1、已知幂函数的图象经过点，则 f（16）（ ） A4 B4 C D 3 （5 分）函数 f（x）2x2+ex+1的零点所在的区间为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 4 （5 分）已知，则向量 与 向量的夹角是（ ） A B C D 5 （5 分）函数 f（x）log0.6（x2+6x7）的单调递减区间是（ ） A （，7） B （，3） C （3，+） D （1，+） 6 （5 分）已知曲线 C1：ysinx，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸
2、长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 7 （5 分） 九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了计算弧田面积所用 的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢 2） ，弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧 和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差， 第 2 页（共 19 页） 现有圆心角为，矢为 2 的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ） A B C
3、 D 8 （5 分）函数 f（x）xln|x|的大致图象是（ ） A B C D 9 （5 分）如图，在ABC 中，若，则的值为 （ ） A3 B3 C2 D2 10 （5 分）如果 asin2，b（），clog，那么（ ） Aabc Bcba Cacb Dcab 11 （5 分）已知函数 f（x）e|x|+|x|若函数 h（x）f（x）a 有两个不同的零点，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （0，1） B （1，+） C （1，0） D （0，+） 12 （5 分）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）f（1+x） ，若 第 3 页（共 19 页） f（1）2，则 f
4、（1）+f（2）+f（3）+f（50）（ ） A50 B0 C2 D50 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分） 分） 13 （5 分）计算： （）lglg 14 （5 分）在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，A（2，1） ，B（4，3） ，C（1，2） ，D （2，m） ，则 m 15 （5 分）函数的最大值为 16 （5 分）设函数，若对任意的实数 x 都成立， 则最小的正数 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，第小题，第 17 小题小题 10 分，其余每小题分，其余每小题 12，共，共 70 分；解答应写
5、出文分；解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤） 字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）若角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，且终边经过点（3， 1） ，角 满足 tan（+）1 （1）求 tan 的值； （2）求的值 18 （12 分）已知函数 f（x）sin（2x+） ， （其中 0，）的最小正周期为 ，它的一个对称中心为 （1）求函数 yf（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在0，上的单调递增区间 19 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 2bcosAccosA+acosC （1）求角 A 的大小； （2）若，b+c4
6、，求 a 20 （12 分）已知定义域为 R 的函数是奇函数 （1）求 a 的值； （2）判断函数 f（x）的单调性并证明； （3）若关于 m 的不等式 f（2m2+m4）+f（m22mt）0 在 m（1，3）有解，求实 第 4 页（共 19 页） 数 t 的取值范围 21 （ 12 分 ） 已 知 向 量， 设 函 数 ，xR （1）当时，方程有两个不等的实根，求 a 的取值范 围； （2）若方程在（0，）上的解为 x1，x2，求 cos（x1x2） 22 （12 分）定义：若对定义域内任意 x，都有 f（x+a）f（x） （a 为正常数） ，则称函数 f （x）为“a 距”增函数 （1）若
7、 f（x）2xx，x（0，+） ，试判断 f（x）是否为“1 距”增函数，并说明理 由； （2）若，xR 是“a 距”增函数，求 a 的取值范围； （3）若，x（1，+） ，其中 kR，且为“2 距”增函数，求 f（x） 的最小值 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年广西柳州高中高一（上）期末数学试卷学年广西柳州高中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只分；在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的） 有一个是符合题
8、目要求的） 1 （5 分）设集合 Ax|ln（x1）0，Bx|x（x6）0，则 AB（ ） A （2，6） B （2，+） C （2，6 D6，+） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|ln（x1）0x|x2， Bx|x（x6）0x|0x6， ABx|2x6（2，6 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）已知幂函数的图象经过点，则 f（16）（ ） A4 B4 C D 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求 f（16）即可 【解答】解：设幂函数解析式为 f（x）x （ 为常数） ， 幂
9、函数的图象经过点， ， ， 则 f（16）16， 故选：C 【点评】本题主要考查了幂函数的定义，是基础题 3 （5 分）函数 f（x）2x2+ex+1的零点所在的区间为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 【分析】根据 f（x）2x2+ex+1，求出各区间端点的函数值，然后利用零点存在性定理， 第 6 页（共 19 页） 判断该区间是否存在零点 【解答】解：f（x）2x2+ex+1，f（1）3，f（0）e20， f（1）f（0）0，在（1，0）上 f（x）存在零点 故选：A 【点评】本题考查了零点存在性定理，属基础题 4 （5 分）已知，则向量 与 向量的夹角
10、是（ ） A B C D 【分析】展开数量积，得到关于 与 数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意 夹角的范围 【解答】解：因为，； 554| | |cos8cos； cos； 0，180， ； 故选：A 【点评】本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出 式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题注意解题过程中角的范 围 5 （5 分）函数 f（x）log0.6（x2+6x7）的单调递减区间是（ ） A （，7） B （，3） C （3，+） D （1，+） 【分析】由对数函数的真数大于 0 求得函数的定义域，再求出内层函数二次函数的减区 间，结合
11、复合函数的单调性得答案 【解答】解：由 x2+6x70，解得 x7 或 x1， f（x）log0.6（x2+6x7）的定义域为（，7）（1，+） 令 tx2+6x7，此内层函数在（，7）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 而 ylog0.6t 是定义域内的减函数， f（x）log0.6（x2+6x7）的单调递减区间是（1，+） 第 7 页（共 19 页） 故选：D 【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调 性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之 间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减” ，是中档题 6 （5 分）已知曲
12、线 C1：ysinx，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度， 得到曲线 C2 【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果 【解答】解：把曲线 C1：ysinx 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向 左平移个单位长度，得到曲
13、线的图象 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 （5 分） 九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了计算弧田面积所用 的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢 2） ，弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧 和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差， 现有圆心角为，矢为 2 的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【分析】根据垂径定理和扇形面积解答即可 【解答】解：如图所示： 由题意可得：OA4， AOB， AOD，
14、 CD2，ODOAOC， OA4，AD2， 弧田的面积（42+4）4+2， 故选：A 【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答，属于基础题 8 （5 分）函数 f（x）xln|x|的大致图象是（ ） A B C D 【分析】根据 f（x）的对称性，函数值的符号进行判断 【解答】解：f（x）xln|x|f（x） ， 第 9 页（共 19 页） f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D； 当 x0 时，f（x）xlnx， 当 x1 时，f（x）0，当 0x1 时，f（x）0， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象判断，属于中档题 9 （5 分）如图，在ABC 中，若
15、，则的值为 （ ） A3 B3 C2 D2 【分析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算 即可 【解答】解：+， （） ， +（） +； 又+， ，； 3 故选：B 第 10 页（共 19 页） 【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运 算将向量进行分解，是基础题目 10 （5 分）如果 asin2，b（），clog，那么（ ） Aabc Bcba Cacb Dcab 【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质及三角函数的值进行大小比较 【解答】解：1asin2sin， b（）， clog， cab 故选：D 【点评】本题考查对数
16、值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查三角函 数值的求法，是基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）e|x|+|x|若函数 h（x）f（x）a 有两个不同的零点，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （0，1） B （1，+） C （1，0） D （0，+） 【分析】利用函数 f（x）的单调性和奇偶性，画出函数 f（x）的大致图象，再把函数 h （x）f（x）a 有两个不同的零点，转化为函数 yf（x）与函数 ya 有 2 个交点， 从而求出 a 的取值范围 【解答】解：当 x0 时，f（x）ex+x，显然在0，+）上单调递增，且 f（0）1， 又函数 f（x）是偶函数，函数 f
17、（x）在（，0）上单调递减，如图所示： 第 11 页（共 19 页） ， 函数 h（x）f（x）a 有两个不同的零点，函数 yf（x）与函数 ya 有 2 个交点， a1， 故选：B 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题 12 （5 分）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）f（1+x） ，若 f（1）2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（ ） A50 B0 C2 D50 【分析】 根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4， 结合函数的周期性和奇偶 性进行转化求解即可 【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1x）f（1+x） ， f（
18、1x）f（1+x）f（x1） ，f（0）0， 则 f（x+2）f（x） ，则 f（x+4）f（x+2）f（x） ， 即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， f（1）2， f（2）f（0）0，f（3）f（12）f（1）f（1）2， f（4）f（0）0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50） f（1）+f（2）2+02， 第 12 页（共 19 页） 故选：C 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期 性是解决本题的关键 二、
19、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分） 分） 13 （5 分）计算： （）lglg 【分析】直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可 【解答】解： （）lglg 故答案为： 【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力 14 （5 分）在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，A（2，1） ，B（4，3） ，C（1，2） ，D （2，m） ，则 m 4 【分析】由题意计算、，利用列方程求出 m 的值 【解答】解：梯形 ABCD 中，ABCD， 则（6，4） ，（3，m2） ， 又， 所以 6（m2）430， 解得 m
20、4 故答案为：4 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题 15 （5 分）函数的最大值为 【分析】利用诱导公式及三角恒等变换可将转化为：f（x） 2（cosx+）2+，从而可求答案 【解答】解：cos2x3cosx2cos2x3cosx+1 2（cosx+）2+（当且仅当 cosx时取“” ） ， 第 13 页（共 19 页） 函数的最大值为： 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的最值，考查诱导公式的应用，考查三角恒等变换及二次函 数的配方法求最值，属于中档题 16 （5 分）设函数，若对任意的实数 x 都成立， 则最小的正数 为 【分析】运用辅助角公式，化简 f（
21、x） ，结合正弦函数的值域和不等式恒成立思想可得 f （）2，解方程可得所求最小值 【解答】 解： 函数2 （cosx+sinx） 2sin （x+） ， 当 x+2k+，kZ，可得 f（x）取得最大值 2， 若对任意的实数 x 都成立，可得 f（）2， 即有 f（）2，可得 +2k+，kZ， 当 k0 时，可得 +，即 ， 则最小的正数 为 故答案为： 【点评】本题考查函数恒成立问题解法，考查正弦函数的值域，以及运算能力，属于中 档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，第小题，第 17 小题小题 10 分，其余每小题分，其余每小题 12，共，共 70 分；解答应写出文分；解
22、答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤） 字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）若角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，且终边经过点（3， 1） ，角 满足 tan（+）1 （1）求 tan 的值； （2）求的值 【分析】 （1）利用任意角的三角函数定义求得 tan，再由两角差的正切求解 tan 的值 （2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题意可得，tan（+）1， （2）原式 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数定义，诱导公式，同角 三角函数基本关系式，两角差的正切公式在三
23、角函数化简求值中的综合应用，考查了转 化思想，属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x）sin（2x+） ， （其中 0，）的最小正周期为 ，它的一个对称中心为 （1）求函数 yf（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在0，上的单调递增区间 【分析】 （1）由题意求出 、 的值，即可写出函数 f（x）的解析式； （2）根据正弦函数的单调性求出单调增区间，再求 f（x）在 x0，的增区间 【解答】解： （1）由题意知，解得 1； 又，kZ，解得； 又，所以， 所以函数解析式为； （2）令，kZ， 解得：，kZ； 又因为 x0，所以： k0 时，增区间是； k1 时，增区间是 综上所述，f
24、（x）在 x0，的增区间是和 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基 础题 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 2bcosAccosA+acosC （1）求角 A 的大小； （2）若，b+c4，求 a 【分析】 （1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 2sinBcosAsinB， 结合 sinB0，可求，结合范围 A（0，） ，可求 A （2）利用平面向量数量积的运算可得 bc3，进而根据余弦定理即可求解 【解答】解： （1）2bcosAccosA+acosC， 2s
25、inBcosAsinCcosA+sinAcosC，可得 2sinBcosAsin（A+C）sinB， sinB0， ， 又A（0，） ， （2）， ， ， bc3，a2b2+c22bccosA（b+c）22bcbc1697 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，平面向量数量积的运算， 余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 20 （12 分）已知定义域为 R 的函数是奇函数 （1）求 a 的值； （2）判断函数 f（x）的单调性并证明； （3）若关于 m 的不等式 f（2m2+m4）+f（m22mt）0 在 m（1，3）有解，求实 数 t 的取值范围 【分析】
26、（1）根据奇函数的性质，利用 f（0）0 进行求解 （2）根据函数单调性的定义进行证明即可 （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，结合函数有解的条件进行转化 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由 f（x）为定义在 R 上奇函数可知，f（0）0，解得 a1 经检验，此时对任意的 x 都有 f（x）f（x） ，故 a1 （2）由 y2x+1 递增可知在 R 上为减函数，证明如下： 对于任意实数x1，x2，不妨设x1x2， y2x递增，且 x1x2，f（x1）f（x2）0， f（x1）f（x2） ，故 f（x）在 R 上为减函数 （3）由 f（x）为奇函数得：f（2m2+m4）
27、+f（m22mt）0 等价于 f（m22mt）f（2m2m+4） 又由 f（x）在 R 上为减函数得：m22mt2m2m+4，即 2mtm2+m4； 因为 m（1，3） ，所以 原问题转化为在 m（1，3）上有解， 在区间（1，2）上单调递增，在区间2，3）上单调递减， 当 m2 时，取得最大值3 2t3，解得， t 的取值范围是 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数奇偶性的性质以及函数单 调性的定义，将不等式进行转化是解决本题的关键难度中等 21 （ 12 分 ） 已 知 向 量， 设 函 数 ，xR （1）当时，方程有两个不等的实根，求 a 的取值范 围； （2）若方程在
28、（0，）上的解为 x1，x2，求 cos（x1x2） 【分析】 （1）先化简解析式转化为，利用整体代换求 第 17 页（共 19 页） 出其范围再结合单调性即可求而出结论； （2）结合三角函数的性质得到，；再结合余弦函数的性质 即可求解 【解答】解： （1）由已知，有 令 当时，令，则， 且 ysint 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， （2）x（0，） ，令，则， 所以， 又因为时图象关于对称，且， 时图象关于对称，且， 所 以等 价 于， 则t1+t2 ， 且 ， 即，； 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 22 （12 分）
29、定义：若对定义域内任意 x，都有 f（x+a）f（x） （a 为正常数） ，则称函数 f （x）为“a 距”增函数 （1）若 f（x）2xx，x（0，+） ，试判断 f（x）是否为“1 距”增函数，并说明理 由； 第 18 页（共 19 页） （2）若，xR 是“a 距”增函数，求 a 的取值范围； （3）若，x（1，+） ，其中 kR，且为“2 距”增函数，求 f（x） 的最小值 【分析】 （1）根据新定义，作差证明即可， （2）根据新定义可得 3x2+3xa+a20 恒成立，再根据二次函数的性质即可求出 a 的 范围， （3）根据复合函数的单调性，只要求出（x+2）2+k（x+2）x2+k
30、|x|，函数的最小值，分 类讨论，即可求出 【解答】解： （1）对任意的 x（0，+） ，f（x+1）f（x）（2x+1x1）（2xx） 2x1， x0，21 2x10， f（x+1）f（x）0， 故 f（x）是“1 距”增函数； （2）f（x+a）f（x）（x+a）3（x+a）+4x3+x43x2a+3xa2+a3a， 又 f（x）为“a 距”增函数， 3x2a+3xa2+a3a0 恒成立， a0， 3x2+3xa+a20 恒成立， 9a212（a2）0， a21 a1； （3）f（x）2x2+k|x|，x（1，+） ，其中 kR，且为“2 距”增函数， 当 x1 时，f（x+2）f（x）恒
31、成立， y2x增函数， （x+2）2+k（x+2）x2+k|x| 当 x0 时， （x+2）2+k（x+2）x2+kx，即 4x+4+2k0 恒成立， 第 19 页（共 19 页） 4+2k0，解得 k2， 当1x0 时， （x+2）2+k（x+2）x2kx，即 4x+4+2kx+2k0 恒成立， （x+1） （k+2）0，解得 k2， 综上所述 k2， 又 yx2+k|x|（|x|+）2， x1， |x|0， 当 k0 时，|x|0，则 y（|x|+）2的最小值为 0，即函数 f（x）的最小值为 1， 当2k0 时，即|x|，函数 y（|x|+）2的最小值，函数 f（x）的 最小值为， 综上所述 f（x）min 【点评】本题考查了抽象函数，考查了推理能力与计算能力，属于难题