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2020北京市高考数学押题仿真试卷(四)含答案

1、 1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟(四)北京卷高考数学押题仿真模拟(四) 本试卷共 8 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试 结束后,将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。项。 1. 若集合02xxA,集合12 x xB, 则BA (A)R (B)2 , (C)2 , 0 (D) , 2 2. 下列函数中,既是偶函数又在区间

2、(0,)上单调递增的是 (A)( )ln |f xx (B)( )2 x f x (C) 3 ( )f xx (D) 2 ( )f xx 3. 已知数列 n a满足 1232 2(1,2,3,) n aaaaa n,则 (A)0 1 a (B)0 1 a (C) 21 aa (D)0 2 a 4. 将sin(2) 6 yx 的图象向左平移 6 个单位,则所得图象的函数解析式为( ) (A)sin2yx (B)cos2yx (C)sin(2) 3 yx (D)sin(2) 6 yx 5. 已知直线0xym与圆 22 :1O xy相交于,A B两点,且OAB!为正三角形,则实数m的值为 (A) 3

3、 2 (B) 6 2 (C) 3 2 或 3 2 (D) 6 2 或 6 2 2 6. 设m是不为零的实数,则“0m ”是“方程 22 1 xy mm 表示的曲线为双曲线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 在ABC!中,1ABAC,D是AC边的中点,则BD CD的取值范围是 (A) 3 1 (, ) 4 4 (B) 1 (, ) 4 (C) 3 (,+ ) 4 (D) 1 3 () 4 4 , 8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: 三棱锥的体积为 1 6 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的是

4、 3 2 所有正确的说法是 (A) (B) (C) (D) 9. 已知函数 )sin( 1 )( x xf( 0, 2 )的部分图象如图所示,则,的值分别为 (A) 1, 6 (B) 1, 6 (C)2, 3 (D)2, 3 10. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2,M N分别是棱 11 BCC D、的中点,点P在平面 1111 A BC D内,点Q 在线段 1 A N上.若5PM ,则PQ长度的最小值为 (A)21 (B)2 (C) 3 5 1 5 (D) 3 5 5 3 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11

5、) 复数._ 1 2 共轭复数的模长是 i i (12)已知公差为 1 的等差数列 n a中, 124 ,a a a成等比数列,则 n a的前 100 项的和为_. (13)设抛物线 2 :4C yx的顶点为O,经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于,A B两点, 则|_OAOB. (14)函数 2 ,0, ( ) (2),0 x x f x xxx 的最大值为_;若函数( )f x的图象与直线 (1)yk x 有且只有一个 公共点,则实数k的取值范围是 _. (15)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,给出下列四个结论: f(0)0; 若 f(x)在0,)上有最小值1,则

6、 f(x)在(,0上有最大值 1; 若 f(x)在1,)上为增函数,则 f(x)在(,1上为减函数; 若 x0 时,f(x)x2x,则 x0 时,f(x)x2x; 若 f(x)既是奇函数又是偶函数,则满足这样的 f(x)有无数多个; 其中正确结论的为_. 注:注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求.全部选对得 5 分,不选或有错选得 0 分,其他得 3 分. 4 三、解答题共 6 小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 现在给出三个条件: 2a; 4 B ;3cb.试从中选出两个条件,补充 在下面的问题中,使其能够确定ABC,并以此为依据,

7、求ABC的面积. 在ABC中,角, ,A B C的对边分别为, ,a b c, , ,且满足 3 sincos 3 aCcA, 求ABC的面积. (选出一种可行的方案解答,若选出多个方案分别解答,则按第一个解答记分) 5 17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 已 知 三 棱 柱 111 ABCABC, 平 面 11 A ACC 平 面 ABC,90ABC, 11 30 , ,BACAAACAC E F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. . 6 (18) (本小题满分 14 分) 7 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5

8、 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身 体指标(检测值为不超过 6 的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图: ()求样 本 中 患 病 者 的 人 数 和图中 a,b 的值; ()在该 指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; ()某研究机构提出,可以选取常数 * 0 0.5 ()XnnN,若一名从业者该项身体指标检测值大于 0 X,则判 断其患有这种职业病;若检测值小于 0 X,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,

9、 按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的 0 X的值及相应的概率 (只需写 出结论). 19. (本小题满分 15 分) 8 已知函数( )cosf xxxa,aR. ()求曲线( )yf x在点 2 x 处的切线的斜率; ()判断方程( )0fx(( )fx为( )f x的导数)在区间(0,1)内的根的个数,说明理由; ()若函数( )sincosF xxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围. 20 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1: 2 2+ 2 2=1(ab0)的离心率为 2 2 ,右焦点 F 是抛物线 C2:y2=2px(p0)的

10、 焦点,点(2,4)在抛物线 C2上 (1)求椭圆 C1的方程; (2)已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1于 A,B 两点,M(0,2) ,直线 AM 与 BM 的斜率乘积 为1 2,若在椭圆上存在点 N,使|AN|=|BN|,求ABN 的面积的最小值 9 21.(本小题满分 14 分) 给定数列 12 , n a aa.对1,2,1in,该数列前i项 12 , i a aa的最小值记为 i A,后ni项 12 , iin aaa 的最大值记为 i B,令 iii dBA. (I)设数列 n a为2,1,6,3,写出 123 ,d dd的值; (II)设 12 , n a aa(4)n

11、是等比数列,公比01q,且 1 0a ,证明: 121 , n d dd 是等比数列; (III)设 121 , n d dd 是公差大于0的等差数列,且 1 0d ,证明: 121 , n a aa 是等差数列. 10 20202020 北京卷高考数学押题仿真模拟(四)北京卷高考数学押题仿真模拟(四) 本试卷共 8 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试 结束后,将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符

12、合题目要求的一分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。项。 1. 若集合02xxA,集合12 x xB, 则BA (A)R (B)2 , (C)2 , 0 (D) , 2 2. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是 (A)( )ln |f xx (B)( )2 x f x (C) 3 ( )f xx (D) 2 ( )f xx 3. 已知数列 n a满足 1232 2(1,2,3,) n aaaaa n,则 (A)0 1 a (B)0 1 a (C) 21 aa (D)0 2 a 4. 将sin(2) 6 yx 的图象向左平移 6 个单位,则所得图象的函数解析式

13、为( ) (A)sin2yx (B)cos2yx (C)sin(2) 3 yx (D)sin(2) 6 yx 5. 已知直线0xym与圆 22 :1O xy相交于,A B两点,且OAB!为正三角形,则实数m的值为 (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 2 或 3 2 (D) 6 2 或 6 2 11 6. 设m是不为零的实数,则“0m ”是“方程 22 1 xy mm 表示的曲线为双曲线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 在ABC!中,1ABAC,D是AC边的中点,则BD CD的取值范围是 (A) 3 1 (, )

14、4 4 (B) 1 (, ) 4 (C) 3 (,+ ) 4 (D) 1 3 () 4 4 , 8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: 三棱锥的体积为 1 6 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的是 3 2 所有正确的说法是 (A) (B) (C) (D) 10. 已知函数 )sin( 1 )( x xf( 0, 2 )的部分图象如图所示,则,的值分别为 (A) 1, 6 (B) 1, 6 (C)2, 3 (D)2, 3 10. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2,M N分别是棱 11 BCC D、的中点,点P在平面 1111 A BC D内,点Q

15、 在线段 1 A N上.若5PM ,则PQ长度的最小值为 (A)21 (B)2 (C) 3 5 1 5 (D) 3 5 5 12 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11) 复数._ 1 2 共轭复数的模长是 i i 答案 2 (12)已知公差为 1 的等差数列 n a中, 124 ,a a a成等比数列,则 n a的前 100 项的和为_. 答案 5050 (14)设抛物线 2 :4C yx的顶点为O,经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于,A B两点, 则|_OAOB. 答案 2 (14)函数 2 ,0, ( ) (2

16、),0 x x f x xxx 的最大值为_;若函数( )f x的图象与直线 (1)yk x 有且只有一个 公共点,则实数k的取值范围是 _. 答案 , 11 (15)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,给出下列四个结论: f(0)0; 若 f(x)在0,)上有最小值1,则 f(x)在(,0上有最大值 1; 若 f(x)在1,)上为增函数,则 f(x)在(,1上为减函数; 若 x0 时,f(x)x2x,则 x0 时,f(x)x2x; 若 f(x)既是奇函数又是偶函数,则满足这样的 f(x)有无数多个; 其中正确结论的为_. 注:注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求.全部选对得 5

17、分,不选或有错选得 0 分,其他得 3 分. 13 答案 三、解答题共 6 小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 现在给出三个条件: 2a; 4 B ;3cb.试从中选出两个条件,补充 在下面的问题中,使其能够确定ABC,并以此为依据,求ABC的面积. 在ABC中,角, ,A B C的对边分别为, ,a b c, , ,且满足 3 sincos 3 aCcA, 求ABC的面积. (选出一种可行的方案解答,若选出多个方案分别解答,则按第一个解答记分) 解:因为 3 sincos 3 aCcA,且 sinsin ac AC ,所以 3 sins

18、insincos 3 ACCA, 又因为sin0C ,所以 3 sincos 3 AA,即: 3 tan,(0, ) 3 AA, 6 A . 若选: sinsin ab AB ,则 2 sinsin 64 b ,2 2b ; 123262 sinsin()sincoscossin 22224 CABABAB 1162 sin2 2 231 224 ABC SabC 若选:因为 222 2cosabcbcA,且3cb所以 22 3 4323 2 bbbb, 14 解得:2,2 3bc 111 sin2 2 33 222 ABC SbcA 若选: 5 12 CAB , 123262 sinsin(

19、)sincoscossin 22224 CABABAB . 而 62 4 sin31 3 sin22 2 C B 与3cb矛盾,所以不能同时选. 17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 已 知 三 棱 柱 111 ABCABC, 平 面 11 A ACC 平 面 ABC,90ABC, 11 30 , ,BACAAACAC E F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. . 解:方法一: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平

20、面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC,则A1EBC 15 又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F 所以BC平面A1EF 因此EFBC (2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形 由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1, 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角) 不妨设AC=4,则在RtA1EG中,A1E=23,EG=3. 由于O为A1G的中点,故 1 15 22 AG EOOG, 所以 222 3 c

21、os 25 EOOGEG EOG EO OG 因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC 如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz 16 不妨设AC=4,则 A1(0,0,2 3),B(3,1,0), 1( 3,3,2 3) B, 3 3 (,2 3) 22 F,C(0,2,0) 因此, 3 3 (,2 3) 22 EF ,(3,1,0)BC

22、由 0EF BC 得EFBC (2)设直线EF与平面A1BC所成角为 由(1)可得 1 =(3 1 0)=(0 22 3)BCAC, , 设平面A1BC的法向量为n n ()xy z, , 由 1 0 0 BC AC n n ,得 30 30 xy yz , 取n n(13 1),故 |4 sin|cos|= 5| | EF EF EF , n n n| , 因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 3 5 (18) (本小题满分 14 分) 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身 体指标(检测值为不超过 6 的正整数)

23、间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者, 记 录 他 们 17 该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图: ()求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值; ()在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; ()某研究机构提出,可以选取常数 * 0 0.5 ()XnnN,若一名从业者该项身体指标检测值大于 0 X,则判 断其患有这种职业病;若检测值小于 0 X,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者, 按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的 0 X的值及相应的概率 (只需写 出结论).

24、解: ()根据分层抽样原则,容量为 100 的样本中,患病者的人数为 3.4 10040 8.5 人. 1 0.100.350.250.150.100.05a , 1 0.100.200.300.40b . ()指标检测数据为 4 的样本中, 有患病者40 0.208人,未患病者60 0.159人. 设事件 A 为“从中随机选择 2 人,其中有患病者”. 则 2 9 2 17 C9 (A) C34 P, 所以 25 (A)1(A) 34 PP . ()使得判断错误的概率最小的 0 4.5X . 当 0 4.5X 时,判断错误的概率为 21 100 . 19. (本小题满分 15 分) 已知函数

25、( )cosf xxxa,aR. ()求曲线( )yf x在点 2 x 处的切线的斜率; ()判断方程( )0fx(( )fx为( )f x的导数)在区间(0,1)内的根的个数,说明理由; 18 ()若函数( )sincosF xxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围. 解:()( )cossinfxxxx. ( ) 22 k f . ()设( )( )g xfx,( )sin(sincos )2sincosg xxxxxxxx. 当(0,1)x时,( )0g x,则函数( )g x为减函数. 又因为(0)10g ,(1)cos1 sin10g, 所以有且只有一个 0

26、(0,1)x ,使 0 ()0g x成立. 所以函数( )g x在区间(0,1)内有且只有一个零点.即方程( )0fx在区间(0,1)内有且只有一个实数根. ( ) 若 函 数 ( )si ncosF xxxxax 在 区 间( 0,1)内 有 且 只 有 一 个 极 值 点 , 由 于 ( )( )Fxfx, 即 ( )cosf xxxa 在区间(0,1)内有且只有一个零点 1 x,且( )f x在 1 x两侧异号. 因为当(0,1)x时,函数( )g x为减函数,所以在 0 (0,)x上, 0 ( )()0g xg x,即( )0fx成立,函数( )f x为增函数; 在 0 (,1)x 上

27、, 0 ( )()0g xg x,即( )0fx成立,函数( )f x为减函数, 则函数 ( )f x在 0 xx 处取得极大值 0 ()f x. 当 0 ()0f x时,虽然函数( )f x在区间(0,1)内有且只有一个零点,但( )f x在 0 x两侧同号,不满足( )F x在区间 (0,1)内有且只有一个极值点的要求. 由于 (1)cos1fa,(0)fa,显然(1)(0)ff. 若函数 ( )f x在区间(0,1)内有且只有一个零点 1 x,且( )f x在 1 x两侧异号,则只需满足: (0)0, (1)0, f f 即 0, cos10, a a 解得cos10a. 0 x 19

28、20 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1: 2 2+ 2 2=1(ab0)的离心率为 2 2 ,右焦点 F 是抛物线 C2:y2=2px(p0)的 焦点,点(2,4)在抛物线 C2上 (1)求椭圆 C1的方程; (2)已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1于 A,B 两点,M(0,2) ,直线 AM 与 BM 的斜率乘积 为1 2,若在椭圆上存在点 N,使|AN|=|BN|,求ABN 的面积的最小值 解: (1)点(2,4)在抛物线 y2=2px 上, 16=4p, 解得 p=4, 椭圆的右焦点为 F(2,0) , c=2, 椭圆 C1: 2 2+ 2 2=1(ab0)的离心率为 2

29、2 , = 2 2 , a=22, b2=a2c2=84=4, 椭圆 C1的方程为 2 8 + 2 4 =1, (2)设直线 l 的方程为 y=kx+m,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 = + 2+22= 8,消 y 可得(1+2k 2)x2+4kmx+2m28=0, 20 x1+x2= 4 1+22,x1x2= 228 1+22 , y1+y2=k(x1+x2)+2m= 2 1+22,y1y2=k 2x1x2+km(x1+x2)+m2=282 1+22 M(0,2) ,直线 AM 与 BM 的斜率乘积为1 2, k1k2=12 1 22 2 =122(1+2)+4 12 =

30、 2 2(+2)= 1 2, 解得 m=0, 直线 l 的方程为 y=kx,线段 AB 的中点为坐标原点, 由弦长公式可得|AB|=1+2(1+ 2)2 412=32( 2+1) 1+22 , |AN|=|BN|, ON 垂直平分线段 AB, 当 k0 时,设直线 ON 的方程为 y=1 x, 同理可得|ON|=1 2 32( 1 2+1) 2 1 2+1 =1 2 32( 2+1) 2+2 , SABN=1 2|ON|AB|=8 (2+1)2 (2+2)(22+1), 当 k=0 时,ABN 的面积也适合上式, 令 t=k2+1,t1,01 1, 则 SABN=8 2 (+1)(21)=8

31、1 1 2+ 1 +2 =8 1 (1 12) 2+9 4 , 当1 = 1 2时,即 k=1 时,S ABN的最小值为 16 3 14 21 21.(本小题满分 14 分) 给定数列 12 , n a aa.对1,2,1in,该数列前i项 12 , i a aa的最小值记为 i A,后ni项 12 , iin aaa 的最大值记为 i B,令 iii dBA. (I)设数列 n a为2,1,6,3,写出 123 ,d dd的值; (II)设 12 , n a aa(4)n 是等比数列,公比01q,且 1 0a ,证明: 121 , n d dd 是等比数列; (III)设 121 , n d

32、 dd 是公差大于0的等差数列,且 1 0d ,证明: 121 , n a aa 是等差数列. 解: (I) 1 4d , 2 5d , 3 2d -3 分 (II)因为 1 0a ,公比01q, 所以 12 , n aaa是递减数列 因此,对1, 2,1in, 1 , iiii AaBa -5 分 于是对1, 2,1in, 1iiiii dBAaa 1 1( 1) i a qq -7 分 因此 0 i d 且 1i i d q d (1,2,2in) , 即 121 , n ddd 是等比数列 -9 分 (III) 设d为 121 , n d dd 的公差,则0d 22 对12in ,因为 1ii BB, 所以 1111iiiiiiiiii ABdBdBddBdA ,即 1ii AA -11 分 又因为 11 min, iii AA a ,所以 11iiii aAAa 从而 121 , n a aa 是递减数列因此 ii Aa(1,2,1in) -12 分 又因为 111111 +BAdada,所以 1121n Baaa 因此 1n aB 所以 121nn BBBa iiiini aABdad 因此对1,2,2in都有 1+1iiii aaddd , 即 121 , n a aa 是等差数列 -14 分