1、20202020 年高三校际联合考试年高三校际联合考试数学试题数学试题 202006 考生注意： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合 2 20 ,2, 1,0,1,2Mx xxNMN ，则 A B 1 C
2、01 ， D101 ， ， 2已知复数 1 3 ai z i 为纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则实数a A3 B3 C 1 3 D 1 3 3己知abc ，则下列各式成立的是 Alnlnab B cc ab C ab cc D 11cc ba 4 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传 下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方” ， 是中华文化阴阳术数之源河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二 与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中 白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为 A.
3、 1 5 B. 6 25 C. 8 25 D. 2 5 5函数 1 sin2 8 x f xex的部分图象大致是 6已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数，当0x时， 22 x f xxa，则1f A.3 B3 C2 D1 7已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近 线的直线交双曲线于点 A，若 12 AFF的内切圆半径为 4 b ，则双曲线的离心率为 A. 2 3 3 B 5 4 C 5 3 D 3 2 2 8如图，体积为 V 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大 球球面有且只有一个交点，4 个小球的球心
4、是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点 1 V为小球相交部分(图中阴影部分)的体积， 2 V为大球内、小球外的图 中黑色部分的体积，则 A 1 2 V V B 2 2 V V C 12 VV D 12 VV 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求的，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。 92019 年 10 月 31 日，工信部宣布全国 5G 商用正式启动，三大运营商公布 5G 套餐方案，中国正 式跨入 5G 时代某通信行业咨询机构对我国三大 5G 设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达
5、 图所示(每项指标值满分为 5 分，分值高者为优)，则 AP 设备商的研发投入超过 Q 设备商与 R 设备商 B三家设备商的产品组合指标得分相同 C在参与评估的各项指标中，Q 设备商均优于 R 设备商 D除产品组合外，P 设备商其他 4 项指标均超过 Q 设备商与 R 设备商 10已知 F 是椭圆 22 1 2516 xy 的右焦点，椭圆上至少有 21 个不同的点1,2,3, i P i ， 123 ,FPFPFP，组成公差为 d(d0)的等差数列，则 A该椭圆的焦距为 6 B 1 FP的最小值为 2 Cd 的值可以为 3 10 Dd 的值可以为 2 5 11对于四面体 ABCD，下列命题正确
6、的是 A由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 的垂心 B分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点 C若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在直线异面 D最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 XR，用x表示不超过 x 的最 大整数，则 yx称为高斯函数，例如：3.54, 2.12己 知函数 4 2 1 x x e f x e ，则 A ,1xR xxx B g xf x 是偶函数 C ,x y
7、R xyxy D若 f x的值域为集合,MtM ，使得 345 1,2,3,2 n ttttn 同时成立， 则正整数n的最大值是 5 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知tan1，则 2cossin cos3sin _ 14已知单位向量, a b满足3ab，则向量ab与的夹角为_ 15设函数 1 423 0 2 xx x f xx 的最小值为m，且 11 0 11 m xxa 21011 121011 2222=axaxaxaxm，则_， 1 a _. (本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16已知函数 cos2f xx，将函数 yf x的图象向右平移 4
8、 个单位，所得的图象上每一点的 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的 2 倍后所得到的图象对应的函数记作 yg x，己知常数 ,R nN ，且函数 0F xf xg xn在 ，内恰有 2021 个零点，则n_. 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17(10 分) 已知等差数列 n a满足 3 6a ，前 7 项和为 7 49S (1)求 n a的通项公式； (2)设数列 n b满足3 3n nn ba，求 n b的前n项和 n T 18(12 分) 在2a ， 4 B ，3cb这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题 在ABC 中，, ,a b c
9、分别为内角 A，B，C 的对边，且满足sinsinbaBA 3sinsincBC (1)求 A 的大小； (2)已知_，_，若ABC 存在，求ABC 的面积；若ABC 不存在，说明理由(注： 如果多种选择分别解答，按第一个解答计分) 19(12 分) 如图所示， 四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，60BCD， E 是 CD 的中点，PA 底面 ABCD，2PA (1)证明：平面PBE 平面PAB； (2)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的余弦值 20(12 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 :20C ypx p的焦点为 F，A 为抛物线上异于原点
10、 的任意一点，以 AO 为直径作圆，当直线 OA 的斜率为 1 时，4 2OA (1)求抛物线 C 的标准方程； (2)过焦点 F 作 OA 的垂线l与圆的一个交点为 M，l交抛物线于 P， Q(点 M 在 P，Q 之间)，记OAM的面积为 S，求 2 3 2 SPQ的最小值 21(12 分) 为了提高某生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造为了对比技术改造前后的效 果，采集了该生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，并绘制了如 下茎叶图： (1)设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数为 m，并将连续正常运行时间超过 m 和不超过 m 的 次数
11、填入上面的列联表，试写出, , ,a b c d的值；根据列联表，能否有 95的把握认为生产线技术改 造与连续正常运行时间的中位数有关； (2)工厂的一个生产周期为 60 天，生产线的运行需要进行维护一个生产周期需设置几个维护周期， 每个维护周期相互独立工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产 线设定维护周期为 20 天，即从开工运行到第 20 天kN 进行正常维护，正常维护费为 2 千元 周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行， 则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收费一次，第一个需保障维护的周期收费为 1 千元，在后面的维护周期中，如出现保障维护，收取的保障维护费在上次收取的保障维护费的基础 上增加 1 千元以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生 产周期内生产维护费 X 的分布列及其期望 附： 2 2 n adbc abcdacbd ， 22(12 分) 已知函数 2 1ax f xb bx (1)求 f x的单调区间； (2)设 2 1lnln1 0, 1 xxxx g xf xx x ，都有 12f xf成立，证明： 0,x ，都有 2 1g xe 。