1、已知集合 Ax|x2x60，集合 Bx|x10，则（RA）B（ ） A （1，3） B （1，3 C3，+） D （3，+） 2 （5 分）设复数 z 满足（z+2i） i34i，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a815a5，则 S9等于（ ） A18 B36 C45 D60 4 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的 是（ ） A若 m，n，则 mn B若 ，则 C若 m，n，且 m，n，则 D若 m，n，且 ，则 mn 5 （5 分）
2、（x2+2） （）5的展开式的常数项是（ ） A3 B2 C2 D3 6 （5 分）已知 x1ln，x2e，x3满足 elnx3，则下列各选项正确的是（ ） Ax1x3x2 Bx1x2x3 Cx2x1x3 Dx3x1x2 7 （5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一 根根同长短的小木棍 如图， 是利用算筹表示数 19 的一种方法 例如： 3 可表示为 “” ， 26 可表示为“” 现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 19 这 9 数字表示两位数的个数为（ ） A13 B14 C15 D16 8 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB3
3、，AD4，AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBD， 第 2 页（共 24 页） 垂足为 E，则（ ） A B C D 9 （5 分）函数图象的大致形状是（ ） A B C D 10 （5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻， 则不同排法的种数是（ ） A72 B60 C36 D24 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x） ，若方程 f（x）的解为 x1，x2（0x1x2 ） ，则 sin（x1x2）（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）（k+）lnx+，k1，+） ，曲线 yf（x）上总存在 两点 M
4、（x1，y1） ，N（x2，y2）使曲线 yf（x）在 M、N 两点处的切线互相平行，则 x1+x2 的取值范围为（ ） A4，+） B （4，+） C） D （） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）已知数列an满足 a11，an1+a1+an1（nN*，n2） ，则当 n1 时，an 第 3 页（共 24 页） 14 （5 分） 设当 x 时， 函数 f （x） sinx+cosx 取得最大值， 则 tan （+） 15 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+a2在 x1 处有极小值 10，则
5、ab 16 （5 分）在三棱锥 SABC 中，SBSCABBCAC2，侧面 SBC 与底面 ABC 垂直， 则三棱锥 SABC 外接球的表面积是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，且 cos2A+sin（
6、A）+10 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积 S3，b3求 sinC 的值 18 （12 分）在等比数列an中，公比 q（0，1） ，且满足 a42，a32+2a2a6+a3a725 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnlog2an，数列bn的前 n 项和为 Sn，当取最大值时， 求 n 的值 19 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为的菱形，BCD 60，AC 与 BD 交于点 O，平面 FBC平面 ABCD，EFAB，FBFC，EF （1）求证：OE平面 ABCD； （2）若FBC 为等边三角形，点 Q 为 AE 的中点，求二面角
7、 QBCA 的余弦值 20 （12 分）某种规格的矩形瓷砖（600mm600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片 瓷砖质量 x（kg）都服从正态分布 N（，2） ，并把质量在（3，+3）之外的瓷 砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品 （1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查，求至少有 1 片是废品的概率； 第 4 页（共 24 页） （2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分 别为 a（mm） 、b（mm） ，则“尺寸误差” （mm）为|a600|+|b600|，按行业生产标准， 其中“优等” 、 “一级” “合格”瓷砖的“尺寸误差”范围
8、分别是0，0.2、 （0.2，0.5， （0.5， 1.0（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 1.0mm 的瓷砖） ，每片价格分别为 7.5 元、6.5 元、 5.0 元， 现分别从甲、 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖， 相应的 “尺 寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） （i）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 （元） ，求 的分布列 （ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有
9、“优等” 、 “一级”两种，求 5 片该规 格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ， 则 P（3Z+3）0.9974；0.9974100.9743，0.840.4096，0.850.32768 21 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数 a 的最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10
10、 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐 第 5 页（共 24 页） 标方程为 cos（）2 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A、B 两点，证明： |PA|PB|为定值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x1|+|2x+m|（mR） （1）若 m2 时，解不等式 f（x）3； （2）若关于 x 的不等式 f（x）|2x3|在
11、x0，1上有解，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，集合 Bx|x10，则（RA）B（ ） A （1，3） B （1，3 C3，+） D （3，+） 【分析】先确定 A，再求出RA，而后可求
12、（RA）B 【解答】解：Ax|2x3，RAx|x2 或 x3， （RA）Bx|x33，+） 故选：C 【点评】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2 （5 分）设复数 z 满足（z+2i） i34i，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则，进行正确的计算即可 【解答】解：设复数 za+bi， （z+2i） iai（b+2）34ib+23，a4； a4，b5； 复数 z45i， 复数 在复平面内对应的点位于第二象限 故选：B 【点评】本题考查了复数代数式形式的乘除运算，考查了学生的计算能力，属于
13、基础题 3 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a815a5，则 S9等于（ ） A18 B36 C45 D60 【分析】 由等差数列的通项公式知 a2+a815a5a55， 再由等差数列的前 n 项和公式 知 S92a5 【解答】解：a2+a815a5， a55， 第 7 页（共 24 页） S92a545 故选：C 【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前 n 项 和公式的合理运用 4 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的 是（ ） A若 m，n，则 mn B若 ，则 C若 m，n，且 m，n，
14、则 D若 m，n，且 ，则 mn 【分析】在 A 中，m 与 n 相交、平行或异面；在 B 中， 与 相交或平行；在 C 中， 与 相交或平行；在 D 中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得 mn 【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，知： 在 A 中，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，若 ，则 与 相交或平行，故 B 错误； 在 C 中，若 m，n，且 m，n，则 与 相交或平行，故 C 错误； 在 D 中，若 m，n，且 ，则线面垂直、面面垂直的性质定理得 mn，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中
15、线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，是中档题 5 （5 分） （x2+2） （）5的展开式的常数项是（ ） A3 B2 C2 D3 【分析】 （x2+2） （）5的展开式的常数项是第一个因式取 x2，第二个因式取； 第一个因式取 2，第二个因式取（1）5，故可得结论 【解答】解：第一个因式取 x2，第二个因式取，可得5； 第一个因式取 2，第二个因式取（1）5，可得 2（1）52 （x2+2） （）5的展开式的常数项是 5+（2）3 第 8 页（共 24 页） 故选：D 【点评】本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径 6 （5 分）已知 x1ln，x2e，x3
16、满足 elnx3，则下列各选项正确的是（ ） Ax1x3x2 Bx1x2x3 Cx2x1x3 Dx3x1x2 【分析】本题可以选择 0，1 两个中间值采用搭桥法处理 【解答】解：依题意，因为 ylnx 为（0，+）上的增函数，所以 x1lnln10； 因为 yex为 R 上的增函数，且 ex0，所以 0x2ee01； x3满足 elnx3， 所以 x30，所以0， 所以 lnx30ln1， 又因为 ylnx 为（0，+）的增函数， 所以 x31， 综上：x1x2x3 故选：B 【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，函数值的大小比较等，属于中档题 7 （5 分）中国古代十进制的算筹计数法
17、，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一 根根同长短的小木棍 如图， 是利用算筹表示数 19 的一种方法 例如： 3 可表示为 “” ， 26 可表示为“” 现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 19 这 9 数字表示两位数的个数为（ ） A13 B14 C15 D16 【分析】根据题意，分析可得 6 根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的 两位数个数，由加法原理分析可得答案 【解答】解：根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1、5，1、9，2、4，2、 8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 第 9 页（共 24 页） 数字组合 1、5，1
18、、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7 中，每组可以表示 2 个两位数， 则可以表示 2714 个两位数； 数字组合 3、3，7、7，每组可以表示 1 个两位数，则可以表示 212 个两位数； 则一共可以表示 14+216 个两位数； 故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，关键是理解算筹的定义 8 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBD， 垂足为 E，则（ ） A B C D 【分析】解法一：利用三角形法则和两个垂直的平面向量的数量积为零，即可求得 解法二：建立平面直角坐标系，写出 AE 与 BD 的方程，求出点 E 的
19、坐标，再利用向量坐 标计算的值 【解答】解：解法一，由题意知， （+） + |cosOAE 解法二，建立平面直角坐标系，如图所示； 第 10 页（共 24 页） 矩形 ABCD 中，AB3，AD4， 则 A（0，3） ，B（0，0） ，C（4，0） ，D（4，3） ； 直线 BD 的方程为 yx； 由 AEBD，则直线 AE 的方程为 y3x，即 yx+3； 由，解得， E（，） 所以（，） ，（，） ， 所以+（）（） 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积计算问题，是基础题 9 （5 分）函数图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称
20、性，利用 f（1）的值的符号是否对应进 行排除即可 第 11 页（共 24 页） 【解答】解：sinx， 则 f（x）sin（x） （sinx）sinxf（x） ， 则 f（x）是偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 B，D， 由 f（x）0，得 1ex0 或 sinx0， 得 xk，kZ，即当 x0 时，第一个零点为 ， 当 x1 时，f（1）sin10，排除 A， 故选：C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函 数值的对应性利用排除法是解决本题的关键 10 （5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻，
21、则不同排法的种数是（ ） A72 B60 C36 D24 【分析】根据题意，分 3 步进行分析：、把 3 位女生分为 2 组，将 2 位男生全排 列，2 位男生全排列后形成的 3 个空位，在其中任选 2 个，安排 2 个女生组，由分 步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 、把 3 位女生分为 2 组，有 C323 种情况， ，将 2 位男生全排列，有 A222 种情况， ，2 位男生全排列后形成的 3 个空位，在其中任选 2 个，安排 2 个女生组，需要考虑 2 个女生组两人之间的顺序， 有 A32A2212 种情况， 故有 321272 种不同排法， 故选：A
22、【点评】本题考查排列中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x） ，若方程 f（x）的解为 x1，x2（0x1x2 ） ，则 sin（x1x2）（ ） 第 12 页（共 24 页） A B C D 【 分 析 】 由 已 知 可 得， 结 合 x1 x2求 出 x1的 范 围 ， 再 由 求解即可 【解答】解：因为 0x， 又因为方程的解为 x1，x2（0x1x2） ， ， ， 因为，0x1， ， 由，得， ， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档 题 12 （5 分）已知函数 f（x）（k
23、+）lnx+，k1，+） ，曲线 yf（x）上总存在 两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2）使曲线 yf（x）在 M、N 两点处的切线互相平行，则 x1+x2 的取值范围为（ ） A4，+） B （4，+） C） D （） 【分析】求得 f（x）的导数 f（x） ，由题意可得 f（x1）f（x2） （x1，x20，且 x1 x2） ，化为 4（x1+x2）（k+）x1x2，因此 x1+x2对 k1，+）都成立，令 g （k）k+，k1，+） ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出 【解答】解：函数 f（x）（k+）lnx+，导数 f（x）（k+） 1 由题意可得 f（x1）f（x2） （
24、x1，x20，且 x1x2） 第 13 页（共 24 页） 即有11， 化为 4（x1+x2）（k+）x1x2， 而 x1x2（）2， 4（x1+x2）（k+） （）2， 化为 x1+x2对 k1，+）都成立， 令 g（k）k+，k1，+） ， 由 k+24，当且仅当 k2 取得等号， 4， x1+x24，即 x1+x2的取值范围是（4，+） 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基 本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本大二、填空题：本大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13
25、（5 分）已知数列an满足 a11，an1+a1+an1（nN*，n2） ，则当 n1 时，an 2n 1 【分析】根据已知条件写出数列的前几项，分析规律，并归纳出数列的通项公式即可 【解答】解：数列an满足 a11， an1+a1+an1 （nN*，n2） ， 则 a1120， a2221， a3422， ， 由此可得当 n1 时， 第 14 页（共 24 页） 故答案为：2n 1 【点评】本题考查了用归纳法求数列的通项公式，关键是能够根据数列的前几项分析规 律，并大胆猜想，属于基础题 14（5 分） 设当 x 时， 函数 f （x） sinx+cosx 取得最大值， 则 tan （+） 2
26、+ 【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由 x 时函数 f（x）取得最大值，得到 的取值，后代入正切公式中计算求值 【解答】解：f（x）sinx+cosx2sin（x+） ； 当 x 时，函数 f（x）取得最大值 +； +2k，kz； tan（） 故答案为：2+ 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌 握公式是解本题的关键 15 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+a2在 x1 处有极小值 10，则 ab 15 【分析】根据函数 f（x）x3+ax2+bx+a2在 x1 处有极小值 10 得 f（1）0，f
27、（1） 10 即可求出 ab 的值 【解答】解：f（x）3x2+2ax+b， 函数 f（x）x3+ax2+bx+a2在 x1 处有极小值 10， f（1）0，f（1）10， 3+2a+b0，1+a+b+a210， 解得 a4，b11 或 a3，b3， 当 a4，b11 时， f（x）3x2+8x11（3x+11） （x1） ， 此时 x1 是极小值点； 当 a3，b3 时， f（x）3x26x+33（x1）2， 第 15 页（共 24 页） 此时 x1 不是极小值点 a4，b11， ab15 故答案：15 【点评】本题考查利用导数求函数极值的处理策略，关键是 f（1）0，f（1）10， 属于基
28、础题 16 （5 分）在三棱锥 SABC 中，SBSCABBCAC2，侧面 SBC 与底面 ABC 垂直， 则三棱锥 SABC 外接球的表面积是 【分析】如图所示，取 BC 的中点 D，连接 SD，AD设 E 为ABC 的中心，F 为SBC 的中心，O 为三棱锥 SABC 外接球的球心连接 OE，OF，OA四边形 OEDF 为正方 形 可得 OA 为棱锥 SABC 外接球的半径 利用勾股定理及其球的表面积计算公式即可 得出 【解答】解：如图所示， 取 BC 的中点 D，连接 SD，AD 设 E 为ABC 的中心，F 为SBC 的中心， O 为三棱锥 SABC 外接球的球心 连接 OE，OF，O
29、A四边形 OEDF 为正方形 则 OA 为棱锥 SABC 外接球的半径 OA 三棱锥 SABC 外接球的表面积4 故答案为： 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题考查了三棱锥的性质、等边三角形的性质、球的性质及其表面积计算公式、 矩形的性质、勾股定理、线面位置关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力， 属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考
30、题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，且 cos2A+sin（ A）+10 （1）求角 A 的大小； （2）若ABC 的面积 S3，b3求 sinC 的值 【分析】 （1） 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosA 的值， 结合 A 的范围， 可求 A 的值 （2）利用三角形的面积公式可求 bc 的值，从而解得 c 的值，由余弦定理可求 a 的值， 由正弦定理可求 sinC 的值 【解答】解： （1）cos2A+sin（A）+10 cos2AcosA+10，可得：2c
31、os2AcosA0，解得：cosA，或 cosA0， ABC 为锐角三角形， cosA， 可得：A （2）SABCbcsinAbc3，可得：bc12， 又 b3，可得：c4， 在ABC 中， 由余弦定理可知， a2b2+c22bccosA16+9234251213， a， 在ABC 中， 由正弦定理可知：， 可得： sinC 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，正 弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 第 17 页（共 24 页） 18 （12 分）在等比数列an中，公比 q（0，1） ，且满足 a42，a32+2a2a6+a
32、3a725 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnlog2an，数列bn的前 n 项和为 Sn，当取最大值时， 求 n 的值 【分析】 （1）由条件判断 an0，再由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公 比，进而得到所求通项公式； （2）求得 bnlog2anlog225 n5n，可得 S n ，再由等差数列 的求和公式和配方法，可得所求最大值时的 n 的值 【解答】解： （1）a32+2a2a6+a3a725， 可得 a32+2a3a5+a52（a3+a5）225， 由 a42，即 a1q32，由 0q1，可得 a10，an0， 可得 a3+a55，即 a1q2+a1q45，
33、由解得 q（2 舍去） ，a116， 则 an16 （）n 125n； （2）bnlog2anlog225 n5n， 可得 Snn（4+5n）， ， 则4+ n（4+）（n）2+， 可得 n8 或 9 时，取最大值 18 则 n 的值为 8 或 9 【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，同时考查等差数列的通项公式和求和公 式的运用，以及最值求法，考查化简运算能力，属于中档题 19 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为的菱形，BCD 60，AC 与 BD 交于点 O，平面 FBC平面 ABCD，EFAB，FBFC，EF （1）求证：OE平面 ABCD； 第
34、 18 页（共 24 页） （2）若FBC 为等边三角形，点 Q 为 AE 的中点，求二面角 QBCA 的余弦值 【分析】 （1）取 BC 中点 G，连接 FG，OG，证明 FG平面 ABCD，FGOE，则 OE 平面 ABCD； （2）以 AC 所在直线为 x 轴，BD 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴建立空间坐标系， 分别求出平面 ABC， 平面 QBC 的法向量， 将二面角 QBCA 转化为两个法向量夹角余 弦值的问题 【解答】证明： （1）如图，取 BC 中点 G，连接 FG，OG， 因为 FBFC， 所以 FGBC， 又因为平面 FBC平面 ABCD，平面 FBC平面 A
35、BCDBC，FG平面 FBC， 所以 FG平面 ABCD， O，G 分别为 BD，BC 中点， 所以 OGAB，OG 因为 EF，EFAB， 所以四边形 EFGO 为平行四边形， 所以 OEFG， 所以 OE平面 ABCD （2）如图，以 AC 所在直线为 x 轴，BD 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴建立空间 坐标系， 显然二面角 QBCA 为锐二面角，设该二面角为 ， 向量 （0，0，1）是平面 ABC 的法向量，设平面 QBC 的法向量 （x，y，1） ， 由题意可知 FGOEBFsin602， 所以 C（2，0，0） ，B（0，0） ，E（0，0，2） ，Q（1，0，1）
36、第 19 页（共 24 页） 所以（1，1） ，（3，0，1） ， 则，即， 所以 （，1） ， 所以 cos 【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的求法，向量法在求二面角中的应用等， 属于中档题 20 （12 分）某种规格的矩形瓷砖（600mm600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片 瓷砖质量 x（kg）都服从正态分布 N（，2） ，并把质量在（3，+3）之外的瓷 砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品 （1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查，求至少有 1 片是废品的概率； （2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分 别为 a（m
37、m） 、b（mm） ，则“尺寸误差” （mm）为|a600|+|b600|，按行业生产标准， 其中“优等” 、 “一级” “合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2、 （0.2，0.5， （0.5， 1.0（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 1.0mm 的瓷砖） ，每片价格分别为 7.5 元、6.5 元、 5.0 元， 现分别从甲、 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖， 相应的 “尺 寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂
38、瓷砖的“尺寸误差”频数表） （i）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 （元） ，求 的分布列 第 20 页（共 24 页） （ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等” 、 “一级”两种，求 5 片该规 格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ， 则 P（3Z+3）0.9974；0.9974100.9743，0.840.4096，0.850.32768 【分析】 （）由正态分布的概率公式求值即可； （） （）根据题意知 的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望 值； （）根据题意求出“优等”品与“一级”品数
39、，再计算所求的概率值 【解答】解： （）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在（u3，u+3）之内 的概率为 0.9974， 则这 10 片质量全都在（u3，u+3）之内（即没有废品）的概率为 0.9974100.9743； 则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为 10.97430.0257；（3 分） （） （）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等” 、 “一级” 、 “合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1； 则 的可能取值为 15，14，13，12.5，11.5，10 元；（4 分） 计算 P（15）0.720.49，
40、 P（14）0.20.70.28， P（13）0.220.04， P（12.5）0.10.70.14， P（11.5）0.10.20.04， P（10）0.120.01， 第 21 页（共 24 页） 得到 的分布列如下： 15 14 13 12.5 11.5 10 P 0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01 （6 分） （）设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有 n 片“优等”品，则有 5n 片“一级”品， 由已知 7.5n+6.5（5n）36，解得 n3.5，则 n 取 4 或 5； 故所求的概率为 0.4096+0.32768 0.73728（12 分） 【点评】本题
41、考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了正态分布的应 用问题，是中档题 21 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数 a 的最小值 【分析】 （1）求出函数的导数，结合二次函数的性质通过讨论 a 的范围判断函数的单调 性即可； （2）问题转化为存在 x1，使成立设，x1，根 据函数的单调性求出 a 的最小值即可 【解答】解： （1）由题意可知，x0， 方程x2+xa0 对应的14a， 当14a0，即时，当 x（0，+）时，f（x）0， f（x）在（0，+）上单调递减； （2 分） 当时，方程x2+xa0 的两根为， 且， 第 22 页（共
42、 24 页） 此时，f（x）在上 f（x）0，函数 f（x）单调递增， 在上 f（x）0，函数 f（x）单调递减；（4 分） 当 a0 时， 此时当，f（x）单调递增， 当时，f（x）0，f（x）单调递减； （6 分） 综上：当 a0 时，f（x）单调递增， 当时，f（x）单调递减； 当时，f（x）在上单调递增， 在上单调递减； 当时，f（x）在（0，+）上单调递减； （7 分） （2）原式等价于（x1）axlnx+2x1， 即存在 x1，使成立 设，x1， 则，（9 分） 设 h（x）xlnx2， 则，h（x）在（1，+）上单调递增 又 h（3）3ln321ln30，h（4）4ln4222l
43、n20， 根据零点存在性定理，可知 h（x）在（1，+）上有唯一零点， 设该零点为 x0，则 x0（3，4） ，且 h（x0）x0lnx020，即 x02lnx0， （11 分） 由题意可知 ax0+1，又 x0（3，4） ，aZ， a 的最小值为 5（12 分） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 第 23 页（共 24 页） 化思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐
44、标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐 标方程为 cos（）2 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A、B 两点，证明： |PA|PB|为定值 【分析】 （1）由 x2+y2（cos+sin）2+（sincos）24 可得曲线 C 的直角坐 标方程；根据互化公式可得直线 l 的直角坐标方程； （2）根据参数 t 的几何意义可得 【解答】解： （1）由 x2+y2（cos+sin）2+（sincos）24， 得曲线 C：x2+y24 直线 l 的极坐标方程展开为cossin2， 故 l 的直角坐标方程为