1、已知函数 f（x）2x，则 f（f（2） ） 5 （3 分）不等式|x1|2 的解集为 6 （3 分）已知 2，1，1，2，3，若幂函数 f（x）x为奇函数，且在 （0，+）上递减，则 7 （3 分） 已知函数 f （x） 为 R 上的奇函数， 当 x0 时， f （x） 2x1， 则 f （2） 8 （3 分）已知 m2，且，则 x 的值为 9 （3 分）已知 a0，b0，且，则的最大值等于 10（3 分） 已知函数 f （x） ax+b （a0， a1） 的定义域和值域都是1， 0， 则 a+b 11 （3 分）记函数 f（x）|x+b|，x2，2的最大值为 g（b） ，则 g（b） 12
2、 （3 分）函数 f（x）|x22x|，x2，2的最大值为 13 （3 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+）上单调递增，则关于 x 的不 等式 f（x）f（1）+x210 的解是 14 （3 分）已知 f（x）x4+x2，则关于 x 的不等式 f（x+1）f（2）的解是 二二.选择题选择题 15 （3 分）已知 1a3，2b4，现给出以下结论： （1）3a+b7； （2）3ab 1； （3）2ab12； （4）；以上结论正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 16 （3 分）已知 aR，则“a1”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要
3、条件 D既不充分又不必要条件 17 （3 分）已知函数 y3|x|2 的值域是（ ） AR B （2，+） C2，+） D1，+） 第 2 页（共 16 页） 18 （3 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这 两个零点分别在区间（0，2）和（4，6）内，那么下列不等式中一定正确的是（ ） Af（0） f（2）0 Bf（0） f（6）0 Cf（2） f（4）0 Df（2） f（6）0 19 （3 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，现给出以下结论： （1）此函数一定有 零点； （2）此函数可能没有零点； （3）此函数有奇数个零点； （4）此
4、函数有偶数个零点； 以上结论正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 三三.解答题解答题 20解下列方程： （1）2x+22 x3； （2）lg2xlgx20 21设 aR，函数 （1）当 a1 时，判定 f（x）的奇偶性，并给出证明； （2）当 a0 时，证明此函数在（，+）上单调递增 22某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时当顾客在该商场内 消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 288，488 （488，888 （888，1888 （1888，2888 获得奖券的金额（元） 28 58 88 128 根据上述促销
5、方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为 400 元的 商品，则消费金额为 320 元，然后还能获得对应的奖券金额为 28 元，于是，该顾客获得 的 优 惠 额 为 ： 400 0.2+28 108元 ， 设 购 买 商 品 得 到 的 优 惠 率 ，试问： （1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）当商品的标价为100，600元时，试写出顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的 函数关系式； （3）当顾客购买标价不超过 600 元的商品时，该顾客是否可以得到超过 30%的优惠率？ 试说明理由 第 3 页（共 16 页） 23已知函数 f（x
6、）x22ax+2，x1，1 （1）当 a1 时，求 f 1（1） ； （2）当时，判定此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当 a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数 f 1（x） 24已知函数 f（x）的定义域是使得解析式有意义的 x 集合，如果对于定义域内的任意实数 x，函数值均为正，则称此函数为“正函数” （1）证明函数 f（x）lg（x2+1）+1 是“正函数” ； （2）如果函数不是“正函数” ，求正数 a 的取值范围； （3）如果函数是“正函数” ，求正数 a 取值范围 25已知函数 f（x）的定义域是使得解析式有意义的 x 集合，如果对于定义域内的任意实数 x，函
7、数值均为正，则称此函数为“正函数” （1）证明函数 f（x）lg（x2+1）+1 是“正函数” ； （2）如果函数不是“正函数” ，求实数 a 的取值范围； （3）如果函数 f（x）ax2+ax+2 是“正函数” ，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题填空题 1 （3 分）用列举法表示集合x|x22x30，xZ 0，1，2 【分析】先解出不等式，再结合 xZ，即可写出结果 【解答】解；解不等式 x22x30，得：1x3， 用列举法表
8、示集合x|x22x30，xZ0，1，2， 故答案为：0，1，2 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题 2 （3 分）命题“若 x2 且 y3，则 x+y5”的否命题是 假 命题（ “真”或“假” ） 【分析】先写出命题：若 x2 且 y3，则 x+y5”的逆命题，然后进行判断逆命题的 真假，根据互为逆否命题的真假相同即可判断 【解答】解：若 x2 且 y3，则 x+y5”的逆命题为：若 x+y5，则 x2 且 y3， 此命题为假命题，原因：若 x4，y1，此时 x+y5，但是 x2 且 y3 不成立 而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题 故答案为：假 【点评】本
9、题主要考查了四种命题的真假的判断，解题的关键是准确写出原命题的逆命 题，根据互为逆否命题的真假相同，而直接写出逆命题的真假也可 3 （3 分）函数，x1，12的值域为 【分析】由函数的单调性直接求得值域 【解答】解：函数在1，12上为减函数， 故，即函数的值域为 故答案为： 【点评】本题考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题 4 （3 分）已知函数 f（x）2x，则 f（f（2） ） 16 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（2）的值，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）2x，则 f（2）224， 第 5 页（共 16 页） 则 f（f（2） ）2416， 故答案
10、为：16 【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题 5 （3 分）不等式|x1|2 的解集为 （1，3） 【分析】由不等式|x1|2，可得2x12，解得1x3 【解答】解：由不等式|x1|2 可得2x12， 1x3， 故不等式|x1|2 的解集为 （1，3） ， 故答案为： （1，3） 【点评】本题考查查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式 来解 6 （3 分）已知 2，1，1，2，3，若幂函数 f（x）x为奇函数，且在 （0，+）上递减，则 1 【分析】由幂函数 f（x）x为奇函数，且在（0，+）上递减，得到 a 是奇数，且 a 0，由此能求出 a 的
11、值 【解答】解：2，1，1，2，3， 幂函数 f（x）x为奇函数，且在（0，+）上递减， a 是奇数，且 a0， a1 故答案为：1 【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 7 （3 分）已知函数 f（x）为 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x1，则 f（2） 3 【分析】结合已知函数解析式先求 f（2） ，然后结合奇函数的定义即可求解 【解答】解：因为 f（x）为 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x1， 则 f（2）f（2）3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数值，属于基础试题 第
12、6 页（共 16 页） 8 （3 分）已知 m2，且，则 x 的值为 lg2 【分析】结合对数的运算性质及指数与对数的互化即可求解 【解答】解：因为 m2，且lg1002， 则 xlg2 故答案为：lg2 【点评】本题主要考查了对数与指数的运算性质的简单应用，属于基础试题 9 （3 分）已知 a0，b0，且，则的最大值等于 1 【分析】本题先对已知等式进行变形为1a，然后代入，将二元转化一 元，再根据二次函数的性质可得的最大值 【解答】解：由题意，可知 ，1a， a0，b0，1a0， 解得 0a4 aa （1a）a2+a（a2）2+1， 根据二次函数的性质，可知 关于 a 的二次函数a2+a
13、在（0，4）上的最大值为 1 故答案为：1 【点评】 本题主要考查利用函数思想求最值的应用， 考查了转化思想， 等价变形的应用 本 题属中档题 10 （3 分）已知函数 f（x）ax+b（a0，a1）的定义域和值域都是1，0，则 a+b 【分析】对 a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案 【解答】解：当 a1 时，函数 f（x）ax+b 在定义域上是增函数， 所以， 解得 b1，0 不符合题意舍去； 第 7 页（共 16 页） 当 0a1 时，函数 f（x）ax+b 在定义域上是减函数， 所以 ， 解得 b2，a， 综上 a+b， 故答案为： 【点评】本题考查指数函数
14、的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题 11 （3 分） 记函数 f （x） |x+b|， x2， 2的最大值为 g （b） ， 则 g （b） 【分析】本题先将绝对值函数转化为分段函数，然后对参数 b 进行分类讨论，考虑不同 范围的 b 情况下函数 f（x）的最大值 【解答】解：由题意，可知 f（x）|x+b| 当 b0 时，f（x）|x|， g（b）f（x）maxf（2）2 当b0，即 b0 时，g（b）f（x）maxf（2）2+b 当b0，即 b0 时，g（b）f（x）maxf（2）（2+b）2b 综上所述，可知 g（b） 故答案为： 【点评】本题主要考查含参数的绝对值函数的最值问
15、题，考查了转化思想的应用，分类 讨论的应用，数学运算能力本题属中档题 12 （3 分）函数 f（x）|x22x|，x2，2的最大值为 8 【分析】本题先对绝对值函数转化为分段函数，然后根据分段函数画出图象，结合图象 可得函数 f（x）在2，2的最大值 【解答】解：由题意，可知 第 8 页（共 16 页） 当 x22x0，即 x0，或 x2 时，f（x）x22x（x1）21； 当 x22x0，即 0x2 时，f（x）（x22x）（x1）2+1 f（x）|x22x|，图象如下： 结合图象，又 f（1）1，f（2）8，可知 数 f（x）|x22x|，x2，2的最大值为 8 故答案为：8 【点评】本题
16、主要考查绝对值函数的最值问题，考查了转化思想的应用，数形结合法的 应用本题属中档题 13 （3 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+）上单调递增，则关于 x 的不 等式 f（x）f（1）+x210 的解是 （1，1） 【分析】不等式变形，由函数 f（x）为偶函数可得 f（x）+x2也偶函数，f（x）在0，+ ）上单调递增，f（x）+x2在0，+）上也单调递增，所以可得不等式的解集 【解答】解：不等式变形为：f（x）+x2f（1）+1，已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数， 则 f（x）+x2也是偶函数， 即 f（|x|）+|x|2f（1）+12， 因为 f（x）在0，+）上
17、单调递增， f（x）+x2在0，+）上也单调递增，所以|x|1， 解得：1x1， 故答案为： （1，1） 【点评】考查函数的奇偶性及单调性，属于中档题 14 （3 分）已知 f（x）x4+x2，则关于 x 的不等式 f（x+1）f（2）的解是 （3，1） 第 9 页（共 16 页） 【分析】由已知可知 f（x）为偶函数且在（0，+）上单调递增，根据偶函数的对称性 可知，函数在（，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，可求 【解答】解：由 f（x）x4+x2，可知 f（x）为偶函数且在（0，+）上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，函数在（，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越 大，
18、由 f（x+1）f（2）可得|x+1|2， 解可得3x1 故不等式的解集为（3，1） 故答案为： （3，1） 【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，属于基础试题 二二.选择题选择题 15 （3 分）已知 1a3，2b4，现给出以下结论： （1）3a+b7； （2）3ab 1； （3）2ab12； （4）；以上结论正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由同向不等式的可加性，及同向不等式且为正值的可乘性可得正确的结论 【解答】 解： 因为 1a3， 2b4， 所以由同向不等式的可加性可得： 1+2a+b3+4， 即 3a+b7，故（1）正确； 因为
19、4b2， 由同向不等式的可加性可得： 14ab32， 即3ab1， 故（2）正确； 因为 a0，b0，由同向不等式且为正值的可乘性可得：12ab34，即 2ab12， 故（3）正确； 因为，同向不等式且为正值的可乘性可得：1，即 ，故（4）正确； 故选：D 【点评】可成不等式的基本性质，属于基础题 16 （3 分）已知 aR，则“a1”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 第 10 页（共 16 页） 【分析】根据 a1，不一定能得到 （如 a1 时） ；但当，一定能推出 a 1，从而得到答案 【解答】解：由 a1，不一定能得到 （如 a1 时
20、） ； 但当时，有 0a1，从而一定能推出 a1， 则“a1”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某 个命题不正确，是一种简单有效的方法 17 （3 分）已知函数 y3|x|2 的值域是（ ） AR B （2，+） C2，+） D1，+） 【分析】利用指数函数及不等式的性质求值域即可 【解答】解：函数 f（x）3|x|1，故 y3|x|21，即所求函数的值域为1，+） 故选：D 【点评】本题主要考查函数值域的求法，属于基础题 18 （3 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这 两
21、个零点分别在区间（0，2）和（4，6）内，那么下列不等式中一定正确的是（ ） Af（0） f（2）0 Bf（0） f（6）0 Cf（2） f（4）0 Df（2） f（6）0 【分析】如图所示，经过验证即可得出结论 【解答】解：如图所示， 经过验证只有：f（2） f（4）0 满足 故选：C 【点评】本题考查了函数的零点、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 第 11 页（共 16 页） 19 （3 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，现给出以下结论： （1）此函数一定有 零点； （2）此函数可能没有零点； （3）此函数有奇数个零点； （4）此函数有偶数个零点； 以上结
22、论正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据奇函数的定义与性质，对题目中的命题判断正误即可 【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数时，此函数一定有零点， 因为 f（x）在 R 上有定义，所以 f（0）0，0 是 f（x）的零点； 所以（1）正确， （2）错误； 根据奇函数的对称性知，函数 f（x）有零点，则零点关于原点对称， 再加上原点处，共有奇数个零点； 所以（3）正确， （4）错误 综上知，正确的结论是（1） （3） ，共 2 个 故选：B 【点评】本题考查了函数的奇偶性与命题真假的判断问题，是基础题 三三.解答题解答题 20解下列方程： （1）2
23、x+22 x3； （2）lg2xlgx20 【分析】 （1）结合二次方程及指数方程可求 x， （2）结合二次方程及对数方程可求 x 【解答】解： （1）因为 2x+22 x3， 令 t2x，则 t0 且 t+， 整理可得，t23t+20， 解可得 t1 或 t2， 故 x0 或 x1； （2）因为 lg2xlgx20可得 2lgxlgx20， 所以 lgx2 或 lgx1， 故 x100 或 x 【点评】本题主要考查了二次方程的求解及指数与对数方程的求解，属于基础试题 第 12 页（共 16 页） 21设 aR，函数 （1）当 a1 时，判定 f（x）的奇偶性，并给出证明； （2）当 a0 时
24、，证明此函数在（，+）上单调递增 【分析】 （1）根据题意，当 a1 时，f（x），先分析函数的定义域，进而可 得 f（x）与 f（x）的关系，即可得答案； （2）根据题意，当 a0 时，f（x）1，设 x1x2，由作差法分析可 得结论 【解答】解： （1）根据题意，函数， 当 a1 时，f（x），其定义域为 R，f（x）（） f（x） ， 即函数 f（x）为奇函数； （2）证明：当 a0 时，f（x）1， 设 x1x2， f（x1）f（x2）（1）（1）， 又由 x1x2，则0，+10，+10， 则 f（x1）f（x2）0， 故 f（x）在（，+）上单调递增 【点评】本题考查函数的奇偶性与单
25、调性的判断以及应用，注意函数奇偶性的定义，属 于基础题 22某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时当顾客在该商场内 消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 288，488 （488，888 （888，1888 （1888，2888 第 13 页（共 16 页） 获得奖券的金额（元） 28 58 88 128 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为 400 元的 商品，则消费金额为 320 元，然后还能获得对应的奖券金额为 28 元，于是，该顾客获得 的 优 惠 额 为 ： 400 0.2+28 108元 ，
26、设 购 买 商 品 得 到 的 优 惠 率 ，试问： （1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）当商品的标价为100，600元时，试写出顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的 函数关系式； （3）当顾客购买标价不超过 600 元的商品时，该顾客是否可以得到超过 30%的优惠率？ 试说明理由 【分析】 （1）购买标价为 1000 元的商品，则消费金额为 800 元，能获得对应的奖券金额 为 58 元，从而算出顾客得到的优惠率； （2）分段求，当商品的标价为100，360）元时，顾客得到的优惠率 y；当 商品的标价为360，600元时，顾客得到的优惠率 y，
27、； （3）利用函数的单调性即可求出当顾客购买标价为 360 元的商品时，顾客得到的优惠率 最大，最大值为 0.227.8%，所以该顾客不能得到超过 30%的优惠率 【解答】解： （1）购买标价为 1000 元的商品，则消费金额为 800 元，能获得对应的奖券 金额为 58 元， 于是，该顾客获得的优惠额为：10000.2+58258 元， 所以购买商品得到的优惠率； （2）当商品的标价为100，360）元时，则消费金额为80，288）元，不能获得奖券，所 以顾客得到的优惠率 y； 当商品的标价为360，600元时，则消费金额为288，480元，能获得对应的奖券金额为 28 元，所以顾客得到的优
28、惠率 y， 第 14 页（共 16 页） ； （3）当顾客购买标价不超过 360 元的商品时，顾客得到的优惠率为 20%， 当顾客购买标价在 360 元到 600 元之间的商品时，顾客得到的优惠率 y0.2+，是 减函数， 当顾客购买标价为 360 元的商品时，顾客得到的优惠率最大，最大值为 0.227.8%， 该顾客不能得到超过 30%的优惠率 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 23已知函数 f（x）x22ax+2，x1，1 （1）当 a1 时，求 f 1（1） ； （2）当时，判定此函数有没有反函数，并说明理由； （3）当 a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数
29、 f 1（x） 【分析】 （1）a1 时，由互为反函数的性质可得 f（x）1 在所给区间的解既是所求； （2）先判断函数在所给区间的单调性，单调时有反函数，不单调时没有反函数，进而判 断 a时函数 f（x）无反函数； （3）要使函数有反函数，必须在所给区间单调，进而求出 a 的范围，并且求出相应的反 函数 【解答】解： （1）a1 时 f（x）x22x+2，求 f 1（1）即是求 f（x）1 在1，1 的解，所以 x22x+21，解得 x1， 所以 f 1（1）1； （2）a，时 f（x）x2+x+2（x+）2+，x1，1，显然函数不单调，所以 此时没有反函数； （3）函数存在反函数时必须在1
30、，1上单调，而 f（x）（xa）2+2a2，x1， 1，对称轴 xa，所以 a1 或 a1； 当 a1 时，f 1（x）a ，x32a，3+2a； 当 a1 时，f 1（x）a+ ，x3+2a，32a 第 15 页（共 16 页） 【点评】考查判断是否有反函数方法，属于基础题 24已知函数 f（x）的定义域是使得解析式有意义的 x 集合，如果对于定义域内的任意实数 x，函数值均为正，则称此函数为“正函数” （1）证明函数 f（x）lg（x2+1）+1 是“正函数” ； （2）如果函数不是“正函数” ，求正数 a 的取值范围； （3）如果函数是“正函数” ，求正数 a 取值范围 【分析】 （1）
31、由 f（x）1 恒成立，结合正函数的定义即得证； （2）从反面入手，即假设函数 f（x）是正函数，求出 a 的取值范围，然后在取其补集即 可； （3）易知，正数 a 应满足或，解出即可 【解答】解： （1）证明：函数的定义域为 R，且 f（x）lg（x2+1）+1lg1+11，函数 值恒为正，故为正函数，得证； （2）从反面入手，即函数是“正函数” ，求实数 a 的取值范围； 函数的定义域为 R，且，则 a1， 故 0a1； （3）依题意，或，解得6a1 或 a3， 故正数 a 的取值范围为（6，1）3 【点评】本题考查正函数这一新定义，考查对所学知识的综合运用，考查运算能力，属 于基础题 2
32、5已知函数 f（x）的定义域是使得解析式有意义的 x 集合，如果对于定义域内的任意实数 x，函数值均为正，则称此函数为“正函数” （1）证明函数 f（x）lg（x2+1）+1 是“正函数” ； （2）如果函数不是“正函数” ，求实数 a 的取值范围； （3）如果函数 f（x）ax2+ax+2 是“正函数” ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由 f（x）1 恒成立，结合正函数的定义即得证； 第 16 页（共 16 页） （2）从反面入手，即假设函数 f（x）是正函数，求出 a 的取值范围，然后在取其补集即 可； （3）易知，当 a0 时显然满足题意，当 a0 时，应满足，解出即可 【解答】解： （1）证明：函数的定义域为 R，且 f（x）lg（x2+1）+1lg1+11，函数 值恒为正，故为正函数，得证； （2）从反面入手，即函数是“正函数” ，求实数 a 的取值范围； 函数的定义域为x|x0，且，则 a2， 故 a2； （3）依题意，函数的定义域为 R，且 f（x）0 恒成立， 当 a0 时，20 恒成立，满足题意； 当 a0 时，则需，解得 0a8； 综上，实数 a 的取值范围为0，8） 【点评】本题考查正函数这一新定义，考查对所学知识的综合运用，考查运算能力，属 于基础题