1、一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡 相应的位置上 ） 1.已知集合 31 |xxA，42|xxB，则 AB_ 2.若复数满足(2 )5i z ，则在复平面内与复数z对应的点Z位于第_象限. 3.袋中共有大小相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4现从中任取 2 只小球，则 取出的 2 只球的编号之和是奇数的概率为 4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa) 的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到 右的顺序分
2、别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第 一组与第二组共有 20 人，则第三组的人数为_ 5.如图是某算法的伪代码，输出的结果 S 的值为_ 6.设向量 a(1，1)，a2b(k1，2k2)，且 ab，则 k _ 7.已知等比数列 n a满足8 2 a，144 453 aaa，则 3 a_ 8.已知双曲线 22 1 4 xy m 的渐近线方程为，则m 9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一 套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中
3、九 章算术 商功 ：“斜解立方， 得两堑堵 斜解堑堵， 其一为阳马， 一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而 一， 验之以棊， 其形露矣 ” 下图解释了这段话中由一个长方体， 得到“堑堵” 、 “阳马” 、 “鳖臑”的过程已知如图堑堵的棱长 1, 1, 2cba，则鳖臑的外接球的体积为 10.已知函数 2 )(xxf，则不等式 2 (2)()f xf x的解集是 11.函数xxy2cos2sin的图像向右平移 6 得到函数( )yf x的图像，则( )f x在 2 , 0 上的增区间 为 12.已知函
4、数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， x x xf e 1 )( 若关于 x 的方程 f(x)m 有解，则实数 m 的取值范围是 13.在ABC 中，coscos3,2 3.ABAB当sinsinAB取最大值时， ABC 内切圆的半径为_. 14.已知函数)(xfy 是定义域为R的偶函数，当0x时， , 2, 4 3 2 1 , 20 , 4 1 )( 2 x xx xfx若关于x的方程 Ra a xafxf, 0 16 7 )()( 2 有且仅有 8 个不同的实数根，则实数a的取值范围 二、解答题（本大题共 6 小题，共
5、计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 2 2 yx 2 过程或演算步骤.） 15.（本题满分 14 分） 在 锐 角ABC中 ， 已 知 内 角A、B、C所 对 的 边 分 别 为a、b、c， 向 量 2 (2sin(), 3),cos2 ,2cos1 2 B mACnB ，且向量m,n共线 （1）求角B的大小； （2）如果1b，求ABC的面积 ABC S的最大值 16.（本题满分 14 分） 如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直， BEAE ，点NM,分别是CDAE,的中点 （1）求证：MN平面BCE； （2）求证
6、：平面BCE平面ADE 17. （本小题满分 14 分） N M A D B C E 3 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、 右焦点分别为 12 (,0)( ,0)FcF c、， 已知) 2 2 , 1 (和) 2 3 , 2 2 (都在椭圆上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点 2 F的直线l与椭圆C相交于,P Q两点，且 21122 4QPF FFF QF，求直线l的方程 18. （本小题满分 16 分） 某房地产商建有三栋楼宇, ,A B C，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D，
7、规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不 计 （1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值； （2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间 分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED， 如图， 已知铺设鹅卵石路、 防腐木路的单价分别为a，2a（单位： 元千米，a为常数） 记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 19. （本小题满分 16 分） 4 已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数， 它们的前n项和分别为, nn S T， 且 11 22ba， 2322 54,11b SaT. （
8、1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求 1 1223 3nnn Maba ba ba b； （3）是否存在正整数m，使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由. 20.（本题满分 16 分） 已知( )ln x f xaxae，xexg x )(，其中常数0a （1）当ae时，求函数( )f x的极值； （2）若函数)()(xfxgy有两个零点 1212 ,(0)x xxx，求实数a的范围； （3）设 2 ( )(1) ( ( )H xxg xx，在区间(1,)内是否存在区间 , (1)m
9、n m ，使函数在区间 , m n的值域也是 , m n？请给出结论，并说明理由. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 ( )H x 5 数学试题 2020.06.29 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21【选做题】本题共 2 小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 3 2 a A d ，若 18 24 A ，求矩阵A的特征值 B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合， 极轴与x轴的正
10、半轴重合 已知圆 O：cossin和 直线 l： 2 sin() 42 ， (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 22.（本小题满分 10 分） 6 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球 在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要
11、的取球次数(1) 求袋中原有白球的个数； (2) 求随机变量 的概率分布和数学期望. 23.（本小题满分 10 分） 如图，已知抛物线 2 :4r yx焦点为F，过r上一点 000 (,)(0)xyy 作切线 1 l，交x轴于点T，过点 T作直线 2 l交r于点 1122 ,)(,BC xxyy. （1）证明： 2 120 yyy； （2）设直线AB，AC的斜率为 12 ,k k， ABC的面积为S，若 12 2kk ，求 S AF 的最小值. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 7 数学试题 2020.06.29 第 I 卷（必做题，共 1
12、60 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡 相应的位置上 ） 1.已知集合 31 |xxA，42|xxB，则 AB_ 【答案】)4 , 1 ( 【解析】本题考查的是集合的并集合运算，利用并集运算的定义不难得到 AB)4 , 1 ( 2.若复数满足(2 )5i z ，则在复平面内与复数z对应的点Z位于第_象限. 【答案】四 【解析】因为 5 2 2 zi i ，所以在复平面内与复数z对应的点Z为(2, 1)，复数z对应的点Z位于第 四象限. 3.袋中共有大小相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4现从中任取 2 只小球，
13、则取出的 2 只球的编号之和 是奇数的概率为 【答案】 3 2 【解析】从编号为 1，2，3，4 的 4 只小球中任取 2 只小球共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，其中 取出的 2 只球的编号是奇数有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)，所以所求概率为 2 3 . 4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa) 的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到 右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的 频率分布直方图
14、， 已知第一组与第二组共有 20 人， 则第三组的人数为_ 【答案】18 【解析】20(0.240.16) 0.3618 5.如图是某算法的伪代码，输出的结果 S 的值为_ 【答案】16 【解析】运用追踪法：初始1,1iS，第一次循环3,4iS；第二次循环 5,9iS；第三次循环7,16iS，这时 6i 退出，所以16S . 6.设向量 a(1，1)，a2b(k1，2k2)，且 ab，则 k _ 【答案】 5 【解析】由 a(1，1)，a2b(k1，2k2)解得 3 (1,) 22 k bk 由 ab 得 0a b ，所以得 3 10 22 k k，所以得5k 7.已知等比数列 n a满足8
15、2 a，144 453 aaa，则 3 a_ 【答案】 2 【解析】由144 453 aaa得 2 44 4410aa ，所以得 4 1 2 a ， 2 324 4aa a，所以得 3 2a 8.已知双曲线 22 1 4 xy m 的渐近线方程为，则m 【答案】2 【解析】由双曲线 22 1 4 xy m 的渐近线方程为得 2 2 () 42 m ，所以2m 9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一 2 2 yx 2 2 yx 8 套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术
16、中 九 章算术 商功 ： “斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易 之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣 ”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵” 、 “阳 马” 、 “鳖臑”的过程已知如图堑堵的棱长1, 1, 2cba，则鳖臑的外接球的体积为 【答案】 6 【解析】由题意 “鳖臑”的外接球即为“堑堵” 的外接球，即为长方体的的外接球 所以得 222 22116r ， 所以得 6 2 r ，所以 3 4 6 3 Vr 10.已知函数 2 )(xxf，则不等式 2 (2)()f xf x的解集是
17、【答案】) 1 , 2( 【解析】因为函数 2 ( )f xx是偶函数且在(0, )上递增，所以得 2 |2|xx，即 2 2xx 或 2 2xx ，解之得21x 11.函数xxy2cos2sin的图像向右平移 6 得到函数( )yf x的图像，则( )f x在 2 , 0 上的增区间 为 【答案】 24 7 , 0 【解析】sin2cos22sin(2) 4 yxxx ，所以( )2sin2()2sin(2) 6412 f xxx 由222 2122 kxk ，解之得 57 () 2424 kxkkz ，所以( )f x在在 2 , 0 上的 增区间为 24 7 ,
18、 0. 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， x x xf e 1 )( 若关于 x 的方程 f(x)m 有解，则实数 m 的取值范围是 【答案】) 1 , 1( 【解析】当0x时，0x ，所以 ()(1) x fxexf x ，所以 (1) x f xe x，当0x时， (2) x fxe x，令 0fx，所以2x，所以 f x在, 2 上单调递减，在2,0上单调 递增，且当1x时， 0f x ，当10x时， 0f x ，所以当0x时， ( 2)1ff x， 即 2 1 1fx e ，由对称性可知，当0x时， 2 1 1fx e ，又
19、00f，故当,x 时， ( 1,1)f x ，若关于x的方程 f xm有解，则11m， 13.在ABC 中，coscos3,2 3.ABAB当sinsinAB取最大值时， ABC 内切圆的半径为_. 9 【答案】 332 【解析】设sinsintAB，则 2 322cos()tAB，所以 2 2cos() 1 1tAB ， 当且仅当AB时， max 1t，即当 3 coscos 2 AB ，即 6 AB 时sinsinAB取最大值1，这时 ABC 中求得2ab，由 121 sin() 232 Sababc r 解得 2 33r . 14.已知函数)(xfy 是定义域为R的偶函数，当0x时， ,
20、 2, 4 3 2 1 , 20 , 4 1 )( 2 x xx xfx若关于x的方程 Ra a xafxf, 0 16 7 )()( 2 有且仅有 8 个不同的实数根，则实数a的取值范围 【答案】) 9 16 , 4 7 ( 【解析】当02x时， 2 1 4 yx 递减，当2x 时， 13 24 x y 递增，由于函数 yf x是定义 域为R的偶函数， 则函数 yf x在, 2 和0,2上递减，在2,0和2,上递增， 当0x时，函数 yf x取得最大值0；当2x时，函数 yf x取得最小值1 当02x时， 2 1 1,0 4 yx ；当2x 时， 133 1, 2
21、44 x y . 要使关于x的方程 27 0 16 a f xaf x ，aR，有且仅有8个不同实数根， 设 tf x，则 2 7 0 16 a tat的两根均在区间 3 1, 4 则有 2 7 0 4 3 1 24 7 10 16 937 0 16416 a a a a a aa ，即为 7 0 4 3 2 2 16 9 9 5 aa a a a 或 ，解得 716 49 a 因此，实数a的取值范围是 7 16 , 49 . 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.） 15.（本题满分 14 分） 10 在 锐 角
22、ABC中 ， 已 知 内 角A、B、C所 对 的 边 分 别 为a、b、c， 向 量 2 (2sin(), 3),cos2 ,2cos1 2 B mACnB ，且向量m,n共线 （1）求角B的大小； （2）如果1b，求ABC的面积 ABC S的最大值 【解析】 （1）由向量,m n共线有： 2 2sin() 2cos13cos2 , 2 B ACB 即tan2 3B ，又0 2 B ，02B，则2B= 3 ，即 6 B （2）由余弦定理得 222 2cos ,bacacB则 22 13(23)acacac， 23,ac 当且仅当ac时等号成立 11 sin(23) 24 ABC S
23、acB 16.（本题满分 14 分） 如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直， BEAE ，点NM,分别是CDAE,的中点 （1）求证：MN平面BCE； （2）求证：平面BCE平面ADE 【解析】证明： （1）取BE中点F，连接,CF MF， 又M是AE中点， 1 / /, 2 MFAB MFAB， 又N是矩形ABCD边CD中点， / /,MFNC MFNC，四边形MNCF是平行四边形， 4 分 /MNCF，又MN 面BCE，CF 面BCE，MN平面BCE分 （2）平面ABCD平面ABE，BCAB，BC 平面ABE，9 分 AE 平面ABE，BC
24、AE， 10 分 又BEAE ，BCBEBI，AE 平面BCE， 而AE 平面ADE，平面BCE平面ADE 14 分 17. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、 右焦点分别为 12 (,0)( ,0)FcF c、， 已知) 2 2 , 1 (和) 2 3 , 2 2 (都在椭圆上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点 2 F的直线l与椭圆C相交于,
25、P Q两点，且 21122 4QPF FFF QF，求直线l的方程 【解析】 （1）椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y （2）由（1）得 12 ( 1,0),(1,0)FF，设 1122 ,P x yQ x y， N M A D B C E 11 211122 1,1,PFxyFQxy， 12222 (2,0),1,FFQFxy 且 211221 21212 410PF FQFF QFx xy yxx ， 验证：当直线l的斜率为 0时， 21122 54PF FFF QQF不符合题意， 设直线l的方程为1xmy， 由 2 2 1 2 1 x y xmy ，可得 22 2210mymy 12
26、12 22 21 , 22 m yyy y mm 2 1212121212 1214xxx xy ym yymy y 2 22 21 214 22 m mm mm 0， 7m ，直线l的方程为：710xy 18. （本小题满分 16 分） 某房地产商建有三栋楼宇, ,A B C，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不 计 （1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值； （2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E， 在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设
27、鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已 知铺设鹅卵石路、 防腐木路的单价分别为a，2a（单位： 元千米，a为常数） 记 BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 【解析】 （1）因为三楼宇间的距离都为 2 千米，所以 ABACBC2，(1 分) 因为楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120 ，所以BDC120 ，(2 分) 在BDC 中，因为 BC2BD2DC22BD DC cosBDC，(3 分) 所以 22BD2CD22BD CD cos 120oBD2CD2BD CD2BD CDBD CD3BD CD， 则 BD CD4 3，(4 分) 当且仅当 BDCD 时等号成立，此时DB
28、CDCB30 ，BDCD 1 cos 30 2 3 3 . 区域最大面积 SSABCSBCD1 222sin 60 1 2BD CD sin 120 4 3 3 (平方千米)(7 分) (或者： 因为直角三角形ABD， ACD 全等， 区域最大面积 SSABDSACD2SABD21 2AB BD 4 3 3 (平方千米)(7 分) （2）当楼宇D与楼宇,B C间距离相等时由（1）得： 2 3 3 BDDC 则DBCDCB，又因为120BDC，所以30DBC，因为等边三角形ABC 12 所以60ABC，所以 2 ABDABCDBC 在Rt EBD中，BDE，所以 2 3 cos3cos BD D
29、E BDE 2 3 tantan 3 BEBDBDE，则 2 3 2tan 3 AEABBE 所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用 2fa EAa ED 2 32 3 2tan2 33cos aa 2 33cossin2 0, 3cos3 a 2 3sincos32 sin 2 3 3cos coscossin a f 2 2 32sin1 3cos a 令 1 0sin 2 f因为0, 3 ，所以 6 0, 6 6 , 6 3 f - 0 + f 极小值 所以当 6 时， 3cossin2 2 3 66 4 63 cos 6 a ffa 极小值 即： f的最小值为4a 答：铺设此鹅卵石路和防腐
30、木路的总费用的最小值4a元. 19. （本小题满分 16 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数， 它们的前n项和分别为, nn S T， 且 11 22ba， 2322 54,11b SaT. （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求 1 1223 3nnn Maba ba ba b ； （3）是否存在正整数m，使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由. 【解析】 （1）设数列 n a的公差为d，数列 n b的公比为q，因为 112322 22,54,11bab SaT ， 13
31、 所以 2 (33 )54 12211 qd dq ，即 (1)9 28 qd dq ，解得 3 2 q d ，或 3 2 5 q d （舍去）. 所以 1 21,2 3n nn anb . （2） 21 1 12 23 3 1 23 2 35 2 3212 3n nnn Maba ba ba bn ， 21 31 2 33 2 3(23) 2 3(21) 2 3 nn n Mnn ， 所以 21 224 333(21)23 nn n Mn ， 1 3(13) 24(42) 34(44) 3 13 n nn nn 所以2(1) 32 n n Mn. （3）由（1）可得 2 n Sn，31 n
32、n T，所以 21 1 2 13 13 m m m m m m STm STm . 因为 1mm mm ST ST 是数列 n a或 n b中的一项，所以 21 * 2 1 3 , 1 3 m m m L LN m ， 所以 2 (1)1(3)3mLmL，因为 2 1 0,30 m m ， 所以13L ，又 * LN，则2L 或3L. 当2L 时，有 2 13mm ，即 2 1 1 3m m ，令 2 1 ( ) 3m m f m . 则 222 11 (1)11223 (1)( ) 333 mmm mmmm f mf m . 当1m时，(1)(2)ff；当2m时， 10f mf m，即 (1
33、)(2)(3)(4)ffff. 由 1 (1)0,(2) 3 ff，知 2 1 1 3m m 无整数解. 当3L时,有 2 10m ，即存在1m使得 21 2 1 3 3 1 3 m m m m 是数列 n a中的第 2 项， 故存在正整数1m，使得 1mm mm ST ST 是数列 n a中的项. 20.（本题满分 16 分） 已知( )ln x f xaxae，xexg x )(，其中常数0a （1）当ae时，求函数( )f x的极值； （2）若函数)()(xfxgy有两个零点 1212 ,(0)x xxx，求实数a的范围； （3）设 2 ( )(1) ( ( )H xxg x
34、x，在区间(1,)内是否存在区间 , (1)m n m ，使函数在区间 ( )H x 14 , m n的值域也是 , m n？请给出结论，并说明理由. 【解析】函数( )f x的定义域为(0,)， （1）当ea时，( )eelne x f xx， e ( )exfx x ， 2 分 而 e ( )exfx x 在(0,)上单调递增，又(1)0 f ， 当01x时，( )(1)0fxf，则( )f x在(0,1)上单调递减； 当1x 时，( )(1)0fxf，则( )f x在(1,)上单调递增，所以( )f x有极小值(1)0f，没有极大 值
35、 4 分 （2）令axxaxfxgxhln)()()(， x xa xh )( / ，因为0a，所以 x ), 0(a a ),(a )( / xh 0 )(xh 增 减 因为)(xh有两个零点，所以0)(ah，所以1a 当1a时因为0)( 1 eh，0)4( 2 ah，所以)(xh有两个零点. (3) 22 ( )(1) ( ( )(1) x H xxg xxxe，假设在区间(1,)内是存在区间 , (1)m n m ，使函数 在区间 , m
36、 n的值域也是 , m n，因为 2 ( )(1) x H xxe，当1x 时( )0H x 所以( )H x在(1,)上是增函数，所以 ( ) ( ) H mm H nn ，即 2 2 (1) (1) m n mem nen 即方程 2 (1) x xex有两个大于1的不等实根.上述方程等价于 2 0(1) (1) x x ex x 设 2 ( )0(1) (1) x x u xex x ，所以 3 1 ( )0(1) (1) x x u xex x 所以 2 ( )0 (1) x x u xe x 在(1,)上是增函数，所以( )u x(1,)上至多一个实数根. 即( )u x(1,)上不
37、可能有两个不等实数根，所以假设不成立，所以不存在区间 , m n符合要求. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 ( )H x 15 数学试题 2020.06.29 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21【选做题】本题共 2 小题，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 3 2 a A d ，若 18 24 A ，求矩阵A的特征值 【解析】因为 13168 222224 aa A dd ，所以 68 224 a d ，解得 2 1 a d ， 所
38、以 23 21 A ，-5 分 其特征多项式为 2 23 ( )(2)(1)634 21 f ， -8 分 令( )0f，解得特征值为 1 1 ， 2 4-10 分 B选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合， 极轴与x轴的正半轴重合 已知圆 O：cossin和 直线 l： 2 sin() 42 ， (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 【解析】 （1）圆 O：cossin，即 2 cossin ， 故圆 O 的直角坐标方程为： 22 xyxy ，
39、即 22 0xyxy ， 直线 l： 2 sin() 42 ，即 sincos1 ，则直线的直角坐标方程为10xy （2）由 22 0 10 xyxy xy ， ，可得 0 1 x y ，直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为（0，1） ， 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1,) 2 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 22.（本小题满分 10 分） 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直
40、到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在 每一次被取出的机会是等可能的， 用 表示取球终止所需要的取球次数 (1) 求袋中原有白球的个数； (2) 求 随机变量 的概率分布和数学期望. 16 【解析】 （1）设袋中原有n个白球， 由题意知 2 2 7 1 11 2 = 7 6 7 67 2 n n n n nC C ，所以1 =6n n. 解得3n (2n，舍去).即袋中原有 3 个白球. （2）由题意，X的可能取值为 1,2,3,4,5. 3 1 7 P X ； 4 32 2 7 67 P X ； 4 3 36 3 7 6 535 P X ； 4 3 2 33 4 7 6 5 435 P X
41、 ； 4 3 2 1 31 5 7 6 5 4 335 P X . 所以，取球次数X的分布列为. X 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 所以 32631 123452 77353535 E x . 23.（本小题满分 10 分） 如图，已知抛物线 2 :4r yx焦点为F，过r上一点 000 (,)(0)xyy 作切线 1 l，交x轴于点T，过点 T作直线 2 l交r于点 1122 ,)(,BC xxyy. （1）证明： 2 120 yyy； （2）设直线AB，AC的斜率为 12 ,k k， ABC的面积为S，若 12 2kk ，求 S AF 的最小值. 【解析】 （1） 设过点 2 0 0 , 4 y Ay 与 2 4yx相切的切线 2 0 10 4 :xy y lyk ， 联立 2 0 0 2 4 4 y yk xy yx ，消去x得 0 22 0 440kyyyky， 由 0 2 0 2 00 2 01644020ykykkyk y ， 则 0 22 00 44 T y x k yy ，则 2 0 ,0 4 T y ，因为直线 2 l的斜率不为 0， 17 设直线 2 0 2: 4 xmy y l，联立方程 2 0 2 4 4 y xmy yx 得 0 22 40ymyy