1、2020 年四川省成都市青白江区中考数学三诊试卷年四川省成都市青白江区中考数学三诊试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 2如图是由相同小正方体组成的立体图形，其俯视图为（ ） A B C D 3花粉的质量很小，一粒某种花粉的质量约为 0.000103 毫克，那么 0.000103 可用科学记数 法表示为（ ） A10.310 5 B1.0310 4 C0.10310 3 D1.0310 3 4下面四个图形中，12 一定成立的是（ ） A B C D 5若点 P（m1，5）与点 Q （3，2n）关于 y 轴对称，则 m+n
2、 的值是（ ） A5 B1 C5 D11 6如图是某市一周以来新冠肺炎疑似病例数的统计图，则这七天疑似病例数的中位数和众 数分别是（ ） A中位数是 25，众数是 23 B中位数是 33，众数是 23 C中位数是 25，众数是 33 D中位数是 33，众数是 33 7下列计算正确的是（ ） Aa3+a3a6 Ba3a2a6 Ca3aa2 D （a3）2a6 8解分式方程，可知方程（ ） A解为 x7 B解为 x8 C解为 x15 D无解 9若一个正六边形的半径为 2，则它的边心距等于（ ） A2 B1 C D2 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b
3、+c0；b24ac0；b+2a0；c0 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二填空题二填空题 11因式分解：m2n9n 12 如图， 以点 O 为位似中心， 将OAB 放大后得到OCD， OA2， AC3， 则 13一次函数 y（3k）x+1 的图象与 x 轴的交点在正半轴上，则 k 的取值范围 14如图，在ABC 中，按以下步骤作图： 分别以点 B 和点 C 为圆心，大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N； 作直线 MN，分别交边 AB，BC 于点 D 和 E，连接 CD若BCA90，AB8，则 CD 的长为 三解答题三解答题 15 （1）计算：（） 1+| 2|2c
4、os45； （2）解不等式组： 16化简，求值：（1） ，其中 x3 17某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A 篮球；B 乒乓球； C 羽毛球； D 足球， 为了解学生最喜欢哪一种活动项目， 随机抽取了部分学生进行调查， 并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图（1）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学 中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解 答） 18如图 1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图 2 是侧
5、面示意图已知自动扶梯 AB 的 长度是 19.5 米，MN 是二楼楼顶，MNPQ，点 C 是 MN 上处在自动扶梯顶端 B 点正上 方的一点， BCMN， 在自动扶梯底端点 A 处测得 C 点的仰角CAQ 为 45， 坡角BAQ 为 37，求二楼的层高 BC（精确到 0.1 米） （参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75） 19如图，一次函数 ykx+1 与反比例函数 y的图象相交于 A（2，3） ，B 两点 （1）求 k、m 的值和 B 点坐标； （2）过点 B 作 BCx 轴于 C，连接 AC，将ABC 沿 x 轴向右平移，对应得到ABC， 当反比例函数图象经过
6、AC的中点 M 时， 求MAC 的面积 20如图，O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，点 D 是劣弧的中点，连结 AD 并延 长，与过 C 点的直线交于 P，OD 与 BC 相交于点 E （1）求证：OEAC； （2）连接 CD，若PCDPAC，试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由 （3）在（2）的条件下，当 AC6，AB10 时，求切线 PC 的长 B 卷卷 一.填空题 21若关于 x、y 的二元一次方程组的解是二元一次方程的 2x+3y18 的解，则 k 的值为 22比较大小： （填“” ， “” ，或“” ） 23如图，已知O 的两条直径 AB、EF 互相垂直，ACBD，
7、和所对的圆心角都 为 120，且现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在和所围 封闭区域内的概率为 P1，针尖落在O 内的概率为 P2，则 24如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是边 BC 上的任意一点， 把BEF 沿 EF 翻折， 点 B 的对应点为 G， 连接 AG， CG， 则四边形 AGCD 的面积的最小值为 25如图，等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC1，且 AC 边在直线 a 上，将ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置可得到点 P1，此时 AP1；将位置的三角形绕点 P1顺 时针旋转到位置，可得到点 P2，此时 AP21
8、+；将位置的三角形绕点 P2顺时针 旋转到位置，可得到点 P3，此时 AP32+；按此规律继续旋转，直至得到点 P2020为止，则 AP2020 二.解答题 26某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千 克之间（含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发价是 5 元；若超过 60 千克时，批发的这 种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于 300 元 （1）根据题意，填写如表： 蔬菜的批发 量（千克） 25 60 75 90 所付的金额 （元） 125 300 （2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量 y（千克）与零售价 x（元/千克） 是一次
9、函数关系，其图象如图，求出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于 75 千克，且当日零售价不变，那么零售 价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？ 27如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE、BF，交点为 G （1）求证：AEBF； （2）将BCF 沿 BF 对折，得到BPF（如图 2） ，延长 FP 到 BA 的延长线于点 Q，求 sinBQP 的值； （3） 将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转， 使边 AB 正好落在 AE 上， 得到AHM （如图 3） ， 若 AM 和 BF 相交
10、于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积 28如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 点 C 三点 （1）求抛物线的解析式； （2）x 轴上是否存在点 P，使 PC+PB 最小？若存在，请求出点 P 的坐标及 PC+PB 的最小值；若不存在，请说明理由； （3） 连接 BC， 设 E 为线段 BC 中点 若 M 是抛物线上一动点， 将点 M 绕点 E 旋转 180 得到点 N，当以 B、C、M、N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点 N 的坐标 2020 年四川省成都市青白江区中考数学三诊试卷年四
11、川省成都市青白江区中考数学三诊试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 【分析】根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案 【解答】解：比2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数； 分析选项可得，只有 A 符合 故选：A 2如图是由相同小正方体组成的立体图形，其俯视图为（ ） A B C D 【分析】俯视图就是从上面看到的图形，也就是从上面的正投影所得到的图形，根据图 形的性质得出答案 【解答】解：从上面看到的图形是 4 列 2 行， 故选：B 3花粉的质量很
12、小，一粒某种花粉的质量约为 0.000103 毫克，那么 0.000103 可用科学记数 法表示为（ ） A10.310 5 B1.0310 4 C0.10310 3 D1.0310 3 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0001031.0310 4， 故选：B 4下面四个图形中，12 一定成立的是（ ） A B C D 【分析】根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断； 【解答】解：A、1、2 是邻补
13、角，1+2180；故本选项错误； B、1、2 是对顶角，根据其定义；故本选项正确； C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误； D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误 故选：B 5若点 P（m1，5）与点 Q （3，2n）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ） A5 B1 C5 D11 【分析】根据关于 y 轴对称的点的坐标特点可得 m13，2n5，再解即可 【解答】解：由题意得：m13，2n5， 解得：m2，n3， 则 m+n235， 故选：A 6如图是某市一周以来新冠肺炎疑似病例数的统计图，则这七天疑似病例数的中位数和众 数分别是（
14、） A中位数是 25，众数是 23 B中位数是 33，众数是 23 C中位数是 25，众数是 33 D中位数是 33，众数是 33 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可 【解答】解：把这些数从小到大排列，中位数是第 4 个数为 25， 则中位数是 25； 23 出现了 2 次，出现的次数最多， 众数是 23； 故选：A 7下列计算正确的是（ ） Aa3+a3a6 Ba3a2a6 Ca3aa2 D （a3）2a6 【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解 答 【解答】解：A、由于 a3和 a3是同类项，可以合并，a3+a32a3，原计算错误，故本选
15、项不符合题意； B、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可知 a3a2a5，原计算错误，故本 选项不符合题意； C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减可知 a3aa2，原计算正确，故本 选项符合题意； D、根据幂的乘方的运算法则底数不变，指数相乘可知， （a3）2a6，原计算错误，故 本选项不符合题意 故选：C 8解分式方程，可知方程（ ） A解为 x7 B解为 x8 C解为 x15 D无解 【分析】本题考查解分式方程的能力，解分式方程首先要确定最简公分母，将分式方程 化成整式方程求解，再将所求解代入最简公分母进行检验，若最简公分母为零，则方程 无解 【解答】解：最简公分母为（x
16、7） ，去分母，得 x8+18（x7） ， 解得 x7，代入 x70 此方程无解 故选：D 9若一个正六边形的半径为 2，则它的边心距等于（ ） A2 B1 C D2 【分析】根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形 的边角关系即可求出 【解答】解：已知正六边形的半径为 2，则正六边形 ABCDEF 的外接圆半径为 2， 连接 OA，作 OMAB 于点 M， 得到AOM30， 则 OMOAcos30 则正六边形的边心距是 故选：C 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b+c0；b24ac0；b+2a0；c0 其中所有正确结
17、论的序号是（ ） A B C D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即 可 【解答】解：x1 时，y0， a+b+c0，正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，错误； 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0，正确； 01，a0， b+2a0，错误； 故正确结论的序号是； 故选：D 二填空题二填空题 11因式分解：m2n9n n（m+3） （m3） 【分析】先提取公因式 n，再根据平方差公式进行二次分解 【解答】解：m2n9n n（m29） n（m
18、+3） （m3） 故答案为：n（m+3） （m3） 12如图，以点 O 为位似中心，将OAB 放大后得到OCD，OA2，AC3，则 【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案 【解答】解：以点 O 为位似中心，将OAB 放大后得到OCD，OA2，AC3， 故答案为： 13一次函数 y（3k）x+1 的图象与 x 轴的交点在正半轴上，则 k 的取值范围 k3 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出一次函数 y（3k）x+1 的图象与 y 轴的交点坐标，大致画出函数图象，由该函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系 数的关系，可找出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围
19、 【解答】解：当 x0 时，y（3k）x+11， 一次函数 y（3k）x+1 的图象与 y 轴交于点（0，1） 大致画出函数图象，如图所示 一次函数 y（3k）x+1 的图象经过第一、二、四象限， 3k0， k3 故答案为：k3 14如图，在ABC 中，按以下步骤作图： 分别以点 B 和点 C 为圆心，大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N； 作直线 MN，分别交边 AB，BC 于点 D 和 E，连接 CD若BCA90，AB8，则 CD 的长为 4 【分析】根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质即可得到结论 【解答】解：连接 CD， 由作图可知：点 M、点 N 在线段 BC 的
20、垂直平分线上， MN 垂直平分线段 BC CDBD， DCBB， BCA90， A+BBCD+ACD90， AACD， CDAD， CDAB， AB8， CD4， 故答案为：4 三解答题三解答题 15 （1）计算：（） 1+| 2|2cos45； （2）解不等式组： 【分析】 （1）先化简二次根式、计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值， 再计算乘法，最后计算加减可得； （2） 分别求出每一个不等式的解集， 根据口诀： 同大取大、 同小取小、 大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解： （1）原式22+22 22+2 0； （2）解不等式 2x33（x+1） ，得
21、：x6， 解不等式x+11x，得：x0， 则不等式组的解集为 x6 16化简，求值：（1） ，其中 x3 【分析】先化简分式，再代入求值 【解答】解：原式 当 x3 时， 原式 17某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A 篮球；B 乒乓球； C 羽毛球； D 足球， 为了解学生最喜欢哪一种活动项目， 随机抽取了部分学生进行调查， 并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 200 人； （2）请你将条形统计图（1）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学 中任选两名参加乒乓球比赛，
22、求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解 答） 【分析】 （1）用喜欢篮球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出喜欢羽毛球的人数，然后补全条形统计图； （3）列表展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽到甲乙的结果数，然后根据概率公式 求解 【解答】解： （1）这次被调查的学生总数为 40200（人） ； 故答案为 200； （2）喜欢羽毛球的人数为 20040802060（人） ， 条形统计图如图所示： （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 乙甲 丙甲 丁甲 乙 甲乙 丙乙 丁乙 丙 甲丙 乙丙 丁丙 丁 甲丁 乙丁 丙丁 共有 12 种等可能的结果数，其中抽到
23、甲乙的为 2 种， 所以 P（抽到甲乙） 18如图 1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图 2 是侧面示意图已知自动扶梯 AB 的 长度是 19.5 米，MN 是二楼楼顶，MNPQ，点 C 是 MN 上处在自动扶梯顶端 B 点正上 方的一点， BCMN， 在自动扶梯底端点 A 处测得 C 点的仰角CAQ 为 45， 坡角BAQ 为 37，求二楼的层高 BC（精确到 0.1 米） （参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75） 【分析】延长 CB 交 AQ 于点 D，根据正弦的定义求出 BD，根据余弦的定义求出 AD，根 据等腰直角三角形的性质求出 CD，结合图形计算，得到
24、答案 【解答】解：延长 CB 交 AQ 于点 D，则 CDAQ， 在 RtBAD 中，sinBAD，cosBAD， BDABsinBAD19.50.611.7，ADABcosBAD19.50.815.6， 在 RtCAD 中，CAD45， CDAD15.6， BCCDBD3.9， 答：二楼的层高 BC 约为 3.9 米 19如图，一次函数 ykx+1 与反比例函数 y的图象相交于 A（2，3） ，B 两点 （1）求 k、m 的值和 B 点坐标； （2）过点 B 作 BCx 轴于 C，连接 AC，将ABC 沿 x 轴向右平移，对应得到ABC， 当反比例函数图象经过 AC的中点 M 时， 求MAC
25、 的面积 【分析】 （1）将点 A 的坐标代入一次函数和反比例函数表达式，即可求解； （2）由中点公式求出点 M 坐标，进而求出直线 CM 的表达式，根据MAC 的面积 SS AHC+SAHM，即可求解 【解答】解： （1）点 A（2，3）在 y的图象上， m6， 反比例函数的解析式为：y， 将点 A 的坐标代入一次函数表达式得：32k+1， 解得：k1， 故一次函数表达式为：yx+1， 联立并解得：x2 或3， 故点 B 的坐标为（3，2） ； （2）如图，设ABC 向右平移了 m 个单位，则点 A、C的坐标分别为（2+m，3） 、 （3+m，0） ， 则点 M（m，） ， 将点 M 的坐标
26、代入式并解得：m， 故点 M（4，） ， 过点 A 作 y 轴的平行线交 CM 于点 H， 由点 C、M 的坐标得，直线 CM 的表达式为：yx+， 当 x2 时，y，故点 H（2，） ， MAC 的面积 SSAHC+SAHMAH （xMxC） （3） （4+3） 20如图，O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，点 D 是劣弧的中点，连结 AD 并延 长，与过 C 点的直线交于 P，OD 与 BC 相交于点 E （1）求证：OEAC； （2）连接 CD，若PCDPAC，试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由 （3）在（2）的条件下，当 AC6，AB10 时，求切线 PC 的长 【分
27、析】（1） 由于 D 是弧 BC 的中点， 利用垂径定理的推论， 可证 ODBC， 而 ACBC， 故 ODAC，又 O 是 AB 中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得 BE：CE OB：OA，从而可知 E 是 BC 中点，即 OE 是ABC 的中位线，利用三角形中位线定理可 证 OEAC； （2）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OCP90，进而得出答案； （3）利用两组角对应相等，易证PCDPAC，进而得出 PD 的长，从而求出 CP 【解答】 （1）证明：AB 为直径 ACB90， ACBC， 又D 为中点， ODBC，ODAC， 又O 为 AB 中点， OEAC； （2）解
28、：PC 为O 的切线， 理由：连接 CO，DC， COOB， OCBOBC， BCDBAD，PCDPAC， OCB+BCD+PCD OBC+BAD+PAC， OCPOBC+BAC， 又AB 为O 的直径， OBC+BAC90， OCP90， 即 PC 为O 的切线； （3）解：由（1）可知，OE3，BE4，DE2， 在 RtBED 和 RtABD 中， 由勾股定理得：BD2，AD4， 点 D 是劣弧的中点， CD2， P 是PCD 和PAC 的公共角， 由PCDPAC， 则PCDPAC， ， PC2PDAP， 即， PCPD， （PD）2PD（4+PD） ， 解得：PD5， PC515 21若
29、关于 x、y 的二元一次方程组的解是二元一次方程的 2x+3y18 的解，则 k 的值为 2 【分析】先解二元一次方程组，用 k 表示 x、y，再代入 2x+3y18 中得 k 的方程，求得 k 便可 【解答】解：， +得，2x12k， x6k， 把 x6k 代入得，6k+y5k， yk， 把 x6k，yk 代入 2x+3y18 中，得 12k3k18， k2， 故答案为：2 22比较大小： （填“” ， “” ，或“” ） 【分析】先利用算术平方根的性质得出2，再利用不等式的性质得出 4（+1） 129，两边同时除以 8，即可得出结论 【解答】解：2， +13， 4（+1）129， 故答案为
30、： 23如图，已知O 的两条直径 AB、EF 互相垂直，ACBD，和所对的圆心角都 为 120，且现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在和所围 封闭区域内的概率为 P1，针尖落在O 内的概率为 P2，则 【分析】设O 的半径为 r，则和所在圆的半径为 2r，根据扇形的面积公式和圆 的面积公式求得和所围封闭区域的面积和O 的面积，于是得到结论 【解答】解：设O 的半径为 r，则和所在圆的半径为 2r， 和所围封闭区域的面积2r2，O 的面积r2， 针尖落在和所围封闭区域内的概率为 P11，针尖落在O 内的概率为 P2 ， ， 故答案为： 24如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是
31、 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是边 BC 上的任意一点， 把BEF 沿 EF 翻折， 点 B 的对应点为 G， 连接 AG， CG， 则四边形 AGCD 的面积的最小值为 【分析】先确定出 EGAC 时，四边形 AGCD 的面积最小，再用锐角三角函数求出点 G 到 AC 的距离，最后用面积之和即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， CDAB3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5， AB3，AE2， 点 F 在 BC 上的任何位置时，点 G 始终在 AC 的下方， 设点 G 到 AC 的距离为 h， S四边形AGCDSACD+SACGADCD+ACh43+5h
32、h+6， 要四边形 AGCD 的面积最小，即：h 最小， 点 G 是以点 E 为圆心，BE1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一部分点， EGAC 时，h 最小，即点 E，点 G，点 H 共线 由折叠知EGFABC90， 延长 EG 交 AC 于 H，则 EHAC， 在 RtABC 中，sinBAC， 在 RtAEH 中，AE2，sinBAC， EHAE， hEHEG1， S四边形AGCD最小h+6+6 故答案为： 25如图，等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC1，且 AC 边在直线 a 上，将ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置可得到点 P1，此时 AP1；将位置的三角形绕点 P1顺
33、 时针旋转到位置，可得到点 P2，此时 AP21+；将位置的三角形绕点 P2顺时针 旋转到位置，可得到点 P3，此时 AP32+；按此规律继续旋转，直至得到点 P2020为止，则 AP2020 1346+674 【分析】观察图形的变化可得，AP1；AP21+；AP32+；AP42+2； AP53+2；AP64+22（2+） ；发现规律即可求解 【解答】解：观察图形的变化可知： AP1； AP21+； AP32+； AP42+2； AP53+2； AP64+22（2+） ； 发现规律： AP3nn（2+） ； AP3n+1n（2+）+； AP3n+2n（2+）+1 AP2020AP6733+16
34、73（2+）+1346+674 故答案为：1346+674 26某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千 克之间（含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发价是 5 元；若超过 60 千克时，批发的这 种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于 300 元 （1）根据题意，填写如表： 蔬菜的批发 量（千克） 25 60 75 90 所付的金额 （元） 125 300 300 360 （2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量 y（千克）与零售价 x（元/千克） 是一次函数关系，其图象如图，求出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）若该蔬菜经销商每
35、日销售此种蔬菜不低于 75 千克，且当日零售价不变，那么零售 价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1） 根据这种蔬菜的批发量在 20 千克60 千克之间 （含 20 千克和 60 千克） 时， 每千克批发价是 5 元，可得 605300 元；若超过 60 千克时，批发的这种蔬菜全部打 八折，则 9050.8360 元； （2）把点（5，90） ， （6，60）代入函数解析式 ykx+b（k0） ，列出方程组，通过解方 程组求得函数关系式； （3）利用最大利润y（x4） ，进而利用配方法求出函数最值即可 【解答】解： （1）由题意知： 当蔬菜批发量为
36、60 千克时：605300（元） ， 当蔬菜批发量为 90 千克时：9050.8360（元） 故答案为：300，360； （2）设该一次函数解析式为 ykx+b（k0） ，把点（5，90） ， （6，60）代入，得 ， 解得 故该一次函数解析式为：y30x+240； （3）设当日可获利润 w（元） ，日零售价为 x 元，由（2）知， w（30x+240） （x50.8）30（x6）2+120，30x+24075，即 x5.5， 当 x5.5 时，当日可获得利润最大，最大利润为 112.5 元 27如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE、BF，交点为 G
37、 （1）求证：AEBF； （2）将BCF 沿 BF 对折，得到BPF（如图 2） ，延长 FP 到 BA 的延长线于点 Q，求 sinBQP 的值； （3） 将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转， 使边 AB 正好落在 AE 上， 得到AHM （如图 3） ， 若 AM 和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积 【分析】 （1）运用 RtABERtBCF，再利用角的关系求得BGE90求证； （2）BCF 沿 BF 对折，得到BPF，利用角的关系求出 QFQB，解出 BP，QB 求解； （3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得
38、 SAGN， 再利用 S四边形GHMNSAHMSAGN求解 【解答】 （1）证明：如图 1， E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， CFBE， 在 RtABE 和 RtBCF 中， RtABERtBCF（SAS） ， BAECBF， 又BAE+BEA90， CBF+BEA90， BGE90， AEBF （2）解：如图 2，根据题意得， FPFC，PFBBFC，FPB90 CDAB， CFBABF， ABFPFB， QFQB， 令 PFk（k0） ，则 PB2k 在 RtBPQ 中，设 QBx， x2（xk）2+4k2， x， sinBQP （3）解：正方形 ABCD 的面积
39、为 4， 边长为 2， BAEEAM，AEBF， ANAB2， AHM90， GNHM， （）2， （）2， SAGN， S四边形GHMNSAHMSAGN1， 四边形 GHMN 的面积是 28如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 点 C 三点 （1）求抛物线的解析式； （2）x 轴上是否存在点 P，使 PC+PB 最小？若存在，请求出点 P 的坐标及 PC+PB 的最小值；若不存在，请说明理由； （3） 连接 BC， 设 E 为线段 BC 中点 若 M 是抛物线上一动点， 将点 M 绕点 E 旋转 180 得到点 N，当以 B、
40、C、M、N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点 N 的坐标 【分析】 （1）先按抛物线与 x 轴的交点坐标设出抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3） ， 展开，即可得出结论； （2）在 x 轴下方作ABD30，交 y 轴负半轴于 D，先求出 OD，BD2，进 而求出 CD3+，再判断出当点 C，P，B 在同一条直线上时，PC+PB 最小，最小 值为 CB，即可得出结论； （3）先判断出点 M 在 x 轴上方的抛物线，再构造出BEMCFM，得出即可 得出结论 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 设抛物线的解析式为 ya（x
41、+1） （x3）ax22ax3a， 3a3， a1， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图， 在 x 轴下方作ABD30，交 y 轴负半轴于 D，则 BD2OD， B（3，0） ， OB3， 根据勾股定理得，BD2OD232， 4OD2OD29， OD，BD2， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， C（0，3） ， OC3， CD3+， 过点 P 作 PBBD 于 B， 在 RtPBB 中，PBPB， PC+PBPC+PB， 当点 C，P，B 在同一条直线上时，PC+PB 最小，最小值为 CB， SBCDCDOBBDCB， CB， 即 PC+PB 的最小值， OBOC3， OBCOCB45， DBC45+3075， BCP907515， OCP30， OC3， OP， P（，0） ； （3）如备用图， 设 M（m，m2+2m+3） ， 以 B、C、M、N 为顶点的四边形是矩形， BMC90， 点 A 在 x 轴负半轴，且BOC90， 点 M 在 x 轴上方的抛物线， 过点 M 作 MEx 轴于 E，作 MFy 轴于 F， MEOMFO90EOF， 四边形 OEMF 是矩形， EMF90， BMECMF， BEMCFM90， BEMCFM， ， m， M（，）或（，） ， 点 N 是点 M 关于点 E（，）的对称点， N（，）或（，）