1、设集合 Ax|x0，集合，则 AB（ ） Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x1 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） Ai（1+i） Bi（1i）2 Ci2（1+i）2 Di+i2+i3+i4 3 （5 分）已知 a，bR，则“ab”是“log2alog2b”的（ ）条件 A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要 4 （5 分）已知数据 x1，x2，x2020的方差为 4，若 yi2（xi3） （i1，2， 2020） ，则新数据 y1，y2，y2020的方差为（ ） A16 B13 C8 D16 5 （5 分）函数的图象大致
2、形状是（ ） A B C D 6 （5 分）我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑在一座宫殿中， 有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（ ） 第 2 页（共 23 页） A+4 B+8 C8+4 D8+8 7 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，c3，且满足（2a c）cosBbcosC，则的值为（ ） A2 B3 C1 D3 8 （5 分）已知函数 f（x）e|x|+|x|，则满足 f（2x1）f（）的 x 取值范围是（ ） A B C D 9 （5 分）已知 F 是抛物线 y24x 的焦点，过焦点 F 的直线 l 交抛物
3、线的准线于点 P，点 A 在抛物线上且|AP|AF|3，则直线 l 的斜率为（ ） A1 B C D2 10 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，n，nm，则 n D若 m，mn，n，则 11 （5 分）函数的最小正周期为 ，若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ） A关于点对称 B在上单调递增 C关于直线对称 D在处取最大值 12 （5 分）已知函数，若关于 x 的方程 f2（x）mf（x）+10 恰好有四个 不相等的实数根，则实数 m 的取值范
4、围是（ ） 第 3 页（共 23 页） A （2，+） B （1，+） C （1，2） D （2，4） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设直线 yx+m 是曲线 yex的一条切线，则实数 m 的值是 14 （5 分）已知向量，若向量与 垂直，则 x 15 （5 分）2020 年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返 校开学，不得不在家“停课不停学” 为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查 问卷中，随机抽取 n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图 （如图所示）
5、已知学习时长在9，11）的学生人数为 25，则 n 的值为 16 （5 分）已知椭圆1 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆上的动点，若动点 Q 满足（R，0）且|，则点 Q 到双曲线1 一条渐 近线距离的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个考生都必须作答第题，每个考生都必须作答第 22、23 题为选题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，
6、S39，a4+a5+a627 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnan2，求数列bn前 n 项和 Tn 参考公式：12+22+n2 18 （12 分）已知几何体 ABCDEF 中，ABCD，FCEA，ADAB，AE面 ABCD，AB ADEA2，CDCF4 第 4 页（共 23 页） （1）求证：平面 BDF平面 BCF； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离 19 （12 分） 惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国 I 卷的题型结构， 其中第 22、 23 题为选做题，考生只需从中任选一题作答已知文科数学和理科数学的选做题题目无 任何差异， 该校参加模拟考试学生共 1050
7、 人， 其中文科学生 150 人， 理科学生 900 人 在 测试结束后， 数学老师对该学校全体高三学生选做的 22 题和 23 题得分情况进行了统计， 22 题统计结果如表 1，23 题统计结果如表 2 22 题得分 0 3 5 8 10 理科人数 50 70 80 100 500 文科人数 5 20 10 5 70 表 1 23 题得分 0 3 5 8 10 理科人数 10 10 15 25 40 文科人数 5 5 25 0 5 表 2 （1）在答卷中完成如下 22 列联表，并判断能否至少有 99.9%的把握认为“选做 22 题 或 23 题”与“学生的科类（文理） ”有关系； 选做 22
8、 题 选做 23 题 合计 文科人数 110 理科人数 100 总计 1050 （2）在第 23 题得分为 0 的学生中，按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行答疑辅导，并 在辅导后从这 6 人中随机抽取 2 人进行测试，求被抽中进行测试的 2 名学生均为理科生 第 5 页（共 23 页） 的概率 参考公式：K2，其中 na+b+c+d P（K2）k0 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 20 （12 分）已知函数 f（x）ax2+lnxx，aR 且 a0 （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间与极值； （2）当 x1 时，f（x）2ax 恒成
9、立，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 C：1（a0，a1）的两个焦点分别是 F1、F2，直线 l：y kx+m（k，mR）与椭圆交于 A、B 两点 （1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求 a 的值； （2）若 a2，且 kOAkOB，求证：OAB 的面积为定值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答答题时请在答卷中写清题中任选一题作答答题时请在答卷中写清 题号并将相应信息点涂黑题号并将相应信息点涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中
10、， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2） 设 P 是曲线 C1上一点， 此时参数 ， 将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针旋转 交曲线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为 T，求OTQ 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2a|+|xa| （）当 a1 时，求不等式 f（x）4|x+2|的解集； （）设 a0，b0，且 f（x）的最小值是 t若 t+3b3，求的最小值 第 6 页（共 23 页） 202
11、0 年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求 1 （5 分）设集合 Ax|x0，集合，则 AB（ ） Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x1 【分析】先求出集合 B，再利用集合的并集运算即可求出结果 【解答】解：x10，x1， 集合 Bx|x1， ABx|x0， 故选：A 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题
12、 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） Ai（1+i） Bi（1i）2 Ci2（1+i）2 Di+i2+i3+i4 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简逐一化简四个选项得答案 【解答】解：对于 A，i（1+i）1+i，不是纯虚数； 对于 B，i（1i）22i22，不是纯虚数； 对于 C，i2（1+i）22i，是纯虚数； 对于 D，i+i2+i3+i4i1i+10，不是纯虚数 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知 a，bR，则“ab”是“log2alog2b”的（ ）条件 A充分而不必要 B必要而
13、不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【解答】解：log2alog2b， 0ab， “ab”是“log2alog2b”的必要不充分条件， 第 7 页（共 23 页） 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断、对数函数的单调性，比较基础 4 （5 分）已知数据 x1，x2，x2020的方差为 4，若 yi2（xi3） （i1，2， 2020） ，则新数据 y1，y2，y2020的方差为（ ） A16 B13 C8 D16 【分析】根据题意，由数据方差的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，样本数据 x1，x2，x20
14、20的方差是 4， yi2（xi3） （i1，2，2020） ， 则 y1，y2，y2020的方差为 D（Y）D（2（x3） ）4D（X）4416， 故选：A 【点评】本题考查方差的计算公式，注意方差的性质，属于基础题 5 （5 分）函数的图象大致形状是（ ） A B C D 【分析】由，然后根据指数函数的图象可判断 【解答】解：， 根据指数函数的图象可知，选项 B 符合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了函数图象的应用，属于基础试题 6 （5 分）我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑在一座宫殿中， 第 8 页（共 23 页） 有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体
15、积为（ ） A+4 B+8 C8+4 D8+8 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图可得直观图，该几何体由一个三棱锥体和半个圆锥体 构成的几何体 如图所示： 则：V8+4 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公 式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，c3，且满足（2a c）cosBbcosC，则的值为（ ） A2 B3 C1 D3 【分析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利
16、用两角和公式化简整理 求得 cosB 的值，从而求得 B，再运用平面向量数量积运算性质计算即可 【解答】解：（2ac）cosBbcosC，由正弦定理得： （2sinAsinC）cosBsinBcosC 2sinAcosBsinCcosBsinBcosC， 第 9 页（共 23 页） 化为：2sinAcosBsinCcosB+sinBcosC， 2sinAcosBsin（B+C） ， 在ABC 中，sin（B+C）sinA， 2sinAcosBsinA，得：cosB， B |cosBaccos233， 故选：D 【点评】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理的运用，考查平面向量数量积运算 性质，
17、考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题 8 （5 分）已知函数 f（x）e|x|+|x|，则满足 f（2x1）f（）的 x 取值范围是（ ） A B C D 【分析】先利用函数奇偶性的定义证明 f（x）是偶函数，于是原不等式可等价为 f（|2x 1|）f（） ，再结合基本初等函数的单调性，可知当 x0 时，f（x）单调递增，所以 |2x1|，解之即可 【解答】解：函数的定义域为 R，且 f（x）e| x|+|x|e|x|+|x|f（x） ，函数 f（x） 是偶函数， 于是原不等式可等价为 f（|2x1|）f（） ， 当 x0 时，f（x）ex+x 在区间0，+）上单调递增， |2x
18、1|，解得， 故选：A 【点评】本题考查函数单调性和奇偶性的应用，以及绝对值不等式的解法，考查学生的 分析能力和运算能力，属于基础题 9 （5 分）已知 F 是抛物线 y24x 的焦点，过焦点 F 的直线 l 交抛物线的准线于点 P，点 A 在抛物线上且|AP|AF|3，则直线 l 的斜率为（ ） A1 B C D2 【分析】通过抛物线的定义与性质求出 A 的坐标，得到 P 的坐标，然后求解直线的斜率 即可 第 10 页（共 23 页） 【解答】解：F 是抛物线 y24x 的焦点（1，0） ，过焦点 F 的直线 l 交抛物线的准线于点 P，点 A 在抛物线上且|AP|AF|3，可得 A 的坐标
19、（2，2） 所以 P（1，2） ， 所以直线 l 的斜率为： 故选：C 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 10 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，n，nm，则 n D若 m，mn，n，则 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合面面垂直的判定定 理即可找出正确选项 【解答】解：A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面； C错误，一个平面内垂直于两平面交线的
20、直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； D正确，由 m，mn 便得 n，又 n，即 故选：D 【点评】考查根据选项中的条件及结论想象对应图形的能力，两直线平行、两平面平行、 线面垂直的概念，以及面面垂直的判定定理 11 （5 分）函数的最小正周期为 ，若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ） A关于点对称 B在上单调递增 C关于直线对称 D在处取最大值 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求出 f （x）的解析式，再根据三角函数图象的对称性，得出结论 第 11 页（共 23 页） 【解答】解：函数 f（x）2sin（x+
21、） （0，|）的最小正周期为 T ， 2， 函数图象向右平移个单位后得到的函数为 y2sin2（x）+2sin（2x +）的图象， 又所得函数为奇函数，|， 可得 ， f（x）2sin（2x+） 对于 A，f（）sin（+）0，则 f（x）的图象关于点（，0）对称，故 A 成立； 对于 B，由于 2k2x+2k+，kZ，可得：+kx+k，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间为+k，+k，kZ，故 B 错误； 对于 C，由 2x+k，kZ，解得 x+k，kZ，故 C 错误； 对于 D，f（）2sin2，故 D 错误 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的
22、奇偶性以及 图象的对称性，属于中档题 12 （5 分）已知函数，若关于 x 的方程 f2（x）mf（x）+10 恰好有四个 不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A （2，+） B （1，+） C （1，2） D （2，4） 【分析】函数 f（x）的定义域为（0，1）（1，+） ，对 x 分情况讨论，分别利用导数 得到函数 f（x）的单调性，从而得到函数 f（x）的大致图象，令 tf（x） ，则 t2mt+1 0，关于 x 的方程 f2（x）mf（x）+10 恰好有四个不相等的实数根，等价于关于 t 的方程 t2mt+10 有两个不相等的实根 t1，t2，且 t1（0，1） ，t2（
23、1，+） ，设 g（t） t2mt+1，再利用二次函数的图象和性质解出不等式组，即可求出 a 的取值范围 【解答】解：由题意可知，函数 f（x）的定义域为（0，1）（1，+） ， 第 12 页（共 23 页） 当 0x1 时，lnx0， 则 f（x），f（x）0， 函数 f（x）在（0，1）上单调递增； 当 x1 时，lnx0， 则 f（x），f（x），令 f（x）0 得，xe， 函数 f（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增， 所以函数 f（x）的大致图象，如图所示： ， 令 tf（x） ，则方程 f2（x）mf（x）+10 化为 t2mt+10， 关于 x 的方程 f2（x）
24、mf（x）+10 恰好有四个不相等的实数根， 关于 t 的方程 t2mt+10 有两个不相等的实根 t1，t2，且 t1（0，1） ，t2（1，+） ， 设 g（t）t2mt+1，则， 解得：m2， 故选：A 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了利用导数研究函数的单 调性，以及二次函数的性质，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设直线 yx+m 是曲线 yex的一条切线，则实数 m 的值是 1 第 13 页（共 23 页） 【分析】先求出曲线的导数，然后令其等于 1，由此求出切点坐标，代
25、入切线求出 m 的 值 【解答】解：因为 yex， 令 ex1 得 x0，代入 yex，故切点为（0，1） 代入 yx+m 得 m1 故答案为：1 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题 14 （5 分）已知向量，若向量与 垂直，则 x 7 【分析】求出（1，2） ，由向量与 垂直，能求出 x 的值 【解答】解：向量， （1，2） ， 向量与 垂直， （） （x1）（1）+320， 解得 x7 故答案为：7 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 15 （5 分）2020 年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎
26、”使得全国学生无法在春季正常返 校开学，不得不在家“停课不停学” 为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查 问卷中，随机抽取 n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图 （如图所示） 已知学习时长在9，11）的学生人数为 25，则 n 的值为 50 第 14 页（共 23 页） 【分析】由频率分布直方图的性质，列出方程，求出 x0.25，再由学习时长在9，11） 的频率为 2x0.5，能求出结果 【解答】解：由频率分布直方图的性质，得： 2（0.05+0.15+x+0.05）1， 解得 x0.25， 学习时长在9，11）的频率为 2x0.5， 解得 n50 故答案为：5
27、0 【点评】本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 16 （5 分）已知椭圆1 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆上的动点，若动点 Q 满足（R，0）且|，则点 Q 到双曲线1 一条渐 近线距离的最大值为 +6 【分析】由题意结合椭圆定义求得 Q 的轨迹，求出双曲线的一条渐近线方程，再求出 F1 到渐近线的距离，则答案可求 【解答】解：由椭圆方程可得，a29，b28，则 c1，F1（1，0） 若动点 Q 满足（R，0）且|， 可得 F1，P，Q 三点共线，且同向， 由|QF1|PQ|+|PF1|PF2|+|PF1|2a6， 第 15 页（共
28、 23 页） 可得 Q 的轨迹是以 F1为圆心，6 为半径的圆， 双曲线1 的一条渐近线方程为 y，即 由圆心到直线的距离为 点 Q 到双曲线1 一条渐近线距离的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合，考查点到直线距离公式的应用，考查数形结合 的解题思想方法，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个考生都必须作答第题，每个考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 6
29、0 分分 17 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，S39，a4+a5+a627 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnan2，求数列bn前 n 项和 Tn 参考公式：12+22+n2 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d，由已知结合等差数列的性质求得 a2与 a5的值， 再由 d求公差，进一步求得通项公式； （2）把数列an的通项公式代入 bnan2，展开后利用数列的分组求和与等差数列的前 n 项和公式求解 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d， 由 a1+a32a2，知 S33a29，即 a23 第 16 页（共 23 页） 又由 a4+a5+a63a5
30、27，得 a59 d ana2+（n2）d3+2（n2）2n1； （2）由 bnan2（2n1）24n24n+1 4n 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，训练了数列的分组求和，考查计算 能力，是中档题 18 （12 分）已知几何体 ABCDEF 中，ABCD，FCEA，ADAB，AE面 ABCD，AB ADEA2，CDCF4 （1）求证：平面 BDF平面 BCF； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离 【分析】 （1）推导出 BDBC，FC面 ABCD，BDFC，从而 BD平面 BCF，由此能 证明平面 BDF平面 BCF （2）设点 B 到平面 ECD 的距离为 h，由 V
31、BCDEVEBCD，能求出点 B 到平面 ECD 的 距离 【解答】 （1）证明：由已知得 BDBC2， BD2+BC2CD2，BDBC， FCEA，且 AE面 ABCD，FC面 ABCD， BC平面 ABCD，BDFC， FCBCC，BD平面 BCF， BD面 BDF，平面 BDF平面 BCF 第 17 页（共 23 页） （2）解：AE面 ABCD，EAAD，EACD， ABCD，ADAB，CDAD， EA平面 EAD，CD平面 EAD， ED平面 EAD，CDDE，ECD 为直角三角形， 设点 B 到平面 ECD 的距离为 h， 则 VBCDEVEBCD， h， 点 B 到平面 ECD
32、的距离为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分） 惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国 I 卷的题型结构， 其中第 22、 23 题为选做题，考生只需从中任选一题作答已知文科数学和理科数学的选做题题目无 任何差异， 该校参加模拟考试学生共 1050 人， 其中文科学生 150 人， 理科学生 900 人 在 测试结束后， 数学老师对该学校全体高三学生选做的 22 题和 23 题得分情况进行了统计， 22 题统计结果如表 1，23 题统计结果如表 2 22 题得分 0 3
33、 5 8 10 理科人数 50 70 80 100 500 文科人数 5 20 10 5 70 表 1 23 题得分 0 3 5 8 10 理科人数 10 10 15 25 40 文科人数 5 5 25 0 5 表 2 第 18 页（共 23 页） （1）在答卷中完成如下 22 列联表，并判断能否至少有 99.9%的把握认为“选做 22 题 或 23 题”与“学生的科类（文理） ”有关系； 选做 22 题 选做 23 题 合计 文科人数 110 理科人数 100 总计 1050 （2）在第 23 题得分为 0 的学生中，按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行答疑辅导，并 在辅导后从这 6 人中随
34、机抽取 2 人进行测试，求被抽中进行测试的 2 名学生均为理科生 的概率 参考公式：K2，其中 na+b+c+d P（K2）k0 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由分层抽样法和列举法求出基本事件数，计算所求的概率值 【解答】解： （1）根据题意填写 22 列联表如下； 选做 22 题 选做 23 题 合计 文科人数 110 40 150 理科人数 800 100 900 总计 910 140 1050 由表中数据，计算 K226.92310.828， 所以有 99.9%的
35、把握认为“选做 22 题或 23 题”与“学生的科类（文理） ”有关系； （2）由分层抽样的方法可知，在被选取的 6 人中理科生有 4 人，记为 a、b、c、d，文科 生有 2 人，记为 E、F， 从这 6 人中随机抽取 2 人，基本事件数为 ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、 cE、cF、dE、dF、EF 共 15 种； 被抽中的 2 名学生均为理科生的基本事件是 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种， 故所求的概率为 P 第 19 页（共 23 页） 【点评】本题考查了独立性检验问题，也考查了列举法求概率的问题，是基础题 20 （12 分）已知函数 f（
36、x）ax2+lnxx，aR 且 a0 （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间与极值； （2）当 x1 时，f（x）2ax 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即 可； （2）令 g（x）f（x）2ax，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）当 a1 时，函数 f（x）x2+lnxx，x（0，+） ， ， 当 f（x）0 时，当 f（x）0 时， 所以函数 f（x）的单调增区间为，单调减区间为， 当时，函数 f（x）取极大值，无极小值 （2）令 g（x）f（x）2axa
37、x2+lnx（1+2a）x， 根据题意，当 x（1，+）时，g（x）0 恒成立， ， 当，时，g（x）0 恒成立， 所以 g（x）在上是增函数，且，所以不符合题意； 当，x（1，+）时，g（x）0 恒成立， 所以 g（x）在（1，+）上是增函数，且 g（x）（g（1） ，+） ，所以不符合题意； 当 a0 时，x（1，+） ，恒有 g（x）0，故 g（x）在（1，+）上是减函数， 于是“g（x）0 对任意 x（1，+）都成立”的充要条件是 g（1）0， 即 a（2a+1）0，解得 a1，故1a0， 综上，a 的取值范围是1，0） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类
38、讨论思想，转 化思想，是一道中档题 第 20 页（共 23 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：1（a0，a1）的两个焦点分别是 F1、F2，直线 l：y kx+m（k，mR）与椭圆交于 A、B 两点 （1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求 a 的值； （2）若 a2，且 kOAkOB，求证：OAB 的面积为定值 【分析】 （1）由题可知MF1F2是等腰直角三角形，所以|OF1|OM|，当 a1 时， ，解得 a，当 0a1 时，a，解得 a， （2）当 a2 时，得椭圆的方程 x2+4y24，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，所以 x1x2 4y1y2
39、，又 kOAkOB，即，联立椭圆和直线方程得关于 x 的一元二次 方程，结合韦达定理得0，x1+x2，x1x2，可得 y1y2，代入化简得 2m24k21，由弦 长公式得|AB|，再分析点 O 到直线 ykx+m 的距离 d，化简 SAOB，即可得 出结论 【解答】解： （1）因为 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是等腰直角三角形， 所以|OF1|OM|， 当 a1 时，解得 a， 当 0a1 时，a，解得 a， 所以 a或 （2）证明：当 a2 时，x2+4y24，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 所以 x1x24y1y2， 所以 kOAkOB，即， 由，整理得（1+4k
40、2）x2+8kmx+4m240， 64k216m2+160， 所以 x1+x2，x1x2， 所以 y1y2（kx1+m） （kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2， 第 21 页（共 23 页） +m2， 所以，所以 2m24k21， 所以|AB|， 4 ， 因为 O 到直线 ykx+m 的距离 d， 所以 SAOB1， 所以AOB 面积为定值 1 【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，定值问题，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答答题时请在答卷中写清题中任选一题作答答题时请在答卷中写清 题号并将相应信息点涂黑题
41、号并将相应信息点涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2） 设 P 是曲线 C1上一点， 此时参数 ， 将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针旋转 交曲线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为 T，求OTQ 的面积 【分析】 （1）由（ 为参数） ，消去参数 ，可得曲线 C1的普通方程，结 合 xcos，ysin，可得曲线 C1的极坐标方程由 ，得
42、 22，则 C2的直角 坐标方程可求； （2）当 时，P（1，） ，sinxOP，cos，将射线 OP 绕原点 O 逆时针旋转，交曲线 C2于点 Q，又曲线 C1的上顶点为点 T，求出|OQ|，|OT| 第 22 页（共 23 页） 1，再求出QOT 的正弦值，代入三角形面积公式求解 【解答】解： （1）由（ 为参数） ，消去参数 ， 可得曲线 C1的普通方程为， 由 xcos，ysin，可得曲线 C1的极坐标方程为 2cos2+22sin220 由 ，得 22，则 C2的直角坐标方程为 x2+y22； （2）当 时，P（1，） ，sinxOP，cos， 将射线 OP 绕原点 O 逆时针旋转，
43、交曲线 C2于点 Q，又曲线 C1的上顶点为点 T， |OQ|，|OT|1， 则 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力， 是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2a|+|xa| （）当 a1 时，求不等式 f（x）4|x+2|的解集； （）设 a0，b0，且 f（x）的最小值是 t若 t+3b3，求的最小值 【分析】 （）将 a1 代入 f（x）中，然后利用零点分段法解不等式 f（x）4|x+2|即 可； （）先利用绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，再利用基本不等式求出的最 小值 【解答】解： （）当 a1 时，f（x）|x+2|+|x1|， f（x）4|x+2|，2|x+2|+|x1|4， 当 x2 时，不等式可化为2x4x+14，； 当2x1 时，不等式可化为 2x+4x+14，1x1； 当 x1 时，不等式可化为 2x+4+x14，x1， 综上，不等式的解集为 （）f（x）|x+2a|+|xa|（x+2a）（xa）3a，t3a， 3a+3b3，即 a+b1， 第 23 页（共 23 页） ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等求最值， 考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题