1、已知集合 A1， 0， 2， Bx|x2n1， nZ， 则 AB 中元素的个数为 2 （5 分）已知复数 z112i，z2a+2i（其中 i 是虚数单位，aR） ，若 z1z2是纯虚数， 则 a 的值为 3 （5 分）从集合1，2，3中随机取一个元素，记为 a，从集合2，3，4中随机取一个元 素，记为 b，则 ab 的概率为 4 （5 分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测 结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在 区间20， 25） 和30， 35） 的为二等品， 其余均为三等品， 则样本中三等品的件数为 5 （
2、5 分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 6 （5 分）若“|x1|3”是“ （x+2） （x+a）0”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范 围是 7 （5 分） 已知圆锥的母线长为 5， 侧面积为 15， 则此圆锥的体积为 （结果保留 ） 8 （5 分）函数 f（x）sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ，单调递减区间是 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（0，1） ，B（3，4）两点，若点 C 在 AOB 的平分线上，且|，则点 C 的坐标是 10 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，若 Snnan3n（n1） （nN*） ，且 a211，则
3、第 2 页（共 24 页） S20的值为 11 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC75BC2，则 AB 的取值范围 是 12 （5 分）已知函数 f（x），若 f（t）f（） ，则实数 t 的 取值范围是 13 （5 分）在平面直角坐标系中，点集 A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|x4，y0， 3x4y0，则点集 Q（x，y）|xx1+x2，yy1+y2， （x1，y1）A， （x2，y2）B所 表示的区域的面积为 14 （5 分）设函数 f（x）（2x1）exax+a，若存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0，则 实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大
4、题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知函数 （1）设 0，且 f（）+1，求 的值； （2）在ABC 中，AB1，f（C）+1，且ABC 的面积为，求 sinA+sinB 的值 16 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 相交于点 O， EFAB，EFAB，平面 BCF平面 ABCD，BFCF，G 为 BC 的中点，求证： （1）OG平面 ABFE； （2）AC平面 BDE 17 （14
5、分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 EcvnT，其中 v 为进行时 第 3 页（共 24 页） 相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h） ，c 为常数，n 为能量次级数，如果水的 速度为 4km/h，该生物探测器在水中逆流行进 200km （1）求 T 关于 v 的函数关系式； （2）当能量次级数为 2 时，求探测器消耗的最少能量； 当能量次级数为 3 时，试确定 v 的大小，使该探测器消耗的能量最少 18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆+1（ab0）的焦距 F1F2的长 为 2，经过第二象限内一点 P（m，n）的直线+1 与圆 x2+y2a2交于 A，
6、B 两点， 且 OA （1）求 PF1+PF2的值； （2）若，求 m，n 的值 19 （16 分）已知函数 f（x）a（|sinx|+|cosx|）sin2x1，aR （1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程） ； （2）求函数 f（x）的最大值； （3）当 a1 时，若函数 f（x）在区间（0，k） （kN*）上恰有 2015 个零点，求 k 的 值 20 （16 分）已知正整数 ， 为常数，且 1，无穷数列an的各项均为正整数，其前 n 项和为 Sn，且 SnannN*记数列an中任意不同两项的和构成的集合为 A （1）求证：数列an为等比数列，并求 的值； （2）若 2015
7、A，求 的值； （3）已知 m1，求集合x|32n 1x32n，xA的元素个数 【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，先对曲线 C 作矩阵 A（0 2）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵 B（0k1）所对应的变换，若连 续实施两次变换所对应的矩阵为，求 k， 的值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标
8、系与参数方程 第 4 页（共 24 页） 22 （10 分）在极坐标系中，已知 A（1，） ，B（9，） ，线段 AB 的垂直平分线 l 与极 轴交于点 C，求 l 的极坐标方程及ABC 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数 a，b 满足|a+b|2，求证：|a2+2ab2+2b|4（|a|+2） 24 （10 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是 AC 的中点，E 是线段 D1O 上一点，且 D1EEO （1）若 1，求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值； （2）若平面 CDE平面 CD1O，求 的值 25 （10 分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷
9、一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分 （1）设抛掷 5 次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 E； （2）求恰好得到 n（nN*）分的概率 第 5 页（共 24 页） 2019-2020 学年江苏省南通市海安高中高三（下）期初数学试卷学年江苏省南通市海安高中高三（下）期初数学试卷 （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题纸相应位置分请把答案填写在答题纸相应位置 上上 1（5 分） 已知集合 A1， 0， 2， Bx|x2n1， nZ， 则 AB
10、 中元素的个数为 1 【分析】进行交集的运算即可得出 AB，从而可得出 AB 中元素的个数 【解答】解：A1，0，2，Bx|x2n1，nZ， AB1， AB 中元素的个数为 1 故答案为：1 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，集合元素的定义，考查了计 算能力，属于基础题 2 （5 分）已知复数 z112i，z2a+2i（其中 i 是虚数单位，aR） ，若 z1z2是纯虚数， 则 a 的值为 4 【分析】由复数代数形式的乘法运算化简，然后由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 值 【解答】解：z112i，z2a+2i， z1z2（12i） （a+2i）a+4+（22a）i，
11、 又 z1z2是纯虚数，解得：a4 故答案为：4 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题 3 （5 分）从集合1，2，3中随机取一个元素，记为 a，从集合2，3，4中随机取一个元 素，记为 b，则 ab 的概率为 【分析】先确定的所有的基本事件，共有 9 种，再求出 ab 的概率，根据互斥事件的概 率公式计算即可 【解答】解：从集合1，2，3中随机取一个元素，记为 a，从集合2，3，4中随机取一 个元素，共有 339 种， 第 6 页（共 24 页） 因为 ab 的取法只有一种：a3，b2， 所以 ab 的概率是， 所以 ab 的概率是 1 故答案为： 【点
12、评】本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题，属于基础题 4 （5 分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测 结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在 区间20， 25） 和30， 35） 的为二等品， 其余均为三等品， 则样本中三等品的件数为 100 【分析】由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件 数 【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是（0.0125+0.025+0.0125）5 400100（件） 故答案为：100 【点评】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属
13、于简单题型，注意纵坐标意义 5 （5 分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 【分析】模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出 S0+ +的值，从而得解 【解答】解：模拟执行伪代码，可得：S0+（1）+（ 第 7 页（共 24 页） ）+（）1 故答案为： 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查 6 （5 分）若“|x1|3”是“ （x+2） （x+a）0”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范 围是 （，4） 【分析】通过绝对值不等式的解法求出集合 A，利用 A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集，推出集合 B，求解 a 的范围即可 【解答】
14、解：根据题意，由于命题 A：|x1|3，得到2x4， 命题 B（x+2） （x+a）0， A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集， 那么可知集合 B：2xa，则可知参数 a4， 故答案为： （，4） 【点评】本题主要是考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题 7 （5 分） 已知圆锥的母线长为 5， 侧面积为 15， 则此圆锥的体积为 12 （结果保留 ） 【分析】设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h，根据侧面积公式算出底面半径 r3， 用勾股定理算出高 h4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h
15、 圆锥的母线长为 l5，侧面积为 15， lr15，解之得底面半径 r3 因此，圆锥的高 h4 圆锥的体积为：Vr2h9412 故答案为：12 【点评】本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和 体积公式等知识，属于基础题 8（5 分） 函数 f （x） sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ， 单调递减区间是 k+， k+（kZ） 【分析】由三角函数公式化简可得 f（x）sin（2x）+，易得最小正周期，解 第 8 页（共 24 页） 不等式 2k+2x2k+可得函数的单调递减区间 【解答】解：化简可得 f（x）sin2x+sinxcosx+1 （1co
16、s2x）+sin2x+1 sin（2x）+， 原函数的最小正周期为 T， 由 2k+2x2k+可得 k+xk+， 函数的单调递减区间为k+，k+（kZ） 故答案为：；k+，k+（kZ） 【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（0，1） ，B（3，4）两点，若点 C 在 AOB 的平分线上，且|，则点 C 的坐标是 （1，3） 【分析】求出方向上的单位向量 ，则有点 C 在AOB 的平分线上，故存在实数 使 得（+ ） ，如此可以得到坐标的参数表达式，再由|，建立方程求出 参数的值，即可得出点 C 的坐标 【解
17、答】解：由题意（0，1） ，是一个单位向量， 由于（3，4） ，故方向上的单位向量 （，） ， 点 C 在AOB 的平分线上，存在实数 使得（+ ）（，1） （，） ， |， 2（+）10，解得 代入得得（1，3） 故答案为： （1，3） 【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，综合性较强，解决本题关键是认 识到角平分线与向量的关系，求出方向上的单位向量，用待定系数法将向量表示出 来 第 9 页（共 24 页） 10 （5 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，若 Snnan3n（n1） （nN*） ，且 a211，则 S20的值为 1240 【分析】由 S2a1+a22a232（21
18、） ，a211，可得 a15 解法 1：当 n2 时，由 anSnSn1，可得 anan16（n2，nN*） ，利用等差数列 的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 解法 2： 当 n2 时， 由 Snnan3n （n1） n （SnSn1） 3n （n1） ， 化为 3，利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】解：由 S2a1+a22a232（21） ，a211，可得 a15 解法 1：当 n2 时，由 anSnSn1，得 annan3n（n1）（n1）an13（n 1） （n2）， （n1）an（n1）an16（n1） ，即 anan16（n2，nN*） ， 数列an是首项 a15，公差为
19、 6 的等差数列， S20205+61240 解法 2：当 n2 时，由 Snnan3n（n1）n（SnSn1）3n（n1） ， 可得（n1）SnnSn13n（n1） ， 3， 数列是首项5，公差为 3 的等差数列， 5+31962， S201240 【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC75BC2，则 AB 的取值范围是 （，+） 【分析】如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，设 ADx，AEx，DEx， CDm，求出x+m+，即可求出 AB 的取值范围 【解答】解：
20、方法一： 如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则 第 10 页（共 24 页） 在ADE 中，DAE105，ADE45，E30， 设 ADx，AEx，DEx，CDm， BC2， （x+m）sin151， x+m+， 0x4， 而 ABx+mx+x， AB 的取值范围是（，+） 故答案为： （，+） 方法二： 如下图，作出底边 BC2 的等腰三角形 EBC，BC75， 倾斜角为 150的直线在平面内移动，分别交 EB、EC 于 A、D，则四边形 ABCD 即为满 足题意的四边形； 当直线移动时，运用极限思想， 直线接近点 C 时，AB 趋近最小，为； 直线接近点 E 时，AB 趋近最大值，为
21、+； 故答案为： （，+） 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查求 AB 的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力， 属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），若 f（t）f（） ，则实数 t 的 取值范围是 【分析】根据分段函数 f（x）的解析式作出其图象，如图所示再对 x 进行分类讨论： 当 x时，f（x）是增函数，若；当 x时，f（x）， 若，得出关于 a 的不等关系，最后综上所述，即可得出实数 t 的取值 范围 【解答】解：根据函数 f（x）的解析式作出其图象，如图所示 当 x时，f（x）是增函数， 若， 则，解得：1t0 或 t1； 当 x时，t（x），
22、 若， 则，解得：t； 第 12 页（共 24 页） 综上所述，实数 t 的取值范围是 故答案为： 【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解 能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 13 （5 分）在平面直角坐标系中，点集 A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|x4，y0， 3x4y0，则点集 Q（x，y）|xx1+x2，yy1+y2， （x1，y1）A， （x2，y2）B所 表示的区域的面积为 18+ 【分析】把 xx1+x2，yy1+y2，中的 x1，y1代入 x2+y21，可得点集 Q 的轨迹方程， 然后求出点 Q 所表示的区域的面积 【
23、解答】解：由 xx1+x2，yy1+y2，得 x1xx2，y1yy2， （x1，y1）A， 把 x1xx2，y1yy2，代入 x2+y21， （xx2）2+（yy2）21 点集 Q 所表示的区域是以集合 B（x，y）|x4，y0，3x4y0，的区域的边界为 圆心轨迹半径为 1 的圆内部分，如图 其面积为：5+6+4+3+18+ 故答案为：18+ 第 13 页（共 24 页） 【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系问题，考查转化数学思想，作图 能力，是中档题 14 （5 分）设函数 f（x）（2x1）exax+a，若存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0，则 实数 a 的取值范围是 ，
24、1） 【分析】首先令 g（x）（2x1）ex，h（x）a（x1） ，判断 g（x）的单调性，因为 存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0即（2x01）exa（x01） ，所以结合图形知 【解答】解：令 g（x）（2x1）ex，h（x）a（x1） ， g（x）（2x1）ex+2ex（2x+1）ex， 当 x时，g（x）0，则函数 g（x）在（，）上单调递减； 当 x时，g（x）0，则函数 g（x）在（，+）上单调递增， 而 g（1）3e 1，g（0）1， 存在唯一的整数 x0使得 f（x0）0 即（2x01）exa（x01） 结合图形，知 或 即或， 解得a1 或 3e2a 故答案为：，1） 第
25、 14 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，同时考查了函数与方程思想、转化 思想，属中等题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知函数 （1）设 0，且 f（）+1，求 的值； （2）在ABC 中，AB1，f（C）+1，且ABC 的面积为，求 sinA+sinB 的值 【分析】 （1） 利用和差公式、 倍角公式可得： f （x） 2cos （x+） +， 由 f （）
26、+1， 0，代入可得 （2）由 f（C）+1，C（0，） ，由（1）可得：C由ABC 的面积为， absin，可得 ab，结合余弦定理即可得出 a，b再利用正弦定理即可得出 【解答】解： （1）f（x）2sinxcosxsinx+2cos（x+）+， 由 f（）+1，2cos（+）+1，cos（+） 0，（+）， （2）由 f（C）+1，C（0，） ，由（1）可得：C由ABC 的面积为， absin，ab2 由余弦定理可得：1a2+b22abcos，可得：a2+b27， 联立解得：a2，b；或 b2，a a+b2+ 第 15 页（共 24 页） sinA+sinB（a+b）1+ 【点评】本题主
27、要考查三角形面积计算公式、余弦定理正弦定理、和差公式倍角公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16 （14 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 相交于点 O， EFAB，EFAB，平面 BCF平面 ABCD，BFCF，G 为 BC 的中点，求证： （1）OG平面 ABFE； （2）AC平面 BDE 【分析】 （1）推导出 OGAB，由此能证明 OG平面 ABFE （2）推导出 ACBD，FG平面 ABCD，从而 EO平面 ABCD，进而 EOAC，由此 能证明 AC平面 BDE 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 相交于点
28、 O， O 是 AC 中点， G 为 BC 的中点，OGAB， OG平面 ABFE，AB平面 ABFE， OG平面 ABFE （2）四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 相交于点 O， ACBD，O 是 AC 中点， G 为 BC 的中点，EFAB，EFAB，平面 BCF平面 ABCD，BFCF， FG平面 ABCD，EO平面 ABCD，EOAC， EOBDO，AC平面 BDE 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形 结合思想、函数与方程思想是，是中
29、档题 17 （14 分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 EcvnT，其中 v 为进行时 相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h） ，c 为常数，n 为能量次级数，如果水的 速度为 4km/h，该生物探测器在水中逆流行进 200km （1）求 T 关于 v 的函数关系式； （2）当能量次级数为 2 时，求探测器消耗的最少能量； 当能量次级数为 3 时，试确定 v 的大小，使该探测器消耗的能量最少 【分析】 （1）分别求出探测器相对于河岸的速度，建立条件即可即可求 T 关于 v 的函数 关系式； （2）当能量次级数为 2 时，利用分式函数的性质结合基本不等式进行求解 当能量次级
30、数为 3 时，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可 【解答】解： （1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于 4km/h，即为 v4， 则v4，即 T， （v4） ； （2）当能量次级数为 2 时，由（1）知，v4， E200c200c200c（v4）+8 200c2+83200c，当且仅当 v4，即 v8km/h 时取等号， 当能量次级数为 3 时，由（1）知，E200c，v4， 则 E200c，由 E0，解得 v6， 即当 v6 时，E0， 第 17 页（共 24 页） 当 v6 时，E0，即当 v6 时，函数 E 取得最小值为 E21
31、600C 【点评】本题主要考查函数的应用问题，以及利用基本不等式和导数求解函数的最值， 考查学生的运算能力 18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆+1（ab0）的焦距 F1F2的长 为 2，经过第二象限内一点 P（m，n）的直线+1 与圆 x2+y2a2交于 A，B 两点， 且 OA （1）求 PF1+PF2的值； （2）若，求 m，n 的值 【分析】 （1）由 OA，可得 a把点 P（m，n）代入直线方程+1，可 得：1，可得点 P 在椭圆上，即可得出 （2） 由 a， c1， 可得 b2a2c21 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） 联立， 化为： （4n
32、2+m2）x24mx+48n20.，化为 2（x2x1），即 x2x1 ，4x1x2，把根与系数的关系代入可得：56n4+10n2m236n2m4 0，又1，联立解出即可得出 【解答】解： （1）OA，a 把点 P（m，n）代入直线方程+1，可得：1， 点 P 在椭圆上， PF1+PF22a2 （2）由 a，c1，b2a2c21 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 第 18 页（共 24 页） 联立，化为： （4n2+m2）x24mx+48n20， x1+x2，x1x2 ，（x2x1，y2y1） （2，0）， 化为 2（x2x1），即 x2x1， 4x1x2， 代入可得：， 化为：56n
33、4+10n2m236n2m40， 又1， 把 m222n2代入化为 8n42n210， 联立解得 m21，n2 点 P 在第二象限， 取 m1，n 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相交问题、一元二次方程的根 与系数的关系、向量的数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题 19 （16 分）已知函数 f（x）a（|sinx|+|cosx|）sin2x1，aR （1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程） ； （2）求函数 f（x）的最大值； （3）当 a1 时，若函数 f（x）在区间（0，k） （kN*）上恰有 2015 个零点，求 k 的 值 【分析】 （1）
34、由周期函数的定义 （2）换元，由二次函数的性质得到最值 （3）由一个周期内的情况类比出 2015 个零点的情况 【解答】解： （1）函数 f（x）的最小正周期为 （2）f（x）a（|sinx|+|cosx|）sin2x1，aR 第 19 页（共 24 页） asin2x1a（sin2x+1） ， 令 t，t0， yatt2（ta）2+a2， a0 时，在 t0 处，ymax0， 0a时，在 ta 处，ymaxa2， a时，在 t处，ymaxa2 （3）当 a1 时，f（x）sin2x1， 当且仅当 sin2x0 时，f（x）0， x（0，时，f（x）有且仅有两个零点分别为， 201521007
35、+1， k1008 【点评】本题主要考查周期函数的定义，换元，二次函数的性质以及类比 20 （16 分）已知正整数 ， 为常数，且 1，无穷数列an的各项均为正整数，其前 n 项和为 Sn，且 SnannN*记数列an中任意不同两项的和构成的集合为 A （1）求证：数列an为等比数列，并求 的值； （2）若 2015A，求 的值； （3）已知 m1，求集合x|32n 1x32n，xA的元素个数 【分析】 （1）Snan当 n2 时，Sn1an1，可得，数列an 为等比数列，各项均为正整数，则公比1+为正整数，即可得出正整数 （2）由（1）可得：Sn2an，可得 an2n 1，因此 A（2i1+
36、2j1）|1ij，i， jN*，由于 2015A，可得 2015（2i 1+2j1）2i1（1+2ji）51331，利用 2i 1 为偶数时，上式不成立，因此必有 2i 11，可得 i1，即可得出 j， （3）当 n1 时，集合 Bnx|32n 1x32n，xA，即 32n1（2i1+2j1） 32n，1ij，i，jN*Bn中元素个数，等价于满足 32n2i+2j32n+1的不同 解（i，j） ，只有 jn+2 才成立，利用 32n21+2n+222+2n+22n+1+2n+232n+1， 即可得出 （nN*） 第 20 页（共 24 页） 【解答】 （1）证明：Snan当 n2 时，Sn1a
37、n1， ananan1，1， 数列an为等比数列， 各项均为正整数，则公比1+为正整数， 为正整数， 2 （2）解：由（1）可得：Sn2an，当 n1 时，a1，则 an2n 1， A（2i 1+2j1）|1ij，i，jN*， 2015A，2015（2i 1+2j1）2i1（1+2ji）51331， ji0，则 1+2j i 必为不小于 3 的奇数， 2i 1 为偶数时，上式不成立，因此必有 2i 11，i1， （1+2j 1）51331， 只有 j3，403 或 j7，31 时，上式才成立， 31 或 403 （3）解：当 n1 时，集合 Bnx|32n 1x32n，xA， 即 32n 1（
38、2i1+2j1）32n，1ij，i，jN*B n中元素个数， 等价于满足 32n2i+2j32n+1的不同解（i，j） ， 若 jn+2，则 2i+2j2i+2n+32i+42n+132n+1，矛盾 若 jn+2，则 2i+2j2i+2n+12n+2n+132n，矛盾 jn+2，又（21+2n+2）32n2+42n32n2+2n0， 32n21+2n+222+2n+22n+1+2n+232n+1， 即 i1，2，n 时，共有 n 个不同的解（i，j） ，即共有 n 个不同的 xBn， bnn（nN*） 【点评】本题考查了等比数列的定义及其通项公式、递推式的应用、分类讨论思想方法， 考查了推理能
39、力与计算能力，属于难题 【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分，【选做题】请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，先对曲线 C 作矩阵 A（0 第 21 页（共 24 页） 2）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵 B（0k1）所对应的变换，若连 续实施两次变换所对应的矩阵为，求 k， 的值 【分析】由题意及矩阵乘法的意义可得：BA，由矩 阵的相等及参数的范
40、围即可求解 【解答】解：A（02） ，B（0k1） ， 由题意可得：BA， ，解得：， 02，0k1， 解得：k， 【点评】本题主要考查了矩阵乘法的意义，相等矩阵等知识的应用，属于基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知 A（1，） ，B（9，） ，线段 AB 的垂直平分线 l 与极 轴交于点 C，求 l 的极坐标方程及ABC 的面积 【分析】求出线段 AB 的中点坐标，在直角三角形 OMP 中，cos（）5，可得 l 的极坐标方程，求出 C 点坐标，即可求出ABC 的面积 【解答】解：由题意，线段 AB 的中点坐标为（5，） ， 设点
41、 P（，）为直线 l 上任意一点， 在直角三角形 OMP 中，cos（）5， 所以，l 的极坐标方程为 cos（）5， （6 分） 令 0，得 10，即 C（10，0） （8 分） 所以，ABC 的面积为：（91）10sin20 （10 分） 【点评】本题考查 l 的极坐标方程及ABC 的面积，考查学生的计算能力，比较基础 第 22 页（共 24 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数 a，b 满足|a+b|2，求证：|a2+2ab2+2b|4（|a|+2） 【分析】运用绝对值不等式可得|b|a|a+b|2，可得|b|a|+2，将原不等式左边分解 因式，结合分析法证明，即
42、可得证 【解答】证明：由|b|a|a+b|2，可得|b|a|+2， |a2+2ab2+2b|（a+b） （ab）+2（a+b）| |a+b|ab+2|2|ab+2|， 要证|a2+2ab2+2b|4（|a|+2） ， 即证|ab+2|2（|a|+2） ， 由于|ab+2|a|+|b|+2， 即证|a|+|b|+22（|a|+2） ， 即为|b|a|+2，显然成立 故原不等式成立 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及分析法证明，考 查推理能力，属于中档题 24 （10 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是 AC 的中点，E 是线段 D1O 上一点，且 D1E
43、EO （1）若 1，求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值； （2）若平面 CDE平面 CD1O，求 的值 【分析】 本题背景是一个正方体， 故可以建立空间坐标系解题， 以以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，写出各点的坐标， （1）求出异面直线 DE 与 CD1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余 弦值） （2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为 0，由此方 程求参数 的值即可 【解答】解（1）不妨设正方体的棱长为 1，以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 则 A（1，0，0） ，C（0，1，0） ，D1（0，0，1）