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2019-2020学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、已知集合 Ax|x2x20,用列举法可表示为 A 2函数 f(x)lg(x2)的定义域是 3命题“若 x1,则 x0”的逆否命题是 4若函数 f(x),则 ff(1) 5已知集合 A2,1,2,B1,a,且 BA,则实数 a 的值为 6已知集合 Ax|x2px+60,若 3A,则方程 5x 1p 的解为 7函数 f(x)log2x+x 零点个数为 8设函数 f(x)的反函数为 f 1(x) ,则 f1(1) 9若方程 f(x)ax2+bx+c 是定义域为(2a3,1)的偶函数,则 a+b 10方程 lg2x3lgx+20 的解为 11若函数 f(x)x2+2ax+1a 在区间0,1上有最大值

2、2,则实数 a 的值为 12已知 f(x)为奇函数,且在0,+)上是减函数,若不等式 f(ax1)f(x2)在 x1,2上都成立,则实数 a 的取值范围是 二、选择题二、选择题 13下列四组函数中,表示同一函数的是( ) Af(x),g(x)x+1 Bf(x)x0,g(x)1 Cf(x)|x|,g(x) Df(x)|x|,g(x) 14已知集合 A2,1,0,1,2,Bx|0,则 AB( ) A1,0 B0,1 C1,0,1 D0,1,2 15设命题甲为“0x3” ,命题乙为“|x2|1” ,那么甲是乙的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 16下列函

3、数中,值域是(0,+)的是( ) 第 2 页(共 13 页) Ayx By Cy3|x|1 Dyx 2 三、解答题三、解答题 17已知函数 f(x)ax(a1)在区间1,2上的最大值比最小值大 2,求实数 a 的值 18已知函数 f(x)求: (1)函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并加以证明 19甲乙两地的高速公路全长 166 千米,汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地,车 速 v70,120(千米/时) ,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固 定部分组成:可变部分为 0.02v2,固定部分为 220 元 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度

4、 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义 域; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元?(结果 保留整数) 20已知 m 是整数,幂函数 f(x)x m2+m+2 在0,+)上是单调递增函数 (1)求幂函数 f(x)的解析式; (2)作出函数 g(x)|f(x)1|的大致图象; (3)写出 g(x)的单调区间,并用定义法证明 g(x)在区间1,+)上的单调性 21已知函数 f(x)4+loga(1x) (a0,a1)的反函数 f 1(x)的图象经过点 P(5, 1) ,函数 g(x)b(bR)为奇函数 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 F(x)

5、g(x)+2x2 的零点; 第 3 页(共 13 页) (3)设 g(x)的反函数为 g 1(x) ,若关于 x 的不等式 k+g1(x)f(x)在区间(1, 0)上恒成立,求正实数 k 的取值范围 第 4 页(共 13 页) 2019-2020 学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1已知集合 Ax|x2x20,用列举法可表示为 A 1,2 【分析】解方程 x2x20 得:x1 或 2,即可求解 【解答】解;解方程 x2x20 得:x1 或 2, A1,2, 故答案为:1,2 【点评】本题

6、主要考查了集合的表示法,是基础题 2函数 f(x)lg(x2)的定义域是 (2,+) 【分析】对数的真数大于 0,可得答案 【解答】解:由 x20,得 x2,所以函数的定义域为(2,+) 故答案为: (2,+) 【点评】本题考查对数函数的定义域,是基础题 3命题“若 x1,则 x0”的逆否命题是 若 x0,则 x1 【分析】根据原命题、 逆命题、否命题和逆否命题的定义即可写出” 若 x1, 则 x0“的 逆否命题 【解答】解: “若 x1,则 x0”的逆否命题是: “若 x0,则 x1“ 故答案为:若 x0,则 x1 【点评】本题考查了原命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义,属于基础题 4若函

7、数 f(x),则 ff(1) 3 【分析】先求出 f(1)1+34,从而 ff(1)f(4) ,由此能求出结果 【解答】解:函数 f(x), f(1)1+34, ff(1)f(4)3 故答案为:3 【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基 础题 第 5 页(共 13 页) 5已知集合 A2,1,2,B1,a,且 BA,则实数 a 的值为 2 【分析】利用 BA,即可求解 【解答】解:BA,a2 或2, 故答案为:2 【点评】本题主要考查了集合的包含关系,是基础题 6已知集合 Ax|x2px+60,若 3A,则方程 5x 1p 的解为 x2 【分析】根据题意,

8、由元素与集合的关系可得 93p+60,解可得 p5,进而可得 5x 15,解可得 x 的值,即可得答案 【解答】解:根据题意,集合 Ax|x2px+60, 若 3A,则有 93p+60,解可得 p5, 若 5x 1p,即 5x15,解可得 x2, 故答案为:x2 【点评】本题考查集合的表示方法,涉及函数的零点,属于基础题 7函数 f(x)log2x+x 零点个数为 1 【分析】条件等价于函数 ylog2x 与函数 yx 的图象交点个数,数形结合即可 【解答】解:根据条件作出函数 ylog2x 与函数 yx 的图象如图: 由图可知,共一个交点,故函数 f(x)log2x+x 只有 1 个零点,

9、故答案为 1 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,考查数形结合思想,属于中档题 8设函数 f(x)的反函数为 f 1(x) ,则 f1(1) 2 【分析】根据原函数过点(x,y) ,反函数必过点(y,x) ,把 y1 代入原函数,求解即 可 【解答】解:因为函数 f(x)的反函数为 f 1(x) ,当 y1 时,x2; 故 f 1(1)2 第 6 页(共 13 页) 故答案为:2 【点评】本题考查了反函数的定义,原函数与反函数的关系,属于基础题 9若方程 f(x)ax2+bx+c 是定义域为(2a3,1)的偶函数,则 a+b 1 【分析】根据题意,由偶函数的性质可得(2a3)+10,且 b

10、0,解可得 a 的值,相 加即可得答案 【解答】解:根据题意,若 f(x)ax2+bx+c 是定义域为(2a3,1)的偶函数, 则有(2a3)+10,且 b0, 解可得:a1, 则 a+b1; 故答案为:1 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及二次函数的性质,属于基础题 10方程 lg2x3lgx+20 的解为 10 或 100 【分析】根据题意,由 lg2x3lgx+20 解可得 lgx 的值,进而计算可得答案 【解答】解:根据题意,方程 lg2x3lgx+20,变形可得(lgx1) (lgx2)0, 解可得 lgx1 或 lgx2, 则 x10 或 100; 故答案为:10 或

11、100 【点评】本题考查对数的运算性质,注意换元思想的运用,属于基础题 11若函数 f(x)x2+2ax+1a 在区间0,1上有最大值 2,则实数 a 的值为 a1 或 a2 【分析】这是一个动函数、定区间的二次函数的最值问题,由于二次项系数为1,所以 函数 f(x)x2+2ax+1a 的图象的开口方向是向下的,对称轴为 xa,因此需要按 对称轴与区间的关系进行分类讨论 【解答】解:函数 f(x)x2+2ax+1a 的对称轴为 xa,图象开口向下, 当 a0 时,函数 f(x)x2+2ax+1a 在区间0,1是减函数, fmax(x)f(0)1a,由 1a2,得 a1, 当 0a1 时,函数

12、f(x)x2+2ax+1a 在区间0,a是增函数,在a,1上是减 函数, a2a+1, 第 7 页(共 13 页) 由 a2a+12,解得 a或 a, 0a1,两个值都不满足; 当 a1 时,函数 f(x)x2+2ax+1a 在区间0,1是增函数, fmax(x)f(1)1+2a+1aa, a2 综上可知,a1 或 a2 故答案为:a1 或 a2 【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题,考查了数形结合、分类讨论的数学 思想 12已知 f(x)为奇函数,且在0,+)上是减函数,若不等式 f(ax1)f(x2)在 x1,2上都成立,则实数 a 的取值范围是 a0 【分析】根据题意,可得 f(

13、x)在 R 上递减,所以 ax1x2,分离参数构造函数法 判断单调性,求出结论 【解答】解:已知 f(x)为奇函数,且在0,+)上是减函数,可得 f(x)在 R 上递减, 所以 ax1x2, 分离参数得 a1, 由 y1在 x1,2单调递增, 所以 a(1)min110, 故答案为:a0 【点评】考查函数的奇偶性和单调性的应用,分离参数构造函数法求不等式,考查了转 化思想,中档题 二、选择题二、选择题 13下列四组函数中,表示同一函数的是( ) Af(x),g(x)x+1 Bf(x)x0,g(x)1 Cf(x)|x|,g(x) Df(x)|x|,g(x) 第 8 页(共 13 页) 【分析】根

14、据两个函数的定义域和对应关系分别相同,即可判断是同一函数 【解答】解:对于 A,f(x)x+1(x1) ,与 g(x)x+1(xR)的定义域 不相同,不是同一函数 对于 B,f(x)x01(x0) ,与 g(x)1(xR)的定义域不相同,不是同一函数 对于 C,f(x)|x|(xR) ,与 g(x)|x|(xR)的定义域相同,对应关系也相 同,是同一函数 对于 D,f(x)|x|,与 g(x)的定义域不相同,不是同一 函数 故选:C 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,是基础题 14已知集合 A2,1,0,1,2,Bx|0,则 AB( ) A1,0 B0,1 C1,0,1 D0

15、,1,2 【分析】先分别求出集合 A,B,由此能求出交集 AB 【解答】解:集合 A2,1,0,1,2, Bx|0x|1x2, AB0,1 故选:B 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运 用 15设命题甲为“0x3” ,命题乙为“|x2|1” ,那么甲是乙的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】解出不等式,即可判断出关系 【解答】解:由|x2|1,解得:1x3 甲是乙的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 第 9 页(共 13 页) 属于

16、基础题 16下列函数中,值域是(0,+)的是( ) Ayx By Cy3|x|1 Dyx 2 【分析】分别求出四个函数的值域得答案 【解答】解:函数的值域为 R; 由 x22x30,得 x1 或 x3,则函数 y的值域为0,+) ; |x|0,3|x|1,则函数 y3|x|1 的值域为0,+) ; y0,则函数 yx 2 的值域为(0,+) 值域是(0,+)的是 yx 2 故选:D 【点评】本题考查函数的值域及其求法,是基础的计算题 三、解答题三、解答题 17已知函数 f(x)ax(a1)在区间1,2上的最大值比最小值大 2,求实数 a 的值 【分析】对于指数函数 a1 时,函数 f(x)ax

17、在区间1,2上是增函数,求出最值, 作差求出 a 即可 【解答】解:当 a1 时,函数 f(x)ax在区间1,2上是增函数, f(x)minf(1)a,f(x)maxf(2)a2, 由题意知 a2a2,解得 a2,a1(舍弃) , 故 a 的值为:2 【点评】考查指数函数的单调性和最值,基础题 18已知函数 f(x)求: (1)函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并加以证明 【分析】 (1)由题意可得,解不等式即可求解; (2)只要检验 f(x)与 f(x)的关系即可判断 第 10 页(共 13 页) 【解答】解: (1)由题意可得, 解可得,1x1 且 x0, 故函数

18、的定义域1,0)(0,1; (2)因为 f(x), 所以 f(x)f(x) , 故 f(x)为偶函数 【点评】本 题主要考查了函数定义域的求解及函数奇偶性的判断,属于基础试题 19甲乙两地的高速公路全长 166 千米,汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地,车 速 v70,120(千米/时) ,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固 定部分组成:可变部分为 0.02v2,固定部分为 220 元 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义 域; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元?(结果 保留整数) 【

19、分析】 (1)由题意可知:; (2),当且仅当 0.02v即 v10105 时,等号成立,即 v105 时,最小运输成本为 696 元 【解答】解: (1)由题意可知:; (2), 当且仅当 0.02v即 v10105 时,等号成立, 即 v105 时,最小运输成本为 696 元 【点评】本题主要考查了函数的实际运用,是中档题 20已知 m 是整数,幂函数 f(x)x m2+m+2 在0,+)上是单调递增函数 (1)求幂函数 f(x)的解析式; (2)作出函数 g(x)|f(x)1|的大致图象; 第 11 页(共 13 页) (3)写出 g(x)的单调区间,并用定义法证明 g(x)在区间1,+

20、)上的单调性 【分析】 (1)求幂函数 f(x)的解析式; (2)作出函数 g(x)|f(x)1|的大致图象; (3)写出 g(x)的单调区间,并用定义法证明 g(x)在区间1,+)上的单调性 【解答】解: (1)由 f(x)在0,+)上单调递增可得:m2+m+20,1m2, 又mZ,m0 或 m1, f(x)x2; (2)由于 f(x)x2,所以 g(x)|x21| 如图所示: (3)根据函数的图象:函数的单调减区间为:,1和0,1 函数的单调增区间为1,0和1,+) 证明:设 1x1x2, 所以 所以 g(x2)g(x1)(x2x1) (x2+x1)0 所以函数在区间1,+)上为增函数 【

21、点评】本题主要考查:幂函数的定义和函数的单调性的应用,主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力,属于基础题 第 12 页(共 13 页) 21已知函数 f(x)4+loga(1x) (a0,a1)的反函数 f 1(x)的图象经过点 P(5, 1) ,函数 g(x)b(bR)为奇函数 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 F(x)g(x)+2x2 的零点; (3)设 g(x)的反函数为 g 1(x) ,若关于 x 的不等式 k+g1(x)f(x)在区间(1, 0)上恒成立,求正实数 k 的取值范围 【分析】 (1)由题意可得 f(x)的图象过点(1,5) ,解方程可得 a 的值,进

22、而得到所 求解析式; (2)求得 F(x)的解析式,令 F(x)0,解方程可得所求零点; (3)求得反函数 g 1(x) ,运用参数分离和对勾函数的单调性、对数函数的单调性,可 得最值,即可得到所求范围 【解答】解: (1)由题意可得 f(x)的图象过点(1,5) ,即 f(1)4+loga25, 解得 a2, 即有 f(x)4+log2(1x) ; (2)g(x)为 R 上的奇函数,可得 g(0)0,即 b10,可得 b1, g(x)1,F(x)g(x)+2x20, 即+2x10,即有(2x1) (2x+1)2,可得 4x3,解得 xlog43,即所求 零点为 log43; (3)g 1(x)log 2 ,1x1, k+g 1(x)f(x)即 kf(x)g1(x)4+log 2(1x)log2 4+log2, 令 t1+x,0t1,则 k4+log24+log2(t+4) , 易得 ylog2(t+4)在 0t1 单调递减, 可得 y4+log2(t+4)(4,+) ,可得 k4,又 k0, 可得 k 的范围是(0,4 【点评】本题考查函数与反函数的关系,考查函数的单调性和奇偶性的运用,以及不等 式恒成立问题解法,参数分离法和化简运算能力、推理能力,属于中档题