1、绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 广东省文科数学模拟试题（二）广东省文科数学模拟试题（二） 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的县（市、区） 、学校、姓名、考生号、考生号和座位号填写在答题 卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
2、域内相应位置上；如需 改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.已知集合5217Axx ，24Bxx ，则AB （ ） A.34xx B.24xx C.33xx D.23xx 2.已知复数iiza（i 为虚数单位，aR） ，若5z ，则a（ ） A.4 B.2 C.2 D.2
3、 3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 6 D. 1 2 4.若 x，y 满足约束条件 30, 30, 10, xy xy x 则2zyx的最大值是（ ） A.9 B.7 C.3 D.6 5.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相 同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度） ，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、 秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其得长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和 为 49.5 尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为
4、10.5 尺，则立秋的晷长为（ ） A.1.5 尺 B.2.5 尺 C.3.5 尺 D.4.5 尺 6.一个底面半径为 2 的圆锥，其内部有一个底面半径为 1 的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为3，则该 圆锥的体积为（ ） A.2 3 B. 2 3 3 C. 8 3 3 D. 4 3 3 7.已知函数 f x是定义在R上的偶函数， 且在0,上单调递减，30f ， 则不等式10f x的 解集为（ ） A.3,3 B.2,4 C. , 22, D.4,2 8.已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的右焦点为 F，过点 F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂 足分别为 A，B.若0
5、FA FB，则该双曲线的离心率为（ ） A.5 B.2 C.3 D.2 9.已知数列 n a满足 1 1 n n n a a a （n N） ，且 1 1a ，设 1nnn ba a ，记数列 n b的前 n 项和为 n S，则 2019 S（ ） A. 2018 2019 B. 2019 2020 C.2019 D. 1 2019 10.把函数 2sinf xx的图象向右平移 3 个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原 来的 1 2 （纵坐标不变）得到函数 g x的图象，关于 g x的说法有：函数 g x的图象关于点,0 3 对 称； 函数 g x的图象的一条对称轴是 12
6、x ： 函数 g x在 , 3 2 上的最小值为3； 函数 g x 在0,上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 11.已知椭圆C的焦点为 1 ,0Fc， 2 ,0F c， P是椭圆C上一点， 若椭圆C的离心率为 2 2 ， 且 11 2 P FF F， 12 PFF的面积为 2 2 ，则椭圆 C 的方程为（ ） A. 2 2 1 2 x y B. 22 1 32 xy C. 22 1 42 xy D. 2 2 1 4 x y 12.已知函数 2 1 cos1 2 f xaxx（aR） ，若函数 f x有唯一零点，则 a 的取值范围为（ ） A
7、.,0 B.,01, C. ,01, D. , 11, 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.记等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 2 1 4 a ， 3 7 8 S ，则公比q _. 14.已知向量 1, 3a ，1b ，且向量a与b的夹角为 3 ，则2ab_. 15. 对 于 任 意 实 数a ， b ， 定 义 , min, , a ab a b b ab 函 数 2fxe xe ， x g xe， min,h xf xg x ，若函数 Q xh xk有两个零点，则 k 的取值范围为_. 16.如图， 在矩形A
8、BCD中， 已知22ABADa， E 是AB的中点， 将ADE沿直线DE翻折成 1 ADE， 连接 1 AC.若当三棱锥 1 ACDE的体积取得最大值时，三棱锥 1 ACDE外接球的体积为 8 2 3 ，则a _. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共一）必考题：共 60 分分. 17.（12 分） 在ABC中，角 A，B，C 的对
9、边分别是 a，b，c，已知 2 2 2cos2coscos 2 A abCcB . （1）求角 A 的大小； （2）若6 2c ，且AB边上的高等于 1 3 AB，求sinC的值 18.（12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是边长为 4 的菱形，PAPC，BDPA， E 是BC上一点， 且1BE ，设ACBDO. （1）证明：PO平面ABCD； （2）若60BAD，PAPE，求三棱锥PAOE的体积. 19.（12 分） 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设 备所生产的产品中，各随机抽取 100 件产品进行质量检测，所有
10、产品质量指标值均在15,45以内，规定质 量指标值大于 30 的产品为优质品，质量指标值在15,30的产品为合格品，旧设备所生产的产品质量指标 值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示. 质量指标值 频数 15,20 2 20,25 8 25,30 20 30,35 30 35,40 25 40,45 15 合计 100 （1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率. （2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已知图表数 据填写下面列联表（单位：件） ，并判断是否有95%的把握认为“产品质量高于新设备有关”. 非优质品
11、优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 附： P（ 2 0 Kk） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd . （3）已知每件产品的纯利润 y（单位：元）与产品质量指标值 t 的关系式为 2,3045, 1,1530, t y t 若每台新设 备每天可以生产 1000 件产品，买一台新设备需要 80 万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成 本. 20.（12 分） 已知曲线 C 上每一点到直线 l：2y 的距离比它到
12、点0,1F的距离大 1. （1）求曲线 C 的方程； （2）曲线 C 任意一点处的切线 m（不含 x 轴）与直线2y 相交于点 M，与直线 l 相交于点 N，证明： 22 FMFN为定值，并求此定值. 21.（12 分） 已知函数 ee x f xaxa（ea） ，其中 e 为自然对数的底数. （1）若2a ，求函数 f x在点 1,1f处的切线方程； （2）若函数 f x的极小值为1，求 a 的值. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-
13、4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中， 曲线 C 的方程为 22 1 124 xy ， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为2 cos 4 a （0a ）. （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2） 已知 P 是曲线 C 上的一动点， 过点 P 作直线 1 l交直线 l 于点 A， 且直线 1 l与直线 l 的夹角为45， 若PA 的最大值为 6，求 a 的值. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 13f xxx . （1）解不等式： 6f x ； （2）若 a，b，c 均为正数，且 minabcf x ，证明
14、： 22249 111 3 abc. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 广东省文科数学模拟试题（二）广东省文科数学模拟试题（二） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 评分标准：评分标准： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分. 3.解答右端所注的分数，表示考生
15、正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数，选择题不给中间分 一、选择题一、选择题 1.D 2.C 3.A 4.D 5.D 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.B 二、填空题二、填空题 13. 1 2 或 2 14.2 15.0,e 16.2 三、解答题三、解答题 17.解： （1）依题意得 1 cos 2 22coscos 2 A abCcB ， 2coscoscosaAbCcB 根据正弦定理得2sincossincossincosAABCCB， 2sincossinAABC 2sincossinAAA. 0,A ，sin0A. 2cos1A，即 2 cos 2
16、A. 0,A ， 4 A . （2）设AB边上的高为CD， 在RtCDA易得2 2ADCD， 则4 2BD. 在RtCDB中，根据勾股定理， 得 22 2 10BCCDBD. 在ABC中，根据正弦定理 sinsin ABBC CA ， 得 2 6 2 sin3 10 2 sin 102 10 ABA C BC . 18. （1）证明：四边形ABCD是菱形， BDAC，O 是AC的中点. BDPA，PAACA， BD平面PAC. PO平面PAC， BDPO. PAPC，O 是AC的中点， POAC. AC 平面ABCD，BD 平面ABCD，ACBDO， PO平面ABCD. （2）解：由四边形AB
17、CD是菱形，60BAD， 得ABD和BCD都是等边三角形 4BDAB.O是BD的中点，2BO. 在RtABO中， 22 2 3AOABBO. 在RtPAO中， 2222 12PAAOPOPO. 取BC的中点 F，连接DF，则DFBC. 在RtBDF中， 22 2 3DFBDBF. 1BE ，E是BF的中点.又O是BD的中点， 1 3 2 OEDF. 在RtPOE中， 2222 3PEOEPOPO. 在ABE中，由余弦定得 222 2cos12021AEABBEAB BE . PAPE， 222 PAPEAE. 22 12321POPO .3PO. AOEABCABECOE SSSS 1113
18、3 4 4 sin1204 1 sin12033 2222 ， 113 33 3 3322 P AOEAOE VSPO . 19.解： （1）估计新设备所生产的产品的优质品率为： 3025 15 0.770% 100 ， 估计旧设备所生产的产品的优质品率为：50.060.03 0.020.5555%. （2） 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200 由列联表可得， 2 2 20030 5545 70 4.83.841 75 125 100 100 K ， 有95%的把握认为产品质量高与新设备有关. （3）新设备所生产的
19、产品的优质品率为 0.7 每台新设备每天所生产的 1000 件产品中，估计有1000 0.7700件优质品， 有1000 700300件合格品. 估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700 2 300 1 1700 （元）. 800000 1700471（天） ， 估计至少需要生产 471 天方可以收回设备成本. 20.解： （1）由题意可知，曲线 C 上每一点到直线1y 的距离等于该点到点0,1F的距离， 曲线 C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，0,1F为焦点的抛物线. 曲线 C 的轨迹方程为： 2 4xy. （2）依题设，切线 m 的斜率存在且不等于零，设切线 m 的方程为 yaxb（
20、0a ） ， 代入 2 4xy得 2 4xaxb，即 2 440xaxb. 由0 得 2 4160ab，化简整理得 2 ba . 故切线 m 的方程可写为 2 yaxa. 分别令2y ，2y 得 M，N 的坐标为 2 ,2Ma a ， 2 , 2Na a ， 2 ,1FMa a ， 2 , 3FNa a . 22 2222 190FMFNaa aa . 即 22 FMFN为定值 0. 21.解： （1）2a ， 2ee2 x f xx. 2ee x fx. 12eee f . 又 12ee2e2f ， 函数 f x在点 1,1f 处的切线方程为：e2e1yx. 即e2yx. （2）函数 f x
21、的定义域为, ， ee x fxa， 当0a时， 0fx对于,x 恒成立， f x 在, 单调递减 f x 在, 上无极值. 当0ea时，令 0fx，得 e lnx a . 当 e ln,x a 时， 0fx，当 e ,lnx a 时， 0fx. f x 在 e ,ln a 单调递减，在ln, e a 单调递增 当 e lnx a 时， f x取得极小值 1. ln lneln1 e a ee faea aa ，即eln10aa . 令 eln1m xxx （0ex） ，则 ee 1 x m x xx . 0ex， 0m x， m x在0,e上单调递增. 又 10m，1a . 22.解： （1
22、）由2 cos 4 a ，得2cos cossinsin 44 a . cossina. cosx，cosx， 直线 l 的直角坐标方程为xya，即0xya. （2）依题意可知曲线 C 的参数方程为： 2 3cos , 2sin, x y （为参数） 设 2 3cos ,2sinP，则点 P 到直线 l 的距离为： 2 3cos2sin 2 a d 31 4cossin 4sin 22 3 22 a a 0a ，当sin1 3 时， max 4 2 a d . 依题意得|2PAd. PA的最大值为 max 26d，即 4 26 2 a . 0a ，解得2a . 23.解： （1） 22,3, 4, 31, 22,1. xx f xx xx 当3x时，226x，即4x，解得：43x ； 当31x 时，46，满足题意； 当1x 时，226x，即2x，解得：12x. 综上，不等式 6f x 的解集为42xx . （2）由（1）知 min4f x，4abc . 1117abc . 2 11149abc . 222 49111211211211abcabacbc 222 3111abc ， 当且仅当 4 3 abc时等号成立. 22249 111 3 abc.