1、20202020 年山东年山东省省普通高等学校招生全国统一考试普通高等学校招生全国统一考试模拟模拟数学试题数学试题（三三） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合12Axx ， 3 log1Bxx，则AB（ ） A12x
2、x B 02xx C 12xx D12x xx或 2已知复数z满足(13 )1i zi ，则复平面内与复数z对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加市新型冠状病毒肺炎疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人 最近同时参加校内其他竞赛选拔测试的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图，根据该折线图， 下面结论正确的是（ ） A甲、乙成绩的中位数均为 7 B乙的成绩的平均分为 6.8 C甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率 D甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 4已知函数( )f x的图象如图所示，则下列解析
3、式中与此图象最为符合的是（ ） A 2 ( ) ln | x f x x B 2| ( ) ln | x f x x C 2 1 ( ) 1 f x x D 1 ( ) 1 | | f x x x 5已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，直线yb与C的两条渐近线的交点分别为M，N，O为 坐标原点若OMN为直角三角形，则双曲线C的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 6已知点P在圆 22 4xy上，( 2,0)A ，(2,0)B，M为BP中点， 则sinBAM的最大值为 （ ） A 1 2 B 1 3 C 10 10 D 1 4 7 已知函数( )2sin()0,| 2
4、 f xx 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， 将函数( )f x的 图象向左平移 3 个单位长度后， 得到函数( )g x的图象， 若函数( )g x为偶函数， 则函数( )f x在区间0, 2 上的值域是（ ） A 1 ,1 2 B( 1,1) C(0,2 D( 1,2 8已知函数 ln ,0 ( ) 1,0 xx x f x xx ，若 12 xx，且 12 f xf x，则 12 xx的最大值为（ ） A1 B2 C2 D2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
5、错的得 0 分 9下列命题错误的是（ ） A(0,)x ， 11 23 xx B(0,1)x ， 11 23 loglogxx C(0,)x ， 1 2 1 log 2 x x D 1 0, 3 x ， 1 3 1 log 2 x x 10已知偶函数( )f x满足( )(2)0f xfx，则下列说法正确的是（ ） A函数( )f x是以 2 为周期的周期函数 B函数( )f x是以 4 为周期的周期函数 C函数(1)f x 为奇函数 D函数(3)f x 为偶函数 11已知正项数列 n a满足 1 2 nn aa ， n S是 n a的前n项和，则下列四个命题中正确的是（ ） A 11 2n
6、n aa B 2 12k kk SS C 1 2(2) nn Saa n D 1 n n a a 是递增数列 12 设M，N是抛物线 2 yx上的两个不同的点，O是坐标原点 若直线OM与ON的斜率之积为 1 2 ， 则（ ） A| 4 2OMON B以MN为直径的圆的面积大于4 C直线MN过定点(2,0) D点O到直线MN的距离不大于 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在一次 200 千米的汽车拉力赛中，50 名参赛选手的成绩全部频率组距介于 13 分钟到 18 分钟之间现 将比赛成绩分为五组：第一组13,14)，第二组14,15)，第五组17,18，其频率分
7、布直方图如图所示， 若成绩在13,15)之间的选手可获奖，则这 50 名参赛选手中获奖的人数为_ 14在ABC中，2AB ，3 3BC ，30ABC ，AD为BC边上的高若ADABAC， 则_ 15在实数集R中定义一种运算“*” ，具有如下性质： （1）对任意, a bR，a bb a ； （2）对任意aR，0aa； （3）对任意, a bR，()()()()5a bccabacb cc 则函数 1 ( )(0)f xxx x 的最小值为_ 16在三棱锥PABC中，PA 平面ABC， 2 3 BAC ，3AP，2 3AB ，Q是BC上的一动 点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 3 ，则
8、BC _，三棱锥PABC的外接球的表面 积为_ （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知ABC同时满足下列四个条件中的三个： 3 A ； 2 cos 3 B ；7a ；3b （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC的面积 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 431 nn aan ， nn ban （1）证明：数列 n b为等比数列； （2）求数列 n a的前n项和 n S 19 （12 分） “支付宝捐步”已经成为当下很热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝
9、捐步与年龄有关， 研究人员随机抽取了 5000 名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如表所示： 50 岁以上 50 岁以下 使用支付宝捐步 1000 1000 不使用支付宝捐步 2500 500 （1）根据上表数据，能否有 99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？ （2）55 岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前 5 天，捐步的步数与天 数呈线性相关 第x天 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 步数y 4000 4200 4300 5000 5500 根据上表数据，建立y关于x的线性回归方程 ybxa； 记由中回归方程得到的预测步
10、数为 y ，若从 5 天中任取 3 天，记yy 的天数为X，求X的分布列 以及数学期望 附参考公式与数据： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx； 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 20 （12 分）如图 1，在四边形ABCD中，ADBC，90BAD ，2 3AB ，4BC ，6AD， E是AD上的点， 1 3 AEAD，P为BE的中点将ABE沿BE折起到 1 ABE的位置，使得
11、 1 4AC ， 如图 2 （1）求证：平面 1 ACP 平面 1 ABE； （2）点M在线段CD上，当直线 1 AM与平面 1 APD所成角的正弦值为 6 8 时，求二面角 1 MAPD的 余弦值 21 （12 分） 已知椭圆 1 C的焦点在x轴上， 中心在坐标原点， 抛物线 2 C的焦点在y轴上， 顶点在坐标原点， 在 1 C、 2 C上各取两个点，将其坐标记录于表格中： x 3 2 4 2 y 9 2 0 8 2 2 （1）求 1 C、 2 C的标准方程； （2） 已知定点 1 0, 8 C ，P为抛物线 2 C上的一动点， 过点P作抛物线 2 C的切线交椭圆 1 C于A，B两点， 求A
12、BC面积的最大值 22 （12 分）已知函数 2 ( )1 ax f xx e （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当 3 e a 时，求证：( )ln (0)f xx x 数学详解答案数学详解答案 1B 由题意知，集合12Axx ， 03Bxx，则 02ABxx故选 B 2D 复数 1(1)(13 )1313 44413 iii zi i 在复平面内对应的点 13 13 , 44 在第 四象限故选 D 3D 将乙十次的成绩从小到大的排列为 2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，故其中位数为 78 7.5 2 ， A 不正确；乙的成绩的平均分为 7，B 不正确；从折线图可以看出甲第
13、四次到第六次所对应的点与乙第四次 和第五次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，C 错误；从折线图可以看出，乙的成绩比甲的 成绩波动更大，所以甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 4B 由函数的图象可知该函数是偶函数，A 为奇函数，不符合题意；当0x 时，函数没有意义，C 不符 合题意；当1x 时， 11 ( ) 11 | | f x xx xx 是减函数，D 不符合题意故选 B 5A OMN为直角三角形，OM与ON关于y轴对称，双曲线的两条渐近线互相垂直，则1 b a ， 双曲线C的离心率 2 12 cb e aa 故选 A 6B 设点M的坐标为( , )x y，则(22,2 )Pxy，将
14、点P的坐标代入圆的方程可得点M的轨迹方程为 22 (1)1xy， 如 图 所 示 ， 当AM与 圆K相 切 时 ，sinBAM取 得 最 大 值 ， 此 时 |1 s i n |3 MK BAM AK 故选 B 7 D 由函数( )f x图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， 得其最小正周期2 2 T 又因为0， 所 以 2 ， 解 得2 将 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度 后 ， 得 到 函 数 2 ( )2sin 2 3 g xx 的图象 因为函数( )g x为偶函数， 所以 2 32 k ，kZ 由| 2 ， 解得 6 ， 所以( )2sin 2
15、6 f xx 因为0 2 x ， 所以 1 sin 21 26 x ， 所以函数( )f x 在区间0, 2 上的值域是( 1,2故选 D 8C 当0x 时，( )ln1fxx，由( )0fx得 1 x e 当 1 x e 时，( )0fx，( )f x单调递增； 当 1 0x e 时，( )0fx，( )f x单调递减， 作函数图象如图 不 妨设 21 xx，由 12 f xf x，要使 12 xx最大，即求 21 max xx，当过A点的切线与1yx平行 时， 12 xx最大，令 1 1fx，则 1 ln1 1x ，得 1 1x ，所以点(1,0)A，此时 2 1x ，所以 12 xx 的
16、最大值为 2故选 C 9AC 由指数函数的图象可知，当(0,)x时， 11 23 xx 恒成立，A 错误；由对数函数的图象可 知，当(0,1)x时， 11 23 loglogxx恒成立，B 正确；对于 C，当 1 2 x 时， 12 22 x ， 1 2 log1x ，则 1 2 1 log 2 x x ，C 错误；对于 D，当 1 3 x 时， 1 3 log1x ， 1 3 3 3 1114 1 2222 x ，由对数函数 与指数函数的图象可知，当 1 0, 3 x 时， 11 log 23 x x 恒成立，D 正确 10BC 函数( )f x为偶函数，()( )fxf x( )(2)0f
17、 xfx，()(2)0fxfx， 则( )(2)0f xfx，即(2)( )fxf x ，(4)(2)( )fxfxf x ，故函数( )f x是周期为 4 的周期函数，由此可知 A 错误，B 正确；令( )(1)F xf x，则()(1)(1)Fxfxf x 在 ( )(2)0f xfx中 ，将x换 为1x， 得(1)(1)0f xfx， (1)(1)f xf x ， ()(1)( )Fxf xF x ，则函数( )(1)F xf x为奇函数，C 正确由题意不妨取满足条件的函数 ( )cos 2 f xx ，则 3 (3)cos(3)cossin 2222 f xxxx 为奇函数，D 错误
18、11 ABC 由 题 意 知 ， 1 2 nn aa ，0 n a ， 则 2 111 222n nnn aaaa ， A正 确 ； 212212 2212 kkk kkkkkkkkkk SSaaaSaaaSSS ，B 正确；当 2n时， 1 2 nn aa ， 3 3 2n n aa ， 2 2 2n n aa ， 1 1 2n n aa ，所以 12 1 2 n nn n a Saaa 1 2101 1 1 2 22 1 2222 1 2 n nnnn nnn nn aaaa aaaa ，C 正确；若数列 n a是正项等比数列，公比 为 3，则 1 32 n n a a ，此时 1 n n
19、 a a 是常数列，D 错误故选 ABC 12CD 不妨设M为第一象限内的点当直线MNx轴时， OMON kk ，由 1 2 OMON kk ，得 2 2 OM k， 2 2 ON k ，所以直线OM，ON的方程分别为 2 2 yx， 2 2 yx 与抛物线方程联 立，得(2, 2)M，(2,2)N，所以直线MN的方程为2x ，此时| 2 6OMON，以MN为直 径的圆的面积2S，A、B 错误当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为ykxm，与抛 物线方程联立消去x， 得 2 0kyym， 则1 40km 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 则 12 m y y k 因 为 1
20、 2 OMON kk ，所以 12 12 1 2 yy xx ，则 22 212 112 2y yx xy y ，则 12 2y y ，所以2 m k ，即 2mk ， 所以直线MN的方程为2ykxk， 即(2)yk x 综上可知， 直线MN为恒过定点(2,0)Q 的动直线，C 正确；易知当OQMN时，原点O到直线MN的距离最大，最大距离为 2，即原点O到直 线MN的距离不大于 2故选 CD 13解析：由频率分布直方图得成绩在13,15)之间的频率为1(0.380.320.08) 10.22 ，所以这 50 名参赛选手中获奖的人数为50 0.2211 答案：11 14解析： （方法一）由题意得
21、ADBC，2AB ，30ABC ，则3BD ， 1 3 BDBC， 1121 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC 又ADABAC， 2 3 ， 1 3 ， 1 3 （方法二）以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则(0,0)B，(3 3,0)C， ( 3,1)A，( 3,0)D由ADABAC得(0, 1)(3, 1)(2 3, 1)， 则 32 30 1 ，解得 2 3 1 3 ，则 1 3 答案： 1 3 15 解析： 根据定义的运算性质得 1111 ( )*00(0)0501f xxxxxx xxxx 11 123x xx （当且仅当1x 时取“”
22、 ） ，即( )f x的最小值为 3 答案：3 16解析：设直线PQ与平面ABC所成的角为，三棱锥PABC外接球的球心为O，半径为R，如图 所示，则 33 0sin 2 PA PQPQ ，所以2 3PQ ，则PQ的最小值为2 3，AQ的最小值是3， 即 点A到BC的 距 离 为3， 所 以 3 BAQ 因 为 2 3 BAC ， 所 以 3 C AQ ， 所 以 2 3ABAC， 所 以 22222 2 2c o s( 23 )( 23 )22323 3 B CA BA CA BA C 1 36 2 ，所以6BC 取ABC的外接圆的圆心为 O ，则圆 O 的半径 16 2 3 2 2 sin
23、3 r 连 接 OO ，作OMPA于点M，则点M为PA的中点，所以 2 2222 357 (2 3) 24 ROAOP ， 故三棱锥PABC的外接球O的表面积 2 457SR 答案：6 57 17解： （1）ABC同时满足，理由如下： 若ABC同时满足 因为 21 cos 32 B ，且(0, )B， 所以 2 3 B 所以AB，与三角形内角和为矛盾 所以ABC只能同时满足， 因为ab，所以AB，故ABC不满足 故ABC满足 （5 分） （2）由余弦定理得 222 2cosabcbcA， 即 222 1 7323 2 cc ， 解得5c 或5c （舍） 所以ABC的面积 1 sin6 3 2
24、SbcA （10 分） 18 （1）证明： nn ban， 11 1 nn ban 又 1 431 nn aan 1， 11 431141 4 nn nn nnnn annanban bananan 又 11 11 12ba ， 数列 n b是首项为 2，公比为 4 的等比数列 （6 分） （2）解：由（1）知， 1 24n n b ， 1 24n nn abnn ， 21 12 2 14 (1) 2 1444(123) 142 n n nn n n Saaan 2 211 41 322 n nn （12 分） 19解： （1）依题意，得 50 岁以上 50 岁以下 总计 使用支付宝捐步 10
25、00 1000 2000 不使用支付宝捐步 2500 500 3000 总计 3500 1500 5000 由表中数据得 2 K的观测值 2 5000(1000 500)10002500) 634.921 2000 3000 3500 1500 k 因为634.921 10.828， 所以有 99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关 （4 分） （2）由题意得 12345 3 5 x ， 40004200430050005500 4600 5 y ， 5 1 ( 2)( 600)1 ( 400)01 40029003800 ii i xxyy ， 5 2 1 4101410 i i x
26、x ， 5 1 5 2 1 380 ii i i i xxyy b xx ， 故4600380 33460a 所以y关于x的线性回归方程为3803460yx （8 分） 由可知， 第x天 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 步数y 4000 4200 4300 5000 5500 预测步数 y 3840 4220 4600 4980 5360 故X的可能取值为 1，2，3， 21 23 3 5 3 (1) 10 C C P X C ， 12 23 3 5 63 (2) 105 C C P X C ， 3 3 3 5 1 (3) 10 C P X C 故X的分布列为 X
27、1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 （11 分） 故 3319 ()123 105105 E X （12 分） 20 （1）证明：因为2 3AB ， 1 2 3 AEAD，所以 22 (2 3)24BE 又 23 tan 32 3 ABE，所以 6 ABE ， 3 PBC 在BPC中， 1 2 2 BPBE，4BC ， 2222 1 2cos242242 3 2 PCBPBCBP BCPBC ， 222 BPPCBC，所以 BPPC 在 1 APC中， 1 2AP ，2 3PC ， 1 4AC ， 所以 222 11 APPCAC， 所以 1 APPC 因为 1 AP 平面 1 ABE
28、，PB 平面 1 ABE， 1 PBAPP， 所以PC 平面 1 ABE 又PC 平面 1 ACP， 所以平面 1 ACP 平面 1 ABE （5 分） （2）解：以点P为坐标原点，PC，PE所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示， 则 1(0,1, 3) A，(2 3,0,0)C，(2 3,4,0)D （6 分） 设(2 3, ,0)Ma，04a，则 1 (2 3,1,3)AMa ， 1 (0,1, 3)PA ，(2 3,4,0)PD 设平面 1 APD的一个法向量为 111 ,mx y z， 由 1 0 0 m PA m PD ，得 11 11 30 2 340 yz xy ， 令
29、 1 2x ，则 1 3y ， 1 1z ，所以(2,3,1)m ， 所以 1 2 |4 33(1)3 |6 |cos,| 8 431 12(1)3 a m AM a ，解得2a 或8a （舍） ， 所以 1 (2 3,1,3)AM ，(2 3,2,0)PM （9 分） 设平面 1 APM的一个法向量为 222 ,nx y z， 由 1 0 0 n AM n PM ，得 222 22 2 330 2 320 xyz xy ，令 2 1x ，则 2 3y ， 2 1z ，所以(1,3,1)n ， 所以 3 10 cos, |10 m n m n m n （11 分） 由题图可知二面角 1 MAP
30、D为锐二面角， 所以当直线 1 AM与平面 1 APD所成角的正弦值为 6 8 时， 二面角 1 MAPD的余弦值为 3 10 10 （12 分） 21解： （1）设 22 1 22 :1(0) xy Cab ab ，由题意知点( 2,0)一定在椭圆上，则点 2 2, 2 也在椭圆 上，分别将其坐标代入得 2 4 1 a ， 22 1 2 2 1 ab ，解得 2 4a ， 2 1b ， 1 C的标准方程为 2 2 1 4 x y （3 分） 设 2 2: 2(0)Cxpy p，依题意知点(4,8)在抛物线上，代入抛物线 2 C的方程，得1p ， 2 C的标准方程为 2 2xy （5 分） （
31、2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 2 1 , 2 P tt ， 由 2 1 2 yx知yx ，故直线AB的方程为 2 1 () 2 ytt xt，即 2 1 2 ytxt， （6 分） 代入椭圆 1 C的方程整理得 2234 14440txt xt， 62442 164 14441640ttttt ， 3 12 2 4 14 t xx t ， 4 1 2 2 4 14 t x x t ， 42 6 2 22 22 44 14 16 |1 1414 tt t ABt tt 242 2 2 1164 14 ttt t ， 设点 1 0, 8 C 到直线AB的距离为d， 则 2 2
32、 22 11 14 82 18 1 t t d tt ， 1 | 2 ABC SABd 2 242 2 2 14 12 11641 2148 1 t ttt t t 2 422 11 164868 88 ttt 117 68 84 ， （11 分） 当2 2t 时取到等号，此时满足0 综上，ABC面积的最大值为 17 4 （12 分） 22 （1）解：函数( )f x的定义域为R， 2 ( )2(2) axaxax fxxex aex axe 当0a 时， 2 ( )1f xx，则( )f x在区间(0,)上为增函数，在区间(,0)上为减函数； （1 分） 当0a 时， 2 ( ) ax fx
33、ax xe a ，令( )0fx得 2 x a 或0x ， 令( )0fx得 2 0x a ，所以( )f x在区间 2 , a ，(0,)上为增函数，在区间 2 ,0 a 上为减函 数； （3 分） 当0a时， 2 ( ) ax fxax xe a ，令( )0fx得 2 0x a ，令( )0fx得 2 x a 或0x，所以 ( )f x在区间(,0)， 2 , a 上为减函数，在区间 2 0, a 上为增函数 （5 分） （2）证明：要证( )lnf xx，即证 2 ln1 ax x ex， 即证 3 ln1( 0) ax ex x xx 设 3 ln1 ( )(0) x g xx x
34、， 则 32 6 1 (ln1) 3 ( ) xxx x g x x 2 3 44 3 lnln 3ln2 xe x xx （8 分） 当 2 3 0xe 时，( )0g x 0；当 2 3 xe 时，( )0g x 所以( )g x在区间 2 3 0,e 上是增函数，在区间 2 3, e 上是减函数， 所以 2 3 xe 是( )g x的极大值点，也是( )g x的最大值点， 即 2 22 3 3 max3 2 3 ln1 ( ) 3 ee g xg e e （10 分） 设( )(0) 3 ax e h xx，则 2 1 ( ) ax a xe a h x x 当 1 0x a 时，( )0h x；当 1 x a 时，( )0h x 所以( )h x在区间 1 0, a 上是减函数，在区间 1 , a 上是增函数，所以 1 x a 上是( )h x的极小值点，也 是( )h x的最小值点， 即 min 1 ( )h xhae a （11 分） 当 3 e a 时， 2 ( )( ) 3 e g xaeh x，故( )lnf xx成立 （12 分）