1、四川省四川省 20172017 级高三大数据精准教学第二次统一监测级高三大数据精准教学第二次统一监测文文科数学科数学试卷试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试 条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答 案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸 上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5
2、分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 130Ax xx，12Bxx ，则AB （ ） A.1,1 B.1,2 C.1,3 D.1,3 2.若复数z满足1 23 4zii，则z （ ） A.1 2i B.1 2i C.5 10i D.5 10i 3.某人坚持跑步锻炼，根据他最近 20 周的跑步数据，制成如下条形图： 根据条形图判断，下列结论正确的是（ ） A.周跑步里程逐渐增加 B.这 20 周跑步里程平均数大于 30km C.这 20 周跑步里程中位数大于 30km D.前 10 周的周跑步里程的极差大于后 10 周的周跑步里程的极差 4.若
3、x，y 满足 0 0 20 x y xy ，则2zxy的最大值为（ ） A.6 B.4 C.3 D.0 5.ABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若sin2sinBA， 3 C ，则 c a 的值为（ ） A.3 B. 3 3 C.2 D. 1 2 6.函数 2 xx x f x ee 的大致图像是（ ） A. B. C. D. 7.已知直线l经过圆 2 2 :2 34Cxy的圆心，l与圆 C 的一个交点为 P，将直线l绕点 P 按顺时针方 向旋转 30得到直线 l ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为（ ） A.4 B.2 3 C.2 D.1 8.如图， 已知圆锥底面圆的
4、直径AB与侧棱SA，SB构成边长为2 3的正三角形， 点 C 是底面圆上异于 A， B 的动点，则 S，A，B，C 四点所在球面的半径是（ ） A.2 B.2 3 C.4 D.与点 C 的位置有关 9.以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它 是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现.如图，D，E，F 为正三角 形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分） ，若在ABC中随机取一点，则 该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（ ） A. 3 2 B. 2 33 9 C. 33 6 D. 32 6
5、 10.若函数sin0,0,0yAx Ax的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则 A（ ） A. 2 B. C.2 D.4 11.若函数 1 ln 1 x f xx x ，且210faf a，则 a 的取值范围是（ ） A. 1 , 3 B. 1 1 , 2 3 C. 1 0, 3 D. 1 0, 2 12.已知直线l与抛物线 2 4xy交于 A，B 两点，0OA OB（其中 O 为坐标原点）.若OPOA OB， 则直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. , 22, B. , 44, C. ,22, D. , 2 22 2, 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
6、 分. 13.已知向量1,2a，3,4b ，若/a b，则实数_. 14.若 5 cos 45 ，则sin2_. 15.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间 的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面 截几何体所得的截面）的面积分别为 S ，S， 0 S，高为 h，则拟柱体的体积为 0 1 6 Vh SSS.若某 拟柱体的三视图如图所示，则其体积为_. 16.若关于 x 的不等式ln1xax恒成立，则a的最小值是_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17
7、21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 已知数列 n a的前 n 项和是 n S，且22 nn Sa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 2 222log nn ba，求数列 n b的前n项的和 n T的最大值. 18.（12 分） 某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系.现收集了 该种植物月生长量 y（cm）与月平均气温 x（）的 8 组数据，并制成如图所示的散点图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： x y 8 2 1 i i xx
8、 1 8 ii i yyxx 18 12.325 224.04 235.96 （1）求出 y 关于 x 的线性回归方程（最终结果的系数精确到 0.01） ，并求温度为 28时月生长量 y 的预报 值； （2）根据 y 关于 x 的回归方程，得到残差图如图所示，分析该回归方程的拟合效果. 附：对于一组数据 122 , nn vvv，其回归直线 v 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 1 2 1 n li i n i i vv ， v. 19.（12 分） 如图，在四边形ABCD中，/AD BC，ABAD，30ABE，90BEC，2AD ，E 是AD的 中点.现将ABE沿BE翻折，使点 A 移动至
9、平面BCDE外的点 P. （1）若3FCPF，求证：/DF平面PBE； （2）若平面PBE 平面BCDE，三棱锥CPDE的体积为 1 4 ，求线段BE的长. 20.（12 分） 在直角坐标系内，点 A，B 的坐标分别为2,0，2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜 率之积等于 1 4 .设点 P 的轨迹为 C. （1）求轨迹 C 的方程； （2）设过点1,0且倾斜角不为 0 的直线l与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求证：直线AM，BN的交点在 直线4x上. 21.（12 分） 已知函数 2 11 0 2 x a x f xxa e . （1）若曲线 yf x在1x处切线的斜率为
10、1e，判断函数 f x的单调性； （2）若函数 f x有两个零点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 43 : xt C yt （t 为参数） ，曲线 2 1 cos : sin x C y ， （为参数） ，以 坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）射线tan0,0 2 yxx 分别交 1 C， 2 C于 A，B 两点，求 OB OA 的最大
11、值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 32f xxx. （1）求 f x的值域； （2）记函数 f x的最小值为 M.设 a，b，c 均为正数，且a b cM ，求证： 149 12 abc . 文文科数学参考答案及评分标准科数学参考答案及评分标准 评分说明： 1.本解答只给出了一种（或两种）解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在菜一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 程度决定后部分的给分，但不得超过该正确部分解答得分的一半；如果后继部分的解得有严
12、重错误，就不 再给分. 3.只给整数分.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D B A D B A C A C D 1.本小题主要考査一元二次不等式的解法、并集等基础知识；考查运算求解能力. 由130xx得13x，所以 1,31,21,3AB . 2.本小题主要考査复数模的概念、复数运算其运算等基础知识；考査运算求解能力. 由 345 1 2 1 2 1 25 ii zi i . 3.本小题主要考查统计图表等基础
13、知识；考查数据处理能力和应用意识；考查统计思想. 根据统计图表可知，A，B，C 项错误；D 项正确. 4.本小题主要考查线性规划问题等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合等思想方法. 不等式组表示的可行域是以0,0，2,0，0,2为顶点的三角形及其内部，当目标函数2zxy过点 2,0时，z 取得最大值 4. 5.本小题主要考查正弦定理，余弦定理等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查化归与转化等思想 方法. 由sin2sinBA，据正弦定理有2ba；又 3 C ，据余弦定理有 22 3ca.故3 c a . 6.本小题主要考查函数图象和性质等基础知识； 考查抽象概括能力； 考查数形结合
14、、 特殊与一般等思想方法. 由 fxf x可知， f x为奇函数，排除 A，B；当0x时， 2 2 xx x f xx ee . 7.本小题主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考査运算求解能力、推理论证能力； 考查化归与转化、数形结合等思想方法. 由题意知，2PC .如图，设 l 与圆交于 P，Q 两点，线段PQ的中点为 H，则在RtPHC中， cos303PHPC ，故直线 l 被圆 C 截得的弦长2 3PQ . 8.本小题主要考查圆锥的概念、球面面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 如图，设底面圆的圆心为 O，S，A，B，C 四点所在球面的球心为
15、 1 O，连接SO，则SO平面ABC，且 1 O 在线段SO上.易知3SO，3AO .设球 1 O的半径为 R，在 1 RtO AO中，由勾股定理得 2 2 2 33RR，解得2R . 9.本小题主要考査概率等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识. 设三角形ABC边长为 2， 则正三角形DEF边长为 1， 图中勒洛三角形面积为 333 3 6442 ， ABC面积为3，所求概率 333 62 3 P . 10.本小题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查 化归与转化、数形结合等思想方法. 作出函数sin0,0,0yAx Ax的大致图象，不
16、妨取如图的相邻三个最值点.设其中两个最大值 点为 M，N，最小值点为 P.根据正弦函数图象的对称性，易知MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高 2PQA，所以斜边4MNA，则sinyAx周期4TA.由 2 T ，有 22 4TA ，所以 2 A . 11.本小题主要考查函数基本性质、不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力和创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 由题知 f x的定义域为1,1，且 12 lnln1 11 x f xxx xx ，所以 f x为奇函数且在 1,1上单调递减.由210faf a，可知21faf a，于是有 111 121 21 a a aa
17、，解得 1 0 3 a. 12.本小题主要考査直线与抛物线的方程及其位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力及创新意 识；考查化归与转化、数形结合等思想方法. 如图，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 1212 ,P xx yy，依题意，0OA OB，即 1212 0x xy y，即 22 12 12 0 16 x x x x ，即 12 16x x ，从而，直线OP的斜率为k，则 12 12 yy k xx 2 22 1212 1212 121212 28 444 xxx xxxxx xxxxxx ， 12 12 8 4 xx k xx 12 12 8 22 2 4 xx
18、 xx ， 当 且 仅 当 12 12 8 4 xx xx ， 即 12 4 2xx时 等 号 成 立 ， 故 ,2222 ,k . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 题号 13 14 15 16 答案 1 2 3 5 106 3 2 1 e 13.本小题主要考查共线向量、平面向量的数量积等基础知识；考查运算求解能力. 因为/a b，所以4 12 3 ，解得 1 2 . 14.本小题主要考查诱导公式、余弦的二倍角公式、三角函数求值等基础知识；考查运算求解能力；考查化 归与转化思想. 法一：根据已知，有 2 2 53 sin2cos22cos121 2455 . 法
19、二 ： 由 5 c o s 45 得 10 cossin 5 ， 两 边 平 方 得 2 12 s i nc o s 5 ， 所 以 3 2 s i nc o s 5 ，即 3 sin2 5 . 15.本小题主要考査三视图等基础知识；考査空间想象能力、推理论证能力、应用意识及创新意识. 由三视图可还原几何体直观图如右，易知4 3S ，2 3S ， 0 75 22 S ，4h，代入公式可求得 106 3 V . 16.本小题主要考查函数的导数等基础知识；考查抽象概括、运算求解等数学能力；考査化归与转化、数形 结合等思想方法. 法 一 ： 由 于0x， 则 原 不 等 式 可 化 为 ln1x a
20、 x ， 设 l n1 fx x x ， 则 22 1 ln1 2ln xx x x fx xx ， 当 2 0,xe时， 0fx， f x递增； 2, xe， 0fx， f x递减，可得 f x在 2 xe处取得极大值，且为最大值 2 1 e .所以 2 1 a e ，则 a 的最小值为 2 1 e . 法二：直线1yax过定点0,1，由题，当直线1yax与曲线lnyx相切时，直线斜率即为所求的 最小值，设切点 00 ,lnxx，切线斜率为 0 1 x ，则切线方程为 00 0 1 lnyxxx x ，过点0,1，则 00 0 1 1 ln0xx x ，解得 2 0 xe，切线斜率为 2 1
21、 e ，所以 a 的最小值为 2 1 e . 三、解答题：共 70 分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查等比数列和等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式等基础知识；考查运算求解能力及 应用意识；考查分类与整合、化归与转化等思想方法. （1）对于数列 n a，当1n 时，由22 nn Sa得 1 2a 1 分 当2n时，由22 nn Sa， 11 22 nn Sa 两式相减得 1 2 nn aa ，.3 分 所
22、以数列 n a是首项为 2，公比也为 2 的等比数列， 所以数列 n a的通项公式2n n a .5 分 （2）由（1）知： * 2 222log 2222 n n bn nN.7 分 由 1 2220 22210 n n bn bn ，解得1011n.9 分 所以当10n或 11 时，数列 n b的前 n 项和 n T取得最大值，其最大值为 110 1011 10 5 202110 2 T bb TT 最大值 .12 分 18.（本小题满分 12 分） 本小题主要考査回归方程、统计案例等基础知识；考查抽象概括、数据处理、运算求解等能力和应用意识. （1）设月生长量 y 与月平均气温 x 之间
23、的线性回归方程为 yabx. 8 1 8 2 1 235.96 1.053 224.04 ii i i i yyxx b xx ，.4 分 所以 12.325 1.053 186.63aybx ， 则 y 关于 x 的线性回归方程为1.056.63yx.6 分 当28x时，1.05 286.6322.77y （cm）. 所以，在气温在 28时，该植物月生长量的预报值为 22.77cm.8 分 （2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，该回归方程的 预报精度相应会较高，说明拟合效果较好.12 分 19.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查平面与平面垂直
24、的性质、直线与平面平行的判断、棱锥体积公式等基础知识；考査空间想 象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识. （1）法一：设DEa，依题意得 2BEa，4BCa， 1 / 4 DEBC.1 分 如图，在线段PB上取靠近点 P 的四等分点 G， 连接FG，EG， 因为 1 4 PGPF PBPC ，所以 1 / 4 GFBC. 所以/DE GF.3 分 所以四边形DEGF为平行四边形. 所以/DF EG.4 分 又DF 平面PBE，EG 平面PBE，.5 分 所以/DF平面PBE.6 分 法二：如图，在线段BC上取靠近点 B 的四等分点 H，连接FH，DH， 因为 3 4 CFCH CPCB
25、 ，所以/HF PB. 又HF 平面PBE，PB 平面PBE， 所以/HF平面PBE.2 分 设DEa，依题意得 2BEa，4BCa， 1 / 4 DEBC， 而 1 4 BHBC，所以/DE BH. 所以四边形DEBH为平行四边形. 所以/DH EB. 又DH 平面PBE，EB 平面PBE， 所以/DH平面PBE.4 分 而DH 平面DFH，FH 平面DFH，DHFHH， 所以平面/DFH平面PBE. 因为DF 平面DFH，所以/DF平面PBE.6 分 （2）由90BEC，得BEEC. 又因为平面PBE 平面BCDE，平面PBE平面BCDEBE， 所以EC 平面PBE.8 分 由（1） ，4
26、B CD E，4 BECDEC SS ， 所以 111 444 C PDEP CDEP BECC PBE VVVV .10 分 则1 C PBE V . 由 2 113 2 31 332 C PBEPBE VECSaaa ，解得1a . 所以2BE 12 分 20.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化 归与转化等思想方法. （1）由 1 224 yy xx ，得 22 44yx，即 2 2 10 4 x yy. 故轨迹 C 的方程为： 2 2 10 4 x yy.4 分 （2）根据题意，可设直线MN的方程为：1x
27、my， 由 2 2 1 1 4 xmy x y ，消去 x 并整理得 22 4230mymy.6 分 其中， 222 412416480mmm . 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m . 因直线l的倾斜角不为 0，故 1 x， 2 x不等于2（ 1 y， 2 y不为 0） ，从而可设直线AM的方程为 1 1 2 2 y yx x ， 直线BN的方程为 2 2 2 2 y yx x ， 所以，直线AM，BN的交点 00 ,Q x y的坐标满足： 21 00 12 2 22 2 yx xx yx .9 分 而 2121
28、 122 1212121 233 21 yxymymy yy yxymymy yy 2 1 22 1 2 1 1 2 32 3 934 44 3 3 34 4 mm y mmy mm m mmy y m ， 因此， 0 4x ，即点 Q 在直线4x上.12 分 21.（本小题满分 12 分） 本小题主要考查函数图象和性质、函数零点、不等式、函数的导数等基础知识；考査运算求解能力、推理 论证能力、应用意识和创新意识；考查分类与整合、化归与转化、数形结合等思想方法. （1）由题 x xx axea fxxx ee ，.1 分 则111feae ，得1a ，.2 分 此时 1 x x e fxx e
29、 ，由 0fx得0x. 则0x时， 0fx， f x为增函数；0x时， 0fx， f x为增函数， 且 00 f ， 所以 f x 为 R 上的增函数.4 分 （2）当0a时，由 0fx得0x或lnxa， 若1a ，由（1）知， f x为 R 上的增函数. 由 1 10 2 f ， 2 220fe， 所以 f x只有一个零点，不符合题意.6 分 若01a，则lnxa时， 0fx， f x为增函数；ln0ax时， 0fx， f x为减函数； 0x时， 0fx， f x为增函数. 而 00f xfa 极小 ，故 f x最多只有一个零点，不符合题意.8 分 若1a 时， 则0x时， 0fx， f x
30、为增函数；0lnxa时， 0fx， f x为减函数；lnxa 时， 0fx， f x为增函数. 得 21 lnlnln10 2 faaaf x 极小 ， 故 f x最 多 只 有 一 个 零 点 ， 不 符 合 题 意.10 分 当0a时，由 0fx得0x， 由0x得 0fx， f x为减函数，由0x得 0fx， f x为增函数， 则 00f xfa 极小 . 又x时， 0f x ，x 时， 0f x ， 所以当0a时， f x始终有两个零点. 综上所述，a 的取值范围是,0.12 分 （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 2
31、2.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程及其互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、 化归与转化等思想方法. （1）消去参数 t，得曲线 1 C的直角坐标方程为340xy， 则曲线 1 C的极坐标方程为cos3 sin40.2 分 消去参数，得曲线 2 C的直角坐标方程为 2 2 11xy，即 22 20xyx， 所以曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos0，即2cos.4 分 （2）射线tan0,0 2 yxx 的极坐标方程为0 2 ，.5 分 联立cos3 sin40，得 4 cos3sin A ， 所以 4 cos3
32、sin OA ；.6 分 由 2cos ，得2cos B ，则2cosOB，.7 分 因此 2coscos3sin 4 OB OA cos213sin211 sin 2 4264 .9 分 由0 2 ，得 7 2 666 . 所以，当2 62 ，即 6 时， max 113 244 OB OA . 故 OB OA 的最大值为 3 4 .10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 本小题主要考查含绝对值不等式的解法、基本不等式、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推 理论证能力；考查化归与转化等思想方法. （1）当3x时， 3 233f xxxx ，此时 6,f x ； 当30x 时， 3 23f xxxx ，此时3,6f x （ ）；.3 分 当0x时， 3 233f xxxx ，此时 3,f x ， 综上，函数 f x的值域为3,.5 分 （2）由（1）知，函数 f x的最小值为 3，则3M ，即3abc . 因为 1494949 14 bacacb abc abcabacbc .7 分 4949 14222 bacacb abacbc 36.9 分 其中，当且仅当 1 2 a ，1b， 3 2 c 取“=”. 又因为3abc ，所以 149 12 abc .10 分