1、在复平面内，复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x0，Bx|1x1，则 AB（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1） 3 （5 分）已知 x，yR，且 xy0，则（ ） Acosxcosy0 Bcosx+cosy0 Clnxlny0 Dlnx+lny0 4 （5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 yex关于 x 轴对称，则 f（x）（ ） Aex 1 Bex+1 Ce x1 De x+1 5 （5 分）已知函数 f（x）2x+ln（x+） （aR）为奇函数，则 a（ ）
2、 A1 B0 C1 D 6 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作 一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ， 然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在如图第 3 个大正三角 形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）已知 为锐角，cos，则 tan（）（ ） A B C2 D3 8 （5 分） “砸金蛋” （游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖” ）是现在商家一 第
3、 2 页（共 24 页） 种常见促销手段今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人 均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行 了预测，预测结果如下： 甲说： “我或乙能中奖” ；乙说： “丁能中奖” ； 丙说： “我或乙能中奖” ；丁说： “甲不能中奖” 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的， 则中奖的同学是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展
4、迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 10 （5 分）已知抛物线 y22px 上不同三点 A，B，C 的横坐标成等差数列，那么下列说法 正确的是（ ） AA，B，C 的纵坐
5、标成等差数列 BA，B，C 到 x 轴的距离成等差数列 CA，B，C 到点 O（0，0）的距离成等差数列 第 3 页（共 24 页） DA，B，C 到点 F（，0）的距离成等差数列 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+sin（x） ，现给出如下结论： f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f （x）的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1，F2，过 F1的直线与 C 交于 A，B 两点，若|AF2|F1F2| |BF1|，则 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题
6、：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）ex+sinx 在点（0，1）处的切线方程为 14 （5 分）若实数变量 x，y 满足约束条件，且 z2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m+n 15 （5 分）在ABC 中，a1，cosC，ABC 的面积为，则 c 16 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 m（mZ） ，底面边长为 n（nZ） ，内 有一个体积为 V 的球，若 V 的最大值为，则此时三棱柱外接球表面积的最小值 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小
7、题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分） 已知数列an是等比数列， 数列bn满足 b1b2， b3， an+1bn+12nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 18 （12 分）党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长 “少年强则国强” ，青少年身 心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明 进步的标志，是国家综合实力的重要方面全面实施国家学生体质健康标准 ，把健康 素质作为评价学生全面健康发展的重要指标， 是新时代的要求国家学生体质健康标准
8、 第 4 页（共 24 页） 有一项指标是学生体质指数（BMI） ，其计算公式为：，当 BMI23.5 时认为“超重” ，应加强锻炼以改善 BMI 某高中高一、高二年级学生共 2000 人， 人数分布如表（a） 为了解这 2000 名学生的 BMI 指数情况，从中随机抽取容量为 160 的一个样本 性别 年级 男生 女生 合计 高一年级 550 650 1200 高二年级 425 375 800 合计 975 1025 2000 表（a） （1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽 样方案，并确定每层应抽取出的学生人数； （2）分析这 160 个学生的
9、 BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b） 性别 年级 男生 女生 高一年级 4 6 高二年级 2 4 表（b） （i）试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数； （ii）对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量 哪一个与“是否超重”的关联性更强应用卡方检验，可依次得到 K2的观察值 k1，k2， 试判断 k1和 k2的大小关系 （只需写出结论） 19 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PAPBPC，APBACB90，点 E，F 分 别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：PE平面 ABC； （2）若 GF 与
10、平面 ABC 所成的角为 60，且 GF2，求三棱锥 PABC 的体积 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知两定点 A （2， 2） ， B （0， 2） ， 动点 P 满足 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）轨迹 C 上有两动点 E，F，它们关于直线 l：kx+y40 对称，且满足4， 求OEF 的面积 21 （12 分）已知函数 f（x）12asinxe x，f（x）是 f（x）的导函数，且 f（0）0 （1）求 a 的值，并证明 f（x）在 x0 处取得极值； （2）证明：f（x）在区间2k，2k+（kN）有唯一零点 请考生在第
11、请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（m 为参数） （1）写出曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 l1，l2，其中 l1与曲线 C 交于 A，B 两点，l2与 C 交于 M，N 两点，l1与 l2交于点 P（x0，y0） ，求证：|PA|PB|PM|PN| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23
12、已知函数 f（x）|xa|+|x1| （1）若 f（a）2，求 a 的取值范围； （2）当 xa，a+k时，函数 f（x）的值域为1，3，求 k 的值 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（文年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D
13、第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案 【解答】解：， 在复平面内，复数对应的点的坐标为（2，1） ，位于第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x0，Bx|1x1，则 AB（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1） 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|0x2，Bx|1x1， AB（0，1） 故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查 了计算能力，属于
14、基础题 3 （5 分）已知 x，yR，且 xy0，则（ ） Acosxcosy0 Bcosx+cosy0 Clnxlny0 Dlnx+lny0 【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项 A、C，可得 A 错误，C 正确，对于 B、 D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，ycosx 在（0，+）上不是单调函数，故 cosxcosy0 不一定成立，A 错误； 第 7 页（共 24 页） 对于 B，当 x，y时，cosx+cosy10，B 不一定成立； 对于 C，ylnx 在（0，+）上为增函数，若 xy0，则 lnxlny，必有 lnxln
15、y0， C 正确； 对于 D，当 x1，y时，lnx+lnyln0，D 不一定成立； 故选：C 【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题 4 （5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 yex关于 x 轴对称，则 f（x）（ ） Aex 1 Bex+1 Ce x1 De x+1 【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可 【解答】解：yex关于 x 轴对称的函数为yex，即 yex， 然后向右平移一个单位得到 f（x） ， 得 yex 1，即 f（x）ex1， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键比
16、较基 础 5 （5 分）已知函数 f（x）2x+ln（x+） （aR）为奇函数，则 a（ ） A1 B0 C1 D 【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程，进行求解即可 【解答】解：f（x）是奇函数， f（x）f（x） ，即 f（x）+f（x）0， 即2x+ln（x+）+2x+ln（x+）0， 得 ln（x+）+ln（x+）0， 即 ln（x+） （x+）0 得 ln（a+x2x2）lna0， 得 a1， 故选：C 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合奇函数的定义建立方程关系是解决本题 第 8 页（共 24 页） 的关键比较基础 6 （5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家
17、希尔宾斯基在 1915 年提出，先作 一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ， 然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形） 在如图第 3 个大正三角 形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A B C D 【分析】我们要根据已知条件，求出第 3 个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代 入几何概型计算公式，即可求出答案 【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一 个三角形的面积为 1 第三个三角形的面积为 1； 则阴影部分
18、的面积之为： 第 3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：， 故选：B 【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等， 而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求 出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几 何度量”N，最后根据 P求解 7 （5 分）已知 为锐角，cos，则 tan（）（ ） A B C2 D3 第 9 页（共 24 页） 【分析】由 为锐角，cos，求出 sin，tan，推导出 tan ，由此能求出 tan（）的值 【解答】解： 为锐角，cos， sin，
19、tan， 解得 tan或 tan2（舍） ， tan（） 故选：A 【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切二倍角公式、正切加法定理 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 8 （5 分） “砸金蛋” （游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖” ）是现在商家一 种常见促销手段今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人 均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行 了预测，预测结果如下： 甲说： “我或乙能中奖” ；乙说： “丁能中奖” ； 丙说： “我或乙能中奖” ；丁说： “甲不能中奖” 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中
20、奖，且只有一位同学的预测结果是正确的， 则中奖的同学是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解 【解答】解：若中奖的同学是甲，则甲预测结果是正确的，与题设相符，故中奖的同 学是甲， 若中奖的同学是乙，则甲、丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不 第 10 页（共 24 页） 是乙， 若中奖的同学是丙，则丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丙， 若中奖的同学是丁，则乙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是丁， 综合得：中奖的同学是甲， 故选：A 【点评】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题 9 （5
21、分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球
22、累计装机容量中占比超过 【分析】通过图结合选项分析 【解答】解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A 错； 由图 2 知，10 年来全球新增装机容量起伏，B 错； 由图1知，10年中国新增装机总容量为 13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1197.7， 则 10 年来中国新增装机容量平均为 19.77GW，C 错； 故选：D 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查频率直方图，属于基础题 10 （5 分）已知抛物线 y22px 上不同三点 A，B，C 的横坐标成等差数列，那么下列说法 正确的是（ ） A
23、A，B，C 的纵坐标成等差数列 BA，B，C 到 x 轴的距离成等差数列 CA，B，C 到点 O（0，0）的距离成等差数列 DA，B，C 到点 F（，0）的距离成等差数列 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，因为 A，B，C 的横坐标成等差数列， 所以 2x2x1+x3，由抛物线的定义，得点 A，B，C 到焦点 F（，0）的距离 |AF|x1+，|BF|x2+，|CF|x3+，2|BF|2x2+p，进而得出结论 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， 因为 A，B，C 的横坐标成等差数列， 所以 2x2x1+x3， 由抛
24、物线的定义，得点 A，B，C 到焦点 F（，0）的距离 |AF|x1+，|BF|x2+，|CF|x3+ 2|BF|2x2+p， |AF|+|CF|x1+x2+p， 又因为，得 2|BF|AF|+|CF|， 所以 A，B，C 到点 F（，0）的距离成等差数列 故选：D 【点评】本题考查等差数列，抛物线的定义，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）sinx+sin（x） ，现给出如下结论： f（x）是奇函数； f（x）是周期函数； f（x）在区间（0，）上有三个零点； f （x）的最大值为 2 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据函数奇偶性定义进行判断，用反证法
25、推出函数的函数无周期，f（x） 第 12 页（共 24 页） sinx+sin（x）2sincos，函数的零点为方程 sin0 或 cos0，x或 x，x（0，） ，进而得出结论，用反证 法推出函数的函数最大值不是 2 【解答】解：因为 f（x）sin（x）+sin（x）sinxsin（x）f（x） ， 所以 f（x）是奇函数，正确 假设存在周期 T， 则 sin（x+T）+sin（x+T） ）sinx+sinx， sin（x+T）sinxsin（x+T） ）sinx， 所以 sincossincos， 存在 x0R，使得 cos0，而 cos0， 将 x0R，sincos0， 由于， 故si
26、n0， 所以 sin0，sin0， k，m，k，mZ， 所以 km，矛盾， 所以函数 f（x）sinx+sin（x） ，没有周期，错误 f（x）sinx+sin（x）2sincos， 函数的零点为方程 sin0 或 cos0， x或 x，x（0，） x，或， 所以 f（x）在区间（0，）上有三个零点；故正确 假设存在这样的 x0使得 f（x）最大值为 2， x0且 x0， （kZ） 第 13 页（共 24 页） 即 x0且 x0+2k， 所以+2k，kZ，无解，故错误 故选：B 【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题 12 （5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1，F2，过 F1的直线与
27、 C 交于 A，B 两点，若|AF2|F1F2| |BF1|，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件，求出 AF1的中点到 F1的距离，求出 BF1，BF2，利用勾股定理 求解椭圆的离心率即可 【解答】解：椭圆 C 的焦点为 F1，F2，过 F1的直线与 C 交于 A，B 两点，若|AF2|F1F2| |BF1|2c，所以|AF1|2a2c， |BF2|2ac， 所以， 可得 2c2+9ac5a20， 即 2e2+9e50，解得 e 故选：C 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，
28、每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）ex+sinx 在点（0，1）处的切线方程为 2xy+10 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程可得切线的方程 【解答】解：函数 f（x）ex+sinx 的导数为 f（x）ex+cosx， 可得在点（0，1）处的切线斜率为 e0+cos02， 则函数 f（x）ex+sinx 在点（0，1）处的切线方程为 f（x）2x+1， 即为 2xy+10， 故答案为：2xy+10 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，以及运算能力， 属于基础题 14 （5 分）若实数变量 x，y 满足约束条件，
29、且 z2x+y 的最大值和最小值分别为 第 14 页（共 24 页） m 和 n，则 m+n 0 【分析】作出可行域，变形目标函数平移直线 y2x 可得 m 和 n 值，相减可得答案 【解答】解：作出可行域，如图所示， 由 z2x+y 可得 y2x+z，则 z 表示直线的纵截距， 平移直线 y2x， 结合图象可知，当 z2x+y 过 A（1，1）时 z 取最小值3，当 z2x+y 过 B（2， 1）时 z 取最大值 3 故 m+n0， 故答案为：0 【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 15 （5 分）在ABC 中，a1，cosC，ABC 的面积为，则 c 【分析】
30、由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinC，根据三角形的面积公式可求 ab 的值，进而可求 b 的值，从而根据余弦定理可求 c 的值 【解答】解：a1，cosC，ABC 的面积为， sinC，可得absinCab，解得 ab2， b2， 由余弦定理可得 c 故答案为： 第 15 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解 三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 m（mZ） ，底面边长为 n（nZ） ，内 有一个体积为 V 的球，若 V 的最大值为，则此时三棱柱
31、外接球表面积的最小值为 57 【分析】当球体积最大时，球可能与三侧面相切或者与上下底面相切，分别计算即可找 到符合题意的解，再根据三棱柱外接球的体积求法即可求出 【解答】解：当球能与三侧面相切时，底面内切圆的半径 r， 由题意得：，所以 r，n3，nZ，不符题意； 当球与上下底面能相切时，r， 由题意得：，所以 r，m3， 此时，所以 n 的最小值为 6 设外接球的半径设为 R，则 R2r2+（）2+12+ 外接球的表面积 S4R257 故答案为：57 【点评】本题主要考查三棱柱的内切球和外接球的体积计算，意在考查学生的直观想象 能力和数学计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：
32、本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分） 已知数列an是等比数列， 数列bn满足 b1b2， b3， an+1bn+12nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 【分析】 （1）可令 n1，n2，可得 a2，a3，由等比数列的通项公式可得公比，即可得 到所求通项公式； （2）将原等式变形，结合等差数列的定义和通项公式可得 bnn （）n，再由数列的错 位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和 第 16 页（共 24 页） 【解答】解： （1）数列a
33、n是等比数列，数列bn满足 b1b2，b3，an+1bn+1 2nbn+1， 当 n1 可得 a2b22b1+1，即有 a22（1+1）4，n2 时，a3b34b2+1，即有 a3 （2+1）8， 可得等比数列an的公比为 2，且 an42n 22n； （2）由 an+1bn+12nbn+1，即 2n+1bn+12nbn+1， 可得2nbn为首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得 2nbn1+n1n， 则 bnn （）n， 即有bn的前 n 项和为 Sn1+2 （）2+3 （）3+n （）n， Sn1 （）2+2 （）3+3 （）4+n （）n+1， 相减可得Sn+（）2+（）3+（）nn
34、（）n+1 n （）n+1， 化简可得bn的前 n 项和为 2（n+2） （）n 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位 相减法求和，化简运算能力，属于中档题 18 （12 分）党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长 “少年强则国强” ，青少年身 心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明 进步的标志，是国家综合实力的重要方面全面实施国家学生体质健康标准 ，把健康 素质作为评价学生全面健康发展的重要指标， 是新时代的要求国家学生体质健康标准 有一项指标是学生体质指数（BMI） ，其计算公式为：，当 BMI23.5 时认
35、为“超重” ，应加强锻炼以改善 BMI 某高中高一、高二年级学生共 2000 人， 人数分布如表（a） 为了解这 2000 名学生的 BMI 指数情况，从中随机抽取容量为 160 的一个样本 性别 男生 女生 合计 第 17 页（共 24 页） 年级 高一年级 550 650 1200 高二年级 425 375 800 合计 975 1025 2000 表（a） （1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽 样方案，并确定每层应抽取出的学生人数； （2）分析这 160 个学生的 BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b） 性别 年级 男生 女生
36、高一年级 4 6 高二年级 2 4 表（b） （i）试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数； （ii）对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量 哪一个与“是否超重”的关联性更强应用卡方检验，可依次得到 K2的观察值 k1，k2， 试判断 k1和 k2的大小关系 （只需写出结论） 【分析】 （1）考虑到 BMI 与年龄或性别均有关，最合理的分层为高一男生、女生，高二 男生、女生； 分别求出每层所抽取的人数即可； （2） （i）计算样本中“超重”的人数和频率，用样本的频率估计总体的频率，计算即可； （ii）应用独立性检验的知识分析出性别变量与年级变量哪一
37、个与“是否超重”的关联性 更强， 得出 K2的观察值 k1应大于 k2 【解答】解： （1）考虑到 BMI 应与年龄或性别均有关，最合理的分层应为以下四层： 高一男生、高一女生、高二男生、高二女生； 则高一男生抽取16044（人） ， 高一女生抽取16052（人） ， 第 18 页（共 24 页） 高二男生抽取16034（人） ， 高二女生抽取16030（人） ； （2） （i）160 人中， “超重”人数为 4+6+2+416（人） ， “超重”发生的频率为 0.1， 用样本的频率估计总体的频率，估计这 2000 名学生中“超重”的学生数为 20000.1 200（人） ； （ii）应用独立
38、性检验的知识，分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联 性更强， 得出 K2的观察值 k1，k2，则 k1和 k2的大小关系为 k1k2 【点评】本题考查了分层抽样原理与独立性检验的问题，也考查了用样本估计总体的问 题，是基础题 19 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PAPBPC，APBACB90，点 E，F 分 别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 （1）证明：PE平面 ABC； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60，且 GF2，求三棱锥 PABC 的体积 【分析】 （1）推导出 PEAB，ECEA，PECPEA，从而 PEEC，由此能证明 PE
39、平面 ABC （2）连结 CG，并延长，交 BE 于点 O，则点 O 为 BE 的中点，连结 OF，则 OFPE， OF平面 ABC，FGO 是 GF 与平面 ABC 所成角，从而FGO60，推导出 OC AB，由此能求出三棱锥 PABC 的体积 【解答】解： （1）证明：PAPB，E 是 AB 的中点，PEAB， ACB90，E 是 AB 中点，ECEA， PCPA，PEPE，PECPEA， PECPEA90，PEEC， 第 19 页（共 24 页） ABECE，PE平面 ABC （2）解：连结 CG，并延长，交 BE 于点 O，则点 O 为 BE 的中点，连结 OF， F 是棱 PB 的中
40、点，OFPE， 由（1）得 OF平面 ABC， FGO 是 GF 与平面 ABC 所成角，FGO60， 在 RtFGO 中，GF2，OG1，OF， G 是BCE 的重心，O，F 分别是 BE，BP 的中点， OC3，PE2， PAPB，APBACB90，E，F 分别是 AB，BP 的中点， AB4，CE2，OE， 则在CEO 中，OE2+OC2（）2+3212（2）2CE2，OCAB， 三棱锥 PABC 的体积： V12 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分） 在平面直角坐标系
41、xOy 中， 已知两定点 A （2， 2） ， B （0， 2） ， 动点 P 满足 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）轨迹 C 上有两动点 E，F，它们关于直线 l：kx+y40 对称，且满足4， 求OEF 的面积 【分析】 （1）设出动点坐标根据已知条件即可求解； （2）先根据点 E，F 关于直线对称求出直线方程，再根据向量的数量积求出 EF 的长， 进而求出结论 第 20 页（共 24 页） 【解答】解： （1）设动点 P 的坐标为（x，y）则 整理得（x2）2+（y2）28，故动点 P 的轨迹 C 的方程是以（2，2）为圆心，半径 为 2的圆 （2）轨迹 C 上有两动点 E
42、，F，它们关于直线 l：kx+y40 对称； 所以圆心（2，2）在 kx+y40 上，代入求得 k1，故直线方程为：x+y40； 易知 OC 垂直于直线 L，且 OCR； 设 EF 的中点为 M，则（） （）（+） （） 2 24； 又 2+ R2+ 2，2R22； 2 24，| | |，|2|2 易知 OCEF， O 到直线 EF 的距离等于 CM， SOEF22 【点评】本体主要考查了圆的轨迹方程以及向量的数量积的应用，属于综合题目 21 （12 分）已知函数 f（x）12asinxe x，f（x）是 f（x）的导函数，且 f（0）0 （1）求 a 的值，并证明 f（x）在 x0 处取得极
43、值； （2）证明：f（x）在区间2k，2k+（kN）有唯一零点 【分析】 （1）求导，由 f（0）0 可求得 a，再根据一般方法证明即可； （2）由零点存在性定理可知 f（x）在区间2k，2k+（kN）至少有一个零点，再 分 k0 及 k 为正整数讨论即可得证 【解答】解： （1）f（x）2acosx+e x，令 f（0）0，得2a+10， f（x）1sinxe x，f（x）cosx+exex（1excosx） ， 当 x0 时，e x1cosx，f（x）cosx+ex0，故 f（x）在（，0）单调递增； 当 x0 时，令 g（x）1excosx，则 g（x）ex（sinxcosx） ，在区间
44、（0，）上， 第 21 页（共 24 页） g（x）0，故 g（x）是上的减函数， g（x）g（0）0，即在区间（0，）上 f（x）e xg（x）0， f（x）是上的减函数， 综上所述，f（x）在 x0 处取得极大值 f（0）0； （2）证明：由（1）f（x）1sinxe x， f（2k）1e 2k0， ， f（x）在区间2k，2k+（kN）至少有一个零点， 以下讨论函数 f（x）在区间2k，2k+上函数值的变化情况： 由（1）f（x）cosx+e xex（1excosx） ，令 g（x）1excosx，则 g（x） ex（sinxcosx） ， 令 g（x）0，在（0，+）上，解得， 当 k
45、0 时，在区间上，g（x）0，g（x）递减，；在 区间上，g（x）0，g（x）递增， 故存在唯一实数，使得 g（x0）0，即， 故在（0，x0）上，f（x）0，f（x）递减，f（x）f（0）0；在上，f （x）0，f（x）递增，而， 故在上 f（x）0，当且仅当 x0 时，f（0）0，故 f（x）在上有 唯一零点； 对 任 意 正 整 数 k ， 在 区 间递 减 ， ，在区间 递增， 故存在唯一实数，使得 g（xk）0， 第 22 页（共 24 页） 即，在（2k，xk）上，因为 g（x）0， 故 f（x）0，f（x）递减，在上，因为 g（x）0，故 f（x） 0， f （x） 递增， f（2k）f（xk）0， f（x）在（2k，xk）即有唯一零点， 综上，f（x）在区间2k，2k+（kN）有唯一零点 【点评】本题考查导数运算，考查利用导数研究