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天津市南开区2020届高考模拟考试数学试卷(二)含答案解析

1、2020 年高考数学二模试卷年高考数学二模试卷 一、选择题(共 9 小题). 1复数 是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为( ) A(1,0) B(0,1) C , D , 2某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6:5:7,防疫站欲对该校学生进 行身体健康调查, 用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本, 样本中高三年级的学生有 21 人,则 n 等于( ) A35 B45 C54 D63 3方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的一个充分不必要条件是( ) Ak(,2)(2,+) Bk(2,+) Ck(2,2) Dk(0,1 4设 , , 2,则 a,b

2、,c 的大小关系是( ) Abac Babc Cbca Dacb 5 如图, 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是面积为 2的正方形, 该长方体的外接球体积为 , 点 E 为棱 AB 的中点,则三棱锥 D1ACE 的体积是( ) A B2 C D1 6已知双曲线 C: 1(a0,b0)的离心率为 ,以双曲线 C 的右焦点 F 为 圆心, a 为半径作圆 F, 圆 F 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M, N 两点, 则MFN ( ) A45 B60 C90 D120 7某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作,降低学生因用餐而交叉感染的概率,规 定:就餐时,每张餐桌(如图)至多坐两个人,一

3、张餐桌坐两个人时,两人既不能相邻, 也不能相对(即二人只能坐在对角线的位置上)现有 3 位同学到食堂就餐,如果 3 人 在 1 号和 2 号两张餐桌上就餐(同一张餐桌的 4 个座位是没有区别的),则不同的坐法 种数为( ) A6 B12 C24 D48 8已知函数 f(x)sin(x+)(0,| ),yf(x)的图象关于直线 x 对 称, 且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列, 则函数 f (x) 的导函数 f (x) 的一个单调减区间为( ) A , B , C , D , 9如图,在边长 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,O 为ABC 的中心,过

4、点 O 的直线与直线 BC 交于点 P,与直线 DE 交于点 Q,则 的取值范 围是( ) A3,+) B(,3) C , D , 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填在题中横线上 10已知集合 Ax|(x+1)(x2)0,RBx|x0 或 x3,则 AB 11若(x2 ) 6 的二项展开式中 x3的系数为 ,则 a (用数字作答) 12过点 , 的直线 l 与圆 x 2+y24 相切,则直线 l 在 y 轴上的截距为 13一袋中装有 6 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白 球的概率是 ,则袋中白球的个数为 ;从袋中任意

5、摸出 2 个球,则摸到白球的个 数 X 的数学期望为 14已知 ab0,则 的最小值为 15已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在(,0上单调递增,且 f(1)1若 f(x 1)+10,则 x 的取值范围是 ;设函数 , , , , 若 方程 f(g(x)+10 有且只有两个不同的实数解,则实数 a 的取值范围为 三、解答题:(本大题共 5 个小题,共 75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知 a2+c2b2 ac ()求 cosB 及 tan2B 的值; ()若 b3,A ,求 c 的值 17如图所示,平面 CDEF平面

6、 ABCD,且四边形 ABCD 为平行四边形,DAB45, 四边形 CDEF 为直角梯形,EFDC,EDCD,AB3EF3,EDa,AD (1)求证:ADBF; ()若线段 CF 上存在一点 M,满足 AE平面 BDM,求 的值; ()若 a1,求二面角 DBCF 的余弦值 18已知 F1,F2为椭圆 C: 的左、右焦点,椭圆 C 过点 M , , 且 MF2F1F2 ()求椭圆 C 的方程; ()经过点 P(2,0)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若存在点 Q(m,0),使得|QA| |QB| (i)求实数 m 的取值范围: (i)若线段 F1A 的垂直平分线过点 Q,求实数 m 的值

7、19设an是各项都为整数的等差数列,其前 n 项和为 Sn,bn是等比数列,且 a1b11, a3+b27,S5b250,nN* ()求数列an,bn的通项公式; ( ) 设 cn log2b1+log2b2+log2b3+ +log2bn, Tn a a a a (i)求 Tn; (ii)求证: 2 20(16 分)设函数 f(x) , ()若 x1 是函数 f(x)的一个极值点,求 k 的值及 f(x)单调区间; ()设 g(x)(x+1)ln(x+1)+f(x),若 g(x)在0,+)上是单调增函数, 求实数 k 的取值范围; ( ) 证 明 : 当p 0 , q 0及m n ( m ,

8、 nN*) 时 , (1)i 1p2n1iqi12m1 参考答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1复数 是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为( ) A(1,0) B(0,1) C , D , 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:z , 复数 是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为(0,1) 故选:B 2某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6:5:7,防疫站欲对该校学生进 行身体健康调查, 用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本, 样本中高三年级的学生有 21 人,则 n 等于( ) A35 B45 C54 D6

9、3 【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为 6:5:7,知高三年级学生的 数量占总数的 ,再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本, 高三年级被抽到的人数为 21 人,能求出 n 解:某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为 6:5:7, 高三年级学生的数量占总数的 , 分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本,若已知高三年级被抽 到的人数为 21 人, n21 54 故选:C 3方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的一个充分不必要条件是( ) Ak(,2)(2,+) Bk(2,+) Ck(2,2) Dk(0,1 【分析】化 x2

10、+y2kx+2y+k220 为 ,由 0 求 得 k 的范围,然后逐一核对四个选项得答案 解:由 x2+y2kx+2y+k220,得 , 若方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆,则 0,即2k2 A,B 为方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的既不充分也不必要条件,C 为充要条件, 而(0,1(2,2),则 D 为充分不必要条件 故选:D 4设 , , 2,则 a,b,c 的大小关系是( ) Abac Babc Cbca Dacb 【分析】根据 0ln21 即可得出 12ln22,并得出 , ,从而可得 出 a,b,c 的大小关系 解:0ln21,12ln22, ,log32l

11、og331, bac 故选:A 5 如图, 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是面积为 2的正方形, 该长方体的外接球体积为 , 点 E 为棱 AB 的中点,则三棱锥 D1ACE 的体积是( ) A B2 C D1 【分析】由该长方体的外接球体积为 ,求出该长方体的外接球半径为 R2,从而求 出 AA12 ,由此能求出三棱锥 D1ACE 的体积 解:长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是面积为 2 的正方形, 该长方体的外接球体积为 ,设长方体的外接球的半径为 R, 则 ,解得该长方体的外接球半径为 R2, 2,解得 AA 12 , SACE , 三棱锥 D1ACE 的体积 V 故选:C

12、 6已知双曲线 C: 1(a0,b0)的离心率为 ,以双曲线 C 的右焦点 F 为 圆心, a 为半径作圆 F, 圆 F 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M, N 两点, 则MFN ( ) A45 B60 C90 D120 【分析】因为离心率 e ,所以 ,不妨设与圆 F 相交的渐近 线为 ,则点 F(c,0)到直线 MN 的距离为 d ,所以 sin NMF , NMF45MNF, 所以MFN180 (NMF+MNF) 90 解:离心率 e , , 由题意可知,双曲线 1 的渐近线方程为 ,点 F(c,0), 不妨设与圆 F 相交的渐近线为 ,则点 F 到直线 MN 的距离为 d , sin

13、NMF ,NMF45MNF,MFN180(NMF+ MNF)90 故选:C 7某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作,降低学生因用餐而交叉感染的概率,规 定:就餐时,每张餐桌(如图)至多坐两个人,一张餐桌坐两个人时,两人既不能相邻, 也不能相对(即二人只能坐在对角线的位置上)现有 3 位同学到食堂就餐,如果 3 人 在 1 号和 2 号两张餐桌上就餐(同一张餐桌的 4 个座位是没有区别的),则不同的坐法 种数为( ) A6 B12 C24 D48 【分析】根据分类计数原理即可求出 解:若在 2 人在 1 号餐桌,1 人在 2 号餐桌,则有 C3226 种, 若在 1 人在 1 号餐桌,2 人

14、在 2 号餐桌,则有 C3226 种, 则共有不同的坐法 6+612 种 故选:B 8已知函数 f(x)sin(x+)(0,| ),yf(x)的图象关于直线 x 对 称, 且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列, 则函数 f (x) 的导函数 f (x) 的一个单调减区间为( ) A , B , C , D , 【分析】先根据三角函数的图象和性质求出 f(x)的解析式,可得它的导数,再利用余 弦函数的单调性,得出结论 解:函数 f(x)sin(x+)(0,| ),yf(x)的图象关于直线 x 对 称, 且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,故函数的周期为 2 , 2

15、故 2 k ,kZ, ,f(x)sin(2x ) 则函数 f(x)的导函数 f(x)2cos(2x ) 令2k2x 2k+, 可得k xk , 故f (x) 的减区间为k , k , kZ, 故选:A 9如图,在边长 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,O 为ABC 的中心,过点 O 的直线与直线 BC 交于点 P,与直线 DE 交于点 Q,则 的取值范 围是( ) A3,+) B(,3) C , D , 【分析】因为是等边三角形,所以可建立平面直角坐标系,设出 PQ 的方程,解出 P,Q 的坐标,即可将问题转化为直线 PQ 斜率 k 的函数,求其值域即可 解:由题

16、意,如图建立平面直角坐标系: 因为三角形 ABC 边长为 ,故高为 , 故:DE:y ;O(0,1),A(0,3) 所以直线 PQ:ykx+1,(由对称性,不妨设 k0) 所以由 得 Q( , );由 得 P( , ) 所以 , , , , 所以 , 特别的,当 PQx 轴时,P(0,0),Q(0, ), , , 故 故选:D 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填在题中横线上 10已知集合 Ax|(x+1) (x2)0,RBx|x0 或 x3,则 AB (0,2 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 解:RBx|x0 或 x3, Bx|0x

17、3,且 Ax|1x2, AB(0,2 故答案为:(0,2 11若(x2 ) 6 的二项展开式中 x3的系数为 ,则 a 2 (用数字作答) 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项,令 x 的指数为 3,求出展开 式中 x3的系数,列出方程求出 a 解:通项 Tr+1C6r arx123r, 当 123r3 时,r3, 所以系数为 C63 a3 ,得 a2 故答案为 2 12过点 , 的直线 l 与圆 x 2+y24 相切,则直线 l 在 y 轴上的截距为 4 【分析】根据题意,分析可得点( ,1)在圆 x2+y24 上,由圆的切线方程可得切线 l 的方程为 x+y4,变形分

18、析可得答案 解:根据题意,圆 x2+y24,对于点( ,1),有( )2+124, 即点( ,1)在圆 x2+y24 上, 则切线 l 的方程为 x+y4,变形可得 y x+4,直线 l 在 y 轴上的截距为 4; 故答案为:4 13一袋中装有 6 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白 球的概率是 ,则袋中白球的个数为 3 ;从袋中任意摸出 2 个球,则摸到白球的个数 X 的数学期望为 1 【分析】设白球个数为 m,根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算 m, 计算 X 的各种取值对应的概率,再计算数学期望 解:设袋中有白球 m 个,则有黑球 6m

19、个, 设事件 A:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球, 则 P(A)1 , 3,即 3,解得 m3 或 m8(舍) P(X0)1 ,P(X1) ,P(X2) , E(X)0 1 2 1 故答案为:3,1 14已知 ab0,则 的最小值为 4 【分析】根据题意,由基本不等式的性质分析可得 a2+4b22 4ab,进而可 得 (4ab+1) , 据此由基本不等式的性质分析可得(4ab+1) 的最小值,即可得答案 解:根据题意,ab0,则有 a2+4b22 4ab,当且仅当 a2b 时等号成立, 则 原 式 ( 4ab+1 ) , 又由 ab0,则 4ab+11, 则有(4ab+1) 2

20、 4,当且仅当 4ab+12,即 4ab1 时等号成立, 综合可得: 的最小值为 4,当且仅当 a2b 时等号成立 故答案为:4 15已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在(,0上单调递增,且 f(1)1若 f(x 1) +10, 则 x的取值范围是 0, 2 ; 设函数 , , , , 若方 程 f(g(x)+10 有且只有两个不同的实数解,则实数 a 的取值范围为 (, 1(3,+) 【分析】根据 f(x)的奇偶性和单调性列不等式求出 x 的范围,根据 g(x)的单调性和 最值,分情况讨论最值和1 的关系,从而确定 a 的范围 解:f(x)是偶函数,且 f(x)在(,0上单调递增, f(x

21、)在(0,+)上单调递减,且 f(1)f(1)1, 由 f(x1)+10 可得:f(x1)f(1), 1x11,即 0x2 由 f(g(x)+10 可得 g(x)1 或 g(x)1 由函数解析式可知 g(x)在(,0和(0,+)上均为增函数, 故当 x(,0时,g(x)2a,当 x(0,+)时,g(x)a, (1)若 12a1a,则 g(x)1 有 1 解,g(x)1 有 2 解,不符合题意; (2)2a1a1,此时 g(x)1 有 2 解,g(x)1 有 1 解,不符合题意; (3)若a1,则 g(x)1 有 1 解,g(x)1 有 1 解,符合题意; (4)若 2a1,则 g(x)1 有

22、1 解,g(x)1 有 1 解,符合题意; (5)若 2a1,则 g(x)1 有 2 解,g(x)1 有 1 解,不符合题意; (6)若 2a1,则 g(x)1 有 2 解,g(x)1 有 1 解,不符合题意; 综上,a1 或 2a1,解得 a1 或 a3 故答案为:0,2,(,1(3,+) 三、解答题:(本大题共 5 个小题,共 75 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知 a2+c2b2 ac ()求 cosB 及 tan2B 的值; ()若 b3,A ,求 c 的值 【分析】 () 由已知利用余弦定理可得 cosB, 利

23、用同角三角函数基本关系式可求 sinB, 利用二倍角公式可求 sin2B, cos2B, 进而根据同角三角函数基本关系式可求 tan2B 的值 ()由已知利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值,进而由正弦定理可得 c 的值 解:()a2+c2b2 ac, 由余弦定理可得:cosB , sinB , sin2B2sinBcosB ,cos2B2cos 2B1 , tan2B ; () sinCsin (A+B) sin (A+B) sin (B ) sinBcos cosBsin 由正弦定理 ,可得 c 2 17如图所示,平面 CDEF平面 ABCD,且四边形 ABCD 为平行四边形,DA

24、B45, 四边形 CDEF 为直角梯形,EFDC,EDCD,AB3EF3,EDa,AD (1)求证:ADBF; ()若线段 CF 上存在一点 M,满足 AE平面 BDM,求 的值; ()若 a1,求二面角 DBCF 的余弦值 【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出直线 AD 及直线 BF 的方向向量,利用两向量 的数量积为 0,即可得证; (2)设 ,根据题设数据,求出平面 BDN 的一个法向量,以及直线 AE 的方向 向量,利用 AE平面 BDM,建立关于 的方程,解出即可; (3)求出平面 BCF 及平面 BCD 的法向量,利用向量的夹角公式即可得解 解:(1)平面 CDEF平面 ABCD

25、,EDCD, ED平面 ABCD, 如图,以 D 为原点,DC 所在直线为 y 轴,过点 D 垂直于 DC 的直线为 x 轴,建立空间 直角坐标系, DAB45,AB3EF3, , , A(1,1,0),B(1,2,0),C(0,3,0),E(0,0,a),F(0,1,a), , , , , , , , ADEF; (2)设 , , , , ,则 , , , , , , , 设平面 BDM 的法向量为 , , ,则 , 取 x1 2,则 , , , 若 AE平面 BDM, 则 , , , , , 即 ,解得 , 线段 CF 上存在一点 M,满足 AE平面 BDM,此时 ; (3)设平面BCF的

26、法向量为 , , ,则 , , , , , , , , , 取 x2 1,则 , , , 又平面 BCD 的一个法向量为 , , , , , 由图可知,二面角 DBCF 为锐角,故二面角 DBCF 的余弦值为 18已知 F1,F2为椭圆 C: 的左、右焦点,椭圆 C 过点 M , , 且 MF2F1F2 ()求椭圆 C 的方程; ()经过点 P(2,0)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若存在点 Q(m,0),使得|QA| |QB| (i)求实数 m 的取值范围: (i)若线段 F1A 的垂直平分线过点 Q,求实数 m 的值 【分析】()由椭圆过 M 点,及且 MF2F1F2,可得 c1,可

27、得 a,b 的值,求出椭 圆的方程; () (i) 设直线 AB 的方程与椭圆联立求出两根之和, 可得 AB 的中点 N 的坐标, 由|QA| |QB|可得直线 ABQN 可得斜率之积为1,可得 m 的表达式 m ,进而可得 m 的范围; (ii)由题意|QF1|QA|QB|,且 F1(1,0),可得:x24mx4m0,所以 x1+x2 4m ,x1x24m ,可得 ,解得 k 2 ,进而求出 m 的值 解:()因为椭圆过 M(1, ),MF2F1F2, 所以 解得:a 22,b21, 所以椭圆的方程为: y 21; ()设直线的方程为:yk(x2), 代入椭圆的方程 ,整理可得:(1+2k2

28、)x28k2x+8k220, 因为直线 l 与椭圆 C 由两个交点,所以64k44(1+2k2)(8k22)0, 解得 2k21; 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2 ,x1x2 , (i)设 AB 中点为 M(x0,y0), 则有 x0 ,y0k(x02) , 当 k0 时,因为|QA|QB|,QMl, kQM k k1,解得 m , m 1 (0, ), 当 k0,可得 m0, 综上所述:m0, ) (ii)由题意|QF1|QA|QB|,且 F1(1,0), 由 ,整理可得:x 24mx4m0, 所以 x1,x2也是此方程的两个根,所以 x1+x24m ,x1x24m

29、 , 所以 ,解得 k 2 , 所以 m 所以 m 的值为 19设an是各项都为整数的等差数列,其前 n 项和为 Sn,bn是等比数列,且 a1b11, a3+b27,S5b250,n一、选择题* ()求数列an,bn的通项公式; ( ) 设 cn log2b1+log2b2+log2b3+ +log2bn, Tn a a a a (i)求 Tn; (ii)求证: 2 【分析】()设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q,运用等差数列和 等比数列的通项公式,解方程可得公差和公比,即可得到所求通项公式; ()(i) 运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得 cn n (n1) ,

30、a n 2n 1+2i,再由数列的分组求和,结合等差数列的求和公式,计算可得所求和; (ii)推得 ,再由数列的裂项相消 求和和不等式的性质,即可得证 解:()设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q,由 a1b11,a3+b2 7,S5b250, 可得 1+2d+q7,5(1+2d)q50, 解得 d2,q2 或 d ,q5, 由于an是各项都为整数的等差数列,所以 d2,q2, 从而 an2n1,bn2n1,nN*; ()(i)log2bnlog22n1n1, cn0+1+2+(n1) n(n1), a 2( i)1n 2n1+2i, Tn(n2n1+2)+(n2n1+4)+(

31、n2n1+2n) n(n2n1)+(2+4+2n)n(n2n1)+n(n+1)n3; (ii)证明: ( ) ( ) , 而 , , 1 , 由于 0, 可得 1 2 则 2 20(16 分)设函数 f(x) , ()若 x1 是函数 f(x)的一个极值点,求 k 的值及 f(x)单调区间; ()设 g(x)(x+1)ln(x+1)+f(x),若 g(x)在0,+)上是单调增函数, 求实数 k 的取值范围; ( ) 证 明 : 当p 0 , q 0及m n ( m , nN*) 时 , (1)i 1p2n1iqi12m1 【分析】 () 求出函数的导数, 得到关于 k 的方程, 求出 k, 求

32、出函数的单调区间即可; ()求出函数的导数,问题转化为 g(x)h(x)ln(x+1)+kx2x0 恒成立, 求出 h(x)的导数,通过讨论 k 的范围,求出函数 h(x)的最小值,求出 k 的范围即可; ()问题转化为证明 ln1 ln1 ,不妨设 pq0,构 造函数 (x) ln(1+a x),(x0),其中 a (0,1),根据函数的单调性证明 即可 解:()f(x)kx2x1, x1 是函数 f(x)的一个极值点, f(1)k110,解得:k2, f(x)2x2x1, 当 f(x)0,即 x 或 x1 时,f(x)递增, 当 f(x)0,即 x1 时,f(x)递减, f(x)在(, )

33、递增,在( ,1)递减,在(1,+)递增; ()g(x)(x+1)ln(x+1) x 3 x 2x, g(x)ln(x+1)+kx2x, 若 g(x)在0,+)上是单调增函数,则 g(x)0 对x0,+)恒成立, 令 h(x)ln(x+1)+kx2x,h(x) 2kx 21 , (i)若 k0,则 h(x)0,h(x)在0,+)递减, h(x)h(0)0,不合题意; (ii)若 k0,由 h(x)0 解得:x0,x 1, 当 0k 时, 0, x(0, )时,h(x)0,h(x)递减, h(x)h(0)0,不合题意, g(x)g(1)0; 当 k 时, 0, x0,+)时,h(x)0,h(x)

34、递增, h(x)h(0)0,即 g(x)0 对任意 x0,+)恒成立, 综上,k 时,g(x)在0,+)是单调递增函数; ( ) ( 1 ) i1p2m1iqi1 1 , (1)i 1p2n1iqi12m1 1 2n1 1 2m1, ln1 ln1 , 不妨设 pq0,则 0 1, 构造函数 (x) ln(1+a x),(x0),其中 a (0,1), (x) , 由()知 ln(x+1)x x 2, ln(ax+1)ax a 2x, (x) , a(0,1),x0, lna0,axa2x a 2x, (x)0,(x)在(0,+)递减, 0mn,02m12n1, ln1 ln1 , 故原不等式成立