1、20202020 年高考质量监测考试高三数学（文）试题年高考质量监测考试高三数学（文）试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 一一、选择题（本大题共、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给
2、出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的） 1.集合2,Ax xxR， 2 230Bx xx，则AB （ ） A. , 13, B.3, C.2, D.2,3 2.已知复数 1 i 2i z ，则复数 z 在复平面内所对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 2 5 1 3 a ， 1 3 2 5 b ， 2 1 log 3 c ，则（ ） A.abc B.cba C.cab D.bca 4.某生物研究所在新冠病毒（COVID 19）疫苗的研制过程中，为验证疫苗的治疗效果，进行了动物的对 比试验，现对 200 只小白鼠进行试验，得到
3、如下数据： 未发病 发病 合计 未接种疫苗 20 60 80 接种疫苗 80 40 120 合计 100 100 200 附： 2 2 n adbc K abcdacbd P（ 2 0 Kk） 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 则下列说法正确的是（ ） A.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关“ B.至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关” C.至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关” D.“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01% 5.已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （0a ，
4、0b ）的右焦点与圆 M： 2 2 25xy的圆心重合，且圆 M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.2 C.3 D.3 6.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等 式具有“穿墙术” ： 22 22 33 ， 33 33 88 ， 44 44 1515 ， 55 55 2424 ，则按照以上规律， 若 88 88 nn 具有“穿墙术“，则n（ ） A.7 B.35 C.48 D.63 7.函数 22 11 sinf xxx x 在区间 2 ,2 上的大致图像为（ ） A. B. C. D. 8.执行
5、下面的程序框图，若输出的结果是 16，则空白框中应填（ ） A.1nn，SSn B.2nn，SSn C.SSn，1nn D.SSn，2nn 9.已知函数 sincosf xxx（0， 2 ）的图象向右平移 3 个单位长度得到函 数 g x的图象，若函数 g x的最小正周期为， 3 x 为函数 g x的一条对称轴，则函数 g x的一个 单调递增区间为（ ） A.0, 6 B., 2 C. 5 , 36 D., 6 3 10.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则ABC面积 2 222 21 42 abc
6、 Sab .根据此公式，若 cos3cos0aBbcA ，且 222 2abc，则ABC的面积为（ ） A.2 B.2 2 C.6 D.2 3 11.已知抛物线 2 4yx 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 M，N 两点，直线4x 与MO，NO的 延长线分别交于 P，Q 两点，则: MONPOQ SS （ ） A. 1 8 B. 1 9 C. 1 12 D. 1 16 12.已知函数 3 ln ln3 xax f xa xx 在区间1,上恰有四个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A.0,e B. ,33,e C. 2, e D. ,3e 二、填空题（本大题共二、填空题
7、（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知平面向量,2am，1,3b ，且 bab，则a与b夹角大小为_. 14.在区间1,1上随机取一个数 k，则能够使直线3yk x与圆 22 1xy相交的概率为_. 15.已知函数 2sin xx f xeex ，则不等式 2 210fxf x的解集为_. 16.在三棱锥ABCD中，底面为直角三角形，且BCCD，斜边BD上的高为 1，三棱锥ABCD的外 接球的直径为AB，若该外接球的表面积为16，则三棱锥ABCD的体积的最大值为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应
8、写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且5 33 n nn Sa ， 2 41 3 n n n a b n . （1）证明：数列2 3n n a 为常数列； （2）求数列 n b的前 n 项和 n T. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AACC 底面ABC， 11 2AAACACABBC，且点 O 为AC中点. （1）证明： 1 AOBC； （2）求三棱锥 1 CABC的体积. 19.（本小题满分 12 分） 某商场的空调在 1
9、 月到 5 月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表： 月份 x 1 2 3 4 5 销量 y（百台） 0.6 0.8 1.2 1.6 1.8 （1）经分析发现 1 月到 5 月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量 y（百台）与月份 x 之间 的相关关系.请用最小二乘法求 y 关于 x 的线性回归方程ybxa，并预测 6 月份该商场空调的销售量； （2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对 7 月到 12 月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设 该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的 500 名顾客进行了一个抽样调查，得 到如下一份频数表： 有购买意愿对
10、应的月份 7 8 9 10 11 12 频数 60 80 120 130 80 30 现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在 7 月与 12 月的这 90 名顾客中随机抽取 6 名，再从这 6 人中随 机抽取 3 人进行跟踪调查，求抽出的 3 人中恰好有 2 人的购买意愿月份是 12 月的概率. 参考公式与数据：线性回归方程ybxa，其中 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 5 1 21.2 ii i x y . 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，左顶点为 A，离心率为
11、 2 2 ，点 B 是椭圆上的动点， 1 ABF面积的最大值为 21 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）设经过点 1 F的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，线段MN的中垂线为 l .若直线 l 与直线 l 相 交于点 P，与直线2x 相交于点 Q，求 PQ MN 的最小值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 3 ln 2 f xxaxx（aR） （1）若1a ，求函数 f x的单调区间； （2）若函数 f x在区间0,1上有唯一的极值点 0 x，求 a 的取值范围，并证明： 0 3 2 f x . 【选考题】请考生在第【选考题】请考生在第 22，23 题中任选
12、一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 xt ymt （t 为参数，mR）以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 3 12sin （0，0,）. （1）求曲线 1 C、 2 C的直角坐标方程； （2）设 P、Q 分别为 1 C、 2 C上的动点，若 P、Q 间距离的最小值
13、为2 2，求实数 m 的值. 23.（本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知正实数 x，y 满足1xy （1）解关于 x 的不等式 5 2 2 xyxy； （2）证明： 22 11 119 xy . 2019-2020 学年高考质量监测考试学年高考质量监测考试 高三数学（文）参考答案高三数学（文）参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A A D C D C A D B 1. 2 230, 13,Bx xx ，2,Ax
14、xxR，故3,AB . 2.由题意可得 111 222 i zi i ，故复数 z 在复平面内对应点为 11 , 22 ，在第四象限. 3. 2 0 5 11 01 33 ， 1 0 3 22 1 55 ， 22 1 loglog 10 3 ，cab . 4.根据所给表格的数据，结合 2 K计算公式，可得其观测值为 2 2 200 20 4060 80100 10.828 100 100 80 1203 K ，所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”. 5.由已知，2c ，渐近线方程为0bxay，因为圆 M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，所以 圆心 M 到渐近线的距离为
15、 2 2 22 22 23 bb rb c ab ，故 22 1acb，所以离心率为 2 c e a . 6.观察所给等式特征：若等式左侧根号外面的数为 m，则根号内部的分子为 m，分母为 2 1m ，据此归纳推 理知： 2 8163n . 7.由题知 22 11 sinf xxx x 是偶函数，故排除 A、D 两个选项；又 0f ，当0,x时， sin0xx ， 22 11 x ，故 0f x ；当,2x时，sin0xx， 22 11 x ，故 0f x ，所以当 0,2x 时， f x仅有一个零点，故排除 B 选项. 8.A 选项，若空白处是1nn，SSn时，14i 成立，2n，022S
16、，24i 成立， 所以3n ，2 3 5S ，34i 成立，所以4n，4 59S ，44i 成立，所以5n ， 5 914S ，54i 不成立，故14S ，不符合题意；B 选项，若空白处是2nn，SSn时， 14i 成立，3n ，033S ，24i 成立， 所以5n ，5 38S ，34i 成立， 所以7n， 8 715S ，44i 成立，所以9n，15 924S ，54i 不成立， 故24S ，不符合题意； C 选项，若空白处是SSn，1nn时，14i 成立，1S ，2n，24i 成立，所以3S ， 3n ，34i 成立， 所以6S ，4n，44i 成立， 所以10S ，5n ，54i 不成
17、立， 故10S ， 不符合题意； D 选项， 若空白处是SSn，2nn时，14i 成立，1S ，3n ，24i 成立， 所以4S ，5n ，34i 成立，所以9S ，7n，44i 成立，所以16S ，9n，54i 不成立，故16S ，符合题意 9.由题意知， 2sin 4 f xx ，所以 2sin 334 g xfxx ，因为 g x的最小正周期为，所以 2 ，解得2，所以 2 2sin 2 34 g xx ，由 3 x 为 g x的一条对称轴， 则 42 k （kZ） ， 即 3 4 k （kZ） ， 因为 2 ， 可得 4 ， 所 以 函 数 7 2 s i n26gxx ， 令 7 2
18、22 262 kxk （kZ）， 解 得 5 36 kxk ， （kZ） ，当0k 时， 5 36 x . 10.因为cos3cos0aBbcA，由正弦定理得sincoscossin3sincos0ABABCA，即 sin3sincos0ABCA，即sin1 3cos0CA ，因为sin0C ，所以 1 cos 3 A ，由余弦定 理 222 2 2cos2 3 abcbcAbc ，所以3bc ， 由ABC的面积公式得 2 222 2 22 11 312 424 cba Sbc . 11.当直线 l 垂直于 x 轴时，MON与POQ相似，有 2 1 416 MON POQ OFS S ； 当直
19、线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为1yk x， 设 11 ,M x y， 22 ,N xy，4, P Py，4, Q Qy. 联立 2 1 4 yk x yx 得 2222 240k xkxk， 2 24 2440kk ， 所以 12 1x x ，所以 12 1 sin 1 2 1 4416 sin 2 MON POQ MONOMON MONOxxS SPOQO PO QOPOQ . 综上， 1 16 MON POQ S S . 12.由题意得 3 ln 30 ln xax a xx 有四个大于 1 的不等实根，记 ln x g x x ，则上述方程转化为 3 310g xa g
20、 x ， 即 30g xg xa， 所 以 3g x 或 g xa， 因 为 2 ln1 ln x gx x ，当 1,xe 时， 0gx， g x单调递减：当,xe时， 0gx， g x单 调递增；所以 g x在xe处取得最小值，且最小值为 g ee.因为3e，所以 3g x 有两个符合条 件的实数解，故 3 ln 3 ln xax f xa xx 在区间 1,上恰有四个不相等的零点，需ae 且3a . 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 4 14. 2 4 15. 1 1, 2 16. 4 3 13.因为 bab
21、，所以 1 , 31 ,1130mm ，解得4m，所以 2222 4 ,21 , 32 c o s, 2 4213 a b ，所以a与b夹角大小为 4 . 14.因为圆心0,0，半径1r ，直线与圆相交，所以 2 3 1 1 k d k ，解得 22 44 k， 故相交的概率 2 2 2 24 P . 15. 由 题 意 得 ： 2 s i n xx fxeexf x ， f x为R上 的 奇 函 数 ， 因 为 2cos xx fxeex ，又2 xx ee，2cos2x， 0fx 且不恒等于零， f x 在R上单调递增， 2 210fxf x等价于 2 21fxf xfx ， 2 21xx
22、 ，可解得： 1 1, 2 x . 16.如图所示，由于外接球的表面积为16，得外接球的半径为 2，则4AB ， 设ADx，则 2 16BDx，又BD边上的高1CH ，当CH 平面ABD时，棱锥ABCD的体积 最大，此时 242 111 1616 326 Vxxxx ，故当 2 8x 时，体积 V 最大，最大值为 4 3 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，小题，70 分）分） 17.【解析】 （1）当1n 时， 11 5 3 312Sa ，所以 1 6a ； 当2n时，由5 33 n nn Sa ，得 1 11 5 33 n nn Sa ， 得， 1 1 210 3n n
23、n aa ， 所以 1 1 1 2 32 3 2 nn nn aa 因为 1 6a ，所以 1 1 2 30a ，所以2 30 n n a ， 故数列2 3n n a 为常数列. （2）由（1）知，2 3n n a ，所以 2 2 2 3211 41212141 3 n n n b nnnn ， 所以 123 1111111 1 335572121 nn Tbbbb nn 12 1 2121 n nn . 18.【解析】 （1） 【证明】 11 AAAC，且 O 为AC的中点， 1 AOAC. 又平面 11 AACC 平面ABC，平面 11 AACC平面ABCAC， 且 1 AO 平面 11
24、AACC， 1 AO平面ABC. BC 平面ABC， 1 AOBC. （2） 11 ACAC， 11 AC 平面ABC，AC 平面ABC， 11 AC平面ABC. 即 1 C到平面ABC的距离等于 1 A到平面ABC的距离. 由（1）知 1 AO 平面ABC，且 22 11 3AOAAAO. 三棱锥 1 CABC的体积： 11 1 111 2331 332 CABCAABCABC VVSAO . 19.【解析】 （1）因为 1 123453 5 x ， 1 0.60.8 1.2 1.6 1.81.2 5 y ， 所以 2 21.25 3 1.2 0.32 555 3 b ，则1.2 0.32
25、30.24a ， 故 y 关于 x 的回归直线方程为0.320.24yx. 所以，当6x 时，0.32 60.242.16y （百台） （2）由题意知，购买意愿为 7 月份的抽 4 人记为 a，b，c，d，购买意愿为 12 月份的抽 2 人记为 A，B，从 这6人中随机抽取3人的所有情况为：, ,a b c、, ,a b d、, ,a b A、, ,a b B、, ,a c d、, ,a c A、, ,a c B、 , ,a d A、, ,a d B、, ,a A B，, ,b c d、, ,b c A、, ,b c B、, ,b d A、, ,b d B、, ,b A B、, ,c d A、
26、 , ,c d B、, ,c A B、, ,d A B，共 20 种， 恰好有 2 人的购买意愿的月份是 12 月的有：, ,a A B、, ,b A B、, ,c A B、, ,d A B，共 4 种，故所 求概率为 41 205 P . 20.【解析】 （1）由已知有， 2 2 c a ，即 22 2ac， 222 abc，ba 设 B 点的纵坐标为 0 y（ 0 0y ）. 则 1 0 1121 222 ABF Sacyac b 即 221bb b，1b ，2a . 椭圆 C 的方程为 2 2 1 2 x y. （2）由题意知直线 l 的斜率不为 0，故设直线 l：1xmy. 设 11
27、,M x y， 22 ,N xy，, PP P xy，2, Q Qy. 联立 22 22 1 xy xmy ，消去 x 得， 22 2210mymy . 此时 2 810m ， 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m . 由弦长公式，得 22 22 12 2 448 11 2 mm MNmyym m . 整理，得 2 2 1 2 2 2 m MN m ， 又 12 2 22 P yym y m ， 2 2 1 2 PP xmy m . 2 22 2 26 121 2 P m PQmxm m . 22 2 222 262322 12 22 2 2111 PQmm m M
28、N mmm ， 当且当 2 2 2 1 1 m m ，即1m时等号成立. 当1m，即直线 l 的斜率为1时， PQ MN 取得最小值 2. 21.【解析】 （1）由题意，函数 2 3 ln 2 f xxaxx， 当1a 时，函数 2 3 ln 2 f xxxx. 则 2 211121 21 xxxx fxx xxx ，0x ， 令 0fx，即10x 且0x ，可得01x； 令 0fx，即10x ，可得1x . 故当1a 时，函数 f x的单调递增区间是0,1，单调递减区间是1,. （2）因为 2 3 ln 2 f xxaxx，则 2 121 21 axx fxax xx ，0x ， 记 2 2
29、1g xaxx， 因为 f x在区间0,1上有唯一的极值点 0 x，又 01g， 由二次函数的图象知，只需 10g即可， 即 121 10ga ，解得1a ， 所以实数 a 的取值范围是1,， 又由 0 0g x，可得 2 00 21axx， 所以 2 00 0000000 133 lnlnln2 2222 xx f xxaxxxxx ， 令 ln2 2 x xx，则 11 0 2 x x . 所以函数 ln2 2 x xx在 0,1上单调递增，所以 3 1 2 x ， 所以 0 3 2 f x . 22.【解析】 （1）消去参数可得 1 C的直角坐标方程为：0xym， 2 C的方程即： 22
30、2 2sin3，即 222 23xyy， 即 2 C的直角坐标方程为： 2 2 1 3 x y（0y ） （2）设 3cos ,sinQ，0,， 则 Q 到 1 C的距离 2sin 3cossin 3 22 m m d ，又 4 , 333 . 由 P、Q 间距离的最小值为2 2知： 当0m时，不符合题意； 当0m时，24m得6m； 当0m时，34m，得43m . 综上，43m 或6m. 23.【解析】 （1）因为1xy，且0x ，0y 5 2 2 xyxy可化为： 01 5 221 2 x xx ，即 01 1 21 2 x xx ， 又即 01 11 21 22 x xxx ，可解得 1 1 6 x，所以不等式的解集为 1 ,1 6 （2）证明一 因为1xy，且0x ，0y ， 2222 2222 11()() 11 xyxxyy xyxy 2222 2222 22222222 5259 xyyxyxyyxxxyxy xyxxyyyxyx . 当且仅当 1 2 xy时，等号成立. 证明二 因为1xy，且0x ，0y ， 22 2222 1111 11 xy xyxy 2222 1111111xxyyx yy xxyxy xyxyxy 2 22 119 2 xy xy ，当且仅当 1 2 xy时，等号成立.