1、山东省山东省高三高三第一次仿真联考数学第一次仿真联考数学试卷试卷 一、单项选择题： 1已知复数z满足2 iiz ，则z （ ） A 12 i 55 B 12 i 55 C 12 i 55 D 12 i 55 2已知集合 2 230Axxx ，20Bxx，则AB（ ） A1,3 B1,3 C1,2 D1,2 3空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量的指数，空气质量指数小于 50 表示空气质量为优下图 是某市一周的空气质量指数趋势图，则下列说法错误的是（ ） A该市这周有 4 天的空气质量指数为优 B该市这周空气质量指数的中位数是 31 C该市这周空气质量指数的极差是 65 D该市这周空气质量
2、指数的平均数是 53 4函数 ln1 1 x f x x 的部分图象大致是（ ） A B C D 5已知:1p xa， 3 :1 1 q x ，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ） A0,1 B0,1 C1,2 D1,2 6已知0a，0b，且320abab，则3ab的最小值是（ ） A6 B8 C12 D16 7踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健 身活动某单位组织踢毽子比赛，把 10 人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在 1 分钟内踢毽子的数目分别 为 26，29，32，45，51；乙组每人在 1 分钟内踢毽子的数目分别为 2
3、8，31，38，42，49从甲、乙两组中 各随机抽取 1 人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是（ ） A 5 9 B 4 9 C 13 25 D 12 25 8 已 知 fx是 函 数 f x的 导 数， 且 fxf x， 当0x时 ， 3fxx， 则 不等 式 3 13 2 f xf xx的解集是（ ） A 1 ,0 2 B 1 , 2 C 1 , 2 D 1 , 2 二、多项选择题： 9已知函数 tan ,tansin sin ,tansin xxx f x xxx ，则（ ） A f x的值域为1, B f x的单调递增区间为, 2 kkk Z C当且仅当 2 kxkk Z时， 0
4、f x D f x的最小正周期时2 10已知奇函数 f x是定义在R上的减函数，且 21f，若 1g xf x，则下列结论一定成立 的是（ ） A 10g B 1 2 2 g C 0gxg x D110gxg x 11已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的右焦点为 2 6,0F，点P的坐标为（0，1） ，点Q为双 曲线C左支上的动点，且PQF的周长不小于 14，则双曲线C的离心率可能为（ ） A3 B2 3 C5 D3 12 一个正方体的平面展开图如图所示， 在这个正方体中， 点H是棱DN的中点，P，Q分别是线段AC， BN（不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A
5、在点P的运动过程中，存在/HP BM B在点Q的运动过程中，存在FQAH C三棱锥HQAC的体积为定值 D三棱锥BPEM的体积不为定值 第第卷卷 三、填空题： 13已知向量,2am，1, 3b ，若ab，则a _ 14五一放假期间，某社区安排甲、乙、丙、丁、戊这 5 位工作人员值班，每人值班一天，若甲排在第一 若甲排在第一天值班，且丙与丁不排在相邻的两天值班，则可能的值班方式有_种 15 在四棱锥PABCD中四边形ABCD是边长为 2的正方形，5PCPD， 平面PCD平面ABCD， 则四棱锥PABCD外接球的表面积为_ 16已知抛物线: 220C xpy p的焦点为F，斜率为 1 的直线l过点
6、F，且与抛物线C交于A，B两 点，点M在抛物线C上，且点M在直线l的下方，若MAB面积的最大值是4 2，则抛物线C的方程 是_，此时，点M的坐标为_ 四、解答题： 17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在 1 coscossinsin 2 bACaBCb； 1 coscossin23 cos 2 bBCcBaB； cos 2 cos bA ac B 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并作答已知D是BC上的一点，2BCBDAB，2 7AD ，6AB，若_，求ACD的 面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18设数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2
7、n Snn （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 1 nn n nn aa b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 19在斜三棱柱 111 ABCA B C中，ABC为等腰直角三角形， 1 222 2AAABAC，平面 11 BBCC 平面ABC，点E为棱 1 A A的中点， 1 60B BC （1）证明：平面 1 BCE 平面 11 BBCC （2）求二面角 1 ABCE的余弦值 20 某公司采购了一批零件， 为了检测这批零件是否合格， 从中随机抽测 120 个零件的长度 （单位： 分米） ， 按数据分成1.21.3，1.3,1.4，1.4,1.5，1.5,1.6，1.6,1.7
8、，1.7,1.8这 6 组，得到如图所示的频 率分布直方图， 其中长度大于或等于 1.59 分米的零件有 20 个， 其长度分别为 1.59， 1.59， 1.61， 1.61， 1.62， 1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这 120 个 零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率 （1）求这批零件的长度大于 1.60 分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值； （2）若从这批零件中随机选取 3 个，记X为抽取的零件长度在1.4,1.6的个数，求X的分布列和数学
9、期 望； （3） 若变量S满足0.68260.05PS且220.95440.05PS， 则称变量S满足近似于正态分布 2 ,N 的概率分布如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于 正态分布1.5,0.01N的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收试 问，该批零件能否被签收？ 21在直角坐标系xOy中已知1,0F，动点P到直线6x的距离等于22PF 动点P的轨迹记为曲线 C （1）求曲线C的方程； （2）已知2,0A，过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记AOB和AOD的面积分别为 1 S 和 2 S，求 12 SS的最大值 22已知函数 lnf xxmx m
10、R （1）讨论 f x的单调性 （2）若 f x恰有两个不同的零点 1 x， 2 x，证明： 12 0fxfx 山东省第一次仿真联考山东省第一次仿真联考 数学参考答案数学参考答案 1C 由题意可得： ii(2i)12 i 2i(2i)(2i)55 z ，则 12 i 55 z 2D 由题意得1,3A ，,2B 中，则1,2AB 3B 由图可知该市这周空气质量指数的中位数、极差、平均数分别是 43，65，53，有 4 天的空气质量指 数小于 50，故选 B 4A 设 ln x g x x ，因为 g xgx，所以 g x的图象关于y轴对称所以 f x的图象关于直 线1x对称，排除 CD；当10x
11、 时，ln10x，所以 0f x ，排除 B，故选 A 5A 因为1xa，所以11axa 即:11p axa ，因为 3 1 1x ，所以12x ， 即: 12qx 因为p是q的充分不必要条件，所以 11 12 a a ，解得01a 6B 因为320bbaa，所以 31 2 ab ， 所以 1 311 331 33106 108 222 ba abab abab （当且仅当2al 时取等号） 7C 由题意可得所求概率 1111 3322 11 55 13 25 C CC C P C C 8D 设 2 3 2 g xf xx，则 3g xfxx因为当0x时， 3fxx，所以当0x时， 0g x
12、，即 g x在0,上单调递增因为 fxf x，所以 f x为偶函数则 g x也是偶 函数因为 3 13 2 f xf xx，所以 2 2 33 11 22 f xxf xx，即 1g xg x，则 1xx，解得 1 2 x 9AD 当tansinxx，即 2 kxkk Z时， tan0,f xx；当tansinxx，即 2 kxkk Z时， sin1,1f xx 综上， f x的值域为1, ，故 A 正确； f x 的 单 调 递 增 区 间 是2,2 22 kk 和 3 2,2 2 kkk Z， B错 误 ； 当 2,2 2 xkkk Z时， 0f x ，故 C 错误；结合 f x的图象可知
13、 f x的最小正周期是 2，故 D 正确 10 AC 因为 f x为定义在R上的奇函数， 所以 00f， 因为 1g xf x， 所以 100gf， 故 A 正确； 因为 f x为定义在R上的减函数， 且 21f， 210fff， 即 110f 所 以 120g ，故 B 不一定成立；因为 1g xf x，所以11gxfxf x ，所以 11gxg xf xf x，因为 f x是定义在R上的减函数，所以11f xf x，所 以110f xf x， 即 0gxgx， 故C正 确 ； 因 为 1gxfx， 所 以 1gxfxfx ， 1g xf x，所以 110gxg xf xf x ，选项 D
14、错误 11 AC 设 双 曲 线C的 左 焦 点 为 F 则2Q FQ Fa 即2Q FQ Fa， 故 22QFPQQFPQaPFa 由 题 意 可 得24 15PF PF ， 所 以 221 4P QQ FP FP Fa， 所以2a 则双曲线 C 的离心率 2 6 6 c e aa 因为1e 所 以双曲线 C 的离心率的取值范围为1, 6 12 BC 由平面展开图， 还原正方体， 如图所示 对于 A 选项， 因为点P是线段AC上的动点， 所以HP 平面ACH，因为BM 平面ACH，且BM与平面ACH不平行，所以不存在/HPBM故 A 错误； 对于 B 选项 连接BD，BDACO， 连接OF，
15、OFBNG， 取AD的中点K， 连接EK，OK 则 O为BD的中点，/OK EF，所以E，F，O，K四点共面，因为AHEK，AHEF，所以AH 平面EFOK，因为GF 平面EFOK，所以AHGF，即当点Q运动到G点时，FQAH，故 B 正 确； 对于 C 选项， 因为点H是棱DN的中点， 所以/OH BN， 因为OH 平面ACH，BN 平面ACH， 所以/BN平面ACH， 则直线BN上的任意一点到平面ACH的距离相等， 且为定值， 因为点Q是线段BN 上 的 动 点 ， 所 以 点Q到 平 面ACH的 距 离d为 定 值 ， 因 为A C H的 面 积 为 定 值 ， 所 以 1 3 HQ W
16、QW HA C H VVdS （定值） ， 故 C 正确； 对于 D 选项， 因为点P是线段AC上的动点。 所以PEM 的面积为定值，且平面PEM就是平面ACME，因为点B到平面ACME的距离是定值，即点B到平面 PEM的距离h也是定值，所以三棱锥BPEM的体积 1 3 PPEMMBE Vh S （定值） ，故 D 错误 132 10 因为ab，所以230m ，解得6m，则|3642 10a 1412 甲在第一天值班的所有值班方式有 4 4 24A 种，其中丙与丁在相邻的两天值班的值班方式有 32 32 12A A 种，则满足条件的值班方式有24 1212种 1541 4 取CD的中点E， 连
17、接PE（图略） 因为5PCPD， 1 1 2 DECD， 所以PECD， 2PE ，过四边形ABCD的中心 1 O作平面ABCD的垂线 1 l，过三角形PCD的外心 2 O作平面PCD的垂 线 2 l， 12 0ll ，则为四棱锥PABCD外接球的球心，设 1 OOh，四棱锥PABCD外接球的半 径为R， 则 2 22 221Rhh， 解得 2 41 16 R ， 故四棱锥PABCD外接球的表面积为 2 41 4 4 R 16 2 4xy；2,1设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由题意可得直线l的方程为 2 p yx，联立 2 2 2 p yx xpy ， 整理得 22 20xpx
18、p，所以 12 2xxp， 2 12 x xp ，则 2 12121 2 42 2xxxxx xp， 故 2 12 14ABkxxp，设 00 ,M x y，由题意可知当直线l过点M且与抛物线C相切的直线 平行时，MAB的面积取最大值因为 2 1 2 yx p ，所以 1 yx p ，所以直线l的斜率 0 1 1kx p 所 以 0 xp，则, 2 p Mp ，此时，点M到直线l的距离 2 22 pp d ，故 12 44 2 22 p p，解得 2p ，故抛物线C的方程为 2 4xy，此时点M的坐标为2,1 17解：若选择，则 1 sincoscossinsinsinsin 2 BACABB
19、， 因为sin0B所以sin 1 cos 2 iscos nAACC ，即 1 cos 2 AC ， 因为BA C，所以c 1 cosos 2 BAC ，即cos 1 2 B ， 因为0B所以 3 B 若选择，则 2 cossin 1 ssiin 2 n23sincosCCBBAB， 即 2 sincossinsincos3sincosBCCBBAB 故sinsin3sincosBBCAB 因为sinsin0BCA所以3sincosBB，所以tan3B ， 因为0B，所以 3 B 若选择，则sincos sincos2sincosBAABCB， 即sin2sincosBACB， 因为sinsi
20、n0BAC所以 1 cos 2 B ， 因为0B，所以 3 B 在ABD中，由余弦定理可得 222 2cosADABBDAB BDB， 即 2 28362 6 1 2 BDBD，解得4BD 或2BD 因为26BCBDAB，所以4BD ， 因为2BCBD，所以s 11 in 3 6 46 3 222 ACDABD BDSSABB 18解： （1）当1n 时， 11 1 23aS ， 当2n时， 2 2 1 1211 n Snnn ， 22 1 21212 nnn aSSnnnnn ， 当1n 时， 1 3a 满足上式，故21 n an （2）由（1）可得 232122 2 21232123 n
21、nn b nnnn ， 则 123 22222222 2222 3557792123 nn Tbbbb nn 22222222 2 3557792123 n nn 224 22 32369 n nn nn 19 （1）证明：分别取BC， 1 BC的中点O和F，连接OA，OF，EF， 1 BO 因为ABAC，O为BC的中点，所以AOBC， 因为平面 11 BBCC 平面ABC，且平面 11 BBCC 平面ABCBC 所以AO 平面 11 BBCC， 因为F是 1 BC的中点所以 1 /FO BB，且 1 1 2 FOBB， 因为点E为棱 1 A A的中点所以 1 /AE BB，且 1 1 2 A
22、EBB， 所以/FO AE，且FOAE，所以四边形AOFE是平行四边形，则/EF AO 因为AO 平面 11 BBCC，所以EF 平面 11 BBCC， 因为EF 平面 1 BCE，所以平面 1 BCE 平面 11 BBCC （2）解：由题意易证 1 BOBC，则 1 BO 平面ABC，故OA，OC， 1 OB两两垂直 以O为坐标原点，OA，OC， 1 OB分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则 2,0,0A， 0, 2,0C， 1 0,0, 6B， 26 2, 22 E ， 故 1 0, 2,6BC ， 26 2, 22 CE ， 2, 2,0AC ， 设平
23、面 1 BCE的法向量为 111 ,mx y z， 则 111 111 260 26 20 22 m Byz m CExz C y ，令 1 1z ，得 0, 3,1m 设平面 1 ABC的法向量为 222 ,nxy z， 则 122 22 260 220 n ByCz n ACxy 令 2 3y ，得 3, 3,1n ， 则 42 7 cos, 73 133 1 m n m n m n ， 由图可知二面角 1 ABCE为锐角，则二面角 1 ABCE的余弦值为 2 7 7 20解： （1）由题意可知 120 件样本零件中长度大于 1.60 分米的共有 18 件， 则这批零件的长度大于 1.60
24、 分米的频率为 18 0.15 120 ， 记Y为零件的长度，则 3 1.21.31.71.80.025 120 PYPY， 15 1.31.41.61.70.125 120 PYPY， 1 1.41.51.51.61 2 0.0252 0.1250.35 2 PYPY ， 故 0.025 0.25 0.1 m ， 0.125 1.25 0.1 n ， 0.35 3.5 0.1 t （2）由（1）可知从这批零件中随机选取 1 件，长度在1.4,1.6的概率2 0.350.7P 且随机变量X服从二项分布3,0.7XB， 则 3 3 0 01 0.70.027P XC， 2 1 3 11 0.70
25、.70.189P XC， 33 3 30.70.343P XC， 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.3432.1EX （或3 0.72.1EX ） （3）由题意可知1.5，0.1， 则1.41.60.7PYPY； 221.31.70.125 0.35 0.35 0.1250.95PYPY， 因为0.70.68260.01740.05，0.95 0.95440.00440.05， 所以这批零件的长度满足近似于正 态分布1.5,0.01N的概率分布应认为这批零件是合格的，将顺利被该
26、公司签收 21解： （1）设点,P x y，则 2 2 62126xxyx， 整理得 22 3412xy，即 22 1 43 xy 故动点P的轨迹C的方程为 22 1 43 xy （2）由题意可知直线l的斜率不为 0，则可设直线l的方程为1xmy， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，整理得 22 34690mymy， 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 yy m ， 则 2 2 2 121212 222 636121 4 343434 mm yyyyy y mmm ， 故 2 121112 2 111121 22234 m SSOA yOA yOA yy m
27、 设 2 11tm ，则 22 1mt，则 12 2 1212 1 31 3 t SS t t t 因为1t ，所以 1 34t t （当且仅当1t 时，等号成立） ， 故 12 12 3 1 3 SS t t ，即 12 SS的最大值为 3 22 （1）解：因为 lnf xxmx，所以 11 0 mx fxmx xx ， 当0m时， 0fx恒成立，所以 f x在0,上单调递增， 当0m时，令 0fx，得 1 0x m ；令 0fx，得 1 x m ， 则 f x在 1 0, m 上单调递增，在 1 , m 上单调递减 综上当0m时， f x在0,上单调递增； 当0m时， f x在 1 0,
28、m 单调递增，在 1 , m 单调递减 （2）证明：因为 1 x， 2 x是 f x的两个零点所以 11 lnxmx， 22 lnxmx，所以 12 12 lnln m x xx x ， 则 12 12 121212 lnln1111 22 xx fxfxm xxxxxx ， 要证 12 0fxfx，即证 12 1212 1lnln1 20 xx xx xx 不妨设 12 0xx，则 12 1212 1lnln1 20 xx xx xx 等价于 121 212 2ln0 xxx xxx 令 1 2 x t x ，则1t ，设 ln 1 21h ttt t t ，所以 2 22 112 101 t h tt ttt ， 所以 h t在1,上单调递增，则 10h th，即 1 2ln0t t t对任意1t 恒成立 故 12 0fxfx