1、 1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（五）北京卷高考数学押题仿真模拟（五） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 若集合0,1,2A, 2 |3Bx x，则AB= （A） （B） 1,0,1 （C）0,1,2 （D）0,1 2. 下列函数中是奇函数，并且在定义域
2、上是增函数的一个是 （A） 1 y x （B） lnyx （C）sinyx （D） 1,0 1,0 xx y xx 3. 已知函数 ( )2sin() 3 f xx,则“ 2 3 ”是“( )f x为奇函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4. 函数( )=sin23cos2f xxx在区间 , 2 2 上的零点之和是 （A） 3 （B） 6 （C） 6 （D） 3 5. 已知函数( )f x是定义域为R的奇函数,且(1)2f,那么( 1)(0)ff （A）2 （B）0 （C）1 （D）2 6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该
3、三棱锥四个面中最大面积是 （A） 3 2 （B）2 （C） 5 2 （D）1 主视图 俯视图 左视图 21 1 2 7. 5 2 1 2）（ x x的展开式中， 1 x项的系数是（ ） （A） 20 （B） 40 （C） 80 （D） -120 8. 若, a b是函数 2 ( )(0,0)f xxpxq pq的两个不同的零点,且, , 2a b 这三个数适当排序后可成 等差数列,且适当排序后也可成等比数列,则ab的值等于 （A）1 （B）7 （C）6 （D）5 9. 曲线xxy3 3 过点)2, 1 ( 的切线条数为 （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条 10. 正方体 1111
4、DCBAABCD的棱长为1，底面ABCD内任一点M，作BCMN ， 垂足为N，满足条件1| 22 1 MNMA.则点M的轨迹为 （A）双曲线线的一部分 （B）椭圆的一部分 （C） 抛物线的一部分 （D）圆的一部分 答案：答案：1 1- -5 DDABD 65 DDABD 6- -10 ACBBC10 ACBBC 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 设i为虚数单位,如果复数Z满足iZi )1 (,那么Z的共轭复数Z的模长为 _. 答案 2 2 （12）已知0,0xy,且244 xy ，则xy的最大值为_. 3 答案 1 2 （1
5、3）如右图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若ABACAE, 则的值为_. 答案 8 （14）已知( )f x和( )g x在定义域内均为增函数,但( )( )f xg x不一定是增函数, 例如当( )f x _且( )g x _时,( )( )f xg x不是增函数. 答案 3 )(,)(xxgxxf（答案不唯一） （15）已知函数cbxaxxxf 23 )(的导函数)(xfy的图像如图所示，给出下列三个结论： )(xf的单调递减区间是)3 , 1 (； 函数)(xf在1x处取得极小值； 9, 6ba. 正确的结论是_ 注：注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选
6、或有错选得 0 分，其他得 3 分. 答案 E AB CD 4 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 已知_，函数 f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 （）若0 2 ，且 2 sin 2 ，求 f的值； （2）求函数 f x在0,2上的单调递减区间 在函数 1 sin 20, 22 f xx 的图象向右平移 12 个单位长度得到 g x的图象， g x图象关于原点对称； 向量3sin,cos2mxx， 11 cos,0, 24 nxf xm n ； 函数 1 cossin 64 f xxx 0 这三个条件中任选一个
7、，补充在下面问题中，并解答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解方案一： 选条件 由题意可知， 2 2 T ，1 1 sin 2 2 f xx， 1 sin 2 26 g xx ， 又函数 g x图象关于原点对称，, 6 kkZ ， 2 ， 6 ， 1 sin 2 26 f xx ， 5 （） 2 0,sin 22 ， 4 ， 4 ff 12 sin 23 3 4 ； （）由 3 222, 262 kxkkZ ，得 2 , 63 kxkkZ ， 令0k ，得 2 63 x ，令1k ，得 75 63 x， 函数 f x在0,2上的单调递减区间为 275 , 6 363 方案二：选
8、条件 11 3sin,cos2,cos, 24 mxxnx ， f xm n 31 sincoscos2 24 xxx 131 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 26 x ，又 2 2 T ，1， 1 sin 2 26 f xx ， （） 2 0,sin 22 ， 4 ， 4 ff 12 sin 23 3 4 ； （）由 3 222, 262 kxkkZ ，得 2 , 63 kxkkZ ， 令0k ，得 2 63 x ，令1k ，得 75 63 x， 函数 f x在0,2上的单调递减区间为 275 , 6 363 方案三：选条件 6 1 cossin 64 f xxx 1 cos
9、sincoscossin 664 xxx 2 311 sincoscos 224 xxx 31 sin2cos2 44 xx 131 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 26 x ， 又 2 2 T ，1， 1 sin 2 26 f xx ， （） 2 0,sin 22 ， 4 ， 4 ff 12 sin 23 3 4 ； （）由 3 222, 262 kxkkZ ，得 2 , 63 kxkkZ ， 令0k ，得 2 63 x ，令1k ，得 75 63 x 函数 f x在0,2上的单调递减区间为 275 , 6 363 17. （本小题满分 14 分） 已知ABCD为直角梯形，
10、90ABCDAB， SA平面ABCD，1AD，2BCABSA. （）求异面直线AB与SC所成角的余弦值； （）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值； （）求二面角CSDA的余弦值. 7 解：以A为坐标原点O，建立空间直角坐标系xyzO . 则)0 , 0 , 0(A，)0 , 0 , 2(B，)0 , 2 , 2(C，)0 , 1 , 0(D，)2 , 0 , 0(S. 1 分 （）)0 , 0 , 1 (2)0 , 0 , 2(AB，) 1, 1 , 1 (2)2, 2 , 2(SC， 3 3 3 1 | ,cos SCAB SCAB SCAB. 所以异面直线AB与SC所成角的余弦值为 3
11、3 . 4 分 （）) 1, 1 , 1 (2)2, 2 , 2(SC，)0 , 1 , 2(DC. 5 分 设平面SCD的法向量为),(zyxm ，则 0SCm ，0DCm . 用坐标表示，得 0) 1, 1 , 1 ( ),(zyx，0)0 , 1 , 2( ),(zyx， 即 02 0 yx zyx ，令1x，得) 1, 2, 1 (m . 7 分 ) 1, 0 , 0(2)2, 0 , 0(SA， 6 6 6 1 | m ,cos SAm SA SAm . 所以直线SA与平面SCD所成角的正弦值为 6 6 . 8 分 （）平面SCD的法向量) 1, 2, 1 (m ， 平面SAD的法向
12、量)0 , 0 , 1 (n . 6 6 6 1 | n m ,cos nm nm . 由图形可知二面角CSDA的大小为钝角， 8 所以二面角CSDA的余弦值为 6 6 . 14 分 （18） （本小题满分 14 分） 2020 年我国全面建成小康社会,其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米.下 表为 2007 年2016 年中,我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位:平方米. （） 现从上述表格中随机抽取一年数据,试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的 概率; （） 现从上述表格中随机抽取连续两年数据,求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方
13、米 的概率; （）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记 20122016 年中城镇人 均住房面积的方差为 2 1 s,农村人均住房面积的方差为 2 2 s,判断 2 1 s与 2 2 s的大小.（只需写出结 论）. （注:方差 2222 12 1( )()() n sxxxxxx n ,其中x为 1 x 2 x, n x的平均数） 解（）记事件A为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准 2 ( ) 5 P A 所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为 2 5 （）随机抽取连续两年数据:共 9 次. 2007 年 2008 年 2009 年 201
14、0 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 城 镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农 村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8 9 两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米:共 5 次. 设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米”为事件A, 因此 5 ( ) 9 P A （） 2 1 s 2 2 s. 19. （本小题满分 15 分） 已知函数 ln ( )1 xa f x x . （）当1a
15、时,求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程; （）求函数( )f x的单调区间; （）当1a 时,求函数( )f x在上区间0,e零点的个数. 解（）当1a 时, 2 ln ( ) x fx x , (1)0 f ,0k (1)0f,切点(1,0), 切线方程是1y . （） 2 1ln ( ) xa fx x , 令( )0fx, 1 a xe x、( )fx及( )f x的变化情况如下 x 1 (0,) a e 1 a e 1 (,) a e ( )fx 0 10 ( )f x 增 减 所以,( )f x在区间 1 (0,) a e 上单调递增, ( )f x在区间 1 (,
16、) a e 上单调递减 （）法一:由（）可知( )f x的最大值为 1 1 1 1 () a a a e f e e （1）当1a 时,( )f x在区间(0,1)单调递增,在区间(1, ) e上单调递减 由(1)0f,故( )f x在区间0,e上只有一个零点 （2）当1a 时,1a ,10a, 1 1 a e 且 1 1 1 1 ()0 a a a e f e e 因为()0 a f e,所以,( )f x在区间0,e上无零点 综上,当1a 时,( )f x在区间0,e上只有一个零点 当1a 时,( )f x在区间0,e上无零点 （）法二: 令 ln ( )10 xa f x x , ln
17、1 xa x lnaxx令( )lng xxx 11 ( )10 x g x xx ,1x x (0,1) 1 1,e ( )g x 0 11 ( )g x 减 极小值 1 增 由已知1a 所以,当1a 时,( )f x在区间0,e上只有一个零点 当1a 时,( )f x在区间0,e上无零点 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆C的焦点为)0 , 2(和)0 , 2(，椭圆上一点到两焦点的距离之和为24. （）求椭圆C的标准方程； （） 若直线)(:Rmmxyl与椭圆C交于BA,两点.当m变化时， 求AOB面积的最大值 （O为 坐标原点）. 解（）设椭圆的标准方程为)0(1 2 2 2 2
18、 ba b y a x ， 长轴长242 a，22a，半焦距2c，4 222 cab. 2 分 椭圆C的标准方程为1 48 22 yx . 3 分 （） mxy yx82 22 ，消去y并整理，得08243 22 mmxx. 5 分 判别式0)82(34)4( 22 mm， 解得3232m.由题意，知0m. 6 分 设),( 11 yxA，),( 22 yxB，由韦达定理， 12 得 3 4 21 m xx， 3 82 2 21 m xx. 7 分 设直线l与y轴的交点为E，则), 0(mE. 所以AOB面积| 2 1 21 xxmS. 9 分 2 21 22 )( 4 1 xxmS 4)(
19、4 1 21 2 21 2 xxxxm 3 82 4) 3 4 ( 4 1 2 22 mm m )12( 9 2 24 mm 8)6( 9 2 22 m )120( 2 m 所以，当6 2 m，即6m时，AOB面积取得最大值22. 14 分 13 21.（本小题满分 14 分） 已知集合. 对于,定义与之间的距离为. （） 2 ,A BS,写出所有( , )2d A B 的,A B; （）任取固定的元素,计算集合中元素个数; （）设,中有个元素,记中所有不同元素间的距离的最小值为. 证明:. 20.（本小题满分 14 分） 解（） (1,1) (0,0) A B (1,0) (0,1) A B
20、 (0,1) (1,0) A B (0,0) (1,1) A B （）当1k 时, 01 1 1 nn MnCC 当2k 时, 012 2 + nnn MCCC 写出, 特别的,. 所以 K M元素个数为 012k nnnn CCCC （）记, 我们证明.一方面显然有.另一方面,且, 假设他们满足.则由定义有, 与中不同元素间距离至少为相矛盾. 从而. 12 |( ,),0,1,1,2, nni SX Xx xxxin，(2)n 1212 ( ,),( ,) nnn Aa aaBb bbSAB 1 ( ,)| n ii i d A Bab n IS| ( , )(1) kn MASd A Ikkn n PSP(2)m m Pd 1 2n dm 01 | k knnn MCCC | 2n n M 1212 11 ( ,)|( ,) n n dn d Pc ccc cccP | |PP| |PP, n A BSAB 1122 11 , n dn d ab abab ( , )1d A Bd Pd 1212 11 (,)( ,) n dn d a aab bb 14 这表明中任意两元素不相等.从而. 又中元素有个分量,至多有个元素. 从而.证毕. 14 分 P| |PPm P1nd 1 2n d 1 2n dm