1、已知全集 UR，集合 A1，3） ，UB（，1）（4，+） ，则 AB （ ） A （1，1） B （1，3） C1，3） D1，4 2 （5 分）复数（其中 i 为虚数单位）的虚部等于（ ） Ai B1 C1 D0 3 （5 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664，则公比 q（ ） A4 B3 C2 D 4 （5 分）某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表： 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 80 85 90 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是（ ） A甲，乙，丙第三次月考物理成绩
2、的平均数为 86 B在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 5 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 24 页） A54 B27 C18 D9 6 （5 分）已知 （，）且 sin（+），则 tan（+）（ ） A2 B2 C D 7 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与双曲线1（a0，b0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ） A+2 B+1 C+1 D+1 8 （5 分）下列命题中真命题的个数是（ ） AB
3、C 中，B60是ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列的充要条件； 若“am2bm2，则 ab”的逆命题为真命题； xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件； lgxlgy 是的充要条件 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 （5 分）将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相 同的分配方案共有（ ） A252 种 B112 种 C70 种 D56 种 10 （5 分）设 adx，则二项式（a）6展开式中含 x2项的 系数是（ ） A192 B193 C6 D7 11 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）+f（x）2xe x，若
4、 f（0）1，则 第 3 页（共 24 页） 函数的取值范围为（ ） A2，0 B1，0 C0，1 D0，2 12 （5 分）已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C：1（ba0）上有的 一点 P（，m） ， （m0） ，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作 双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z3x2y 的最
5、小值为 14 （5 分） （理）（1+cosx）dx 15 （5 分）已知函数的图象过点 ，最小正周期为，且最小值为1若，f（x）的值域是 ，则 m 的取值范围是 16 （5 分）数列an是首项 a10，公差为 d 的等差数列，其前 n 和为 Sn，存在非零实数 t， 对任意 nN*有 Snan+（n1）tan恒成立，则 t 的值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题
6、，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+11，且 a11，数列bn中，b11， b59，2bnbn+1+bn1（n2） （1）求数列an和bn的通项公式： （2）若 cnanbn，求cn的前 n 项的和 Tn 第 4 页（共 24 页） 18 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形，ADC120，AD 的中点 M 是 顶点 P 的底面 ABCD 的射影，N 是 PC 的中点 （）求证：平面 MPB平面 PBC； （）若 MPMC，求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 19
7、 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为， P 是椭圆 C 上的一个动点，且PFF2面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率不为零的直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，且 PQ 的垂直平分线交 y 轴 于点，求直线 PQ 的斜率 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2 （1）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）1； （2）若 f（x）在（0，+）有两个零点，求 a 的取值范围 21 （12 分）11 月，2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办， 其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮） ，在相
8、同的条件下， 每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分， 未命中者得1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次投球命中的概率为 ，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响 （1）经过 1 轮投球，记甲的得分为 X，求 X 的分布列； （2）若经过 n 轮投球，用 pi表示经过第 i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的 概率 求 p1，p2，p3； 规定 p00，经过计算机计算可估计得 piapi+1+bpi+cpi1（b1） ，请根据中 p1， p2，p3的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出数列pn的通项公式 第
9、 5 页（共 24 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 直线 C2的方程为，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b
10、0，a+2b3证明： （1）； （2） 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年河北省部分重点高中高三 （上） 期末数学试卷 （理学年河北省部分重点高中高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集 UR，集合 A1，3） ，UB（，1）（4，+） ，则 AB （ ） A （1，1） B （1，3） C1，3） D1，4
11、【分析】根据 B 的补集及全集 R，求出集合 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：全集 UR，UB（，1）（4，+） ， B1，4， A1，3） ， AB1，3） 故选：C 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）复数（其中 i 为虚数单位）的虚部等于（ ） Ai B1 C1 D0 【分析】两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方 【解答】解：由于 ，所以虚部为1， 故选：B 【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题 3 （5 分）已知各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664，则公比 q（ ） A4 B3 C2
12、 D 【分析】利用等比数列的通项公式列方程组，能求出公比 【解答】解：各项为正数的等比数列an中，a21，a4a664， 第 7 页（共 24 页） ，且 q0， 解得，q2， 公比 q2 故选：C 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 4 （5 分）某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表： 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 80 85 90 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是（ ） A甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B在这三次
13、月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 【分析】由表中数据，利用平均数和方差的定义，对选项中的命题判断正误即可 【解答】解：由表中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为 （90+85+82）86，A 错误； 这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高， 为（90+86+82）86，B 错误； 这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，C 正确； 这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，D 错误 故选：C 【点评】本题考查了平均数与方差的定义与应用问题，是基础题 5 （5 分）如图是一个
14、几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） 第 8 页（共 24 页） A54 B27 C18 D9 【分析】由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求 【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥， 且底面为矩形，长 6，宽 3；体高为 3 则18 故选：C 【点评】做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系属于基础题 6 （5 分）已知 （，）且 sin（+），则 tan（+）（ ） A2 B2 C D 【分析】利用诱导公式求得 cos 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 sin 的值， 可得 tan 的值 【解答】解：已知 （，）且 sin（+）cos，sin
15、， tan2，则 tan（+）tan2， 故选：A 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题， 7 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）与双曲线1（a0，b0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ） A+2 B+1 C+1 D+1 第 9 页（共 24 页） 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出 A 的坐标，将 A 代 入抛物线方程求出双曲线的三参数 a，b，c 的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求 【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0） ；双曲线的焦点坐标为（c，0） ， p2c， 点 A
16、 是两曲线的一个交点，且 AFx 轴， 将 xc 代入双曲线方程得到 A（c，） ， 将 A 的坐标代入抛物线方程得到2pc，即 4a4+4a2b2b40 解得， ，解得： 故选：D 【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲 线方程求双曲线的离心率，是中档题 8 （5 分）下列命题中真命题的个数是（ ） ABC 中，B60是ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列的充要条件； 若“am2bm2，则 ab”的逆命题为真命题； xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件； lgxlgy 是的充要条件 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】在中ABC 中
17、，B60ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列；在中， 当 m0 时不成立；在中，xy6 是 x2 或 y3 的逆否命题是真命题；在中，lgx lgy 是的充分不必要条件 【解答】解：ABC 中，B60ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，故正确； 若“am2bm2，则 ab”的逆命题“若 ab，则 am2bm2” ， 当 m0 时不成立，故若“am2bm2，则 ab”的逆命题为假命题，故错误； xy6 是 x2 或 y3 的逆否命题是： 若 x2 且 x3，则 xy6，真命题， 第 10 页（共 24 页） xy6x2 或 y3， xy6 是 x2 或 y3 充分不必要条件，故正确；
18、f（x）lgx 在定义域 x0 范围内是单增函数：lgxlgy 可得到 xy0 g（x）在定义域 x0 范围内是单增函数：可得到 xy0 可见，lgxlgy，但是当 y0 时，推不出 lgxlgy， lg0 不存在，lgxlgy 是的充分不必要条件，故错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意充分条件、必 要条件、充要条件和四种命题的合理运用 9 （5 分）将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相 同的分配方案共有（ ） A252 种 B112 种 C70 种 D56 种 【分析】由题意知将 7 名学生分配到甲、乙两个
19、宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生两 种情况一是包括甲、乙每屋住 4 人、3 人，二是甲和乙两个屋子住 5 人、2 人，列出两种 情况的结果，根据分类计数原理得到结果 【解答】解：由题意知将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学 生 包括甲、乙每屋住 4 人、3 人或 5 人、2 人， 当甲和乙两个屋子住 4 人、3 人，共有 C73A22 当甲和乙两个屋子住 5 人、2 人，共有 C72A22 根据分类计数原理得到共有 C73A22+C72A22352+212112（种） 故选：B 【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，解题时主要依据是要看清楚每个宿舍 至少安
20、排 2 名学生两种情况，注意做到不重不漏 10 （5 分）设 adx，则二项式（a）6展开式中含 x2项的 系数是（ ） A192 B193 C6 D7 【分析】根据定积分的运算法则求出 a 的值，再根据二项式定理的公式，求出 x 的二次 项的系数 第 11 页（共 24 页） 【解答】解：由于 adxsin（x+）（） （）2， 二项式（a）6（2）6，它的展开式的通项公式为 Tr+1 （1） r26rx3r， 令 3r2，可得 r1，故二项式（a）6展开式中含 x2项的系数是25 192， 故选：A 【点评】题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用，属于基础题 11 （5 分）已知函数
21、 f（x）的定义域为 R，且 f（x）+f（x）2xe x，若 f（0）1，则 函数的取值范围为（ ） A2，0 B1，0 C0，1 D0，2 【分析】由题意可得 g（x）exf（x）+exf（x）2x，得到 g（x）x2+c（其中 c 为常数） ，进一步可得 f（x），结合 f（0）1 求得 c1，得到 f（x）的解析式， 求导后可得，然后对 x 分类求得函数的取值范 围 【解答】解：由 f（x）+f（x）2xe x， 得，即 exf（x）+exf（x）2x， 令 g（x）exf（x） ，则 g（x）exf（x）+exf（x）2x， g（x）x2+c（其中 c 为常数） ， f（x）， 又
22、f（0）1， c1，则 f（x）， 第 12 页（共 24 页） f（x）， ， 当 x0 时， 当 x0 时， ， 2，0 故选：A 【点评】本题考查导数的运算，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，训练了 利用基本不等式求函数的最值，题目设置难度较大 12 （5 分）已知 O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线 C：1（ba0）上有的 一点 P（，m） ， （m0） ，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作 双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形 PAOB 的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A B C D 【分析】
23、求得直线 l 的方程，求得 A 点坐标，求得|OA|，利用点到直线的距离公式，求得 d，由|OA|d1，即可求得 a 和 b 的直线，求得双曲线的标准方程 【解答】解：由题意可知：在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，即 c， 由双曲线方程可得渐近线方程 bxay0， 由（m0） ，设过 P 平行于 bx+ay0 的直线为 l， 则 l 的方程为：bx+aybam0，l 与渐近线 bxay0 交点为 A， 则 A（，） ，|OA|， 第 13 页（共 24 页） P 点到 OA 的距离是：d， |OA|d1，|1， 5b2a2m22ab， 由 P 在双曲线上，5b2a2m2a2b2，
24、且 a2+b25， b2，a1， 双曲线的方程为， 故选：A 【点评】本题考查双曲线标准方程，直线与椭圆的关系，注意运用渐近线方程和两直线 平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z3x2y 的最小值为 5 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答 案 【解答】解：由 x，y 满足约束条件作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为 A， 联立，解得 A（1，1） z3x2y 的最小
25、值为31215 故答案为：5 第 14 页（共 24 页） 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （5 分） （理）（1+cosx）dx 【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可 【解答】解：（x+sinx）+1（1）+2， 故答案为 +2 【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定 义和性质，解题的关键是找出原函数 15 （5 分）已知函数的图象过点 ，最小正周期为，且最小值为1若，f（x）的值域是 ，则 m 的取值范围是 ， 【分析】由题意函数的最值求出 A，周期求出 ，又过的点的坐标及其范围
26、求出 ，所 以求出函数 f（x）的解析式，换元画出函数 f（t）cost 的图象，由函数的值域求出 m 的取值范围 【解答】解：由题意可得 A1，T，所以 3，又过（0，） ，即 cos（3 0+），0，所以 ， 所以 f（x）cos（3x+） ； 因为，所以 3x+，3m+，令 t3x+，t，3m+， 第 15 页（共 24 页） 所以 f（t）cost，t，3m+， 由 f（x）的值域是，即 f（t）的值域是，如图所示，t或 ，f（t），这时 3m+，解得 m， 当 t3m+，即 m，f（t）1， 所以 m 的取值范围为：， 故答案为：， 【点评】考查三角函数解析式的求法及给出定义域及函数
27、值域求参数的范围，属于中档 题 16 （5 分）数列an是首项 a10，公差为 d 的等差数列，其前 n 和为 Sn，存在非零实数 t， 对任意 nN*有 Snan+（n1）tan恒成立，则 t 的值为 1 或 【分析】对任意 nN*有 Snan+（n1）tan恒成立Sn1（n1）tan（n2）恒成 立tan（n2）恒成立，分别令 n2 与 n3，得到 d2a1d，从而可得 t 的值 【解答】解：对任意 nN*有 Snan+（n1）tan恒成立， Sn1（n1）tan（n2）恒成立， 又数列an是首项 a10，公差为 d 的等差数列， （n1）tan（n2）恒成立，即tan（n2）恒成 立，
28、当 n2 时，a1ta2t（a1+d） 第 16 页（共 24 页） 当 n3 时，t（a1+2d） 联立得：d2a1d， d0 或 da1， 当 d0 时，t1； 当 da1时，t 故答案为：1 或 【点评】本题考查数列递推式的应用，灵活应用等差数列的求和公式与通项公式得到 d2 a1d 是关键，也是难点，考查转化思想与运算能力，属于难题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题
29、为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+11，且 a11，数列bn中，b11， b59，2bnbn+1+bn1（n2） （1）求数列an和bn的通项公式： （2）若 cnanbn，求cn的前 n 项的和 Tn 【分析】本题第（1）题对于数列an可利用公式 anSnSn1得到 an+1和 an的递推关 系式，根据递推关系式判断出数列an是等比数列，即可求出通项公式，对于数列bn 可根据等差中项判别法判别出数列bn是等差数列，也可求出通项公式；第（2）题先求 出 cn的通项公式，然后根据 cn的通
30、项公式的特点利用错位相减法求出前 n 项的和 Tn 【解答】解： （1）由题意，可知： 对于数列an： 当 n1 时，a11 当 n2 时，anSnSn1（an+11）（an1）an+1an an+12an 数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 an2n 1 对于数列bn： 2bnbn+1+bn1（n2） 根据等差中项判别法，可知：数列bn是等差数列 第 17 页（共 24 页） 又公差 d 数列bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 bn1+（n1）22n1 （2）由（1） ，可知： cnanbn，（2n1） 2n 1 Tnc1+c2+cn 11+321+522+（2n1） 2
31、n 1， +（2n1） 2n， ，可得： +22n 1（2n1） 2n 1+4 （1+2+22+2n 2）（2n1） 2n 1+4（2n1） 2n 1+4 （2n 11）（2n1） 2n （32n） 2n3 Tn（2n3） 2n+3 【点评】本题第（1）题主要考查根据递推公式求出通项公式，以及据等差中项判别法判 别出数列是等差数列，然后求出通项公式；第（2）题主要考查利用错位相减法求出数列 的前 n 项和 18 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形，ADC120，AD 的中点 M 是 顶点 P 的底面 ABCD 的射影，N 是 PC 的中点 （）求证：平面 MPB平面
32、PBC； （）若 MPMC，求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 【分析】 （）证明 BC平面 PMB，即可证明：平面 MPB平面 PBC； 第 18 页（共 24 页） （）过 B 作 BHMC，连接 HN，证明BNH 为直线 BN 与平面 PMC 所成的角，即可 求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 【解答】 （）证明：在菱形 ABCD 中，设 AB2a，M 是 AD 的中点， MB2AM2+AB22AMABcos603a2，MC2DM2+DC22DMDCcos1207a2 又BC24a2，MB2+BC2MC2，MBBC， 又P 在底面 ABCD 的射影 M 是 AD 的中
33、点，PM平面 ABCD， 又BC平面 ABCD，PMBC， 而 PMMBM，PM，MB平面 PMB，BC平面 PMB， 又 BC平面 PBC，平面 MPB平面 PBC （）解：过 B 作 BHMC，连接 HN， PM平面 ABCD，BC平面 ABCD，BHPM， 又PM，MC平面 PMC，PMMCM，BH平面 PMC， HN 为直线 BN 在平面 PMC 上的射影， 故BNH 为直线 BN 与平面 PMC 所成的角， 在MBC 中， 由（）知 BC平面 PMB，PB平面 PMB，PBBC ， 【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的 能力，属于中档题 19
34、（12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为， 第 19 页（共 24 页） P 是椭圆 C 上的一个动点，且PFF2面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率不为零的直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，且 PQ 的垂直平分线交 y 轴 于点，求直线 PQ 的斜率 【分析】（1） 因为椭圆离心率为， 当 P 为 C 的短轴顶点时， PF1F2的面积有最大值， 由此列方程组可解得 a，b，c （2）设直线 PQ 的方程为 yk（x1） ，当 k0 时，yk（x1）代入+1，得： （3+4k2）x28k2x+4k2120，得到 PQ 的中点 N 的坐标后利用
35、TNPQ，则 kTNkPQ 1，所以k1，可解得 【解答】解： （1）因为椭圆离心率为，当 P 为 C 的短轴顶点时，PF1F2的面积有最 大值， 所以，所以，故椭圆 C 的方程为：+1 （2）设直线 PQ 的方程为 yk（x1） ， 当 k0 时，yk（x1）代入+1， 得： （3+4k2）x28k2x+4k2120， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y ） ，线段 PQ 的中点为 N（x0，y0） ， x0，y0k（x01），即 N（，） 因为 TNPQ，则 kTNkPQ1，所以k1， 第 20 页（共 24 页） 化简得 4k28k+30，解得 k或 k 【点评】本题考查了椭圆的性质，
36、属中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2 （1）若 a1，证明：当 x0 时，f（x）1； （2）若 f（x）在（0，+）有两个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a1 代入函数解析式，求出 f（x）ex2x令 g（x）ex2x，利 用导数可得 g（x）0，得到 f（x）在0，+）上单调递增，可得 f（x）f（0）1； （2）f（x）在（0，+）有两个零点方程 exax20 在（0，+）有两个根，即 在（0，+）有两个根，也就是函数 ya 与 G（x） 的图象在（0，+）有两个 交点利用导数求得 G（x）最小值为 G（2），结合当 x0 时，G（x）+， 当 x+时，
37、G（x）+，可得 f（x）在（0，+）有两个零点时，a 的取值范围是 （） 【解答】 （1）证明：当 a1 时，函数 f（x）exx2，则 f（x）ex2x 令 g（x）ex2x，则 g（x）ex2，令 g（x）0，得 xln2 当 x（0，ln2）时，g（x）0，当 x（ln2，+）时，g（x）0， g（x）g（ln2）eln22ln222ln20， f（x）在0，+）上单调递增， f（x）f（0）1； （2）解：f（x）在（0，+）有两个零点方程 exax20 在（0，+）有两个根， 在（0，+）有两个根， 即函数 ya 与 G（x） 的图象在（0，+）有两个交点 G（x）， 当 x（0，
38、2）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增， 当 x（2，+）时，G（x）0，G（x）在（2，+）递增， 第 21 页（共 24 页） G（x）最小值为 G（2）， 当 x0 时，G（x）+，当 x+时，G（x）+， f（x）在（0，+）有两个零点时，a 的取值范围是（） 【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数 零点的判定，是中档题 21 （12 分）11 月，2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办， 其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮） ，在相同的条件下， 每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球
39、，两人有 1 人命中，命中者得 1 分， 未命中者得1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次投球命中的概率为 ，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响 （1）经过 1 轮投球，记甲的得分为 X，求 X 的分布列； （2）若经过 n 轮投球，用 pi表示经过第 i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的 概率 求 p1，p2，p3； 规定 p00，经过计算机计算可估计得 piapi+1+bpi+cpi1（b1） ，请根据中 p1， p2，p3的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出数列pn的通项公式 【分析】 （1）X 的可能取值为1，0，1，分别求出相应的概率
40、，由此能求出 X 的分布列 （2）p1，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得 1 分，二是 两轮中有一轮甲得 0 分，有一轮甲得 1 分，由此能求出 p2经过三轮投球，甲的累计得 分高有四种情况：一是三轮甲各得 1 分，二是三轮中有两轮甲各得 1 分，一轮得 0 分， 三是三轮中有一轮甲得 1 分，两轮各得 0 分，四是两轮各得 1 分，1 轮得1 分，由此能 求出 p3 推导出，将代入得， ，从而，推导出pnpn1是首项与公比都 是的等比数列，由此能求出结果 【解答】解： （1）X 的可能取值为1，0，1， P（X1）， 第 22 页（共 24 页） P（X0）， P（X1）
41、， X 的分布列为： X 1 0 1 P （2）由（1）知 p1， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况： 一是两轮甲各得 1 分，二是两轮中有一轮甲得 0 分，有一轮甲得 1 分， p2 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况： 一是三轮甲各得 1 分，二是三轮中有两轮甲各得 1 分，一轮得 0 分，三是三轮中有一轮 甲得 1 分，两轮各得 0 分，四是两轮各得 1 分，1 轮得1 分， p3+ p00，piapi+1+bpi+cpi1（b1） ， ， 将代入，解得， ， ， pi+1pi（pipi1） ， p1p0，pnpn1是首项与公比都是的等比数列， pnpn1， pnp0+（p1p0
42、）+（p2p1）+（pnpn1） 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列的求法，考查数列的通项公式的求法， 第 23 页（共 24 页） 考查相互独立事件概率乘法公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 直线 C2的方程为，以 O 为极点，以 x 轴非
43、负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 【分析】 （1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直 线方程转化为极坐标方程 （2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 转化为普通方程：， 即， 则 C1的极坐标方程为，（3 分） 直线 C2的方程为， 直线 C2的极坐标方程（5 分） （2）设 P（1，1） ，Q（2，2） ， 将代入， 得：25+30， 123， |OP|OQ|123（10 分） 【点评
44、】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐 标方程的转化，一元二次方程与的应用，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a+2b3证明： 第 24 页（共 24 页） （1）； （2） 【分析】 （1）由 a32b0，b（0，） ，代入 a2+b2配方法证明即可； （2）先求出 0ab，当且仅当 a2b取等号，把要证明的式子左边转化为关于 ab 的式子，配方法证明即可 【解答】证明： （1）已知 a0，b0，a+2b3，则 a32b0，b（0，） ， 所以 a2+b2（32b）2+b25b212b+95（b）2+， 当 b时，a32b时，取等号， 故结论成立； （2）已知 a0，b0，a+2b3， 故 0ab，当且仅当 a2b取等号， 所以 a3b+4ab3ab（a2+4b2）ab（a+2b）24abab（94ab）4（ab）2+9ab ， 当且仅当 ab时，取等号， 故命题成立 【点