1、20192019- -20202020 学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试 数数 学学 I I 卷卷 一、填空题 1已知集合 A=xx0, B=1,0,1,2, 则 AB 等于 2设i是虚数单位， (34 ) i复数z满足，z=4-3i,则复数z的虚部为 . 3执行如图所示算法流程图，如果输入6i ，则输出的 S 值为 4 函数 2 32yxx的定义域是 5. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放 球数量不限，则在 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为 6若, x y满足不等式组 1 10 1 xy x xy
2、, 则32xy的最大值为 7 已知两条直线m，n，两个平面，给出四个命题： 若/ /mn，m，则n若/ /，m，n，则/ /mn 若/ /m，m，则若，/ /m，则m 其中正确命题的序号是 8. 等差数列 n a的公差为 2， n S是数列 n a的前 n 项的和，若 20 40S， 则 135719 aaaaa . 9. 若双曲线 22 2 1 4 xy b 的右焦点与抛物线 2 12yx的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程 为 10. 在平面直角坐标系xOy中，直线 1: 40lkxy与直线 2: 30lxky相交于点P， 则当实数k变化时，点P到直线43100xy的距离的最大值为 . 11
3、已知点 P 在ABC 内，且满足 11 34 APABAC，并设PCB, PCA, PAB 的面积 依次 123 ,S S S则 123 :SSS _ 12. 已知函数 2 4,0 ( ) 3 ,0 xxx f x x x ，若函数( ) |( )| 3g xf xxb有三个零点，则实数b的取 值范围为 13已知函数( )sin(2) 6 f xx ，若方程 3 ( ) 5 f x 的解为 1 x， 212 (0)xxx， 12 sin()xx 14. 已知 1 x， 2 x是函数 2 ( )2f xxmlnxx，mR的两个极值点，若 12 xx， 则 1 2 ( )f x x 的取值范围为
4、二 解答题 15(本小题满分 14 分) ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 bcosAccosB（ca）cosB （1）求 B 的大小； （2）若 D 在 BC 边上，BD2DC2，ABC 的面积为 3；求 sinCAD 16. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，M 是 PA 上的点，ABD 为正三角形，CBCD，PABD. (1) 求证：平面 MBD平面 PAC； (2) 若BCD120 ，DM平面 BPC， 求证：点 M 为线段 PA 的中点 17. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的离心率为
5、 6 3 ，焦距为2 2斜率为k的直线l与椭 圆M有两个不同的交点A，B (1)求椭圆M的方程； (2)设( 2,0)P ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为 D若C，D和点 7 1 (,) 4 2 Q 共线，求k 18. (本小题满分 16 分) 某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区ABCD（如图）.经测量，AB长为2百米，CD长 为6百米，AB与CD相距2百米，田地内有一条笔直的小路EF（E在BC上，F在AD 上）与AB平行且相距0.5百米.现准备从风景区入口处A出发再修一条笔直的小路AN与 BC交于N，在小路EF与AN的交点P处拟建一座瞭望塔. （1）若瞭望塔
6、P恰好建在小路AN的中点处，求小路AN的长； （2）两条小路EF与AN将菜花风景区划分为四个区域，若将图中阴影部分规划为观赏区. 求观赏区面积S的最小值. P AB C D F E N 19. (本小题满分 14 分) 已知函数( )2(2) ( xx f xaeeax aR ，e是自然对数的底数） （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0x 时，( ) (2)cosf xax，求a的取值范围 20. (本小题满分 14 分) 已知数列 n a 是首项为 1 的等差数列，数列 n b 是公比不为 1 的等比数列，且满足 122 aab， 233 aab， 454 aab (1) 求数列 n
7、 a， n b的通项公式； (2) 令 *22 11 () (1)(1) nn n nnnn ab cnN a bab ，记数列c n 的前 n 项和为 n S，求证：对任意的 * nN，都有 4 1 3 n S； (3) 若数列 n d满足 1 1d ， 1nnn ddb ，记 1 2 n k n k k d T b ，是否存在整数，使得对任意的 * nN都有 2 12 n n n d T b 成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 20192019- -20202020 学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试 数数 学第学第 IIII 卷卷
8、 21A.（本小题满分 10 分） 已知矩阵 A 40 01 ，B 12 05 ，列向量 X a b . (1) 求矩阵 AB； (2) 若 B 1A1X 5 1 ，求实数 a，b 的值 21B （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为 3 (2 2,) 4 ，直线l的极坐标 方程为sin()2 20 4 （1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程； （2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值 22. （本小题满分
9、 10 分） 在一次运动会上，某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛 （1）如果随机抽派 5 名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望； （2）若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有 2 名队 员技术特点相同， 也不宜同时上场； 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队 员，教练员有多少种组队方案？ 23 （本小题满分 10 分） （1）已知： 1 11 mmx nnn CCC 及 1( 2 mm ny m CCn n ，*nN，*)mN 求x；y（结果用m，n表示） （2）已知 0
10、12 1111 ( )( 1) 2342 nn nnnn f nCCCC n ，*nN 猜想( )f n的表达式并用数学归纳法证明你的结论 20192019- -20202020 学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试 数数 学学答案答案 一、填空题 1 （5 分）已知集合 A=xx0, B=1,0,1,2, 则 AB 等于 答案：1,2 2 （5 分）设i是虚数单位， (34 ) i复数z满足，z=4-3i,则复数z的虚部为 . 答案：-1 3 （5 分）执行如图所示算法流程图，如果输入， 则输出的值为 答案：21 4 函数 2 32yxx的定义域是
11、 答案： 3，1 5. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的 放球数量不限，则在 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为 【答案】 2 9 6若, x y满足不等式组 1 10 1 xy x xy , 则32xy的最大值为 【答案】3 7 （5 分）已知两条直线m，n，两个平面，给出四个命题： 若/ /mn，m，则n若/ /，m，n，则/ /mn 若/ /m，m，则若，/ /m，则m 其中正确命题的序号是 8. 等差数列 n a的公差为 2， n S是数列 n a的前 n 项的和，若 20 40S， 则 135719 aaaaa . 答案：10 9. 若双曲线
12、 22 2 1 4 xy b 的右焦点与抛物线 2 12yx的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程 为 答案： 5 2 yx 10. 在平面直角坐标系xOy中，直线 1: 40lkxy与直线 2: 30lxky相交于点P， 则当实数k变化时，点P到直线43100xy的距离的最大值为 . 答案： 9 2 11已知点 P 在ABC 内，且满足 11 34 APABAC，并设PCB, PCA, PAB 的面积 依次 123 ,S S S则 123 :SSS _ 答案：5:4:3 12. 已知函数 2 4,0 ( ) 3 ,0 xxx f x x x ，若函数( ) |( )| 3g xf xxb有三个零
13、点，则实数b的取 值范围为 答案: 1 (, 6)(,0 4 b 13 （5 分）已知函数( )sin(2) 6 f xx ，若方程 3 ( ) 5 f x 的解为 1 x， 212 (0)xxx， 12 sin()xx 答案 ： 4 5 14. 已知 1 x， 2 x是函数 2 ( )2f xxmlnxx，mR的两个极值点，若 12 xx， 则 1 2 ( )f x x 的 取值范围为 (ln 2 0) 3 2, 二 解答题 15 （14 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 bcosAccosB（ca）cosB （1）求 B 的大小； （2）若 D 在 BC 边
14、上，BD2DC2，ABC 的面积为 3；求 sinCAD 解： （1）bcosAccosB（ca）cosB 由正弦定理可得，sinBcosA+sinAcosB2sinCcosB， 即 sin（A+B）sinC2sinCcosB， -3 分 因为 sinC0， 所以 cosB， 故 B； -6 分 （2）3， 故 AB4， ABD 中，由余弦定理可得，cosB， 解可得，AD2， -10 分 易得 AD2+BD2AB2，即 ADDB，AC， RtADC 中，sinDAC-14 分 16. (本小题满分 14 分) 如图， 在四棱锥 PABCD 中， M 是 PA 上的点， ABD 为正三角形，
15、CBCD，PABD. (1) 求证：平面 MBD平面 PAC； (2) 若BCD120 ，DM平面 BPC， 求证：点 M 为线段 PA 的中点 证明：(1) 取 BD 的中点 O，连结 OA，OC， ABD 为正三角形， OABD. CBCD， OCBD. 在平面 ABCD 内，过 O 点垂直于 BD 的直线有且只有一条， A，O，C 三点共线，即 ACBD.-(2 分) PABD，AC，PA平面 PAC，ACPAA， BD平面 PAC.-(4 分) BD平面 MBD， 平面 MBD平面 PAC.- -(6 分) (2) (证法 1)延长 BC，AD，交于 Q 点，连结 PQ， DM平面 B
16、PC，DM平面 PAQ，平面 BPC平面 PAQPQ， DMPQ.-(8 分) 在CBD 中， CBCD，BCD120 ， CBD30 ， ABC30 60 90 ， ABO 为直角三角形 在 RtABQ 中，BAQ60 ， AQ2AB2AD， 点 D 是 AQ 的中点，-(12 分) 点 M 为线段 PA 的中点-(14 分) (证法 2)取 AB 的中点 N，连结 MN 和 DN， 易算得ABC90 ，即 ABBC. ABD 为正三角形， DNAB. 又 DN，BC，AB 共面， DNCB. DN平面 BPC，CB平面 BPC， DN平面 BPC.-(8 分) DM平面 BPC，DN，DM
17、平面 DMN， 平面 DMN平面 BPC.-(12 分) MN平面 DMN， MN平面 BPC. MN平面 PAB，平面 PAB平面 BPCPB， MNPB. N 是 AB 的中点， M 为线段 PA 的中点 -(14 分) 17.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的离心率为 6 3 ， 焦距为2 2 斜率为k的直线l与 椭圆M有两个不同的交点A，B (1)求椭圆M的方程； (2)设( 2,0)P ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交 点为D若C，D和点 7 1 (,) 4 2 Q 共线，求k 解：(1)由题意得22 2c ，所以2c ， 又 6
18、3 c e a ，所以3a ，所以 222 1bac， 所以椭圆M的标准方程为 2 2 1 3 x y-4 分 (2)设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 33 (,)C x y， 44 (,)D xy， 则 22 11 33xy ， 22 22 33xy ， 又( 2,0)P ，所以可设 1 1 1 2 PA y kk x ，直线PA的方程为 1( 2)yk x， 由 1 2 2 (2) 1 3 yk x x y 消去y 可得 2222 111 (1 3)121230kxk xk， 则 2 1 13 2 1 12 1 3 k xx k ，即 2 1 31 2 1 12 1
19、3 k xx k ，-8 分 又 1 1 1 2 y k x ，代入式可得 1 3 1 712 47 x x x ，所以 1 3 1 47 y y x ， 所以 11 11 712 (,) 4747 xy C xx ， 同理可得 22 22 712 (,) 4747 xy D xx -11 分 故 33 71 (,) 42 QCxy， 44 71 (,) 42 QDxy， 因为,Q C D三点共线，所以 3443 7171 ()()()()0 4242 xyxy， 将点,C D的坐标代入化简可得 12 12 2 yy xx ， 即2k -14 分 18. 某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区AB
20、CD（如图） .经测量，AB长为2百米，CD 长为6百米，AB与CD相距2百米， 田地内有一条笔直的小路EF（E在BC上，F在AD 上）与AB平行且相距0.5百米.现准备从风景区入口处A出发再修一条笔直的小路AN与 BC交于N，在小路EF与AN的交点P处拟建一座瞭望塔. （1）若瞭望塔P恰好建在小路AN的中点处，求小路AN的长； （2）两条小路EF与AN将菜花风景区划分为四个区域，若将图中阴影部分规划为观赏区. 求观赏区面积S的最小值. 解：过点 P、N、C 分别做 AB 的垂线， 垂足分别为 Q、M、G （1）因为 P 是 AN 的中点，所以 MN=2PQ=1 由已知条件易知 CBG是等腰直
21、角三角形， 所以 BM=MN=1， 所以 AM=AB+BM=2+1=3 -4 分 在直角三角形 AMN 中，由勾股定理的 2222 3110ANAMMN 答：小路 AN 的长为10百米； -6 分 （2）以直线 CD 所在直线为 X 轴，边 CD 的垂直平分线为 Y 轴建立如图所示的平面直角纵坐 标系，设 13 ( , ) , 0, ) 22 P tt 则直线 1 :(1) 2(1) AP yx t -8 分 联立直线 2 :1 21 N BC yxy t 得 所以PEN的高为 2132 2122(21) t tt -10 分 所以 2 13 113321 23 ()() 222222(21)
22、221 ttt Stt tt -12 分 令211,4)tm 则 2 138183 32 444 mm Sm mm 所以当2 2m 即 1 2 2 t 时，S 的最小值为 3 2 4 -14 分 答：观赏区面积S的最小值为（ 3 2 4 ）平方百米。-16 分 P AB C D F E N 19. 已知函数( )2(2) ( xx f xaeeax aR ，e是自然对数的底数） （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0x 时，( ) (2)cosf xax，求a的取值范围 解： （1） 2 (2)2 ( )2(2) xx xx x aeae fxaeea e ，-2 分 当0a时，( )0
23、fx，函数( )f x在R上递减； 当0a 时，由( )0fx解得 2 xln a ， 故函数( )f x在 2 (,)ln a 上单调递减， 由( )0fx解得 2 xln a ，故函数( )f x在 2 (,)ln a 上单调递增 -4 分 （2）当 2 x 时， 22 ()2(2)0 22 faeea ， 即 2 2 2 ()0 2 ea e ，故0a ， -6 分 令( )( )(2)cos2(2)(2)cos xx g xf xaxaeeaxax ， 则 2 2 ( )(2)(2)sin x x ae g xaax e ， -8 分 若2a，则当0x，时，( ) 0g x，函数( )
24、g x在0，上单调递增， 当( ,)x时， 2 ( )2(2)(2)24 440 4 xx g xaeeaaaeea 厖?， 当0x，)时，( )g x单调递增，则( )(0)0g xg，符合题意；-10 分 若02a，则(0)2(2)0ga， ( )2(2)(2)24 xxxx g xaeeaaaee ， 由240 xx aee得 242 0 a xln a ，故 242 () 0 a g ln a ，-12 分 存在 0 242 (0, a xln a ，使得 0 ()0g x，且当 0 (0,)xx时，( )0g x， ( )g x在 0 (0,)xx上单调递减， 当 0 (0,)xx时
25、，( )(0)0g xg，不合题意，-14 分 综上，实数a的取值范围为2，) -16 分 20. 已知 数列 n a 是首项为 1 的等差数列，数列 n b 是公比不为 1 的等比数列，且满足 122 aab， 233 aab， 454 aab (1) 求数列 n a， n b的通项公式； (2) 令 *22 11 () (1)(1) nn n nnnn ab cnN a bab ，记数列c n 的前 n 项和为 n S，求证：对任意的 * nN，都有 4 1 3 n S； (3) 若数列 n d满足 1 1d ， 1nnn ddb ，记 1 2 n k n k k d T b ，是否存在整
26、数，使得对任意的 * nN都有 2 12 n n n d T b 成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 解：(1) 设等差数列 n a 的公差为 d，等比数列 n b 的公比为q， 则 1 2 1 3 1 2 23 27 dbq dbq dbq ，所以 1 2 1 2(1) 4(1) dbq q dbq q ，因为1,0q ，所以2q -2 分 所以 1 1 1 22 234 278 db db db ，解得 1 2db 所以 1 1 2(1)21 , 2 22 nn nn annb -4分 (2) 因为 2 22 1 11 (23)2 (1)(1)(21) 21(21) 21 n
27、nn n nn nnnn abn c a babnn 1 11 =4 (21) 21(21) 21 nn nn -6 分 所以 123nn Scccc 12231 111111 4 ()()() 1 1 213 213 215 21(21) 21(21) 2 nn nn 11 11 4 (1 1 2 1(21) 2nn 1 114 4() 31(21) 23 n n -8 分 又因为对任意的 * nN，都有 n S单调递增， 即 11 5 840 1 3 1339 n SSc ， 所以对任意的 * nN，都有 4 1 3 n S成立；-10 分 （3）假设存在满足要求的整数， 令1n ，则 1
28、1 22 12 dd bb ， 解得59； 令2n ，则 122 244 1()2 ddd bbb ， 解得17 33 55 ； 令3n ，则 3312 2466 1()2 dddd bbbb ， 解得 67133 2323 ； 所以 133 5 23 ，又已知Z，故若存在，则5-12 分 下证：当5时，对任意的 * nN，都有 2 12 n n n d T b 成立。 23 123 1111 4444 n nn Tdddd ； 231 11231 11111 44444 nn nnn Tddddd 231 1112231 11111 ()()() 44444 n nnnn TTddddddd
29、 ； 即 12 1112231 111 4()()() 444 n nnnn TTddddddd 2323 23 111111111 1222212 444422222 nnn n 又 1 11 1 4 n nnn TTd ；所以 11 11 52( ) 42 n n nnnn TTTd 则 1 11 52( ) 24 n n nn Td 11 22 11111 52( )( )2( )( )( ) 24244 nnnnnnn nnnn nn dd Tddd bb 1 11111 2( )( ) ()2( )( ) 222 ( ) 24242 nnnnnn nn dd -14 分 而对任意的
30、* nN， 1 22 ( ) 2 n 单调递增， 所以 1 11 22 ( )22 ( )2 22 n 即对任意的 * nN都有 2 152 n n n d T b 成立，得证 所以，存在整数5，使得对任意的 * nN都有 2 12 n n n d T b 成立。-16 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分 A. （选修 4-2：矩阵与变换） （本小题满分 10 分） 已知矩阵 A 40 01 ，B 12 05 ，列向量 X a b . (1) 求矩阵 A
31、B； (2) 若 B 1A1X 5 1 ，求实数 a，b 的值 解： (1) AB 40 01 12 05 48 05 .- 4 分 (2) 由 B 1A1X 5 1 ， 解得 ABB 1A1XAB 5 1 ， 即 XAB 5 1 48 05 5 1 28 5 ，-7 分 所以 a28，b5. - 10 分 选修选修 4-4：坐标系参数方程：坐标系参数方程 B （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，在以 坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为 3 (2 2,) 4 ，直线 l的极坐标方程为sin()2 20
32、 4 （1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程； （2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值 解： （1）直线l的极坐标方程为sin()2 20 4 ， 即sincos40， 由cosx，siny， 可得直线l的直角坐标方程为40xy -2 分 将曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数）消去参数， 得曲线C的普通方程为 2 2 1 3 x y；-4 分 （2）设( 3cosN，sin )，0，2 )， 点M的极坐标(2 2， 3 ) 4 化为直角坐标( 2,2)， 则 3 (cos1 2 P， 1 sin1) 2 ，-7 分 点P到直线
33、l的距离 31 |sin()6|cossin6| 7 2 322 222 d 当 5 6 时，点M到直线l的距离的最大值为 7 2 2 -10 分 22. 在一次运动会上， 某单位派出了有6 名主力队员和5 名替补队员组成的代表队参加比赛 （1）如果随机抽派 5 名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望； （2）若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有 2 名队 员技术特点相同，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主 力队员，教练员有多少种组队方案？ 解： （1）由题意知随机变量X的取值是 0、1、2
34、、3、4、5， 当0X 时，表示主力队员参加比赛的人数为 0，以此类推， 05 65 5 11 (0) C C P X C ； 14 65 5 11 (1) C C P X C ； 23 65 5 11 (2) C C P X C ； 32 65 5 11 (3) C C P X C ； 41 65 5 11 (4) C C P X C ； 50 65 5 11 (5) C C P X C -3 分 随机变量X的概率分布如下表： 051423324150 656565656565 555555 111111111111 ()012345 C CC CC CC CC CC C E X CCCCCC 630 2.73 231 -6 分 （2）由题意知上场队员有 3 名主力，方案有： 3122 6452 ()()144CCCC（种) 上场队员有 4 名主力，方案有： 421 645 ()45CC C（种) 上场队员有 5 名主力，方案有： 53041 64542 ()2CC CC