1、数学试题 第 1 页共 6 页 2020 年年普通普通高等高等学校学校招生招生全全国国统一统一考试考试（江苏江苏卷卷）最后一卷最后一卷 数数 学学 I 2020.6 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时 间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4作答试题，必须用 0.5
2、 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 圆锥的体积 1 3 VSh，其中S是圆锥的底面圆面积，h是高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1. 已知集合 |23,21,AxxBx xkkZ，则AB . 2已知复数 z 满足1i z2i，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 . 3. 根据如图所示的伪代码，当输出 y 的值为 1 时，则输入的 x 的值为 . 4. 如图是某个容量为 100 的样本的频率分布直方图， 则数据
3、在区间6， 10)上的频数是 . 5用红、黄、蓝 3 种颜色给 3 面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则 3 面 信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 6函数sin()(0)yx 的部分图象如图所示，则的值为 . 7 在平面直角坐标系xOy中， 双曲线C：x2y 2 m1的离心率为 3， 则实数m的值为 8记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S24，S42，则 S6 . （第 3 题） Read x If x 0 Then y x22 Else y log2x End If Print y （第 4 题） 0.200 0.025 4 6 8 10 12 频率 组距 0.0
4、75 2 0.050 数据 x y y0 y0 O （第 6 题） 数学试题 第 2 页共 6 页 F E C B A P （第 15 题） 9如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 6 cm，细沙全部在上部 时，其高度为圆锥高度的 2 3 (细管长度忽略不计)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一 个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 cm. 10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所 示，右图中圆的半径为 1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D 是其中四个圆的圆心，则 AB CD 11. 已知 sin 4 = 6 6 ，(0，)，则
5、cos 2+ 6 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过直线 l：x 3y+2 3=0 与圆 C：x2+y2=4 的两 个交点当圆 M 的面积最小时，圆 M 的标准方程为 13. .已知函数 3 ( )logf xx，函数( )h x是最小正周期为 2 的偶函数，且当 x0，1时， ( )31 x h x .若函数)()(xhxfky恰有3个零点， 则实数k的取值范围是 14. 已知ABC 的面积等于 1，BC=1，则当ABC 的三边之积取得最小值时，sinA= . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域 内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步
6、骤 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，ACBC，ACPC，E，F 分别是 PA，PC 的中点 求证：(1)AC/平面 BEF； (2)PA平面 BCE E O C D B （第 10 题） （第 9 题） 数学试题 第 3 页共 6 页 （第 17 题） M A D C B N 16 （本小题满分 14 分） 如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上，CAD= 4，AC= 7 2， 10 2 cosADB (1)求Csin的值； (2)若ABD 的面积为 7，求 AB 的长 17 （本小题满分 14 分） 如图，在市中心有一矩形空地 ABCD，A
7、B=100 m，AD=75 m市政府欲将它改造成绿 化景观带，具体方案如下：在边 AD，AB 上分别取点 M，N，在三角形 AMN 内建造假 山，在以 MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物 (1)若假山区域面积为 400 m2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若 MN=100 m，求假山区域面积的最大值 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x 2 a2 y2 b2=1的左、右焦点为F1, F2，点A为左顶点，且 OA=F1F2，过右焦点F2作直线l交椭圆C于P,Q两点，当直线l垂直于x轴时，PQ=3 (1)求椭圆C的标准方程; (2)证明：原点
8、O总在以PQ为直径的圆内； (3)若APF1Q(点P在x轴上方)，求直线l的方程 A B C D 数学试题 第 4 页共 6 页 19( 本小题满分 16 分） 已知函数f(x)=aex(a0,aR),g(x)=1 2x 2. (1)当a =2时，若直线l与曲线y =f (x)及y=g(x)都相切，求直线l的方程； (2)若y =f(x)g(x)有两个极值点x1，x2. 求实数a的取值范围； 若x23x1,求实数x1的最大值 20( 本小题满分 16 分） 已知数列an的前n项和为 Sn， bn=Sn an(nN*).若bn是公差不为0的等差数列， 且b2b7=b11 (1)求数列bn的通项公
9、式； (2)证明：数列an是等差数列； (3)记 cn= 2 n n a S ，若存在 k1，k2N*(k1k2)，使得 12 kk cc成立，求实数 a1的取值范围 数学试题 第 5 页共 6 页 2020 年年普通普通高等高等学校学校招生招生全全国国统一统一考试考试（江苏江苏卷卷）最后一卷最后一卷 数数 学学 II(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，每小题 10 分. 请选定其中两 小 题 ，并在相应的 答题区域 内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 A. 【选修 42：矩阵与变换】(本小题满分 10 分) 已知矩阵
10、1 = 14 a A的一个特征向量 1 1 1 （1）求实数 a 的值； （2）若向量 3 2 ，计算 3 A B. 【选修 44：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2 2 2 1 1 2 1 t x t t y t (t 为参数).以直角坐标原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为4cos. (1)求曲线 C1的普通方程； (2)射线(0) 6 与曲线 C1和曲线 C2分别交于点 M，N，已知点 Q(4，0)，求QMN 的面积. C. 【选修 45：不等式选讲】(本小题满分 10 分) 已知
11、实数 a，b，c 满足 a+b+c=7，求证：a2+4b2+9c236. 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为解答题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、
12、加粗. 4请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠 笔. 数学试题 第 6 页共 6 页 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均相等，且BAD=60，M 是侧棱 DD1的中点， N 是棱 C1D1上的点 (1)求异面直线 BD1和 AM 所成角的余弦值； (2)若二面角 MACN 的大小为 4，试确定点 N 的位置 23 （本小题满分 10 分） 现有 n(n2，nN*)份血液样
13、本需要进行 2019nCoV 检验，假设每份样本的检验结果 是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p(0p1)检验方式如 下：将 n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，则表明 n 份血液样本全 为阴性，终止检验；若检验结果为阳性，则再对这 n 份样本逐份检验记这 n 份血液样 本的检验次数为 X (1)求 X 的概率分布与数学期望 E(X)； (2)若 4 1 1 e p (e 为自然对数的底数)，且 E(X)n，求 n 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln3 1.0986 （第 22 题） A B C D A1 D1 C1 B M N 数学试题 第 1
14、 页共页 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷 数数 学学 试试 题题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1. 已知集合 |23,21,AxxBx xkkZ，则AB .1，1 2已知复数 z 满足1i z2i，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 . 1 3. 根据如图所示的伪代码，当输出 y 的值为 1 时，则输入的 x 的值为 .2 4. 如图是某个容量为 100 的样本的频率分布直方图，则数据在区间6,10)上的频数是 .70 5用红、黄、蓝 3 种颜色给 3 面信号旗随机染色，每面信
15、号旗只能染一种颜色，则 3 面信 号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 2 3 6函数sin()(0)yx 的部分图象如图所示，则的值 为 . 4 7 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：x2y 2 m1 的离心率 为 3，则实数 m 的值为 2 8记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S24，S42，则 S6 . 6 9如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均 为 6 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 2 3 (细管 长度忽略不计)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙 漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 cm. 16 9 10. 如图， 左图是某晶
16、体的阴阳离子单层排列的平面示意图 其 阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为 1，且相邻 的圆都相切， A， B， C， D 是其中四个圆的圆心， 则AB CD 26 （第 3 题） Read x If x 0 Then y x22 Else y log2x End If Print y （第 4 题） 0.200 0.025 4 6 8 10 12 频率 组距 0.075 2 0.050 数据 x y y0 y0 O （第 6 题） （第 10 题） 数学试题 第 2 页共页 F E C B A P （第 15 题） 11. 已知 sin 4 = 6 6 ，(0，)，则 cos 2+ 6
17、 2 15 6 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过直线 l：x 3y+2 3=0 与圆 C：x2+y2=4 的两 个交点当圆 M 的面积最小时，圆 M 的标准方程为 2233 ()()1 22 xy 13. .已知函数 3 ( )logf xx，函数( )h x是最小正周期为 2 的偶函数，且当 x0，1时， ( )31 x h x .若函数)()(xhxfky恰有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是 )3log2, 2( 5 14. 已知ABC 的面积等于 1，BC=1，则当ABC 的三边之积取得最小值时，sinA= . 8 17 二、解答题：本大题共 6 小题，共计
18、90 分 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，10AB ， 6BC ，8ACPC，E，F 分别是 PA，PC 的中点 求证：(1)AC/平面 BEF； (2)PA平面 BCE 【证】 （1）在PAC中，EF，分别是PAPC，的中点， 所以EFAC 2 分 又因为EFBEF平面，ACBEF平面， 所以AC平面BEF 4 分 （2）在ABC 中， 所以 222 ABACBC，所以BCAC 6 分 因为PCABC平面，BC 平面ABC， 所以PCBC 8 分 又因为BCPC，ACPCC，AC 平面PAC，PC 平面PAC 所以BC 平面PAC 因为PA平面
19、PAC，所以BCPA 10 分 在PAC中，因为ACPC，E为PA的中点， 所以PAEC 12 分 又因为PABC，CEBCC，CE 平面BCE，BC 平面BCE 所以PA平面BCE 14 分 16 （本小题满分 14 分） 如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上，CAD= 4，AC= 7 2， 10 2 cosADB (1)求Csin的值； (2)若ABD 的面积为 7，求 AB 的长 【解】 （1）因为 10 2 cosADB， 所以 2 2 27 2 sin1cos1 1010 ADBADB . 2 分 A B C D 数学试题 第 3 页共页 （第 17 题） M A D C B
20、N 又因为, 4 CAD所以, 4 ADBC 所以 4 sincos 4 cossin) 4 sin(sin ADBADBADBC 7 22224 = 1021025 . 6 分 （2）在ADC中，由正弦定理得 ADC AC C AD sinsin ， 故22 10 27 5 4 2 7 sin sin )sin( sin sin sin ADB CAC ADB CAC ADC CAC AD . 8 分 又 117 2 sin2 27 2210 ABD SAD BDADBBD ， 解得5BD. 10 分 在ADB中，由余弦定理得 222 2 2cos82522 25 ()37, 10 ABAD
21、BDAD BDADB 所以AB=37. 14 分 17 （本小题满分 14 分） 如图，在市中心有一矩形空地 ABCD，AB=100 m，AD=75 m市政府欲将它改造成绿 化景观带，具体方案如下：在边 AD，AB 上分别取点 M，N，在三角形 AMN 内建造假 山，在以 MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物 (1)若假山区域面积为 400 m2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若 MN=100 m，求假山区域面积的最大值 【解】方法一： （1）设ANM=， 0 2 ， 半圆的直径 MN=2r，半圆的圆心为 O 在直角三角形 AMN 中，MAN= 2，所以 AM=2rsin
22、，AN=2rcos 因为假山区域面积为 400 m2， 所以1 2AMAN= 1 22rsin2rcos= r 2sin2=400， 2 分 所以 r2= 400 sin2 ， 所以喷泉区域面积 S喷泉= 2r 2=200 200 sin2 ， 当且仅当 sin2=1，即 = 4时取等号此时 r =20 5 分 因为点 O 到 CD 的距离 d1=AD1 2AM，点 O 到 BC 的距离 d2=AB 1 2AN， 所以 d1=75rsin=7510 220=r，即 d1r， d2=100rcos=10010 220=r，即 d2r 所以以 MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内 数学试题 第
23、4 页共页 所以当 = 4时，S 喷泉取得最小值 200 m2 答：喷泉区域面积的最小值为 200 m2 7 分 （2）由（1）知，若 MN=100 m， 则 2r=100， AM=100sin，AN=100cos 所以点O到CD的距离d1=75rsin=7550sin， 点O到BC的距离d2=10050cos， 因为以 MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以 1 2 dr dr ， ， 即 7550sin50 10050cos50 ， ， 所以 1 sin 2 又因为 0 2 ，所以 0 6 ， 11 分 所以假山区域面积 S假山=1 2AMAN= 1 2100sin100cos=250
24、0sin2， 因为 0 6 ，所以 20 3 ， 所以当 6 时，假山区域面积的最大值为 1250 3 m2 答：假山区域面积的最大值为 1250 3 m2 14 分 方法二： （1）设 AM=x m，AN=y m，半圆的直径 2r，半圆的圆心为 O 在直角三角形 AMN 中，MAN= 2，所以 MN=2r= 22 xy 因为假山区域面积为 400 m2， 所以1 2AMAN= 1 2xy= 400，所以 xy=800， 2 分 所以喷泉区域面积 S喷泉= 2 () 22 MN = 22 (2200 88 xyxy)， 当且仅当20 2xy时，取等号此时 r =20 5 分 因为点 O 到 C
25、D 的距离 d1=AD1 2AM，点 O 到 BC 的距离 d2=AB 1 2AN， 所以 d1=75 2 x =7510 220=r，即 d1r， d2=100 2 y =5010 220=r，即 d2r 所以以 MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内 所以当20 2xy时，S喷泉取得最小值 200 m2 答：喷泉区域面积的最小值为 200 m2 7 分 （2）由（1）知，若 MN=100 m，则 22 10000xy 所以点 O 到 CD 的距离 1 75 2 x d 因为以 MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以 d1r，即7550 2 x ，所以50x， 注意到，在边 AD，AB
26、上分别取点 M，N，构成AMN， 所以050x 9 分 数学试题 第 5 页共页 所以假山区域面积 S假山=1 2AMAN= 1 2xy= 21 10000 2 xx 11 分 242211 10000(5000)25000000 22 xxx， 所以当50x 时，假山区域面积取得最大值为 1250 3 m2 答：假山区域面积的最大值为 1250 3 m2 14 分 方法三： （1）以 AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy 设直线 MN 的方程为 ykxb(k0)，半圆的直径 2r，半圆的圆心为 O， 则 AM=b m，AN= b k m， 22
27、bb O k ， 在直角三角形 AMN 中，MAN= 2，所以 MN=2r= 2 1 1b k 因为假山区域面积为 400 m2，所以1 2AM AN=1 2b b k = 400，所以 b2=800k， 所以喷泉区域面积 S喷泉= 2 22 MN = 2 22 111 1( 800 ) 1100 ()200 88() bkk k kk =， 当且仅当1k 时，取等号 此时 b=20 2，r =20，(10 2 10 2)O， 所以半圆方程为 22 (10 2)(10 2)400(20 20)xyxy 因为 AB=100 m，AD=75 m，所以直线 BC，CD 方程分别为 x100，y75，
28、 所以点 O 到 CD 的距离 d1=7510 220=r， 点 O 到 BC 的距离 d2=10010 220=r， 所以 AM=20 275=AD，AN=20 2100=AB， 所以满足以 MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉 所以 S喷泉取得最小值 200 m2 答：喷泉区域面积的最小值为 200 m2 （2）由（1）知，AM=b m，AN= b k m， 22 bb O k ， 若 MN=100 m，则 2 2 2 10000 b b k ，所以 2 2 10000 b k b 点 O 到 CD 的距离 1 75 2 b d ，点 O 到 BC 的距离 2 100 2 b
29、d k 因为以 MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉， 所以 1 dr， 2 dr，即7550 2 b ，10050 2 b k ， 所以50b， 2 2 3 0 3 10000 b k b ， 注意到，在边 AD，AB 上分别取点 M，N，构成AMN，所以050b 所以假山区域面积 S假山=1 2AM AN=1 2b () b k = 21 10000 2 bb 242211 10000(5000)25000000 22 bbb， 所以当 3 50 3 bk ，时，假山区域面积取得最大值为 1250 3 m2 （另解）假山区域面积 S假山=1 2AM AN=1 2b () b k
30、 = 2 5000 1 k k ， 数学试题 第 6 页共页 记 2 35000 ( )(0) 3 1 k f kk k ，则 2 2 2 5000(1) ( )0 (1) k fk k ， 所以 2 5000 1 k f k k 在 3 0 3 ，上是单调减函数， 所以当 3 3 k 时，S假山取得最大值 1250 3 m2 答：假山区域面积的最大值为 1250 3 m2 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x 2 a2 y2 b2=1的左、右焦点为F1, F2，点A为左顶点，且 OA=F1F2，过右焦点F2作直线l交椭圆C于P,Q两点，当直线l垂直于x轴时，P
31、Q=3 (1)求椭圆C的标准方程; (2)证明：原点O总在以PQ为直径的圆内； (3)若APF1Q(点P在x轴上方)，求直线l的方程 【解】(1)设椭圆的焦距为2 (0)c c ， 因为 12 OAFF，所以2ac， 由当直线 l 垂直于 x 轴时，3PQ ， 将xc代入椭圆方程得 22 22 1 cy ab ，解得 2 b y a ， 所以 2 2 3 b PQ a ， 2 分 联立 2 222 2 2 3 + ac b a abc 解得2,3,1.abc 所以椭圆方程为 22 1 43 xy . 4 分 （2）证明：当直线l斜率为 0 时， 此时 P,Q 位于长轴两个顶点，原点 O 为圆心
32、，满足题意. 6 分 当直线l斜率不为 0 时，设l方程为1xmy， 联立 22 1 43 1 xy xmy ，消去x得 22 (34)690mymy， 由求根公式可得 2 1,2 2 6121 68 mm y m ， 故 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 8 分 设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，则 1 2121212 (1)(1)OP OQx xy ymymyy y 2 1212 (1)() 1my ym yy 2 2 22 96 (1)()1 3434 m m mm 2 2 125 0 34 m m . 故原点 O 总在以 PQ
33、 为直径的圆内. 10 分 x y P Q A F1 F2 O (第 18 题) 数学试题 第 7 页共页 （3）因为( 2,0)A ,( 2,0)F ，由 APF1Q 得： 1 0AP FQ，即 1122 (2,) (1,)0xyxy， 1 21212 220x xxxy y ， 2 12122 (1)2 ()60my ym yymy ， 12 分 因为点 P 在 x 轴上方，所以 2 2 2 6121 68 mm y m ， 代入上式得： 2 2 222 966121 (1)2 ()60 343468 mmm mmm mmm ， 整理得： 22 2152m mm ， 14 分 两边平方得：
34、 2 2425m ，解得 5 65 6 ( 1212 m 舍去) 所以直线l得方程为 5 6 1 12 xy，即 2 6 (1) 5 yx. 16 分 19( 本小题满分 16 分） 已知函数f(x)=aex(a0,aR),g(x)=1 2x 2. (1)当a =2时，若直线l与曲线及都相切，求直线l的方程； (2)若y =f(x)g(x)有两个极值点x1，x2. 求实数a的取值范围； 若x23x1,求实数x1的最大值 【解】（1）当2a 时，( )2 x f xe ， 设曲线y =f (x)上的切点为 1 1, 2 x xe（），则切线方程为 11 1 22() xx yeexx ， 设曲线
35、y=g(x)上的切点为 2 22 1 , 2 xx（），则切线方程为 2 222 1 () 2 yxx xx. 由两条切线重合得 1 1 2 2 12 2 1 2(1) 2 x x ex exx ，则 1 2 =0 =2 x x ， 所以公切线方程为22yx . 4分 （2）因为 2 1 ( )( ) 2 x yf xg xaex，所以 x yaex， 令 x xaex（ ）=，则 1 x xae（ ）， 当0a 时， 0x（ ）所以x（ ）单调递减，不合题意. 6分 当0a 时，令10 x ae ，得 1 lnx a ， 当x ln1 a时， 0x（ ）， 所以x（ ）在 1 (,ln) a
36、 上单调递减，x（ ）在 1 (ln,) a 单调递增， 若y =f(x)g(x)有两个极值点x1，x2，则 1 ln 111 lnln1 ln0 a ae aaa （）， 解得 1 0a e 8分 因为00a（ ）， 1 2 1111 0 a aea aaaa （ ）(可以证明：当x0时，exx2) 数学试题 第 8 页共页 所以 1 0ln0 a （ ）（）， 11 ln0 aa （ ）（） 因为函数的图象连续不断，所以函数在 1 (0,ln) a ， 1 1 ln, a a 各存在一个零点， 故实数a的取值范围是 1 0. e ， 10分 令 21( 3)xkx k，可得 11 11 x
37、kx xkx ee ，则 1 ln 1 k x k ， 12分 令 ln ( )(3) 1 x h xx x ，则 2 1 1ln ( ), (1) x x h x x 又令 1 ( )1ln (3),t xx x x 则 2 1 ( )0, x t x x 所以( )t x在3，）上单调递减，所以 2 ( )(3)ln30, 3 t xt 所以 ( ) 0,h x 即( )h x在3，）单调递减， ln3 ( )(3), 2 h xh 故 1 x的最大值是 ln3. 2 16 分 20( 本小题满分 16 分） 已知数列an的前n项和为 Sn， bn=Sn an(nN*).若bn是公差不为0
38、的等差数列， 且b2b7=b11 (1)求数列bn的通项公式； (2)证明：数列an是等差数列； (3)记 cn= 2 n n a S ，若存在 k1，k2N*(k1k2)，使得 12 kk cc成立，求实数 a1的取值范围 【解】 （1）设等差数列 n b的公差为d，因为 1 1 1 1 S b a ，所以 1(1) n bnd 由 2 711 b bb得，(1)(16 )1 10ddd ，即 2 20dd， 因为0d ，所以 1 2 d ，从而 1( 1) 2 n bn. 3 分 （2）由（1）知， 1( 1) 2 n n S n a ，n N， 即有2 (1) nn Sna ， 所以 1
39、1 2(2) nn Sna ， -得， 11 2(2)(1) nnn anana ，整理得 1 (1) nn nana 5 分 两边除以(1)n n得， 1 0 1 nn aa nn （n N） ， 所以数列 n a n 是常数列 所以 1 1 1 n aa a n ，即 1n ana ， 所以 11nn aaa ， 所以数列 n a 是等差数列 8 分 数学试题 第 9 页共页 （3） 因为 n n n S b a ，所以 1 (1) 1 22 nn n n n Saa ， 所以 1 1 1 (1) 22 n n n ana Sn na c 因为 11111 111 1 111 (1)(2)
40、(1)(1)(2) 1 () 2 2222 nn naananaa nnan nanna n cc n ， 当n N时， 21 11 223 n nn ， 10 分 显然 1 0a ， 若 1 0a ，则 1 1 1 2a ， 1 1 0 2 2a n n 恒成立， 所以 1 0 nn cc ，即 1nn cc ，n N， 所以 n c单调递减，所以不存在 12 kk cc； 若 12 log 3a ，则 1 11 3 2a ， 1 1 0 2 2a n n 恒成立， 所以 1 0 nn cc ，即 1nn cc ，n N， 所以 n c单调递减，所以不存在 12 kk cc； 12 分 若
41、12 log 3a ，则 1 11 3 2a ，所以当 n=1， 1 1 0 2 2a n n 成立， 所以存在 12 cc 若 12 0log 3a，则 1 11 1 3 2a 当 1 2 21 a n ，且n N时， 1nn cc ， n c单调递增； 当 12 21 a n ，且n N时， 1nn cc ， n c单调递减， 不妨取 0 1200 0 2 log(2) k akk k N ， ，则 00 1kk cc 综上，若存在 12 kk N，使得 12 kk cc成立，则 1 a的取值范围是 2 (0 log 3， 16 分 数学试题 第 10 页共页 数数 学学 II(附加题附加题) 附加题共四道题，三选二为容易题，第 22 题为中档题，第 23 题最后一问题较难解答附 加题不要急于求成，要确保将这 30 分收入囊中三选二注意事项：(1)切记根据要求填涂 选定题号前小方框；(2)如无特殊情况应选择 A、B，不选择其他题目，如 A、B 确实有困 难可尝试选择 C 题目 21A. 【选修 42：矩阵与变换】(本小题满分 10 分) 已知矩阵 1 = 14 a A的一个特