1、2020 年高考数学二模试卷年高考数学二模试卷 一、选择题（共 9 小题）. 1复数 是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ ） A（1，0） B（0，1） C ， D ， 2某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6：5：7，防疫站欲对该校学生进 行身体健康调查， 用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本， 样本中高三年级的学生有 21 人，则 n 等于（ ） A35 B45 C54 D63 3方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的一个充分不必要条件是（ ） Ak（，2）（2，+） Bk（2，+） Ck（2，2） Dk（0，1 4设 ， ， 2，则 a，b
2、，c 的大小关系是（ ） Abac Babc Cbca Dacb 5 如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是面积为 2的正方形， 该长方体的外接球体积为 ， 点 E 为棱 AB 的中点，则三棱锥 D1ACE 的体积是（ ） A B2 C D1 6已知双曲线 C： 1（a0，b0）的离心率为 ，以双曲线 C 的右焦点 F 为 圆心， a 为半径作圆 F， 圆 F 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点， 则MFN （ ） A45 B60 C90 D120 7某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规 定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一
3、张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻， 也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）现有 3 位同学到食堂就餐，如果 3 人 在 1 号和 2 号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的 4 个座位是没有区别的），则不同的坐法 种数为（ ） A6 B12 C24 D48 8已知函数 f（x）sin（x+）（0，| ），yf（x）的图象关于直线 x 对 称， 且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列， 则函数 f （x） 的导函数 f （x） 的一个单调减区间为（ ） A ， B ， C ， D ， 9如图，在边长 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，O 为ABC 的中心，过
4、点 O 的直线与直线 BC 交于点 P，与直线 DE 交于点 Q，则 的取值范 围是（ ） A3，+） B（，3） C ， D ， 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上 10已知集合 Ax|（x+1）（x2）0，RBx|x0 或 x3，则 AB 11若（x2 ） 6 的二项展开式中 x3的系数为 ，则 a （用数字作答） 12过点 ， 的直线 l 与圆 x 2+y24 相切，则直线 l 在 y 轴上的截距为 13一袋中装有 6 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白 球的概率是 ，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意
5、摸出 2 个球，则摸到白球的个 数 X 的数学期望为 14已知 ab0，则 的最小值为 15已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在（，0上单调递增，且 f（1）1若 f（x 1）+10，则 x 的取值范围是 ；设函数 ， ， ， ， 若 方程 f（g（x）+10 有且只有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：（本大题共 5 个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a2+c2b2 ac （）求 cosB 及 tan2B 的值； （）若 b3，A ，求 c 的值 17如图所示，平面 CDEF平面
6、 ABCD，且四边形 ABCD 为平行四边形，DAB45， 四边形 CDEF 为直角梯形，EFDC，EDCD，AB3EF3，EDa，AD （1）求证：ADBF； （）若线段 CF 上存在一点 M，满足 AE平面 BDM，求 的值； （）若 a1，求二面角 DBCF 的余弦值 18已知 F1，F2为椭圆 C： 的左、右焦点，椭圆 C 过点 M ， ， 且 MF2F1F2 （）求椭圆 C 的方程； （）经过点 P（2，0）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若存在点 Q（m，0），使得|QA| |QB| （i）求实数 m 的取值范围： （i）若线段 F1A 的垂直平分线过点 Q，求实数 m 的值
7、19设an是各项都为整数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，且 a1b11， a3+b27，S5b250，nN* （）求数列an，bn的通项公式； （ ） 设 cn log2b1+log2b2+log2b3+ +log2bn， Tn a a a a （i）求 Tn； （ii）求证： 2 20（16 分）设函数 f（x） ， （）若 x1 是函数 f（x）的一个极值点，求 k 的值及 f（x）单调区间； （）设 g（x）（x+1）ln（x+1）+f（x），若 g（x）在0，+）上是单调增函数， 求实数 k 的取值范围； （ ） 证 明 ： 当p 0 ， q 0及m n （ m ，
8、 nN*） 时 ， （1）i 1p2n1iqi12m1 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ ） A（1，0） B（0，1） C ， D ， 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：z ， 复数 是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（0，1） 故选：B 2某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6：5：7，防疫站欲对该校学生进 行身体健康调查， 用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本， 样本中高三年级的学生有 21 人，则 n 等于（ ） A35 B45 C54 D6
9、3 【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为 6：5：7，知高三年级学生的 数量占总数的 ，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本， 高三年级被抽到的人数为 21 人，能求出 n 解：某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为 6：5：7， 高三年级学生的数量占总数的 ， 分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本，若已知高三年级被抽 到的人数为 21 人， n21 54 故选：C 3方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的一个充分不必要条件是（ ） Ak（，2）（2，+） Bk（2，+） Ck（2，2） Dk（0，1 【分析】化 x2
10、+y2kx+2y+k220 为 ，由 0 求 得 k 的范围，然后逐一核对四个选项得答案 解：由 x2+y2kx+2y+k220，得 ， 若方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆，则 0，即2k2 A，B 为方程 x2+y2kx+2y+k220 表示圆的既不充分也不必要条件，C 为充要条件， 而（0，1（2，2），则 D 为充分不必要条件 故选：D 4设 ， ， 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Babc Cbca Dacb 【分析】根据 0ln21 即可得出 12ln22，并得出 ， ，从而可得 出 a，b，c 的大小关系 解：0ln21，12ln22， ，log32l
11、og331， bac 故选：A 5 如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是面积为 2的正方形， 该长方体的外接球体积为 ， 点 E 为棱 AB 的中点，则三棱锥 D1ACE 的体积是（ ） A B2 C D1 【分析】由该长方体的外接球体积为 ，求出该长方体的外接球半径为 R2，从而求 出 AA12 ，由此能求出三棱锥 D1ACE 的体积 解：长方体 ABCDA1B1C1D1的底面是面积为 2 的正方形， 该长方体的外接球体积为 ，设长方体的外接球的半径为 R， 则 ，解得该长方体的外接球半径为 R2， 2，解得 AA 12 ， SACE ， 三棱锥 D1ACE 的体积 V 故选：C
12、 6已知双曲线 C： 1（a0，b0）的离心率为 ，以双曲线 C 的右焦点 F 为 圆心， a 为半径作圆 F， 圆 F 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点， 则MFN （ ） A45 B60 C90 D120 【分析】因为离心率 e ，所以 ，不妨设与圆 F 相交的渐近 线为 ，则点 F（c，0）到直线 MN 的距离为 d ，所以 sin NMF ， NMF45MNF， 所以MFN180 （NMF+MNF） 90 解：离心率 e ， ， 由题意可知，双曲线 1 的渐近线方程为 ，点 F（c，0）， 不妨设与圆 F 相交的渐近线为 ，则点 F 到直线 MN 的距离为 d ， sin
13、NMF ，NMF45MNF，MFN180（NMF+ MNF）90 故选：C 7某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规 定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻， 也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）现有 3 位同学到食堂就餐，如果 3 人 在 1 号和 2 号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的 4 个座位是没有区别的），则不同的坐法 种数为（ ） A6 B12 C24 D48 【分析】根据分类计数原理即可求出 解：若在 2 人在 1 号餐桌，1 人在 2 号餐桌，则有 C3226 种， 若在 1 人在 1 号餐桌，2 人
14、在 2 号餐桌，则有 C3226 种， 则共有不同的坐法 6+612 种 故选：B 8已知函数 f（x）sin（x+）（0，| ），yf（x）的图象关于直线 x 对 称， 且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列， 则函数 f （x） 的导函数 f （x） 的一个单调减区间为（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】先根据三角函数的图象和性质求出 f（x）的解析式，可得它的导数，再利用余 弦函数的单调性，得出结论 解：函数 f（x）sin（x+）（0，| ），yf（x）的图象关于直线 x 对 称， 且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，故函数的周期为 2 ， 2
15、故 2 k ，kZ， ，f（x）sin（2x ） 则函数 f（x）的导函数 f（x）2cos（2x ） 令2k2x 2k+， 可得k xk ， 故f （x） 的减区间为k ， k ， kZ， 故选：A 9如图，在边长 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，O 为ABC 的中心，过点 O 的直线与直线 BC 交于点 P，与直线 DE 交于点 Q，则 的取值范 围是（ ） A3，+） B（，3） C ， D ， 【分析】因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出 PQ 的方程，解出 P，Q 的坐标，即可将问题转化为直线 PQ 斜率 k 的函数，求其值域即可 解：由题
16、意，如图建立平面直角坐标系： 因为三角形 ABC 边长为 ，故高为 ， 故：DE：y ；O（0，1），A（0，3） 所以直线 PQ：ykx+1，（由对称性，不妨设 k0） 所以由 得 Q（ ， ）；由 得 P（ ， ） 所以 ， ， ， ， 所以 ， 特别的，当 PQx 轴时，P（0，0），Q（0， ）， ， ， 故 故选：D 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上 10已知集合 Ax|（x+1） （x2）0，RBx|x0 或 x3，则 AB （0，2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：RBx|x0 或 x3， Bx|0x
17、3，且 Ax|1x2， AB（0，2 故答案为：（0，2 11若（x2 ） 6 的二项展开式中 x3的系数为 ，则 a 2 （用数字作答） 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数为 3，求出展开 式中 x3的系数，列出方程求出 a 解：通项 Tr+1C6r arx123r， 当 123r3 时，r3， 所以系数为 C63 a3 ，得 a2 故答案为 2 12过点 ， 的直线 l 与圆 x 2+y24 相切，则直线 l 在 y 轴上的截距为 4 【分析】根据题意，分析可得点（ ，1）在圆 x2+y24 上，由圆的切线方程可得切线 l 的方程为 x+y4，变形分
18、析可得答案 解：根据题意，圆 x2+y24，对于点（ ，1），有（ ）2+124， 即点（ ，1）在圆 x2+y24 上， 则切线 l 的方程为 x+y4，变形可得 y x+4，直线 l 在 y 轴上的截距为 4； 故答案为：4 13一袋中装有 6 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白 球的概率是 ，则袋中白球的个数为 3 ；从袋中任意摸出 2 个球，则摸到白球的个数 X 的数学期望为 1 【分析】设白球个数为 m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算 m， 计算 X 的各种取值对应的概率，再计算数学期望 解：设袋中有白球 m 个，则有黑球 6m
19、个， 设事件 A：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球， 则 P（A）1 ， 3，即 3，解得 m3 或 m8（舍） P（X0）1 ，P（X1） ，P（X2） ， E（X）0 1 2 1 故答案为：3，1 14已知 ab0，则 的最小值为 4 【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得 a2+4b22 4ab，进而可 得 （4ab+1） ， 据此由基本不等式的性质分析可得（4ab+1） 的最小值，即可得答案 解：根据题意，ab0，则有 a2+4b22 4ab，当且仅当 a2b 时等号成立， 则 原 式 （ 4ab+1 ） ， 又由 ab0，则 4ab+11， 则有（4ab+1） 2
20、 4，当且仅当 4ab+12，即 4ab1 时等号成立， 综合可得： 的最小值为 4，当且仅当 a2b 时等号成立 故答案为：4 15已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在（，0上单调递增，且 f（1）1若 f（x 1） +10， 则 x的取值范围是 0， 2 ； 设函数 ， ， ， ， 若方 程 f（g（x）+10 有且只有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为 （， 1（3，+） 【分析】根据 f（x）的奇偶性和单调性列不等式求出 x 的范围，根据 g（x）的单调性和 最值，分情况讨论最值和1 的关系，从而确定 a 的范围 解：f（x）是偶函数，且 f（x）在（，0上单调递增， f（x
21、）在（0，+）上单调递减，且 f（1）f（1）1， 由 f（x1）+10 可得：f（x1）f（1）， 1x11，即 0x2 由 f（g（x）+10 可得 g（x）1 或 g（x）1 由函数解析式可知 g（x）在（，0和（0，+）上均为增函数， 故当 x（，0时，g（x）2a，当 x（0，+）时，g（x）a， （1）若 12a1a，则 g（x）1 有 1 解，g（x）1 有 2 解，不符合题意； （2）2a1a1，此时 g（x）1 有 2 解，g（x）1 有 1 解，不符合题意； （3）若a1，则 g（x）1 有 1 解，g（x）1 有 1 解，符合题意； （4）若 2a1，则 g（x）1 有
22、1 解，g（x）1 有 1 解，符合题意； （5）若 2a1，则 g（x）1 有 2 解，g（x）1 有 1 解，不符合题意； （6）若 2a1，则 g（x）1 有 2 解，g（x）1 有 1 解，不符合题意； 综上，a1 或 2a1，解得 a1 或 a3 故答案为：0，2，（，1（3，+） 三、解答题：（本大题共 5 个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a2+c2b2 ac （）求 cosB 及 tan2B 的值； （）若 b3，A ，求 c 的值 【分析】 （） 由已知利用余弦定理可得 cosB， 利
23、用同角三角函数基本关系式可求 sinB， 利用二倍角公式可求 sin2B， cos2B， 进而根据同角三角函数基本关系式可求 tan2B 的值 （）由已知利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，进而由正弦定理可得 c 的值 解：（）a2+c2b2 ac， 由余弦定理可得：cosB ， sinB ， sin2B2sinBcosB ，cos2B2cos 2B1 ， tan2B ； （） sinCsin （A+B） sin （A+B） sin （B ） sinBcos cosBsin 由正弦定理 ，可得 c 2 17如图所示，平面 CDEF平面 ABCD，且四边形 ABCD 为平行四边形，DA
24、B45， 四边形 CDEF 为直角梯形，EFDC，EDCD，AB3EF3，EDa，AD （1）求证：ADBF； （）若线段 CF 上存在一点 M，满足 AE平面 BDM，求 的值； （）若 a1，求二面角 DBCF 的余弦值 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线 AD 及直线 BF 的方向向量，利用两向量 的数量积为 0，即可得证； （2）设 ，根据题设数据，求出平面 BDN 的一个法向量，以及直线 AE 的方向 向量，利用 AE平面 BDM，建立关于 的方程，解出即可； （3）求出平面 BCF 及平面 BCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解 解：（1）平面 CDEF平面 ABCD
25、，EDCD， ED平面 ABCD， 如图，以 D 为原点，DC 所在直线为 y 轴，过点 D 垂直于 DC 的直线为 x 轴，建立空间 直角坐标系， DAB45，AB3EF3， ， ， A（1，1，0），B（1，2，0），C（0，3，0），E（0，0，a），F（0，1，a）， ， ， ， ， ， ， ， ADEF； （2）设 ， ， ， ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 BDM 的法向量为 ， ， ，则 ， 取 x1 2，则 ， ， ， 若 AE平面 BDM， 则 ， ， ， ， ， 即 ，解得 ， 线段 CF 上存在一点 M，满足 AE平面 BDM，此时 ； （3）设平面BCF的
26、法向量为 ， ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 取 x2 1，则 ， ， ， 又平面 BCD 的一个法向量为 ， ， ， ， ， 由图可知，二面角 DBCF 为锐角，故二面角 DBCF 的余弦值为 18已知 F1，F2为椭圆 C： 的左、右焦点，椭圆 C 过点 M ， ， 且 MF2F1F2 （）求椭圆 C 的方程； （）经过点 P（2，0）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若存在点 Q（m，0），使得|QA| |QB| （i）求实数 m 的取值范围： （i）若线段 F1A 的垂直平分线过点 Q，求实数 m 的值 【分析】（）由椭圆过 M 点，及且 MF2F1F2，可得 c1，可
27、得 a，b 的值，求出椭 圆的方程； （） （i） 设直线 AB 的方程与椭圆联立求出两根之和， 可得 AB 的中点 N 的坐标， 由|QA| |QB|可得直线 ABQN 可得斜率之积为1，可得 m 的表达式 m ，进而可得 m 的范围； （ii）由题意|QF1|QA|QB|，且 F1（1，0），可得：x24mx4m0，所以 x1+x2 4m ，x1x24m ，可得 ，解得 k 2 ，进而求出 m 的值 解：（）因为椭圆过 M（1， ），MF2F1F2， 所以 解得：a 22，b21， 所以椭圆的方程为： y 21； （）设直线的方程为：yk（x2）， 代入椭圆的方程 ，整理可得：（1+2k2
28、）x28k2x+8k220， 因为直线 l 与椭圆 C 由两个交点，所以64k44（1+2k2）（8k22）0， 解得 2k21； 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则有 x1+x2 ，x1x2 ， （i）设 AB 中点为 M（x0，y0）， 则有 x0 ，y0k（x02） ， 当 k0 时，因为|QA|QB|，QMl， kQM k k1，解得 m ， m 1 （0， ）， 当 k0，可得 m0， 综上所述：m0， ） （ii）由题意|QF1|QA|QB|，且 F1（1，0）， 由 ，整理可得：x 24mx4m0， 所以 x1，x2也是此方程的两个根，所以 x1+x24m ，x1x24m
29、 ， 所以 ，解得 k 2 ， 所以 m 所以 m 的值为 19设an是各项都为整数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，且 a1b11， a3+b27，S5b250，n一、选择题* （）求数列an，bn的通项公式； （ ） 设 cn log2b1+log2b2+log2b3+ +log2bn， Tn a a a a （i）求 Tn； （ii）求证： 2 【分析】（）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，运用等差数列和 等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式； （）（i） 运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得 cn n （n1） ，
30、a n 2n 1+2i，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和； （ii）推得 ，再由数列的裂项相消 求和和不等式的性质，即可得证 解：（）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，由 a1b11，a3+b2 7，S5b250， 可得 1+2d+q7，5（1+2d）q50， 解得 d2，q2 或 d ，q5， 由于an是各项都为整数的等差数列，所以 d2，q2， 从而 an2n1，bn2n1，nN*； （）（i）log2bnlog22n1n1， cn0+1+2+（n1） n（n1）， a 2（ i）1n 2n1+2i， Tn（n2n1+2）+（n2n1+4）+（
31、n2n1+2n） n（n2n1）+（2+4+2n）n（n2n1）+n（n+1）n3； （ii）证明： （ ） （ ） ， 而 ， ， 1 ， 由于 0， 可得 1 2 则 2 20（16 分）设函数 f（x） ， （）若 x1 是函数 f（x）的一个极值点，求 k 的值及 f（x）单调区间； （）设 g（x）（x+1）ln（x+1）+f（x），若 g（x）在0，+）上是单调增函数， 求实数 k 的取值范围； （ ） 证 明 ： 当p 0 ， q 0及m n （ m ， nN*） 时 ， （1）i 1p2n1iqi12m1 【分析】 （） 求出函数的导数， 得到关于 k 的方程， 求出 k， 求
32、出函数的单调区间即可； （）求出函数的导数，问题转化为 g（x）h（x）ln（x+1）+kx2x0 恒成立， 求出 h（x）的导数，通过讨论 k 的范围，求出函数 h（x）的最小值，求出 k 的范围即可； （）问题转化为证明 ln1 ln1 ，不妨设 pq0，构 造函数 （x） ln（1+a x），（x0），其中 a （0，1），根据函数的单调性证明 即可 解：（）f（x）kx2x1， x1 是函数 f（x）的一个极值点， f（1）k110，解得：k2， f（x）2x2x1， 当 f（x）0，即 x 或 x1 时，f（x）递增， 当 f（x）0，即 x1 时，f（x）递减， f（x）在（， ）
33、递增，在（ ，1）递减，在（1，+）递增； （）g（x）（x+1）ln（x+1） x 3 x 2x， g（x）ln（x+1）+kx2x， 若 g（x）在0，+）上是单调增函数，则 g（x）0 对x0，+）恒成立， 令 h（x）ln（x+1）+kx2x，h（x） 2kx 21 ， （i）若 k0，则 h（x）0，h（x）在0，+）递减， h（x）h（0）0，不合题意； （ii）若 k0，由 h（x）0 解得：x0，x 1， 当 0k 时， 0， x（0， ）时，h（x）0，h（x）递减， h（x）h（0）0，不合题意， g（x）g（1）0； 当 k 时， 0， x0，+）时，h（x）0，h（x）
34、递增， h（x）h（0）0，即 g（x）0 对任意 x0，+）恒成立， 综上，k 时，g（x）在0，+）是单调递增函数； （ ） （ 1 ） i1p2m1iqi1 1 ， （1）i 1p2n1iqi12m1 1 2n1 1 2m1， ln1 ln1 ， 不妨设 pq0，则 0 1， 构造函数 （x） ln（1+a x），（x0），其中 a （0，1）， （x） ， 由（）知 ln（x+1）x x 2， ln（ax+1）ax a 2x， （x） ， a（0，1），x0， lna0，axa2x a 2x， （x）0，（x）在（0，+）递减， 0mn，02m12n1， ln1 ln1 ， 故原不等式成立