1、若集合 Ax|x|x，By|yx21，xR，则 AB（ ） A.x|x1 Bx|x0 C.x|1x0 D.x|1x0 2 （5 分）在复平面内与复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A，则 A 对应的复数 为（ ） A1+i B1i C1i D1+i 3 （5 分）设 xR，则“1x2”是“|x2|1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值（ ） A4 B1 C10 D2 5 （5 分）已知等比数列an中有 a3a114a7，数列bn是等差数列，且 a7b7，则 b5+b9 （ ）
2、A2 B4 C8 D16 6 （5 分）如果执行如图的程序框图，那么输出的 S 值（ ） A1 B2 C2016 D 第 2 页（共 24 页） 7（5 分） 若直线 l1： x+ay+60 与 l2：（a2） x+3y+2a0 平行， 则 l1与 l2间的距离为 （ ） A B C D 8 （5 分） 已知向量 （cos， 2） ， （sin， 1） ， 且 ， 则 tan （） 等于 （ ） A3 B3 C D 9 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆+1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的 中点，|OM|2，则 P 点到椭圆左焦点的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 10
3、 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，0，|）的图象如图所示， 为了得到 ycos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 11 （5 分）设函数（） ，若对于在定义域内存在实数满足（）（） ，则称 函数（）为“局部奇函数” 若函数（）4 2+23 是定义在上的“局 部奇函数” ，则实数的取值范围是（ ） A1，1+ B2，1 C2，2 D1，2 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时 f （x），则函数 g（x）2f（x）1 的零点个数
4、为（ ）个 A6 B2 C4 D8 第 3 页（共 24 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）（bx1）ex+a（a，bR） 若曲线 yf（x）在点 （0，f （0） ） 处的切线方程为 yx，则 a+b 14 （5 分）在ABC 中，A，ac，则 15 （5 分）已知直线 l 为双曲线：1（a0，b0）的一条渐近线，直线 l 与圆 （xc）2+y2a2（其中 c2a2+b2，c0）相交于 A，B 两点，若|AB|a，则双曲线 C 的离心率为 16 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA
5、1B1C1D1中，M 为 A1A 的中点，在如下结论中， 正确的是 （填序号） A1B 与 B1C 所成角为 60； AC1面 A1BD； 面 A1BD面 B1CD1； 三棱锥 MABD 的外接球半径为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分 17 （12 分）已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足 b14，b420，且 bnan为等比数列 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 18 （12 分）2012 年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下 小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名
6、驾驶员进行 询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段： （60，65） ，65，70） ，70， 75） ，80，85） ，85，90）后得到如图的频率分布直方图 （1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （2）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值 （3）若从车速在60，70）的车辆中任抽取 2 辆，求车速在65，70）的车辆至少有一辆 第 4 页（共 24 页） 的概率 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB 为正三角形，侧面 PAB底面 ABCD， E 为 PD 的中点，ABAD，BCAD，且 ABBCAD2 （1）求证：CE平面
7、 PAB； （2）求三棱锥 PACE 的体积 20 （12 分）已知动点 M（x，y）到定点 F的距离比到 y 轴的距离大 （1）求动点 M 的轨迹方程； （2）若 A（4，2）为所求轨迹上一点，B、C 为所求轨迹上位于 y 轴右侧的两动点，若 直线 AB、AC 的斜率分别为 k1、k2且互为相反数，求证：直线 BC 的斜率是定值 21 （12 分）已知函数 f（x）exax2 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 a1，k 为整数，且当 x0 时， （kx1）f（x）x+1 恒成立，其中 f（x） 为 f（x）的导函数，求整数 k 的最大值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系
8、与参数方程选讲 22 （10 分） 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处， 极轴与 x 轴的正半轴重合， 第 5 页（共 24 页） 且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为：，点 P（2cos，2sin+2） ， 参数 R （）求点 P 轨迹的直角坐标方程； （）求点 P 到直线 l 距离的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x1|+|xa|（aR） （1）当 a2 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）3 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省深圳市宝安中学（集团）高考数学模拟试卷
9、（文年广东省深圳市宝安中学（集团）高考数学模拟试卷（文 科） （科） （2 月份）月份） 参考答案与试题参考答案与试题解析解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题小题.每小题每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上）项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上） 1 （5 分）若集合 Ax|x|x，By|yx21，xR，则 AB（ ） A.x|x1 Bx|x0 C.x|1x0 D.x|1x0 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x0，By|y
10、1， ABx|1x0 故选：C 【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了 计算能力，属于基础题 2 （5 分）在复平面内与复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A，则 A 对应的复数 为（ ） A1+i B1i C1i D1+i 【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到 复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项 【解答】解：复数 z1+i， 复数的共轭复数是 1i，就是复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A 对应的 复数； 故选：B 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分 母的共轭复数
11、，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题 3 （5 分）设 xR，则“1x2”是“|x2|1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 7 页（共 24 页） 【分析】求解：|x2|1，得出“1x2” ，根据充分必要条件的定义判断即可 【解答】解：|x2|1， 1x3， “1x2” 根据充分必要条件的定义可得出： “1x2”是“|x2|1”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题 4 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值（ ） A4 B1 C10 D2 【分
12、析】先根据条件画出可行域，由 z2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距，只需求出直线 z2x+y，过可行域内的点 A（0，1）时的最小值，从而得 到 z 最小值即可 【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图： 在坐标系中画出可行域ABC， 由图可知，当 x0，y1 时， 则目标函数 z2x+y 取得最小，最小值为 1 第 8 页（共 24 页） 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划，借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体 现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 5 （5 分）已知等比数列an中有 a3a114a7，数列bn是
13、等差数列，且 a7b7，则 b5+b9 （ ） A2 B4 C8 D16 【分析】由 a3a114a7，解出 a7的值，由 b5+b92b7 2a7 求得结果 【解答】解：等比数列an中，由 a3a114a7，可知 a724a7，a74， 数列bn是等差数列，b5+b92b7 2a7 8， 故选：C 【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，求出 a7的值，是解题的关键 6 （5 分）如果执行如图的程序框图，那么输出的 S 值（ ） A1 B2 C2016 D 【分析】按程序框图的顺序得出循环结构中 S 每次的赋值，可发现 S 的值呈现周期性变 化，再结合循环条件 k2016 可得输出的 S
14、值 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：模拟程序的运行，可得 当 k1 时，S1， 当 k2 时，S， 当 k3 时，S2， 当 k4 时，S， 所以 S 的值呈现周期性变化，周期为 3 当 k20153671+2 时，S 的值与 k2 时的值相等，即 S 当 k2016 时，k2016 不成立，输出 S2 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 7（5 分） 若直线 l1： x+ay+60 与 l2：（a2） x+3y+2a0 平行， 则 l1与 l2间的距离为 （ ） A B C D 【分析】先由两直线平行可求 a
15、 得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离 d 即可 【解答】解：由 l1l2得：， 解得：a1， l1与 l2间的距离 d， 故选：B 【点评】 本题主要考查了两直线平行 A1x+B1y+C10， A2x+B2y+C20 的条件 A1B2A2B1 0 的应用，及两平行线间的距离公式 d的应用 8 （5 分） 已知向量 （cos， 2） ， （sin， 1） ， 且 ， 则 tan （） 等于 （ ） A3 B3 C D 【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以 cos，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结 果 第 10
16、页（共 24 页） 【解答】解：， cos+2sin0， tan， tan（） 3， 故选：B 【点评】向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具 有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多 主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视本题是把向量同三角 函数结合的问题 9 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆+1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的 中点，|OM|2，则 P 点到椭圆左焦点的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由题意知，OM 是三角形 PF1F2的中位线，由|OM|2，可得|PF2|
17、4，再由椭 圆的定义求出|PF1|的值 【解答】解：椭圆+1 的 a5， 如右图可得 OM 是三角形 PF1F2的中位线， |OM|2，|PF2|4， 又|PF1|+|PF2|2a10， |PF1|6， 故选：D 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，判断 OM 是三角形 PF1F2 的中位线是解题的关键，是中档题 10 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，0，|）的图象如图所示， 为了得到 ycos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长
18、度 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 可得 f（x）的解析式，再利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+）的图象可得 A1， 2 再根据五点法作图可得 2+，求得 ，故 f（x）2sin（2x+） 故把 f（x）2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度， 第 12 页（共 24 页） 可得 y2sin2（x+）+2sin（2x+）2cos2x 的图象， 故选：C 【点评】 本题主要考查由函数 yAsin （x+） 的部分图象求解析式， 函数 yAsin （x+） 的图象变换规律，属于基础题
19、11 （5 分）设函数（） ，若对于在定义域内存在实数满足（）（） ，则称 函数（）为“局部奇函数” 若函数（）4 2+23 是定义在上的“局 部奇函数” ，则实数的取值范围是（ ） A1，1+ B2，1 C2，2 D1，2 【分析】根据题意，由“局部奇函数“的定义分析，若函数 f（x）是定义在 R 上的“局 部奇函数” ，只需方程 4 xm2x+m23（4xm2x+m23）有解可设 2x+2xt（t 2） ，从而得出需方程 t2m t+2m280 在 t2 时有解，从而设 g（x）t2mt8， 结合二次函数的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，若函数（）4 2+23 是定义在上的“局部奇
20、函 数” ，则方程 f（x）f（x）有解， 即 4 xm2x+m23（4xm2x+m23）有解， 变形可得： （4x+4 x）m（2x+2x）+2m260， 设 t2x+2 x，则 t2x+2x2， 则方程等价为 t2m t+2m280 在 t2 时有解， 设 g（t）t2m t+2m28，分 2 种情况讨论： 若2，即 m4，则有 g（2）42m+2m282m22m40， 解可得：1m2， 若2，即 m4，则m24（2m28）327m20， 又由 m4，此时无解； 故实数的取值范围是1，2； 故选：D 【点评】本题考查函数与方程的关系，注意理解“局部奇函数”的定义，并构造方程 12 （5 分
21、）已知函数 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时 f 第 13 页（共 24 页） （x），则函数 g（x）2f（x）1 的零点个数为（ ）个 A6 B2 C4 D8 【分析】作出 f（x）的函数图象，根据 f（x）与 y的交点个数得出答案 【解答】解：令 g（x）0 可得 f（x）， 作出 f（x）在（0，+）上的函数图象，如图所示： 由图象可知 f（x）在（0，+）上有 2 解， 又 f（x）是偶函数，f（x）在（，0）上有 2 解， f（x）有 4 解 故选：C 【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数奇偶性的性质，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：
22、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）（bx1）ex+a（a，bR） 若曲线 yf（x）在点 （0，f （0） ） 处的切线方程为 yx，则 a+b 3 【分析】求导函数，利用曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 yx，建立方 程，可求 a、b 的值，进而得到所求和 【解答】解：f（x）（bx1）ex+a 得 f（x）ex（bx+b1） ， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 yx f（0）1，f（0）0， 第 14 页（共 24 页） 即 b11，1+a0， 解得 a1，b2，则 a+b3， 故
23、答案为：3 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力， 属于基础题 14 （5 分）在ABC 中，A，ac，则 1 【分析】利用正弦定理求出 C 的大小，然后求出 B，然后判断三角形的形状，求解比值 即可 【解答】解：在ABC 中，A，ac， 由正弦定理可得：， ，sinC，C，则 B 三角形是等腰三角形，BC，则 bc， 则1 故答案为：1 【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力 15 （5 分）已知直线 l 为双曲线：1（a0，b0）的一条渐近线，直线 l 与圆 （xc）2+y2a2（其中 c2a2+b2，c0）相交于 A，B 两点，若
24、|AB|a，则双曲线 C 的离心率为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用体积推出 a、b 关系式，然后 求解离心率即可 【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay0， 圆（xc）2+y2a2的圆心（c，0） ，半径为：a， l 为双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线，l 与圆（xc）2+y2a2（其 中 c2a2+b2）相交于 A，B 两点，若|AB|a， 第 15 页（共 24 页） 可得，可得 b2a2， 可得（c2a2）a2， 解得 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能 力 16 （5 分）在棱
25、长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1A 的中点，在如下结论中， 正确的是 （填序号） A1B 与 B1C 所成角为 60； AC1面 A1BD； 面 A1BD面 B1CD1； 三棱锥 MABD 的外接球半径为 【分析】求解异面直线所成角判断；利用直线与平面垂直的判定证明 AC1面 A1BD； 利用平面与平面平行的判定证明面 A1BD面 B1CD1；通过补形法求出三棱锥 MABD 的外接球半径判断 【解答】解：如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，有 A1B1DC，且 A1B1DC，得 A1B1CD 为平行四边形， A1DB1C， 可得BA1D 为 A1B 与 B
26、1C 所成角， 由A1BD 为等边三角形， 可得BA1D 第 16 页（共 24 页） 60，故正确； 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，有 C1C底面 ABCD，得 C1CBD，又 ACBD，C1C ACC， BD平面 ACC1， 得 BDAC1， 同理证明 A1BAC1， 而 A1BBDB， 则 AC1面 A1BD， 故正确； 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，由可得 A1DB1C，而 A1D平面 B1CD1，B1C平面 B1CD1，则 A1D平面 B1CD1 同理证明 A1B平面 B1CD1又 A1BA1DA1，面 A1BD面 B1CD1，故正确； 把三棱锥 MABD 补形为长方
27、体，可得其外接球半径为，故错误 正确的是 故答案为： 【点评】本题考查命题的真假判断及其应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平 面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分 17 （12 分）已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足 b14，b420，且 bnan为等比数列 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列bn的前 n 项和 【分析】 （1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列的和 【解答】解： （1）
28、an是等差数列，满足 a13，a412， 3+3d12，解得 d3， an3+（n1）33n 设等比数列bnan的公比为 q，则 q38，q2， bnan（b1a1）qn 12n1， bn3n+2n 1（n1，2，） （2）由（1）知 bn3n+2n 1（n1，2，） 第 17 页（共 24 页） 数列an的前 n 项和为n（n+1） ， 数列2n 1的前 n 项和为 1 2n1， 数列bn的前 n 项和为n（n+1）+2n1 【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意等差数列和等比数列的性质的合理运用 18 （12 分）2012 年“双节”期间，高
29、速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下 小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行 询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段： （60，65） ，65，70） ，70， 75） ，80，85） ，85，90）后得到如图的频率分布直方图 （1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （2）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值 （3）若从车速在60，70）的车辆中任抽取 2 辆，求车速在65，70）的车辆至少有一辆 的概率 【分析】 （1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾
30、驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一 个系统抽样； （2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面 积和为 0.5 对应的横轴的左边即为中位数； 利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的 中点的和为数据的平均数 （3）从图中可知，车速在60，65）的车辆数和车速在65，70）的车辆数从车速在（60， 70）的车辆中任抽取 2 辆，设车速在60，65）的车辆设为 a，b，车速在65，70）的车 第 18 页（共 24 页） 辆设为 c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可 【解答】解： （1）由题意知这个抽样
31、是按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样 方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较 多，这是一个系统抽样 故调查公司在采样中，用到的是系统抽样， （2 分） （2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 77.5 （4 分） 设图中虚线所对应的车速为 x，则中位数的估计值为： 0.015+0.025+0.045+0.06（x75）0.5， 解得 x77.5，即中位数的估计值为 77.5 （6 分） （3）从图中可知，车速在60，65）的车辆数为：m10.015402（辆） ， （7 分） 车速在65，70）的车辆数为：m20.02
32、5404（辆） （8 分） 设车速在60，65）的车辆设为 a，b，车速在65，70）的车辆设为 c，d，e，f， 则所有基本事件有： （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，e） ， （a，f） ， （b，c） ， （b，d） ， （b， e） ， （b，f） ， （c，d） ， （c，e） ， （c，f） ， （d，e） ， （d，f） ， （e，f）共 15 种 （10 分） 其中车速在65，70）的车辆至少有一辆的事件有： （a，c） ， （a，d） ， （a，e） ， （a，f） ， （b， c） ， （b，d） ， （b，e） ， （b，f） ， （c，d） ， （c
33、，e） ， （c，f） ， （d，e） ， （d，f） ， （e，f）共 14 种 （12 分） 所以，车速在65，70）的车辆至少有一辆的概率为 （13 分） 【点评】解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中 位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应 的矩形的底边中点的和此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向， 第 19 页（共 24 页） 应引起重视 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAB 为正三角形，侧面 PAB底面 ABCD， E 为 PD 的中点，ABAD，BCAD，且 ABBCAD
34、2 （1）求证：CE平面 PAB； （2）求三棱锥 PACE 的体积 【分析】 （1）取 AP 中点 F，连 EF，BF，从而可证四边形 EFBC 为平行四边形，从而得 到 CEBF，从而证明 CE平面 PAB； （2）取 AB 的中点 O，可证 PO底面 ABCD，利用已知求得|PO|，SACD4，利 用 VPACEVCAPEVCAPDVPACD即可求值 【解答】解： （1）证明：取 AP 中点 F，连 EF，BF， E 为 PD 中点，EFAD 且 EFAD， 又BCAD 且 BCAD，EFBC 且 EFBC， 四边形 EFBC 为平行四边形， CEBF， CE平面 PAB； （2）如图，
35、取 AB 的中点 O，在正三角形 PAB 中，POAB， 侧面 PAB底面 ABCD，侧面 PAB底面 ABCDAB，PO侧面 PAB， PO底面 ABCD，8 分 由 ABAD，BCAD，且 ABBCAD2， 可得：|PO|，SABCD4 VPACDSACD|PO|， 可得 VPACEVCAPEVCAPDVPACD 第 20 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，四棱锥体积的求法，考查了空间想象 能力和推理论证能力，属于中档题 20 （12 分）已知动点 M（x，y）到定点 F的距离比到 y 轴的距离大 （1）求动点 M 的轨迹方程； （2）若 A（4，2）为所求轨
36、迹上一点，B、C 为所求轨迹上位于 y 轴右侧的两动点，若 直线 AB、AC 的斜率分别为 k1、k2且互为相反数，求证：直线 BC 的斜率是定值 【分析】 （1）设出动点 M 的坐标，分 M 的横坐标小于等于 0 和大于 0 两种情况讨论，横 坐标小于等于 0 时明显看出 M 的轨迹是 x 轴负半轴，x 大于 0 时直接由题意列式化简整 理即可 （2）设出直线 BA、AC 的方程与抛物线方程联立，求出 C，B 的坐标，利用斜率公式， 即可证明直线 BC 的斜率为定值 【解答】解： （1）M 到定点 F（，0）的距离为，M 到 y 轴的距离为|x|， 动点 M 到定点 F（，0）的距离比到 y
37、 轴的距离大， 列出等式：|x|； 当 x0 时，M 的轨迹为 y0（x0） ； 当 x0 时，又化简得 y2x，为焦点为 F（，0）的抛物线 则动点 M 的轨迹方程为：y2； 第 21 页（共 24 页） （2）证明：点 A 坐标为（4，2） ，设 B（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 由已知设 BA：m（y2）x4，即：xmy2m+4， 代入抛物线的方程得：y2my2m+4，即 y2my+2m40， 则：y1+2m，故：y1m2， 设 CA：m（y2）x4，即：xmy+2m+4， 代入抛物线的方程得：y2my+2m+4，即 y2+my2m40， 则：y2+2m，故 y2m2， 直线 C
38、B 的斜率 kCB， 所以：直线 BC 的斜率为定值 【点评】本题考查的知识点是抛物线的性质，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能 力，正确运用韦达定理是关键 21 （12 分）已知函数 f（x）exax2 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 a1，k 为整数，且当 x0 时， （kx1）f（x）x+1 恒成立，其中 f（x） 为 f（x）的导函数，求整数 k 的最大值 【分析】 （1）求出导数，讨论 a0，a0，求出函数的单调区间； （2）运用参数分离可得 k+x+1 恒成立，令 g（x）+x+1（x0） ，求出 导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到 k 的最大值 【
39、解答】解： （1）函数 f（x）exax2 的定义域是 R，f（x）exa， 若 a0，则 f（x）exa0，函数 f（x）exax2 在（，+）上单调递 增， 若 a0，则当 x（，lna）时，f（x）exa0； 当 x（lna，+）时，f（x）exa0； f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增； 综上所述，若 a0，函数 f（x）在（，+）上单调递增， 若 a0，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增； （2）由于 a1，f（x）ex1，则（kx1）f（x）x+1 恒成立， 转化为 k+x+1 恒成立， 第 22 页（共 24 页） 令 g（x）+x
40、+1， g（x）， 令 h（x）exx2，h（x）ex10， h（x）在（0，+）单调递增， 且 h（1）0，h（2）0， h（x）在（0，+）上存在唯一零点，设此零点为 x0，则 x0（1，2） 当 x0（0，x0）时，g（x）0，当 x0（x0，+）时， g（x）ming（x0）， 由 g（x0）0， g（x0）x0+2（3，4） ， 又kg（x0） ， k 的最大值为 3 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调区间，训练了利用导数求函数的极值与最值， 考查不等式恒成立思想的运用，考查化归与转化思想方法，是中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10
41、分） 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处， 极轴与 x 轴的正半轴重合， 且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为：，点 P（2cos，2sin+2） ， 参数 R （）求点 P 轨迹的直角坐标方程； （）求点 P 到直线 l 距离的最大值 【分析】 （）设点 P（x，y） ，由点 P（2cos，2sin+2） ，参数 R，能求出点 P 的轨 迹的直角坐标方程 （）求出直线 l 的直角坐标方程为，由 P 的轨迹是圆心为（0，2） ，半径 为 2 的圆，求出圆心到直线的距离，从而能求出点 P 到直线的距离的最大值 【解答】解： （）设点 P（x，y） ， 点 P（2cos，2sin
42、+2） ，参数 R， 第 23 页（共 24 页） ，且参数 aR， 点 P 的轨迹的直角坐标方程为 x2+（y2）24 （）直线 l 的极坐标方程为：， ， ， 直线 l 的直角坐标方程为， 由（1）知点 P 的轨迹是圆心为（0，2） ，半径为 2 的圆， 圆心到直线的距离 d4， 点 P 到直线的距离的最大值为 4+26 【点评】本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求 法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x1|+|xa|（aR） （1）当 a2 时，求不等式 f（x）3
43、 的解集； （2）若 f（x）3 对 xR 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）不等式即|x1|+|x2|3，利用分类讨论思想求出等价的不等式解集即可； （2）由 f（x）|x1|+|xa|a1|，得出|a1|3，求出解集即可 【解答】解： （1）a2 时，函数 f（x）|x1|+|x2|； 所以不等式 f（x）3 等价于，或，或； 解得 x0 或 x3， 所以不等式 f（x）3 的解集为（，03，+） ； （2）因为 f（x）|x1|+|xa|（x1）（xa）|a1|， 所以 f（x）min|a1|； 由题意得：|a1|3，解得 a2，或 a4； 即 f（x）3 对 xR 恒成立时，a 的取值范围是（，24，+） 第 24 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题