1、河北衡水中学河北衡水中学 20202020 届全国高三第三次联合考试届全国高三第三次联合考试理科数学理科数学试卷试卷(I)(I) 总分 150 分考试时间 120 分钟 答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上相应的位置 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案用 0.5 mm 黑色笔 迹签字笔写在答题卡上 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项
2、是符合题目要 求的 1.已知集合 2 |0Mx xx， |ln(1)0Nxx则（ ） A.MN B.MN C.(1,)MN D.(2,)MN 2.已知复数 2 (2)zi，则z的虚部为（ ） A.3 B.3i C.4 D.4i 3.以下统计表和分布图取自清华大学 2019 年毕业生就业质量报告. 则下列选项错误的是（ ） A.清华大学 2019 年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业 B.清华大学 2019 年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高 C.清华大学 2019 年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散 D.清华大学 2019 年签三方就业的毕业
3、生中，留北京人数超过一半 4.若圆 22 (2)(1)5xy关于直线10(0,0)axbyab 对称，则 21 ab 的最小值为（ ） A. 4 B.4 2 C. 9 D.9 2 5.要使得满足约束条件 4 2 y x y x xy ， 的变量 , x y表示的平面区域为正方形， 则可增加的一个约束条件为 （ ） A.4xy B.4xy C.6xy D.6xy 6.若 n a是公比为(0)q q 的等比数列，记 n S为 n a的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A.若 n a是递增数列，则 1 0a ，0q B.若 n a是递减数列，则 1 0a ，01q C.若 0q ，则 465 2S
4、SS D.若 1 n n b a ，则 n b是等比数列 7.为了得到函数( )sing xx的图象，需将函数 ( )sin 6 f xx 的图象（ ） A.向左平移 6 个单位长度 B.向右平移 6 个单位长度 C.向左平移 5 6 个单位长度 D.向右平移 5 6 个单位长度 8.设( )f x是定义在R上的奇函数，且当 0x时， 1 ( )sin2 3 f xxx.若 2 tan 5 af ， 3 2 log cos 5 bf ， 2 cos 5 cf 大小关系为（ ） A.abc B. bca C.bac D.cba 9.如图是由等边AIE和等边KGC构成的六角星，图中的B，D，F，H
5、，J，L均为三等分点， 两个等边三角形的中心均为O.若OA mOCnOJ ，则 m n （ ） A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D.1 10.区块链是数据存储传输加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学 模型在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线 段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个 点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（ ） A.4 B.8 C.12 D.16 11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为
6、一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球 的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：地球到太阳的距离 取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；已知地球公转轨道的长半轴长约为 149 600 000 千米，短半轴长约为 149 580 000 千米，则该椭圆的离心率约为 1.因此该椭圆近似于圆形：已知我国每逢春 分(3 月 21 日前后)和秋分(9 月 23 日前后)，地球会分别运行至图中 C 点和 D 点，则由此可知我国每年的夏 半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天.以上结论正确的是（ ） A. B. . D. 1
7、2.正方体 1111 ABCDABC D，的棱长为2.在A，B，C，D， 1 C， 1 D这六个顶点中.选择两个点与 1 A， 1 B构成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与 1 A， 1 B构成正三棱锥Q，M表示P与Q的公共 部分，则M的体积为（ ） A. 1 3 B. 2 4 C. 2 3 D.1 二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 6 2 x x 的展开式中 2 x 2 的系数为_.(用数字作答) 14.记 n S为正项等差数列 n a的前n项和，若 1347 1,aaaS，则 n S _. 15.若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到双曲线 222
8、 22yxp的一个焦点的距离为13，则p的值为 _. 16.已知函数( )(2 )1 x f xkxk ex，若( )0f x 的解集中恰有三个整数，则实数k的取值范围为 _. 三解答题：共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 (一)必考题：共 60 分 17.(12 分) 在锐角ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若c o sc o scB bC，BC边上的高12AD ， 4 sin 5 BAC. （1）求BC的长： （2）过点A作AEAB，垂足为A，且CAE为锐角，
9、3 5AE ，求sinACE. 18.(12 分) 如图，在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，E为棱AC上的一点，且BE 平面ACD. （1）证明：BCCD； （2）设1BCCD.BC与平面ACD所成的角为45.求二面角BAD C的大小. 19.(12 分) 2020 年 1 月 10 日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获 2019 年度国家最高科学技术奖.曾 庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一， 他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础， 在气象预报中， 过往的统计数据至关重要，右图是根据甲地过去 50 年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到 35 及以上，则称之
10、为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到 15 天及以上，则称该年为高温年， 假设每年是否为高温年相互独立，以这 50 年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率. （1）求今后 4 年中，甲地至少有 3 年为高温年的概率. （2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带 来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入 会减少 6000 元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为 5000 元，可使用 4 年，一旦某年为高温年，则预计当 年的收入会增加 1000 元. 以 4 年为期，试分析
11、该同学是否应该购买遮阳伞？ 20.(12 分) 已知圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，且 12 2 3FF .过椭圆的右焦点 2 F作长轴的垂 线与椭圆，在第一象限交于点P，且满足 1 2 7 PF PF . （1）求椭圆的标准方程； （2）若矩形ABCD的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围. 21.(12 分) 已知函数( )2, ( )ln x f xexg xxx，若 1 x，是函数 f x的零点， 2 x是函数 g x的零点. （1）比较 1 x与 2 x的大小； （2）证明： 21 0f xg x. (二)选考题：共 10 分请考生
12、在第 2223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 xt ytt (t为参数)，曲线C上异于原点的两点M，N所 对应的参数分别为 12 ,t t.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线D的极坐标方程为 2 sina. （1）当 12 1,3tt时，直线MN平分曲线D，求a的值； （2）当1a 时，若 12 23tt，直线MN被曲线D截得的弦长为3，求直线MN的方程. 23.选修 4-5：不等式选讲(10 分) 已知函数( ) |1| 2|3|, ( )|
13、1|f xxxg xa x. （1）求( ) 8f x 的解集； （2）当 1,3x 时，( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围. 河北衡水中学 2020 届全国高三第三次联合考试（1） 理科数学 一选择题 1.A【解析】由题意知 |1Mx x 或 0x ， |2Nx x，所以MN.故选 A. 2，C【解析】 2 (2)34zii，所以z的虚部为 4.故选 C. 3，D【解析】D 选项中，留北京人数不到一半，故选 D. 4.C【解析】由题意知圆心(2,1)在直线10axby 上，则21ab .又因为 0,0ab，所以 212122 (2)5 9 ba ab ababab ，当且仅当
14、 1 3 ab时取等号，所以 min 21 9 ab 故选 C. 5.C【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c ，两组对边的距离相等，故 4|2| 2 2 22 c d ，所以6c 或2c(舍去).故选 C. 6.D【解析】A 选项中， 1 2,3aq满足 n a单调递增，故 A 错误； B 选项中， 1 1,2aq ，满足 n a单调递减，故 B 错误； C 选项中，若 1 1 1, 2 aq，则 656554 ,aa SSSS，故 C 错误； D 选项中， 1 1 1 (0) nn nn ba q baq ，所以 n b是等比数列.故选 D. 7.D 【解析】 5 ( )
15、sinsinsinsin 6666 f xxxxx 所以向右 5 6 个单位长度. 故选 D. 8，B【解析】由题意知， f x是定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增.又因为 28 tantantan1 5204 ， 2 0cos1 5 ，所以 3 2 log cos0 5 ，所以bca.故选 B. 9.B 【解析】 由平行四边形法则，22()23OAOBOJOCOJOJOCOJ， 所以2m，3n， 所以 2 3 m n 故选 B. 10.D【解析】如图， A，B，C，D 四点最可确定 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 条边.由题意知恰有 3 条边且无孤立点，所以 满足条件的图有
16、 3 6 416C (个).故选 D. 11，A【解析】显然正确；中离心率应该约为 0；对于，根据开普勒行星运动第二定律，地球从 D 点 到 C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天故选 A. 12，A【解析】如图，由题意知，P和Q分别为三棱锥 111 BABC和三棱锥 111 AAB D.设平面 11 ABC与平 面 11 AB D， 的交线为EF， 则M为四面体 11 AB EF， 取 11 AB， 的中点O， 连EO接， 可得EO平面 11 AB F， 则M的体积为 1 1 111 1 1 333 A B F VEO S 故选 A. 13.60【解析】 616
17、2 166 ( 2)( 2) r rrrrrr r TC xxC x .令622r，解得2r ，所以系数为 22 6 ( 2)60C . 14. 2 31 22 nn【解析】因为 17 3474 77 2 aa aaSa ，所以 2 3 (1)31 7,3,3 222 n n n adSnnn 15.2【解析】抛物线焦点,0 2 p F ，双曲线的方程可化为 22 22 1 2 yx pp ，所以 22 3cp，所以其一个焦 点化为 1(0, 3 ) Fp，所以 2 2 1 13 313 42 p FFpp ，所以2p 16. 32 43 , 54ee 【解析】由( )(2 )10 x f x
18、kxk ex 得，(2 )1 x kxk ex，即 1 (2) x x k x e ，在 平面直角坐标系中画出函数( )(2)g xk x和 1 ( ) x x h x e 的图象如图所示，为了满足不等式( )0f x 的 解集中恰有三个整数，只需要满足 (2)(2) (3)(3) hg hg ，解得 32 43 54 k ee 三解答题一)必考题 17，解： （1）由coscoscBbC及正弦定理得sinCcossincosBBC 即sin()0BC. 因为, 2 2 BC ，所以.BC 因为ABC为锐角三角形，且 4 sin 5 BAC， 所以 3 cos 5 BAC. 又因为2BACBA
19、D ， 所以 2 3 2cos1 5 BAD 则 2 5 cos 5 BAD 所以 51 sin,tan 52 BADBAD 所以6BD，所以12BC （2）由题意得 43 coscossin,sin 255 EACBACBACEAC 22 6 5ACABADBD 在ACE，因为 222 cos 2 AEACCE CAE AE AC 所以9CE . (10 分) 由 sinsin CEAE CAEACE 得 5 sin 5 ACE 18， （1）证明：因为BE 平面ACD，CD平面ACD， 所以BECD. 因为AB 平面BCD，CD平面BCD， 所以ABCD. 因为ABBEB，所以CD平面.A
20、BE 因为BC 平面ABE，所以BCCD. （2）解：因为BE BE-平面ACD，BCE即为BC与平面ACD所成的角， 所以45BCEBCA ，所以1.BCAB 方法一：过点B作BFAD交AD于F，连接EF 因为,BFAD BEAD BEBFB， 所以AD 平面BEF. 因为EF 平面BEF，所以ADEF， 所以BFE即为二面角BAD C的平面角. 因为 26 , 23 AB BD BEBF AD 所以 3 sin 2 BE BFE BF 由题图知，二面角BAD C的平面角为锐角， 所以二面角BAD C的大小为60 方法二：以C为坐标原点，CD方向为x轴正方向，CB方向为y轴正方向，建立空间直
21、角坐标系Cxyz 则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)CDBA (1,0,0),(0,1,1),(1, 1,0),(0,0,1)CDCABDBA 设平面ACD的一个法向量为 111 ,nx y z， 平面ABD的一个法向量为 222 ,mxy z 则 0 0 CD n CA n ， 0 0 BD m BA m 即 1 11 0 0 x yz 22 2 0 0 xy z 令 12 1,1yx可得 (0,1, 1),(1,1,0)nm 所以 1 cos, |2 n m n m n m 由图知，二面角BAD C的平面角为锐角，所以二面角BAD C的大小为60. 19，解：
22、 （1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01) 5 0.2 设今后4年中高温年出现X年，则(4,0.2)XB 故 4 4 ()0.2 0.8,0,1,2,3,4 kkk P XkCk 331 4 (3)0.2 0.80.0256P XC 440 4 (4)0.20.80.0016P XC (3)(3)(4)0.02560.00160.0272P XP XP X （2）若选择方案一，设今后4年共损失 1 Y元， 则 1 4 6000 0.24800E Y 若选择方案二，设今后4年共损失 2 Y元， 则 2 50004 1000 0.24200E Y (元) 则 12 E YE Y，故
23、该同学应该购买遮阳伞， 20.解： （1）由 12 2 3FF ，可知椭圆半焦距 3c . 设 2 PFx，因为 1 2 7 PF PF ，所以 1 7PFx. 在Rt 12 PFF中， 22 12 12PFPF， 所以 1 2 x 所以284ax，解得 222 2,1abac. 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）记矩形面积为S. 当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S . 根据对称性，设其中一边所在直线方程为ykxm 则对边所在直线方程为ykxm 另一边所在的直线方程为 1 yxn k 则对边所在直线方程为 1 yxn k ， 联立 22 44xy ykxm 得 222 148
24、410kxkmxm， 由题意知0 ，整理得 22 41km 矩形的一边长为 1 2 |2| 1 m d k 同理 2 2 4 1n k ，矩形的另一边长为 2 2 |2 | 1 1 n d k 12 2 2 2 |2|2 |4| 11 1 1 mnmnk Sdd k k k 22 42 22 22 414 4174 44 11 kk kk kk 2 2 2 2 2 99 4444 1 1 2 k k k k 因为0k ，所以 2 0k ， 所以 2 2 1 2k k (当且仅当 2 1k 时等号成立) 所以 2 2 99 0, 1 4 2k k 则 2 2 95 42, 1 2 2k k 所以
25、(8,10S 综上所述，该矩形面积的取值范围为(8,10. 21.（1）解 1 11 20 x f xex 1 1111 lnln2 x g xxxxe 方法一： 1 11111 ln2 ln12ln10 x xexxxx 因为 1 1x ，所以 11 ln10xx ，所以 1 0g x. 因为 2 0g x，且 g x单调递增，所以 12 xx 方法二：设 1 1111 lnln2 x H xxxxe， 令函数( )ln2,0 t H ttet 则 1 ( ) t H te t ，则 0 0 0 1 0 t Hte t 则函数( )H t在区间 0 0,t上单调递增，( )H t在区间 0,
26、 t 上单调递减， 所以 0 max000 0 1 ( )ln220 t H tH ttet t 所以 1 0gx 因为 2 0g x，且 g x单调递增，所以 12 xx （2）证明：令函数( )( )( )h xf xg x， 则 1122 ,h xg xh xf x. 要证 21 0f xg x，即证 21 f xg x 只要证： 21 h xh x， 只要证：函数( )h x在区间 12 ,x x上单调递减. 由题意得( )( )( )ln2 x h xf xg xex 2 2 2 11 ( ), xx h xehxe xx 因为 222 ln0g xxx 所以 22 2 1 lnln
27、xx x 所以 22 2 22 11 ,0 xx ehxe xx 因为( )h x 单调递增，所以在区间 12 ,x x上，( ) 0h x 所以 h x在区间 12 ,x x上单调递减. 所以原命题得证. 22，解： （1）因为 12 1,3tt，所以( 1, 1),(1,3)MN . 所以直线MN的方程为21yx. 曲线D的方程可化为 222 ()xyaa 因为直线MN平分曲线D，所以直线MN过点0,a， 所以1a . （2）有题意可知 22 1122 1212 12 121212 22 2 3 22 MN tttt ttttyy k xxtttt 曲线D的方程为 22 (1)1xy 设直
28、线MN的方程为3yxm，圆心D到直 线MN的距离为. d 因为 2 22 3 1 2 d ，所以 2 2 13 1 22 m 所以0m或2m， 所以直线MN的方程为3yx或32yx 23.解： （1）由题意得 35,1 ( ) |1| 2|3|7, 13 35,3 xx f xxxxx xx 当1x时，( ) 8f x 无解； 当13x 剟时，由( ) 8f x ，即78x ，解得13x 剟； 当3x 时，由( ) 8f x ，即358x ，解得 13 3 3 x 综上，解集为 13 1 3 xx 剟. （2）当1x 时，( )( )f xg x显然恒成立. 当 1,1)x 时，( )7, (
29、 )(1)f xx g xax 因为( )( )f xg x恒成立， 所以7(1)x ax， 即 76 1 11 x a xx 恒成立. 令 6 ( )1, 1,1) 1 F xx x 则 min ( )a F x 显然( )F x在区间 1,1)上为增函数， 所以 min ( )( 1)4F xF，所以4a. 当(1,3x时，( )7, ( )(1)f xx g xa x. 因为( )( )f xg x恒成立， 所以7(1)x a x，即 76 1 11 x a xx 恒成立. 令 6 ( )1,(1,3 1 G xx x ，则 min ( )a G x 显然( )G x在区间(1,3上为减函数， 所以 min ( )(3)2G xG， 所以2a. 综上所述，实数a的取值范围为(,2