1、2020 高考数学模拟试题 南京师范大学 数学 I I 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满 分为 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作 答一律无效 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 参考公式：球体的表面积公式：S 2 4 R，其中
2、 R 为球体的半径 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1. 集合1,0,1A ，0,1,2B ，则AB . 2若复数z满足11 3zii ，则z的模是 3. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为 . 1 1 While 5 + 2 + End While Print 第 3 题 第 4 题 4 从学校高三年级随机抽取一个班， 对该班 45 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统 计，其结果的频率分布直方图如图. 若高校 A 专业对视力要求不低于 0.9，则该班学生中 最多有 人能报考该专业.
3、 5袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中有 2 只红球，2 只白球，若从中随机一次摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 （2） 6若双曲线的一条渐近线经过点(3，-4)，则此双曲线的离心率 为 7. 圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比 为 . 8.已知函数 sin0,0. 2 fxAxA 的图像如图所示，则 4 f . 9.若平面向量1, 1a 与b的夹角是180 ，且 2 2b ，则 b等于 . 10.已知 A,B 是椭圆 C： 22 1 4 xy mm 的长轴的两个端点， P 是椭圆 C 上的动点， 且APB 的最大值为 2 3 ，则
4、椭圆 C 的离心率为 . 11已知函数 2 4, 2 , xxa f x xx xa ，若任意实数b ，总存在实数 0 x ，使得 f (x0)b， 则实数 a 的取值范围是 . 12 在ABC中， 角, ,A B C的对边分别是, ,a b c 已知2,3 sin5 sincos0abCcBA， 则ABC面积的最大值是 . 13已知一个数列只有 21 项，首项为 1 100，末项为 1 101，其中任意连续三项 , ,a b c满足 2ac b ac ，则此数列的第 15 项是 . 14. 已知0,2， 若关于 k 的不等式 33 sincos(sincos)k在, 2 上 恒成立，则的取值
5、范围是 . 22 22 1(0,0) xy ab ab 二、 解答题 （本大题共 6 小题， 计 90 分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题卡的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 已知 = (sin2,3)， = (4,cos2)， 4 2， 2 0，所以 f(k)在区间(，2上单调递增，不符合题意； 当 0， 4 时，sin3cos30，所以 f(k)在区间(，2上单调递减，此时 f(k)min f(2)2(sin3cos3)( sin cos )0，即 2sin3 sin 2cos3 cos . 令 h(x)2x3 x (x0)，不等式即为 h(s
6、in )h(cos )， 因为 h(x)6x2+ 1 2 x 0，所以 h(x)在区间0，上单调递增因为当 0， 4 时， sincos，所以 h(sin )h(cos )恒成立综上所述， 的取值范围是 0， 4 . 二、解答题 15. 解：（1） 因为 ， 所以 = 0， 所以4sin2 + 3cos2 = 0 sin22 + cos22 = 1， 得cos 22 = 16 25， 因为 4 2，所以 2 2 ，所以cos2 = 4 5. （2）由（1）知cos2 = 4 5 = 2cos2 1，因为 4 2， 所以cos = 10 10 ，sin = 1 cos2 = 310 10 ； 因
7、为cos = 25 5 ， 2 0，所以sin = 1 cos2 = 5 5 ， 因为 4 2， 2 0，所以 4 0，故可设 t1，t2是上述方程的两实根，所以 t1t23 2， t1 t24. 又直 线 l 过点 P(3， 5)，故由上式及 t 的几何意义得 PAPB|t1|t2|t1t23 2. C选修 45：不等式选讲 解 (1)当 x1 2时，2x1x32x4， 所以 x2； 当3x1 2时， 12xx32x4， 所以3x0； 当 x3 时，12xx32x4， 所以 x3. 综上，原不等式的解集 Ax|x0，或 x2 (2)当 x2 时，|2xa|x3|02x4 成立 当 x2 时，
8、|2xa|x3|2xa|x32x4，即|2xa|x1， 得 xa1 或 xa1 3 ， 所以 a12 或 a1a1 3 ，得 a2， 综上，a 的取值范围为(，2 【必做题】答案 22. 解：依题意，以 A 为坐标原点，AB,AD,AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则1,0,0, ,0,2,0 ,0,0,2 ,BDP 因为DCAB ，所以,2,0 .C （1）,2, 2 ,1,2,0 ,PCBD 则 2 415 cos, 15 85 PC BD PC BD PC BD 解得2. （2）易得2,2, 2 ,0,2, 2PCPD ,设平面PCD 的法向量( , ,
9、),nx y z 则0,n PC 且0,n PD 即0,xyz 且0,yz 所以0,x 不妨取1,yz 则平面PCD的一个法向量为(0,1,1),n 又易得1,0, 2 ,PB 故 210 cos, 552 PB n PB n PB n 所以直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为 10 5 . 23. 解：(1)因为 21 2 1 k k a a ，所以 212 ,2,2 kk aa 或(2，2)，所以 A2m (2)若对任意的 k，l(k，lN*，1klm)都| 2 21 4 l i ik a 成立， 由 a2k1a2k4 或4 或 0，若出现 4 和4 的次数为 x，则出现 0 的次数为(mx) 将这 x(mx)排列， 先从 m 个元素中先选出 x 元素排列 4 或4， 且 4 和4 只能相 间排列，共有 2 种排法，而其余(mx)个元素共有 2 m x 种排法， 因此 B2C1m2 (m 1)2C2 m2 (m 2)2Cx m2 (m x) 2Cmm20 2(3m2m)