1、凉山州凉山州 20202020 届高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科届高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科） 本试卷分选择题和非选择题两部分第卷（选择题） ，第卷（非选择题） ，共 4 页，满分 150 分，考试 时间 120 分钟 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查 条形码粘贴是否正确 2选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡 的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 3考试结束后，将答题卡收回 第卷（选择题，共 60 分） 一
2、、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 ） 1设集合 |21 , | 1 x AxBxx，则AB（ ） A( 1,1) B(0,1 C 1,1 D0,1 2已知1zi （是虚数单位） ，则 4 z z （ ） A3 B3i C3 i D3i 3若, a bR，则“0ab是 2 2 ab ab ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4如图所示的程序框图，若输出的 y 的值为 2，则输入的 x 的值为（ ） A4 B2 C2 或2 D4 或2 5已知正项等比数列 n a，向量
3、37 , 8 ,2aaba，若ab，则 212229 logloglogaaa （ ） A12 B16 C18 D 2 6log 5 6 已知角的顶点与原点重合， 始边与 x 轴正半轴重合， 终边经过点 sin30 ,tan135 ， 则c o s 2（ ） A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 7 若双曲线 22 2 1(0) 3 xy b b 与抛物线 2 8yx有相同的焦点， 则该双曲线的两条渐近线的夹角为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 6 8设函数 2 ( )3sin(0) 3 f xx 与函数( )2cos(3) | 3 g xx 的对称轴完全相同，则 的值为（ ）
4、A 6 B 3 C 6 D 3 9已知, M N为平面区域 0 30 3 xy xy y 内的两个动点，向量(1,0)a ，则MN a的最大值是（ ） A1 B2 C3 D4 10小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的 直径为 12 厘米，轴的直径为 4 厘米当小明用掉 3 4 的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于（ ） A6 厘米 B7 厘米 C8 厘米 D9 厘米 11已知长方体 1111 ABCDABC D的体积12,2VAB，若四面体 11 ABCD的外接球的表面积为 S， 则 S 的最小值为（ ） A8 B9 C16 D32 12 已
5、知函数(1)yf x的图象关于直线1x 对称， 且当(0,)x时， ln ( ) x f x x 若 2 e af ， (2)bf， 2 3 cf ，则, ,a b c的大小关系是（ ） Abac Babc Cacb Dcba 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知( 1,2),(1,)abm ，若/ /ab，则m_ 14 如图，AB是圆 O 的直径，OCAB， 假设向该圆随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为_ 15设ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若,2,3 2 Acb ， (1)(0)ADABAC
6、，2DABDAC ,则_ 16 阿波罗尼斯 （古希腊数学家， 约公元前 262-190 年） 的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果， 它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距 离的比为常数(0,1)k kk的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆 （1）若定点为 ( 1,0), (1,0)AB，写出 1 2 k 的一个阿波罗尼斯圆的标准方程_； （2）ABC中，| 2,|(1)ABACk BCk，则当ABC面积的最大值为2 2时，k _ 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共 70 分） 17 （12 分） n S为等
7、差数列 n a的前 n 项和，已知 179 14,81aaS （1）求 n a及 n S； （2）设 1 1 n nn b a a ，数列 n b的前 n 项和为 n T，证明： 11 32 n T 18 （12 分）州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各 5 个县，统计观看该节 目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人） 其中一个数字被污损 （1）求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率； （2）该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了 4 位观众 学习诗词的周平均时间 y（单位：小时）与年龄
8、 x（单位：岁）的关系，如下表所示： x 20 30 40 50 y 2.5 3 4 4.5 根据表中的数据，试求线性回归方程 ybxa，并预测年龄为 60 岁的观众学习诗词的时间 （参考公式 1 22 1 , n ii i n i i x ynx y baybx xnx ） 19 （12 分）如图，四面体ABCD中，OE、分别是BDBC、的中点，2CACBCDBD, 2ABAD （1）求证：/ /OE平面ADC； （2）求直线AE与平面BDC所成角的余弦值 20 （12 分）已知函数( )ln (0)f xax a （1）设函数 2 ( )( )g xf xx在点(1, (1)g处的切线方程
9、为20xy，求 a 的值 （2）若曲线( )yf x与曲线 2 yx至少有一条公共切线，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，右顶点(2,0)A，上顶点为 B，左右焦点分别为 12 ,F F， 且 12 60FBF ，过点 A 作斜率为(0)k k 的直线 l 交椭圆于点 D，交 y 轴于点 E （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P 为AD的中点，是否存在定点 Q，对于任意的(0)k k 都有OPEQ？若存在，求出点 Q；若 不存在，请说明理由 请考生在第 22、23 两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个
10、题目计 分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系A B、两点的极坐标分别 为1, 2 ，1, 2 曲线 C 的参数方程为 2cos , sin x y （为参数） （1）求A B、两点的直角坐标及曲线 C 的普通方程； （2） 设 P 是曲线 C 上任意一点 （P 不在 y 轴上） ， 若直线PA PB、分别交 x 轴于点MN、， 试问| |OMON 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 23 （10 分）选修 4-5：不等式选讲 已
11、知函数( ) |f xxa （1）当1a 时，求不等式 1 1 ( ) x f x 的解集； （2）设不等式|21|( )xf xx的解集为 M，若 1 ,1 2 M ，求实数 a 的取值范围 参考答案及评分意见参考答案及评分意见 评分说明： 1本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响 的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严 重的错误，就不再给分 3解答右侧所注分数，表示
12、考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题不给中间分 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1-12：BCADC ABCCB CD 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 132 14 1 15 1 3 16 2 2 516 39 xy （写对一个即可）3 分；2（2 分） 三、解答题（共 70 分） 17解： （1）设等差数列 n a的公差为 d，则 由 17 14aa得： 1 37ad 1 分 又 9 81S 1 98 981 2 ad 即 1 49ad 2 分 由解得： 1 1,2ad 4 分 2 21, nn anSn 6 分 （2）由（1）得： 1 11111
13、 (21)(21)2 2121 n nn b a annnn 8 分 数列 n b的前 n 项和 123nn Tbbbb 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn 11111111 1 2335572121nn 11 1 221n 10 分 显然， n T随 n 的增大而增大 1 1 2 n TT，即 11 32 n T 12 分 18 解： （1）设被污损的数字为 x，(,09)xNx，则 (80)89909192442 55 xx X 东 8586879499451 55 X 西 由题意得：XX 西东即 451442 55 x 即9x 2 分 所以，西部各县观看
14、该节目的观众的平均数超过东部各县观看该节目的观众的平均数的概率为 9 10 p 4 分 （2）由已知得： 20304050 35 4 x ， 2.5344.5 3.5 4 y 6 分 4 1 202.5303404504.5525 ii i x y 4 22222 1 203040505400 i i x 4 1 42 22 1 4 525435 3.5 0.07 5400435 4 ii i i i x yx y b xx 3.50.07351.05aybx 回归直线方程为 0.071.05yx 10 分 当60x 时，0.07601.055.25y 即年龄为 60 岁的观众学习诗词的时间为
15、 5.25 小时 12 分 19 （1）证明：在BDC中，OE、分别是BDBC、的中点/ /OECD 2 分 又OE 平面ADC，CD平面ADC / /OE平面ADC 4 分 （2）解：连接OC 在BDC中，2BDBCCD且 O 是BD的中点 3OC 在ABD中，2,2ABADBD ABD为等腰直角三角形 又 O 是BD的中点 1 1 2 AOBD且AOBD 在AOC中， 222 AOOCAC即AOOC 而BDOCO AO平面BCD 8 分 直线AE与平面BCD所成的角为AEO，AOOE 10 分 在BDC中，OE、分别是BDBC、的中点 1 1 2 OECD 在Rt AOE中，2AE 2 c
16、os 2 AEO 即直线AE与平面BCD所成的角的余弦值为 2 2 12 分 20解（1） 2 ( )( )g xf xx 2 ( )lng xaxx ( )2 (0) a g xx x x 又函数( )g x在(1, (1)g）处的切线方程为20xy (1)1g，即21a，即3a 5 分 （2）设公切线 l 与函数( )lnf xax相切于点 00 , lnx ax，则由( ) a fx x ，得 0 0 a fx x 公切线 l 为： 00 0 ln a yxxax x 即 00 0 ln0 ax yaaxx x 6 分 由 0 0 2 ln ax yaax x yx ，得： 2 0 0
17、ln0 ax xaax x 直线 l 与曲线 2 yx相切 2 0 2 0 4ln0 a aax x ，即 22 0000 44ln0,0axxxxa 8 分 设 22 ( )44ln (0)h xxxx x，则( )4 (12ln )h xxx 由( )0h x ，得0xe；又由( )0h x 得xe 函数( )h x在(0,)e上单增，在(,)e 上单减 max ( )()4 (1 ln)2h xheeee 02ae ( )yf x与曲线 2 yx至少有一条公切线时，a 的取值范围为(0,2 e 12 分 21解： （1）由题意得：2a 在 2 Rt OBF中， 12 60FBF ， 2
18、30OBF ， 2 |,OBb OFc 2 BFa，cos30 b a ， 3 22 b ，3b 椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）解法一：设直线:(2)(0)*AD yk xk 令0x ，则2yk ，(0, 2 )Ek 将*代入 22 1 43 xy 整理得 222 3416120kxk 设 00 ,D xy，则 2 2 16 2 34 D k x k ， 2 2 86 34 D k x k ， 2 22 8612 2 3434 D kk yk kk 6 分 设 , pp P xy，p为AD的中点 22 22 1 868 2 2 3434 p kk x kk ， 22 1126
19、 23434 p kk y kk 2 22 86 , 3434 kk OP kk 8 分 设存在 00 ,Q x y使得OPEQ，则 00 ,2EQx yk，0OP EQ 22 00 22 8612 0 3434 k xkyk kk ，即 2 00 2 4236 0 34 kxky k 对任意的0k 都成立 0 0 230, 0 x y ， 0 3 2 x，存在 3 ,0 2 Q 使得OPEQ 12 分 解法二：设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,P x y 22 11 1(1) 43 xy ， 22 22 1(2) 43 xy 由(1)(2)，得 12121212 1 4
20、3 xxxxyyyy P为AB中点， 0012 12 3 0 22 xyyy xx 12 12 (0) AB yy kk k xx ， 0 0 13 0 22 y k x 0 0 OP y k x ， 3 4 OP k k 8 分 设存在 33 ,Q x y使得OPEQ， 则 3 3 214 3 OP ykk xk ，即 33 22330*kkxy 对任意0k 都成立，即 3 3 2 x ， 3 0y ， 存在 3 ,0 2 Q 使得OPEQ 12 分 22解： （1）A B、两点的直角坐标为：(0,1)A、(0, 1)B 2 分 由 2cos sin x y 得 cos 2 sin x y
21、2 2 1 4 x y 曲线 C 得普通方程为 2 2 1 4 x y 5 分 （2）解法一：设(2cos ,sin )(cos0)P sin1 :1 2cos AP lyx ，令 2cos 0, 1sin yx 同理 sin1 :1 2cos BP lyx ，令 2cos 0, 1sin yx 2cos ,0 1sin M ， 2cos ,0 1sin N 7 分 22 2 4cos4cos | |4 (1 sin )(1 sin )cos OMON | | 4OMON为定值 10 分 解法二：设( , )(0)P m n m 1 :1 AP n lyx m ，令0, 1 m yx n ，同
22、理 1 :1 BP n lyx m ，令0, 1 m yx n ,0 1 m M n ，,0 1 m N n 7 分 又 P 在椭圆上， 22 22 11 44 mm nn ， 22 22 | |4 1 4 mm OMON mn | | 4OMON为定值 10 分 23解（1）1a 时， 1 11 |1|(1) |1| x xxx x 1 11 x xx 或 1 11 x xx ，解之得：1x 或01x 4 分 不等式得解集为(0,1)(1,) 5 分 （2）不等式得解集为 M，且 1 ,1 2 M 210x 6 分 |21|( )21 |xf xxxxax |111xaxxxax 1 1 2 a a x 当1a 时，M 为，显然不满足 1 ,1 2 M ； 7 分 当1a 时， 1 , 2 a M 1 ,1 2 M 1 1 2 a 即1a 1a 9 分 综上，a 的取值范围为1. 10 分