1、 1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（四）北京卷高考数学押题仿真模拟（四） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。项。 1. 若集合02xxA，集合12 x xB, 则BA （A）R （B）2 , （C）2 , 0 （D） , 2 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间
2、(0,)上单调递增的是 （A）( )ln |f xx （B）( )2 x f x （C） 3 ( )f xx （D） 2 ( )f xx 3. 已知数列 n a满足 1232 2(1,2,3,) n aaaaa n，则 （A）0 1 a （B）0 1 a （C） 21 aa （D）0 2 a 4. 将sin(2) 6 yx 的图象向左平移 6 个单位，则所得图象的函数解析式为（ ） （A）sin2yx （B）cos2yx （C）sin(2) 3 yx （D）sin(2) 6 yx 5. 已知直线0xym与圆 22 :1O xy相交于,A B两点,且OAB!为正三角形,则实数m的值为 （A） 3
3、 2 （B） 6 2 （C） 3 2 或 3 2 （D） 6 2 或 6 2 2 6. 设m是不为零的实数,则“0m ”是“方程 22 1 xy mm 表示的曲线为双曲线”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 在ABC!中,1ABAC,D是AC边的中点,则BD CD的取值范围是 （A） 3 1 (, ) 4 4 （B） 1 (, ) 4 （C） 3 (,+ ) 4 （D） 1 3 () 4 4 ， 8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: 三棱锥的体积为 1 6 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的是
4、 3 2 所有正确的说法是 （A） （B） （C） （D） 9. 已知函数 )sin( 1 )( x xf（ 0, 2 ）的部分图象如图所示，则,的值分别为 （A） 1, 6 （B） 1, 6 （C）2, 3 （D）2, 3 10. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2,M N分别是棱 11 BCC D、的中点,点P在平面 1111 A BC D内,点Q 在线段 1 A N上.若5PM ,则PQ长度的最小值为 （A）21 （B）2 （C） 3 5 1 5 （D） 3 5 5 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11
5、） 复数._ 1 2 共轭复数的模长是 i i （12）已知公差为 1 的等差数列 n a中, 124 ,a a a成等比数列,则 n a的前 100 项的和为_. （13）设抛物线 2 :4C yx的顶点为O,经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于,A B两点, 则|_OAOB. （14）函数 2 ,0, ( ) (2),0 x x f x xxx 的最大值为_;若函数( )f x的图象与直线 (1)yk x 有且只有一个 公共点,则实数k的取值范围是 _. （15）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列四个结论： f(0)0； 若 f(x)在0，)上有最小值1，则
6、 f(x)在(，0上有最大值 1； 若 f(x)在1，)上为增函数，则 f(x)在(，1上为减函数； 若 x0 时，f(x)x2x，则 x0 时，f(x)x2x； 若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则满足这样的 f(x)有无数多个； 其中正确结论的为_. 注：注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 4 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 现在给出三个条件： 2a； 4 B ；3cb.试从中选出两个条件，补充 在下面的问题中，使其能够确定ABC，并以此为依据，
7、求ABC的面积. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， ， ,且满足 3 sincos 3 aCcA, 求ABC的面积. （选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分） 5 17. （本小题满分 14 分） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 111 ABCABC， 平 面 11 A ACC 平 面 ABC,90ABC， 11 30 , ,BACAAACAC E F分别是AC，A1B1的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. . 6 （18） （本小题满分 14 分） 7 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5
8、 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身 体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图: （）求样 本 中 患 病 者 的 人 数 和图中 a,b 的值; （）在该 指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; （）某研究机构提出,可以选取常数 * 0 0.5 ()XnnN,若一名从业者该项身体指标检测值大于 0 X,则判 断其患有这种职业病;若检测值小于 0 X,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,
9、 按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的 0 X的值及相应的概率 （只需写 出结论）. 19. （本小题满分 15 分） 8 已知函数( )cosf xxxa,aR. （）求曲线( )yf x在点 2 x 处的切线的斜率; （）判断方程( )0fx（( )fx为( )f x的导数）在区间(0,1)内的根的个数,说明理由; （）若函数( )sincosF xxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围. 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C1： 2 2+ 2 2=1（ab0）的离心率为 2 2 ，右焦点 F 是抛物线 C2：y2=2px（p0）的
10、 焦点，点（2，4）在抛物线 C2上 （1）求椭圆 C1的方程； （2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1于 A，B 两点，M（0，2） ，直线 AM 与 BM 的斜率乘积 为1 2，若在椭圆上存在点 N，使|AN|=|BN|，求ABN 的面积的最小值 9 21.（本小题满分 14 分） 给定数列 12 , n a aa.对1,2,1in，该数列前i项 12 , i a aa的最小值记为 i A，后ni项 12 , iin aaa 的最大值记为 i B，令 iii dBA. （I）设数列 n a为2,1,6,3,写出 123 ,d dd的值； （II）设 12 , n a aa(4)n
11、是等比数列，公比01q，且 1 0a ，证明： 121 , n d dd 是等比数列； （III）设 121 , n d dd 是公差大于0的等差数列，且 1 0d ，证明： 121 , n a aa 是等差数列. 10 20202020 北京卷高考数学押题仿真模拟（四）北京卷高考数学押题仿真模拟（四） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符
12、合题目要求的一分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。项。 1. 若集合02xxA，集合12 x xB, 则BA （A）R （B）2 , （C）2 , 0 （D） , 2 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的是 （A）( )ln |f xx （B）( )2 x f x （C） 3 ( )f xx （D） 2 ( )f xx 3. 已知数列 n a满足 1232 2(1,2,3,) n aaaaa n，则 （A）0 1 a （B）0 1 a （C） 21 aa （D）0 2 a 4. 将sin(2) 6 yx 的图象向左平移 6 个单位，则所得图象的函数解析式
13、为（ ） （A）sin2yx （B）cos2yx （C）sin(2) 3 yx （D）sin(2) 6 yx 5. 已知直线0xym与圆 22 :1O xy相交于,A B两点,且OAB!为正三角形,则实数m的值为 （A） 3 2 （B） 6 2 （C） 3 2 或 3 2 （D） 6 2 或 6 2 11 6. 设m是不为零的实数,则“0m ”是“方程 22 1 xy mm 表示的曲线为双曲线”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 在ABC!中,1ABAC,D是AC边的中点,则BD CD的取值范围是 （A） 3 1 (, )
14、4 4 （B） 1 (, ) 4 （C） 3 (,+ ) 4 （D） 1 3 () 4 4 ， 8. 某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中: 三棱锥的体积为 1 6 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的是 3 2 所有正确的说法是 （A） （B） （C） （D） 10. 已知函数 )sin( 1 )( x xf（ 0, 2 ）的部分图象如图所示，则,的值分别为 （A） 1, 6 （B） 1, 6 （C）2, 3 （D）2, 3 10. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2,M N分别是棱 11 BCC D、的中点,点P在平面 1111 A BC D内,点Q
15、 在线段 1 A N上.若5PM ,则PQ长度的最小值为 （A）21 （B）2 （C） 3 5 1 5 （D） 3 5 5 12 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 复数._ 1 2 共轭复数的模长是 i i 答案 2 （12）已知公差为 1 的等差数列 n a中, 124 ,a a a成等比数列,则 n a的前 100 项的和为_. 答案 5050 （14）设抛物线 2 :4C yx的顶点为O,经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于,A B两点, 则|_OAOB. 答案 2 （14）函数 2 ,0, ( ) (2
16、),0 x x f x xxx 的最大值为_;若函数( )f x的图象与直线 (1)yk x 有且只有一个 公共点,则实数k的取值范围是 _. 答案 ， 11 （15）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列四个结论： f(0)0； 若 f(x)在0，)上有最小值1，则 f(x)在(，0上有最大值 1； 若 f(x)在1，)上为增函数，则 f(x)在(，1上为减函数； 若 x0 时，f(x)x2x，则 x0 时，f(x)x2x； 若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则满足这样的 f(x)有无数多个； 其中正确结论的为_. 注：注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5
17、分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 13 答案 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 现在给出三个条件： 2a； 4 B ；3cb.试从中选出两个条件，补充 在下面的问题中，使其能够确定ABC，并以此为依据，求ABC的面积. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， ， ,且满足 3 sincos 3 aCcA, 求ABC的面积. （选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分） 解：因为 3 sincos 3 aCcA，且 sinsin ac AC ,所以 3 sins
18、insincos 3 ACCA, 又因为sin0C ，所以 3 sincos 3 AA，即： 3 tan,(0, ) 3 AA， 6 A . 若选： sinsin ab AB ,则 2 sinsin 64 b ，2 2b ； 123262 sinsin()sincoscossin 22224 CABABAB 1162 sin2 2 231 224 ABC SabC 若选：因为 222 2cosabcbcA,且3cb所以 22 3 4323 2 bbbb， 14 解得：2,2 3bc 111 sin2 2 33 222 ABC SbcA 若选： 5 12 CAB , 123262 sinsin(
19、)sincoscossin 22224 CABABAB . 而 62 4 sin31 3 sin22 2 C B 与3cb矛盾，所以不能同时选. 17. （本小题满分 14 分） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 111 ABCABC， 平 面 11 A ACC 平 面 ABC,90ABC， 11 30 , ,BACAAACAC E F分别是AC，A1B1的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. . 解：方法一： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平
20、面ABC=AC， 所以，A1E平面ABC，则A1EBC 15 又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F 所以BC平面A1EF 因此EFBC （2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形 由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角） 不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=23，EG=3. 由于O为A1G的中点，故 1 15 22 AG EOOG， 所以 222 3 c
21、os 25 EOOGEG EOG EO OG 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz 16 不妨设AC=4，则 A1（0，0，2 3），B（3，1，0）， 1( 3,3,2 3) B， 3 3 (,2 3) 22 F，C(0，2，0) 因此， 3 3 (,2 3) 22 EF ，(3,1,0)BC
22、由 0EF BC 得EFBC （2）设直线EF与平面A1BC所成角为 由（1）可得 1 =(3 1 0)=(0 22 3)BCAC， ， 设平面A1BC的法向量为n n ()xy z， ， 由 1 0 0 BC AC n n ，得 30 30 xy yz ， 取n n(13 1)，故 |4 sin|cos|= 5| | EF EF EF ， n n n| ， 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 3 5 （18） （本小题满分 14 分） 在某地区,某项职业的从业者共约 8.5 万人,其中约 3.4 万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身 体指标（检测值为不超过 6 的正整数）
23、间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者, 记 录 他 们 17 该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图: （）求样本中患病者的人数和图中 a,b 的值; （）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人,求这 2 人中有患病者的概率; （）某研究机构提出,可以选取常数 * 0 0.5 ()XnnN,若一名从业者该项身体指标检测值大于 0 X,则判 断其患有这种职业病;若检测值小于 0 X,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者, 按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的 0 X的值及相应的概率 （只需写 出结论）.
24、解： （）根据分层抽样原则,容量为 100 的样本中,患病者的人数为 3.4 10040 8.5 人. 1 0.100.350.250.150.100.05a , 1 0.100.200.300.40b . （）指标检测数据为 4 的样本中, 有患病者40 0.208人,未患病者60 0.159人. 设事件 A 为“从中随机选择 2 人,其中有患病者”. 则 2 9 2 17 C9 (A) C34 P, 所以 25 (A)1(A) 34 PP . （）使得判断错误的概率最小的 0 4.5X . 当 0 4.5X 时,判断错误的概率为 21 100 . 19. （本小题满分 15 分） 已知函数
25、( )cosf xxxa,aR. （）求曲线( )yf x在点 2 x 处的切线的斜率; （）判断方程( )0fx（( )fx为( )f x的导数）在区间(0,1)内的根的个数,说明理由; 18 （）若函数( )sincosF xxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围. 解:（）( )cossinfxxxx. ( ) 22 k f . （）设( )( )g xfx,( )sin(sincos )2sincosg xxxxxxxx. 当(0,1)x时,( )0g x,则函数( )g x为减函数. 又因为(0)10g ,(1)cos1 sin10g, 所以有且只有一个 0
26、(0,1)x ,使 0 ()0g x成立. 所以函数( )g x在区间(0,1)内有且只有一个零点.即方程( )0fx在区间(0,1)内有且只有一个实数根. （ ） 若 函 数 ( )si ncosF xxxxax 在 区 间( 0,1)内 有 且 只 有 一 个 极 值 点 , 由 于 ( )( )Fxfx, 即 ( )cosf xxxa 在区间(0,1)内有且只有一个零点 1 x,且( )f x在 1 x两侧异号. 因为当(0,1)x时,函数( )g x为减函数,所以在 0 (0,)x上, 0 ( )()0g xg x,即( )0fx成立,函数( )f x为增函数; 在 0 (,1)x 上
27、, 0 ( )()0g xg x,即( )0fx成立,函数( )f x为减函数, 则函数 ( )f x在 0 xx 处取得极大值 0 ()f x. 当 0 ()0f x时,虽然函数( )f x在区间(0,1)内有且只有一个零点,但( )f x在 0 x两侧同号,不满足( )F x在区间 (0,1)内有且只有一个极值点的要求. 由于 (1)cos1fa,(0)fa,显然(1)(0)ff. 若函数 ( )f x在区间(0,1)内有且只有一个零点 1 x,且( )f x在 1 x两侧异号,则只需满足: (0)0, (1)0, f f 即 0, cos10, a a 解得cos10a. 0 x 19
28、20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C1： 2 2+ 2 2=1（ab0）的离心率为 2 2 ，右焦点 F 是抛物线 C2：y2=2px（p0）的 焦点，点（2，4）在抛物线 C2上 （1）求椭圆 C1的方程； （2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1于 A，B 两点，M（0，2） ，直线 AM 与 BM 的斜率乘积 为1 2，若在椭圆上存在点 N，使|AN|=|BN|，求ABN 的面积的最小值 解： （1）点（2，4）在抛物线 y2=2px 上， 16=4p， 解得 p=4， 椭圆的右焦点为 F（2，0） ， c=2， 椭圆 C1： 2 2+ 2 2=1（ab0）的离心率为 2
29、2 ， = 2 2 ， a=22， b2=a2c2=84=4， 椭圆 C1的方程为 2 8 + 2 4 =1， （2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 = + 2+22= 8，消 y 可得（1+2k 2）x2+4kmx+2m28=0， 20 x1+x2= 4 1+22，x1x2= 228 1+22 ， y1+y2=k（x1+x2）+2m= 2 1+22，y1y2=k 2x1x2+km（x1+x2）+m2=282 1+22 M（0，2） ，直线 AM 与 BM 的斜率乘积为1 2， k1k2=12 1 22 2 =122(1+2)+4 12 =
30、 2 2(+2)= 1 2， 解得 m=0， 直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点， 由弦长公式可得|AB|=1+2(1+ 2)2 412=32( 2+1) 1+22 ， |AN|=|BN|， ON 垂直平分线段 AB， 当 k0 时，设直线 ON 的方程为 y=1 x， 同理可得|ON|=1 2 32( 1 2+1) 2 1 2+1 =1 2 32( 2+1) 2+2 ， SABN=1 2|ON|AB|=8 (2+1)2 (2+2)(22+1)， 当 k=0 时，ABN 的面积也适合上式， 令 t=k2+1，t1，01 1， 则 SABN=8 2 (+1)(21)=8
31、1 1 2+ 1 +2 =8 1 (1 12) 2+9 4 ， 当1 = 1 2时，即 k=1 时，S ABN的最小值为 16 3 14 21 21.（本小题满分 14 分） 给定数列 12 , n a aa.对1,2,1in，该数列前i项 12 , i a aa的最小值记为 i A，后ni项 12 , iin aaa 的最大值记为 i B，令 iii dBA. （I）设数列 n a为2,1,6,3,写出 123 ,d dd的值； （II）设 12 , n a aa(4)n 是等比数列，公比01q，且 1 0a ，证明： 121 , n d dd 是等比数列； （III）设 121 , n d
32、 dd 是公差大于0的等差数列，且 1 0d ，证明： 121 , n a aa 是等差数列. 解： （I） 1 4d ， 2 5d ， 3 2d -3 分 （II）因为 1 0a ，公比01q， 所以 12 , n aaa是递减数列 因此，对1, 2,1in， 1 , iiii AaBa -5 分 于是对1, 2,1in， 1iiiii dBAaa 1 1( 1) i a qq -7 分 因此 0 i d 且 1i i d q d （1,2,2in） ， 即 121 , n ddd 是等比数列 -9 分 (III) 设d为 121 , n d dd 的公差，则0d 22 对12in ，因为 1ii BB， 所以 1111iiiiiiiiii ABdBdBddBdA ，即 1ii AA -11 分 又因为 11 min, iii AA a ，所以 11iiii aAAa 从而 121 , n a aa 是递减数列因此 ii Aa（1,2,1in） -12 分 又因为 111111 +BAdada，所以 1121n Baaa 因此 1n aB 所以 121nn BBBa iiiini aABdad 因此对1,2,2in都有 1+1iiii aaddd ， 即 121 , n a aa 是等差数列 -14 分