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2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、若实数 ab,则下列说法正确的是 (1)a+cb+c; (2)acbc; (3); (4)a2b2 2 (4 分)函数 f(x)kx+b(k0)是奇函数的充要条件是 3 (4 分)函数 f(x)(m2m1)x是幂函数,则 m 4 (4 分)若 a,b 都是正数,且 a+b1,则(a+1) (b+1)的最大值 5 (4 分)不等式|x1|+|x+2|13 的解集为 6 (4 分) “若 x+y1,则 x1 且 y0”的逆否命题是 7 (4 分)已知函数 f(x),x1,9,g(x)f(x) f(x2)的反函数是 g 1(x) , 则 g 1(x)的定义域为 8 (4 分)函数 f(x)的值域为

2、9 (4 分)已知 a,b 为非零实数,且 3a12b6ab,则 a+b 的值为 10 (4 分)已知函数 f(x),g(x)aln(x+2)+(aR) , 若对任意的 x1, x2x|xR, x2, 均有 f (x1) g (x2) , 则实数 k 的取值范围是 二、选择题(每题二、选择题(每题 4 分,共分,共 16 分)分) 11 (4 分)幂函数 yf(x)经过点(3,) ,则 f(x)是( ) A偶函数,且在(0,+)上是增函数 B偶函数,且在(0,+)上是减函数 C奇函数,且在(0,+)是减函数 D非奇非偶函数,且在(0,+)上是增函数 12 (4 分)若函数 f(x)单调递增,则

3、实数 a 的取值范围是( ) A (,3) B,3) C (1,3) D (2,3) 13 (4 分)定义在 R 上的函数 f(x)有反函数 f 1(x) ,若有 f(x)+f(x)2 恒成立, 第 2 页(共 13 页) 则 f 1(2020x)+f1(x2018)的值为( ) A0 B2 C2 D不能确定 14 (4 分)已知函数 f(x)的定义域为0,1,2,值域为0,1,则满足条件的函数 f(x) 的个数为( ) A1 个 B6 个 C8 个 D无数个 三、解答题三、解答题 15 (8 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)x22x ()求 f(0)及

4、 f(f(1) )的值; ()求函数 f(x)的解析式; ()若关于 x 的方程 f(x)m0 有四个不同的实数解,求实数 m 的取值范围, 16 (10 分)某城市居民每月自来水使用量 x 与水费 f(x)之间满足函数 f(x) 当使用 4m3时, 缴费 4 元, 当使用 27m3时, 缴费 14 元; 当使用 35m3 时,缴费 19 元 (1)求实数 A、B、C 的值; (2)若某居民使用 29m3水,应该缴水费多少元? 17 (12 分)已知函数 f(x)的图象关于原点对称,其中 a 为常数 (1)求 a 的值; (2)当 x(1,+)时,f(x)+(x1)m 恒成立,求实数 m 的取

5、值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)(x+k)在2,3上有解,求 k 的取值范围 18 (14 分)已知函数 f(x)其中 P,M 是非空数集,且 PM, 设 f(P)y|yf(x) ,xP,f(M)y|yf(x) ,xM (I)若 P(,0) ,M0,4,求 f(P)f(M) ; (II)是否存在实数 a3,使得 PM3,a,且 f(P)f(M)3,2a3? 若存在,请求出满足条件的实数 a;若不存在,请说明理由; (III)若 PMR,且 0M,IP,f(x)是单调递增函数,求集合 P,M 第 3 页(共 13 页) 2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期

6、末学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(每题一、填空题(每题 4 分,共分,共 40 分)分) 1 (4 分)若实数 ab,则下列说法正确的是 (1) (1)a+cb+c; (2)acbc; (3); (4)a2b2 【分析】由不等式的性质逐项判断即可 【解答】解:由可加性知, (1)正确; 当 c0 时, (2)显然不正确; 当 a,b 满足其中一个为 0 时, (3)显然无意义; 取 a1,b2 可知, (4)不正确 故答案为: (1) 【点评】本题考查不等式性质的运用,属于基础题 2 (4 分)函数 f(x)k

7、x+b(k0)是奇函数的充要条件是 b0 【分析】函数 f(x)kx+b(k0)f(0)0,即可得出 【解答】解:函数 f(x)kx+b(k0)f(0)0,b0 函数 f(x)kx+b(k0)是奇函数的充要条件是 b0 故答案为:b0 【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 3 (4 分)函数 f(x)(m2m1)x是幂函数,则 m 2 或1 【分析】函数 f(x)(m2m1)x是幂函数,利用幂函数的定义得 m2m 11,由此能求出 m 的值 【解答】解:函数 f(x)(m2m1)x是幂函数, m2m11, 解得 m2 或 m1 故答案为:2

8、 或1 第 4 页(共 13 页) 【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质的性质等基础知识,考查推理能力 与计算能力,属于基础题 4 (4 分)若 a,b 都是正数,且 a+b1,则(a+1) (b+1)的最大值 【分析】先利用基本不等式可得,再将(a+1) (b+1)展开即可得到答案 【解答】解:a+b1,a0,b0, ,即,当且仅当 ab 时取等号, ,即(a+1) (b+1)的最大值为 故答案为: 【点评】本题主要考查基本不等式的运用,属于基础题 5 (4 分)不等式|x1|+|x+2|13 的解集为 (7,6) 【分析】分类讨论,去掉绝对值符号,解不等式即可 【解答】解:当 x

9、2 时,原不等式等价于 1xx213,解得 x7,此时满足 7x2; 当2x1 时,原不等式等价于 1x+x+213,即 313 恒成立; 当 x1 时,原不等式等价于 x1+x+213,解得 x6,此时满足 1x6; 综上,不等式的解集为(7,6) 故答案为: (7,6) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查分类讨论思想,属于基础题 6 (4 分) “若 x+y1,则 x1 且 y0”的逆否命题是 若 x1 或 y0,则 x+y1 【分析】本题根据“若 p,则 q”的逆否命题的形式是: “若q,则p” ,可以解答 【解答】解:若 p,则 q 的逆否命题的形式是:若q,则p 因此命题“若

10、x+y1,则 x1 且 y0”的逆否命题为“若 x1 或 y0,则 x+y1” 故答案为:若 x1 或 y0,则 x+y1 【点评】本题考查了逆否命题的概念,四种命题的关系 7 (4 分)已知函数 f(x),x1,9,g(x)f(x) f(x2)的反函数是 g 1(x) , 则 g 1(x)的定义域为 2,2 【分析】 函数 f (x) , x1, 9, g (x) f (x) f (x2) , 第 5 页(共 13 页) 根据单调性可得其值域于是 g 1(x)的定义域为原函数 g(x)的值域 【解答】解:函数 f(x),x1,9,g(x)f(x) f(x2) 2,2, 则 g 1(x)的定义

11、域为原函数 g(x)的值域,g1(x)的定义域为2,2 , 故答案为:2,2, 【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 8 (4 分)函数 f(x)的值域为 【分析】分离常数后,利用双勾函数的性质即可得解 【解答】解:, 由双勾函数性质可知, 故答案为: 【点评】本题考查函数值域的求解,属于基础题 9 (4 分)已知 a,b 为非零实数,且 3a12b6ab,则 a+b 的值为 2 【分析】设 3a12b6abk,把指数式化为对数式,再利用对数的运算性质即可求解 【解答】解:设 3a12b6abk, alog3k,blog12k,ablog6k

12、, 2logk6,又, , , a+b2, 故答案为:2 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化,以及对数的运算性质,是中档题 10 (4 分)已知函数 f(x),g(x)aln(x+2)+(aR) , 若对任意的 x1,x2x|xR,x2,均有 f(x1)g(x2) ,则实数 k 的取值范围是 第 6 页(共 13 页) 【分析】可求得,根据题意 f(x)maxg (x)min(x2) ,由此得到,解该不等式即可求得实数 k 的取值范围 【解答】解:对函数 f(x) ,当 x1 时,;当 x1 时, , f(x)在(2,+)上的最大值; 对函数 g(x) ,函数 g(x)若有最小值,则

13、a0,即, 当 x(2,0)(0,+)时,易知函数; 又对任意的 x1,x2x|xR,x2,均有 f(x1)g(x2) , f(x)maxg(x)min(x2) ,即, , ,即实数 k 的取值范围为 故答案为: 【点评】本题考查不等式的恒成立问题,考查函数最值的求解,考查转化思想及计算能 力,属于中档题 二、选择题(每题二、选择题(每题 4 分,共分,共 16 分)分) 11 (4 分)幂函数 yf(x)经过点(3,) ,则 f(x)是( ) A偶函数,且在(0,+)上是增函数 B偶函数,且在(0,+)上是减函数 C奇函数,且在(0,+)是减函数 D非奇非偶函数,且在(0,+)上是增函数 【

14、分析】设出幂函数的解析式,求出自变量的指数,从而求出函数的性质即可 【解答】解:设幂函数的解析式为:yx, 将(3,)代入解析式得: 第 7 页(共 13 页) 3,解得 , y, 故选:D 【点评】本题考查了求幂函数的解析式,考查函数的奇偶性和单调性问题,是一道基础 题 12 (4 分)若函数 f(x)单调递增,则实数 a 的取值范围是( ) A (,3) B,3) C (1,3) D (2,3) 【分析】利用函数的单调性,判断指数函数的对称轴,以及一次函数的单调性列出不等 式求解即可 【解答】解:函数 f(x)单调递增, 由指数函数以及一次函数的单调性的性质,可得 3a0 且 a1 但应当

15、注意两段函数在衔接点 x7 处的函数值大小的比较, 即(3a)73a,可以解得 a, 综上,实数 a 的取值范围是,3) 故选:B 【点评】本题考查分段函数的应用,指数函数的性质,考查学生的计算能力,属于中档 题 13 (4 分)定义在 R 上的函数 f(x)有反函数 f 1(x) ,若有 f(x)+f(x)2 恒成立, 则 f 1(2020x)+f1(x2018)的值为( ) A0 B2 C2 D不能确定 【分析】分析:由 f(x)+f(x)2,得 f(t)+f(t)2,注意(2020x )与 (x 2018)的和等于 2,若(x2018)与 (2020x)一个是 t,则另一个是t,再应用

16、反函数的定义解出 t 和t 即得 【解答】解:f(x)+f(x)2,f(t)+f(t)2, 令 2020xm,x2018n,m+n2, 可令 f(t)m,f(t)n,由反函数的定义知, 第 8 页(共 13 页) tf 1(m) ,tf1(n) f1(m)+f1(n)0, 即:f 1(2020x)+f1(x2018)的值是 0, 故选:A 【点评】本题考查反函数,体现换元的数学思想,属于中档题 14 (4 分)已知函数 f(x)的定义域为0,1,2,值域为0,1,则满足条件的函数 f(x) 的个数为( ) A1 个 B6 个 C8 个 D无数个 【分析】由函数定义直接写出即可得解 【解答】解:

17、当 0 对应 0 时,可以有(1,0) , (2,1) ;(1,1) , (2,0) ;(1, 1) , (2,1) ;共三种对应方式; 当 0 对应 1 时,可以有(1,0) , (2,0) ;(1,1) , (2,0) ;(1,0) , (2,1) ; 共三种对应方式; 故满足条件的函数 f(x)共有 6 个 故选:B 【点评】本题考查函数定义的理解,属于基础题 三、解答题三、解答题 15 (8 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)x22x ()求 f(0)及 f(f(1) )的值; ()求函数 f(x)的解析式; ()若关于 x 的方程 f(x)m0

18、有四个不同的实数解,求实数 m 的取值范围, 【分析】 ()根据题意,由函数的解析式,将 x0 代入函数解析式即可得 f(0)的值, 同理可得 f(1)的值,利用函数的奇偶性分析可得 f(f(1) )的值; ()设 x0,则x0,由函数的解析式分析 f(x)的解析式,进而由函数的奇偶 性分析可得答案; ()若方程 f(x)m0 有四个不同的实数解,则函数 yf(x)与直线 ym 有 4 个 交点,作出函数 f(x)的图象,由数形结合法分析即可得答案 【解答】解: ()根据题意,当 x0 时,f(x)x22x; 则 f(0)0, f(1)121, 第 9 页(共 13 页) 又由函数 f(x)为

19、偶函数,则 f(1)f(1)1, 则 f(f(1) )f(1)1; ()设 x0,则x0, 则有 f(x)(x)22(x)x2+2x, 又由函数 f(x)为偶函数, 则 f(x)f(x)x2+2x, 则当 x0 时,f(x)x2+2x, ()若方程 f(x)m0 有四个不同的实数解,则函数 yf(x)与直线 ym 有 4 个 交点, 而 yf(x)的图象如图: 分析可得1m0; 故 m 的取值范围是(1,0) 【点评】本题考查偶函数的性质以及函数的图象,涉及方程的根与函数图象的关系,注 意利用数形结合法分析与应用,是中档题 16 (10 分)某城市居民每月自来水使用量 x 与水费 f(x)之间

20、满足函数 f(x) 当使用 4m3时, 缴费 4 元, 当使用 27m3时, 缴费 14 元; 当使用 35m3 时,缴费 19 元 (1)求实数 A、B、C 的值; (2)若某居民使用 29m3水,应该缴水费多少元? 【分析】 (1)由题意知 C 的值,再把(27,14) , (35,19)代入 f(x)中求出 B 和 A 的 值; 第 10 页(共 13 页) (2)写出 f(x)的解析式,计算 f(29)的值即可 【解答】解: (1)由题意得:C4, 将(27,14) , (35,19)代入 f(x)4+B(xA) ,得: , 解得 A11,B; 所以 A11,B,C4 (2)由(1)知

21、,f(x); 当 x29 时,f(29)4+(2911)15.25; 所以该居民使用 29m3水时,应该缴水费 15.25 元 【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题 17 (12 分)已知函数 f(x)的图象关于原点对称,其中 a 为常数 (1)求 a 的值; (2)当 x(1,+)时,f(x)+(x1)m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)(x+k)在2,3上有解,求 k 的取值范围 【分析】 (1)函数 f(x)的图象关于原点对称,可得 f(x)+f(x)0, 整理得+0 恒成立,即可得出答案 (2)x(1,+)时,f(

22、x)+(x1)m 恒成立,求出 x(1,+)时,f(x) +(x1)的最大值,即可解出 m 的取值范围 (3)由于 f(x)在2,3上是增函数,g(x)(x+k)在2,3上是 减函数,可得出,两函数图象在所给区间上有交点,由此可通过比较两函数在区间端点 处的函数值的大小得出,解之即可得出答案 第 11 页(共 13 页) 【解答】解: (1)函数 f(x)的图象关于原点对称, f(x)+f(x)0,即+0, ()0,1 恒成立, 即 1a2x21x2,即(a21)x20 恒成立,所以 a210,解得 a1, 又 a1 时,f(x)无意义,故 a1; (2)x(1,+)时,f(x)+(x1)m

23、恒成立,即+(x1) m, (x+1)m 在(1,+)恒成立, 由于 y(x+1)是减函数,故当 x1,函数取到最大值1, m1,即实数 m 的取值范围是 m1; (3)f(x)在2,3上是增函数,g(x)(x+k)在2,3上是减函 数, 只需要即可保证关于 x 的方程 f(x)(x+k)在2,3上有解, 下解此不等式组 代入函数解析式得,解得1k1, 即当1k1 时关于 x 的方程 f(x)(x+k)在2,3上有解 【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用,属于有一定难度 的题,本题考查了数形结合的思想,转化化归的思想,属于灵活运用知识的好题 18 (14 分)已知函数

24、f(x)其中 P,M 是非空数集,且 PM, 第 12 页(共 13 页) 设 f(P)y|yf(x) ,xP,f(M)y|yf(x) ,xM (I)若 P(,0) ,M0,4,求 f(P)f(M) ; (II)是否存在实数 a3,使得 PM3,a,且 f(P)f(M)3,2a3? 若存在,请求出满足条件的实数 a;若不存在,请说明理由; (III)若 PMR,且 0M,IP,f(x)是单调递增函数,求集合 P,M 【分析】 (I)利用 y|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支 上的值域,再求其并集即可; (II)抓住线索3PM,逐层深入,先判断3P,得 a 的范围,再

25、由已知推理缩小此范围,最后确定 a 的值; (III)现根据函数的单调性确定 (,0)M, (1,+)P,再证明在(0,1)上存在分界点的话,这个分界点应 具有怎样的性质,最后根据此性质写出满足题意的集合 P,M 【解答】解: (I)P(,0) ,f(P)y|y|x|,x(,0)(0,+) , M0,4,f(M)y|yx2+2x,x0,48,1 f(P)f(M)8,+) (II)若3M,则 f(3)153,2a3,不符合要求 3P,从而 f(3)3 f(3)33,2a3 2a33,得 a3 若 a3,则 2a33(x1)2+1x2+2x PM,2a3 的原象 x0P 且 3x0a x02a3a

26、,得 a3,与前提矛盾 a3 此时可取 P3,1)0,3,M1,0) ,满足题意 (III)f(x)是单调递增函数,对任意 x0,有 f(x)f(0)0,xM (,0)M,同理可证: (1,+)P 若存在 0x01,使得 x0M,则 1f(x0)+2x0x0, 于是x0,+2x0M 记 x1+2x0(0,1) ,x2+2x1, x0,x1M,同理可知x1,x2M, 第 13 页(共 13 页) 由 xn+1+2xn,得 1xn+11+2xn(1)2; 1xn(1)2(1xn2)22(1x0)2n 对于任意 xx0,1,取log2log(1x0) (1x)1,log2log(1x0) (1x)中的自然数 nx,则 xxnx,xnx+1M x0,1)M 综上所述,满足要求的 P,M 必有如下表示: P(0,t)1,+) ,M(,0t,1) ,其中 0t1 或者 P(0,t1,+) ,M(,0(t,1) ,其中 0t1 或者 P1,+) ,M(,1 或者 P(0,+) ,M(,0 【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义,函数的值域,逻辑推理和论证的能力, 分析问题解决问题的能力