 （2）证明：由题意可知：M（0，1） ，设 A（x1，y1）
36、，B（x2，y2） ， 当 AB 的斜率不存在时，易知满足条件0 的直线 AB 为：x0，过定点 N（0， ） 当 AB 的斜率存在时，设直线 AB：ykx+m，联立方程组有： （1+4k2）x2+8kmx+4m24 0， x1+x2，x1x2， 因为0，所以有 x1x2+（kx1+m1） （kx2+m1）0， 把代入整理化简得（m1） （5m+3）0，m或 m1（舍） ， 综合斜率不存在的情况，直线 AB 恒过定点 N（0，） （3）ABM 面积 SSMNA+SMNB|MN|x1x2| 因 N 在椭圆内部，所以 kR，可设 t2， S（k0 时取到最大值） 所以ABM 面积 S 的最大值为
37、【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义、方程的运用，同时 考查平面向量的数量积的坐标表示和直线恒过定点的求法，以及函数的单调性的运用， 属于中档题和易错题 20 （12 分）近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重 大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为 第 23 页（共 28 页） 了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管 理时间的关系如表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 y （单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村 300
38、 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数 r 的大小，并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 是否线性相关？ （2）是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中 任取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 x，求 x 的分布列及数学期望 参考公式： ，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.8
39、41 5.024 6.635 10.828 参考数据：25.2 【分析】 （1）分别求出 3， 16，从而10，254， 47，求出 0.933，从而得到管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关 第 24 页（共 28 页） （2）完善列联表，求出 K218.7510.828，从而有 99.9%的把握认为村民的性别与参与 管理的意愿具有相关性 （3）x 的可能取值为 0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的 男性村民的概率为，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （1）依题意 3， 16， 故4+1+1+410，64+36+9+81+64254， （2）（8
40、）+（1）（6）+19+2847， 则0.933， 故管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关 （2）依题意，完善表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得 K2的观测值为： 18.7510.828， 故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性 （3）依题意，x 的可能取值为 0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名， 则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故 P（X0）（）3，P（X1）， P（X2），P（X3）， 第 25 页（共 28 页） 故 X 的分布列为
41、： X 0 1 2 3 P 则数学期望为： E（X）+3 【点评】本题考查相关系数的求法，考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布 列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+b，g（x）ex（cx+d） ，若曲线 yf（x）和曲线 yg （x）都过点 P（0，2） ，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2 （）求 a，b，c，d 的值； （）若 x2 时，f（x）kg（x） ，求 k 的取值范围 【分析】 （）对 f（x） ，g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线 yf（x） 和曲线 yg（x）都过点
42、P（0，2） ，从而解出 a，b，c，d 的值； （）由（I）得出 f（x） ，g（x）的解析式，再求出 F（x）及它的导函数，通过对 k 的 讨论，判断出 F（x）的最值，从而判断出 f（x）kg（x）恒成立，从而求出 k 的范围 【解答】解： （）由题意知 f（0）2，g（0）2，f（0）4，g（0）4， 而 f（x）2x+a，g（x）ex（cx+d+c） ，故 b2，d2，a4，d+c4， 从而 a4，b2，c2，d2； （）由（I）知，f（x）x2+4x+2，g（x）2ex（x+1） 设 F（x）kg（x）f（x）2kex（x+1）x24x2， 则 F（x）2kex（x+2）2x42（
43、x+2） （kex1） ， 由题设得 F（0）0，即 k1， 令 F（x）0，得 x1lnk，x22， 若 1ke2，则2x10，从而当 x（2，x1）时，F（x）0，当 x（x1，+ ）时，F（x）0， 即 F（x）在（2，x1）上减，在（x1，+）上是增，故 F（x）在2，+）上的最小 值为 F（x1） ， 而 F（x1）x1（x1+2）0，x2 时 F（x）0，即 f（x）kg（x）恒成立 若 ke2，则 F（x）2e2（x+2） （exe 2） ，从而当 x（2，+）时，F（x） 第 26 页（共 28 页） 0， 即 F（x）在（2，+）上是增，而 F（2）0，故当 x2 时，F（x
44、）0，即 f （x）kg（x）恒成立 若 ke2时，F（x）2e2（x+2） （exe 2） ， 而 F（2）2ke 2+20，所以当 x2 时，f（x）kg（x）不恒成立， 综上，k 的取值范围是1，e2 【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类 讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答. 22 （10 分）已知直线 l 经过点 P（，1） ，倾斜角 ，圆 C 的极坐标方程为 cos （） （1）写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程； （2）设 l 与圆 C 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离之积 【分析】 （1）由已知中直线 l 经过点，倾斜角，利用直线参数方程的 定义，我们易得到直线 l 的参数方程，再由圆 C 的极坐标方程为， 利用两角差的余弦公式，我们可得 cos+