1、数学试卷 第 1 页(共 4 页) 徐州市 20192020 学年度高三年级考前模拟检测 数学数学(附加题附加题) 21 选做题选做题本题包括本题包括 A、 B、 C 三三小题，小题， 请选定其中两题请选定其中两题 ， 并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答 若若 多做，则按作答的前两题评分多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 3 2 a b A，点(1,1)M在矩阵A对应的变换作用下变为点(4,4)N （1）求a，b的值； （2）求矩阵A的特征值 B选修
2、 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知两点 (4, ) 6 A， (2, ) 2 B以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为 2 , 32 xt yt (t为参数) （1）求A，B两点间的距离； （2）求点A到直线l的距离 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题） 。本卷满分为 40 分，考试时 间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准
3、考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置。 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否 相符。 4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在 其他位置作答一律无效。中国数学教育网 数学试卷 第 2 页(共 4 页) C选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设函数( ) |1|f xx （1）解不等式( )2f x ； （2）设( )( )()(1)g xf xf ax a，若( )g x的最小值为 1 2 ，求a的值 【必做题】第【必做题】第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，
4、共计 20 分分请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，E，F，G 分别为 AA1，A1C1，AB 的中点 （1）求异面直线 BC1与 EF 所成角的余弦值； （2）求二面角 B1EGF 的余弦值 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a满足 1 1 2 a ，且 2 1nnn aaa ， * nN （1）求证： 11 1 2 n n a a ； （2）求证： 122 C (21)2C (21)C
5、(21)C (21)0 kknn nnnnnnnn aakana （第 22 题） E F BA C1 A1B1 C G 数学试卷 第 3 页(共 4 页) 徐州市 20192020 学年度高三年级考前模拟检测 数学参考答案与评分标准 21A （1）由条件知， 3134 2124 aa bb ，所以 34, 24, a b 解得 1, 2. a b 5 分 （2）由（1）知， 31 22 A， 矩阵A的特征多项式为 31 ( )(3)(2)2(1)(4) 22 f ， 令( )0f，解得A的特征值为 1 和 410 分 B （1）在OAB中， (4, ) 6 A， (2, ) 2 B， 由余弦
6、定理，得 22 422 4 2cos()2 3 26 AB 5 分 （2）直线l的普通方程为3240xy， 点A的直角坐标为(2 3,2)， 所以点A到直线l的距离为 22 |32 32 24|6 7 7 ( 3)( 2) 10 分 C （1）不等式( )2f x 即|1| 2x，则12x 或12x ，解得1x 或3x ， 所以不等式( )2f x 的解集为(, 3)(1,) 4 分 （2） (1)2, 1, 1 ( ) |1|1|(1) , 1, 1 (1)2, . axx g xxaxa xx a axx a 由1a 可知，函数( )g x在 1 (,) a 上单调减，在 1 (,) a
7、上单调增， 所以( )g x的最小值为 111 ()1 2 g aa ，解得2a 10 分 22 （1）取AC的中点O，连接FO，BO ， 在正三棱柱 111 ABCABC 中，FO 平面ABC，BOAC， 以,OA OB OF为基底建立空间直角坐标系O xyz 如图所示， 则 (1 0 0)A ， (03 0)B， ， (1 0 1)E ，(0 0 2)F， 1(0 3 0)B， ， 1( 1 0 2) C ， 所以( 1 0 1)EF ， 1 ( 13 2)BC ， 所以 1 1 1 3 cos= 4| EF BC EF BC EFBC ， ， z x y O E F BA C1 A1B1
8、 C G 数学试卷 第 4 页(共 4 页) 所以异面直线 1 BC与EF所成角的余弦值为 3 4 ；4 分 （2） 因为G为AB的中点， 所以 13 (0) 22 G， 则( 101 )EF ， 13 (1) 22 EG ， 设平面EFG的法向量为 1 111 ()nxyz， ， 平面 1 EGB的法向量为 2 222 ()nxyz， ， 则 1 1 0 0 nEF nEG ，所以 11 11 0 13 0 22 xz xyz ， 令 1 1z ，得 1(131)n ， ，同理2( 3 1 0)n ， 所以 12 12 12 15 cos, 5| n n n n nn ， 所以二面角的大小与
9、向量 12n n，所成的角相等或互补， 由图形知，二面角 1 BEGF的余弦值为 15 5 10 分 23 （1）因为 2 1nnn aaa ，即 1 1 n n n a a a 要证 11 1 2 n n a a ，只需证 1 0 2 n a 2 分 用数学归纳法证明： 当1n 时， 1 1 2 a ，命题成立； 假设当nk(1k ， * kN)时命题成立，即 1 0 2 k a， 则当1nk时，有 2 2 1 11 24 kkkk aaaa ， 由于 1 0 2 k a，所以 1 1 0 4 k a ，显然有 1 1 0 2 k a ， 所以当1nk时，命题也成立 所以对任意 * nN，都有 1 0 2 n a成立，即 11 1 2 n n a a 得证 4 分 （2）因为 1 1 A CC ! k kkn nn kkn k ， 6 分 所以 11 1 C (21)(21) C(21) kkkk nnnnn kaana ， 因此 122 C (21)2C (21)C (21)C (21) kknn nnnnnnnn aakana 1 (21)2 n nn ana 由（1）知， 1 0 2 n a，所以 1 (21)20 n nn ana ，得证10 分