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2019-2020学年上海市黄浦区高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、若函数 f(x)2|x a|+1 在1,+)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 6 (4 分)正实数 x,y 满足:2x+y1,则+的最小值为 7 (4 分)方程(lgx)21gx23 的解为 8 (4 分)函数 f(x),在区间2019,2019上的最大值为 M最小 值为 m则 M+m 9 (4 分)函数 f(x)的定义域为 D,值域为 A,点集(x,y)|xD,yA 构成的图象面积等于 2,则实数 a 10 (4 分)设函数 f(x)的定义域是 R,满足 f(x+1)2f(x) ,且当 x(0,1时,f(x) x(x1) ,若对于任意的 x(,m,都有 f(x)成立,则实数 m 的取值

2、范围为 二、选择题(每题二、选择题(每题 4 分)分) 11 (4 分)下列函数中是偶函数的是( ) Ayx Byx 2 Cy2x Dylog2x 12 (4 分) “函数 yf(x)在区间 I 上单调“是“函数 yf(x)在 I 上有反函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 13 (4 分)已知函数 ylog2(x+a)+b 的图象不经过第四象限,则实数 a、b 满足( ) Aa1,b0 Ba0,b1 Cb+1og2a0 Da+2b0 14 (4 分)已知函数 f(x)+,给出下列判断: (1)函数 f(x)的值域为 R; (2)f(x)在

3、定义域内有三个零点; 第 2 页(共 14 页) (3)f(x)图象是中心对称图象 其中正确的判断个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 三、解答题(满分三、解答题(满分 49 分)分) 15 (6 分)已知集合 Ax|xa|2,xR,Bx|1,xR (1)求 A、B; (2)若 AB,求实数 a 的取值范围 16 (9 分)已知某种气垫船的最大航速是 48 海里/小时,船每小时使用的燃料费用和船速的 平方成正比若船速为 30 海里/小时,则船每小时的燃料费用为 600 元,其余费用(不 论船速为多少)都是每小时 864 元甲乙两地相距 100 海里,船从甲地匀速航行到乙地 (1

4、)试把船从甲地到乙地所需的总费用 y 表示为船速 x(海里/小时)的函数,并指出函 数的定义域; (2)当船速为每小时多少海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少 元? 17 (10 分)已知函数 f(x)x+2(mR) (1)若函数 yf(x)图象上动点 P 到定点 Q(0,2)的距离最小值是,求实数 m 的 值: (2)若函数 yf(x)在区间2,+)上是增函数,试用函数单调性的定义求实数 m 的 取值范围 18 (12 分)已知函数 f(x)loga(a0,a0,b0) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求 f(x)的反

5、函数 f 1(x)的解析式 19 (12 分)已知函数 yf(x)的定义域为区间 D,若对于 D 内任意 x1、x2(x1x2) ,都 有f()成立,则称函数 f(x)是区间 D 的“ 函数” (1)判断函数 f(x)(x0)是否是“ 函数”?说明理由; (2)已知 a1,求证:函数 g(x)logax(x0)是“ 函数” ; (3)设函数 h(x)是a,b(ab)上的“ 函数” ,h(a)0,h(b)0,且存在 ca, 第 3 页(共 14 页) b使得 h(c)0,试探讨函数 h(x)在区间a,b上零点个数,并用图象作出简要的说 明(结果不需要证明) 第 4 页(共 14 页) 2019-

6、2020 学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期末数学试卷学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题(填空题(1-5 每题每题 3 分,分,6-10 每题每题 4 分) :分) : 1 (3 分)已知集合 A1,3,4,5,7,B2,3,5,7,8,则 AB 3,5,7 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解:A1,3,4,5,7,B2,3,5,7,8, AB3,5,7 故答案为:3,5,7 【点评】本题考查了列举法的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题 2 (3 分)不等式|2x1|3 的解集为 x|1x2 【分析】将 2x1 看

7、成整体,利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式,最后利 用不等式基本性质求解即可 【解答】解:|2x1|3 32x13 1x2, 不等式|2x1|3 的解集为 x|1x2 故答案为:x|1x2 【点评】本小题主要考查函数不等式、绝对值不等式、不等式的解法等基础知识,考查 运算求解能力、化归与转化思想属于基础题 3 (3 分)函数 f(x)+lg(1x)的定义域为 x|0x1 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于 0,对数式的真数大于 0,求解即可得答案 【解答】解:由,解得 0x1 函数 f(x)+lg(1x)的定义域为x|0x1 故答案为:x|0x1 【点评】本题考查了函数的定义域及其

8、求法,考查了不等式的解法,是基础题 4 (3 分)若“x3”是“xa“的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 a3 【分析】根据: “x3”是“xa“的充分不必要条件即可得出 【解答】解: “x3”是“xa“的充分不必要条件, 第 5 页(共 14 页) a3 故答案为:a3 【点评】本题考查了不等式的意义、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 5 (3 分)若函数 f(x)2|x a|+1 在1,+)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( ,1 【分析】利用复合函数的单调性,结合函数的对称轴,推出结果即可 【解答】解:函数 f(x)2|x a|+1 的对称轴为 x

9、a, 函数 f(x)2|x a|+1 在1,+)上是增函数,可得 a1 故答案为: (,1 【点评】本题考查复合函数的单调性的判断与应用,函数的对称轴的求法,是基本知识 的考查,基础题 6 (4 分)正实数 x,y 满足:2x+y1,则+的最小值为 9 【分析】利用“乘 1 法”求解即可 【解答】解:,当且仅当时取 等号 故答案为:9 【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于基础题 7 (4 分)方程(lgx)21gx23 的解为 1000 或 【分析】原方程等价于(lgx3) (lg+1)0,解得即可 【解答】解:原方程可化为(lgx)22lgx30,即(lgx3) (lg+1)0,

10、即有 lgx3 或 lgx1,解得 x1000 或 x, 故答案为 1000 或 【点评】本题考查方程的求解,涉及对数函数求值等,属于基础题 8 (4 分)函数 f(x),在区间2019,2019上的最大值为 M最小 值为 m则 M+m 2 第 6 页(共 14 页) 【分析】设 g(x),则 g(x)为奇函数,则根据奇函数与最值性质进行 求解即可 【解答】解:设 g(x),g(x) g(x) ; 则 g(x)是奇函数, f(x)g(x)+1 在区间2019,2019上的最大值为 M,即 Mg(x)max+1, f(x)在区间2019,2019上的最小值为 m,即 mg(x)min+1, g(

11、x)是奇函数,g(x)max+g(x)min0, 则 M+mg(x)max+g(x)min+22, 故答案为:2 【点评】本题主要考查函数值的计算,结合条件构造奇函数,利用奇函数最值性质进行 转化是解决本题的关键属于中档题 9 (4 分)函数 f(x)的定义域为 D,值域为 A,点集(x,y)|xD,yA 构成的图象面积等于 2,则实数 a 1 或 3 【分析】a1 时不符合题意,舍去a1 时,由(ax) (x1)0,解得 1xa, 可得定义域为:D1,a利用二次函数的单调性可得值域 A,根据点集(x,y)|xD, yA构成的图象面积等于 2,即可得出 aa1 时,同理可得 【解答】解:a1

12、时不符合题意,舍去 a1 时,由(ax) (x1)0,解得 1xa,可得定义域为:D1,a (ax) (x1)+,可得值域 A0, 点集(x,y)|xD,yA构成的图象面积等于 2, (a1) 2,解得 a3 a1 时,由(ax) (x1)0,解得 ax1,可得定义域为:Da,1 (ax) (x1)+,可得值域 A0, 点集(x,y)|xD,yA构成的图象面积等于 2, (1a) 2,解得 a1 第 7 页(共 14 页) 综上可得:a1 或 3 故答案为:1 或 3 【点评】本题考查了函数的图象与性质、分类讨论方法、方程的解法,考查了空间想象 能力、推理能力与计算能力,属于中档题 10 (4

13、 分)设函数 f(x)的定义域是 R,满足 f(x+1)2f(x) ,且当 x(0,1时,f(x) x(x1) ,若对于任意的 x(,m,都有 f(x)成立,则实数 m 的取值 范围为 m 【分析】因为 f(x+1)2f(x) ,可得 f(x)2f(x1) ,分段求解析式,结合函数的 值域可得 【解答】解:因为 f(x+1)2f(x) ,f(x)2f(x1) , x(0,1时,f(x)x(x1),0, x(1,2时,x1(0,1,f(x)2f(x1) 2(x1) (x2),0; x(2,3时,x1(1,2,f(x)2f(x1) 4(x2) (x3)1,0, x(3,4时,f(x)8(x3) (

14、x4)2,0 当 x(2,3时,由 8(x4) (x3)解得 x或 x, 若对任意 x(,m,都有 f(x),则 m 故答案为:m 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用,属中档题 二、选择题(每题二、选择题(每题 4 分)分) 第 8 页(共 14 页) 11 (4 分)下列函数中是偶函数的是( ) Ayx Byx 2 Cy2x Dylog2x 【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案 【解答】解:根据题意,依次分析选项: 对于 A,y,其定义域为0,+) ,不是偶函数,不符合题意; 对于 B,yx 2 ,是偶函数,符合题意; 对于 C,y2x,是指数函数,不是偶函数,不

15、符合题意; 对于 D,ylog2x,是对数函数,不是偶函数,不符合题意; 故选:B 【点评】本题考查函数奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题 12 (4 分) “函数 yf(x)在区间 I 上单调“是“函数 yf(x)在 I 上有反函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】 “函数 yf(x)在区间 I 上单调“函数 yf(x)在 I 上有反函数” ,反之不 成立即可判断出结论 【解答】解: “函数 yf(x)在区间 I 上单调“函数 yf(x)在 I 上有反函数” ,反 之不成立 “函数 yf(x)在区间 I 上单调“

16、是“函数 yf(x)在 I 上有反函数”的充分不必要 条件 故选:A 【点评】本题考查了函数的单调性与反函数的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题 13 (4 分)已知函数 ylog2(x+a)+b 的图象不经过第四象限,则实数 a、b 满足( ) Aa1,b0 Ba0,b1 Cb+1og2a0 Da+2b0 【分析】因为函数 ylog2(x+a)+b 的图象不经过第四象限,所以当 x0 时,y0,所 以 log2a+b0 【解答】解:函数 ylog2(x+a)+b 的图象不经过第四象限, 当 x0 时,y0, log2a+b0, 第 9 页(共 14 页) 故选:

17、C 【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质,是基础题 14 (4 分)已知函数 f(x)+,给出下列判断: (1)函数 f(x)的值域为 R; (2)f(x)在定义域内有三个零点; (3)f(x)图象是中心对称图象 其中正确的判断个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】利用函数的值域,判断(1)的正误;利用函数的零点判断定理判断(2) ;利用 函数的导数,求解对称中心判断(3)即可 【解答】解: (1)当 x0,x1+时,f(x),x1 时,f(x)+,所以 函数的值域是 R;所以(1)正确; f (x) + (1) + (1) + (1) 3 (+) , (2)函数

18、 f(x)在 x(1,+)是列出函数,f()3+0,f(0) 0,函数在(,0)y 有 1 个零点; x(2,1)时,f()3(+4+)0,f()4 0, 所以函数在(2,1)有一个零点; x(3,2)时,f()3(+5)1+0,f()2+ 0, 所以函数在(3,1)有一个零点; x3,f(x)0,所以 f(x)在定义域内有三个零点,所以(2)正确; (3)点(x,y) ,关于(2,3)的对称点(4x,6y) , f(x)3(+) , f(4x)3+(+)63(+)6f(x) 所以函数的图象关于(2,3) ,对称所以(3)正确; 故选:D 第 10 页(共 14 页) 【点评】本题考查函数与方

19、程的应用,涉及函数的对称性,函数的零点个数,函数的值 域,命题的真假的判断,是难题 三、解三、解答题(满分答题(满分 49 分)分) 15 (6 分)已知集合 Ax|xa|2,xR,Bx|1,xR (1)求 A、B; (2)若 AB,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)通过解绝对值不等式与分式不等式求出集合 A、B 即可; (2)利用数轴表示集合,再根据集合关系分析求解即可 【解答】解: (1)由|xa|2,得 a2xa+2,Ax|a2xa+2, 由1,得0,即2x3,Bx|2x3 (2)若 AB,0a1, 0a1 【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题,利用数形结合思想分析求解,直观、

20、形 象 16 (9 分)已知某种气垫船的最大航速是 48 海里/小时,船每小时使用的燃料费用和船速的 平方成正比若船速为 30 海里/小时,则船每小时的燃料费用为 600 元,其余费用(不 论船速为多少)都是每小时 864 元甲乙两地相距 100 海里,船从甲地匀速航行到乙地 (1)试把船从甲地到乙地所需的总费用 y 表示为船速 x(海里/小时)的函数,并指出函 数的定义域; (2)当船速为每小时多少海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少 元? 【分析】 (1)由题意建立函数关系,写出自变量的取值范围即可; (2)利用基本不等式进行求解,得出最小值以及对应船速 x 的值 【解答

21、】解: (1)由题意知船速为 x(海里/小时) ,每小时使用的燃料费用 Eax2, 已知船速为 30 海里/时,每小时的燃料费用为 600 元, 则:600a302; 得 a, 从甲地到乙地的总费用为: 第 11 页(共 14 页) yx2+864+,其中 0x48; (2)y+, (0x48) ; y+2224004800, 当且仅当,即 x36, 即当船速为 36 海里每小时,总费用最少,最少总费用为 4800 元 【点评】本题主要考查了函数解析式的求解以及函数的应用问题,也考查了利用基本不 等式求最小值的问题,是中档题 17 (10 分)已知函数 f(x)x+2(mR) (1)若函数 y

22、f(x)图象上动点 P 到定点 Q(0,2)的距离最小值是,求实数 m 的 值: (2)若函数 yf(x)在区间2,+)上是增函数,试用函数单调性的定义求实数 m 的 取值范围 【分析】 (1)利用两点的距离公式表示 PQ,然后利用基本不等式求出最值,建立方程, 可求出实数 m 的值; (2)任取 x1、x22,+) ,且 x1x2,利用函数单调性的定义可知 f(x2)f(x1) 0 在区间2,+)上恒成立,从而求出实数 m 的取值范围 【解答】解: (1)设 P(x,y) ,则 f(x)x+2, |PQ|2x2+(y2)2x2+(x+)22x2+2m2|m|+2m2, 当 m0 时,解得 m

23、1;当 m0 时,解得 m1, m1 或 m1 (2)由题意,任取 x1、x22,+) ,且 x1x2, 则 f(x2)f(x1)x2+2(x1+2)(x2x1) 0, x2x10,x1x20,所以 x1x2m0,即 mx1x2, 由 x2x12,得 x1x24,所以 m4 m 的取值范围是(,4 【点评】本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用,以及两点的距离公式,其他 第 12 页(共 14 页) 不等式的解法,同时考查了运算求解的能力和转化的思想,属于难题 18 (12 分)已知函数 f(x)loga(a0,a0,b0) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶

24、性,并说明理由; (3)求 f(x)的反函数 f 1(x)的解析式 【分析】 (1)由0,化为: (xb) (x+b)0对 b 分类讨论即可解出 (2)定义域关于原点对称,利用奇偶函数的定义即可判断出结论 (3)由 yloga,化为:ay,解得用 y 表示 x,把 x 与 y 互换可得 f(x)的反 函数 f 1(x) 【解答】解: (1)由0,化为: (xb) (x+b)0 b0 时,解得 xb 或 xb;b0 时,解得 xb 或 xb 函数 f(x)的定义域为:b0 时,x(,b)(b,+) b0 时,x(, b)(b,+) (2)定义域关于原点对称, f(x)logaf(x) , 函数

25、f(x)为奇函数 (3)由 yloga,化为:ay,解得 xb 把 x 与 y 互换可得:yb f(x)的反函数 f 1(x)b (x0) 【点评】本题考查了函数的定义域、反函数、函数的奇偶性,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题 19 (12 分)已知函数 yf(x)的定义域为区间 D,若对于 D 内任意 x1、x2(x1x2) ,都 有f()成立,则称函数 f(x)是区间 D 的“ 函数” (1)判断函数 f(x)(x0)是否是“ 函数”?说明理由; 第 13 页(共 14 页) (2)已知 a1,求证:函数 g(x)logax(x0)是“ 函数” ; (3)设函数 h(x)是a,b(a

26、b)上的“ 函数” ,h(a)0,h(b)0,且存在 ca, b使得 h(c)0,试探讨函数 h(x)在区间a,b上零点个数,并用图象作出简要的说 明(结果不需要证明) 【分析】 (1)由题意直接判断即可; (2)由题意直接判断即可; (3)举例即可得出结论 【解答】解: (1)是,理由如下: 任取 x1,x2(,0) ,且 x1x2, 则成立, 故函数是“ 函数” (2)证明:事实上,任取 x1,x2(0,+) ,且 x1x2, 则 成立,即得证; (3)函数 h(x)在a,b上的零点个数可以为 0、1 或 2 个 例如,是 函数,如图, 其零点个数为 0; 是 函数,如图, 第 14 页(共 14 页) 其零点个数为 1; 是 函数,如图, 其零点个数为 2; 函数 h(x)不可能有 3 个零点,假设 x1,x2,x3均是零点,且 x1x2x3, 则由可知,势必(x1,x2) , (x2,x3)上 h(x)恒大于 0, 从而导致矛盾 【点评】本题以新定义为载体,旨在考查学生对函数性质的运用以及逻辑推理能力,属 于中档题